BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON

BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON

Julan HERNADI1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Metoda Faktorisasi Fermat (1643)

Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor prima yang tidak melebihi√n. Diasumsikan n bulat ganjil.

Metoda Fermat didasarkan pada ide penemuan bilangan bulat x dan y sehingga n = x2_−y2_{. Karena dapat ditulis}

n = (x + y)(x − y)

maka (x + y) dan (x − y) adalah faktor-faktor dari n. Sebaliknya bila n = ab, a ≥ b ≥ 1, maka dapat ditulis

n = a + b 2 2 − a − b 2 2 .

Karena n ganjil maka a dan b harus ganjil (mengapa?), oleh karena itu a+b

2 dan a−b2 taknegatif.

Bilangan bulat dapat difaktorkan bhb ia dapat disajikan sebagai selisih kuadrat bil taknegatif

Algoritma

1 Tulis x2−n = y2

2 Tentukan k bilangan bulat pertama dimana k2≥n

3 Urutkan bilangan berikut

k2_{−n, (k + 1)}2_{−n, (k + 2)}2_{−n, (k + 3)}2_{−n, ···}

hingga langkah ke m sehingga (k + m)2_{−n adalah bilangan}

kuadrat.

Example

Faktorkan bilangan n = 119143. Penyelesaian.

Menentukan k sehingga k2_{≥119143. Cek! 345}2_=119025,

3462_{=119716. Ambil k = 346.}

Urutkan bilangan (k + m)2_{−n,m = 0,1,2,···. Hasilnya}

Algoritma (lanjutan...)

3462−n = 573 3472_{−n = 1266} 3482−n = 1961 3492−n = 2658 3502_{−n = 3375} 3512−n = 4058 3522_{−n = 4761}

Ternyata sampai pada m = 6 sudah menghasilkan bil kuadrat yaitu (346 + 6)2−119143 = 4761 = 692.Diperoleh x = 352,y = 69. Faktorisasi yang diperoleh adalah

Ciri bilangan kuadrat:

Angka terakhirnya kemungkinannya 0,1,4,5,6 dan 9 (mengapa?)

Dua angka terakhirnya ada 22 kemungkinan, temukan angka berapa saja!

Petunjuk: Gunakan modulo 10 untuk mendeteksi kemungkinan 1 angka terakhir, dan modulo 100 untuk 2 angka terakhir.

Latihan 1: Faktorkan bilangan 2027651281dengan metoda Fermat! Lengkapi keterangan setiap langkahnya!

Metoda faktorisasi Fermat akan sangat efektif jika selisih magnitud kedua faktornya kecil.

Example

Faktorkan bilangan n = 23449. Mulailah dengan k = 154 maka hanya dibutuhkan 2 langkah, diperoleh faktorisasi yang dimaksud adalah 23449 = 179 · 131.

Generalisasi metoda faktorisasi Fermat

Pada metoda sebelumnya, bilangan bulat x dan y memenuhi n = x2_−y2_{. Sekarang x dan y lebih umum, yaitu cukup memenuhi}

x2_≡y2_{(mod n).}

Misalkan d = gcd(x − y,n) atau d = gcd(x + y,n), maka d|n. Permasalahannya, apakah d faktor sejati, yaitu 1 < d < n? Dengan asumsi n = pq, p,q prima dengan p < q maka kemungkinan d adalah 1,p,q atau pq.

x2_≡y2_{(mod n) → pq|(x − y)(x + y)}

Lemma Euclid→ p dan q membagi salah satu faktornya. Bila yang terjadi adalah

p|(x − y) dan q|(x − y) → pq|(x − y) → x ≡ y(mod n), atau p|(x + y) dan q|(x + y) → pq|(x + y) → x ≡ −y(mod n). Situasi dimana x ≡ ±y(mod n) dikesampingkan. Jadi, d adalah salah satu p atau q.

Example

Kita ingin memfaktorkan n = 2189 dengan memperoleh 5792_≡182_{(mod 2189). Hitung gcd masing-masing, yaitu}

gcd(579 − 18,2189) = gcd(561,2189) = 11 gcd(579 + 18,2189) = gcd(597,2189) = 199 maka diperoleh 2189 = 11 · 199.

Bagaimana mendapatkan 5792_≡182_{(mod 2189)? Jelaskan}

Metoda Kraitchik (1920)

Idenya adalah mencari bilangan x1,x2, · · · ,xk sehingga

(x₁−n)···(x_k−n) bil kuadrat, katakan y2. Akibatnya dapat ditulis (x1· · ·xk)2≡y2(mod n). Ini menghasilkan faktor

taksejati n seperti sebelumnya.

Example

Kita akan memfaktorkan n = 12499. Inspeksi awal 1122_=12544.

Dimulai dari k = 112. Tidak diurutkan seperti metoda Fermat, tetapi cukup

1122_{−n = 45 → 112}2_≡32_{·5(mod 12499)}

1172−n = 1190 → 1172≡2 · 5 · 7 · 17(mod 12499) 1212−n = 2142 → 1212≡2 · 32·7 · 17(mod 12499) Kita kalikan hasil-hasil ini diperoleh

(1122·1172·1212) ≡ (2 · 32·5 · 7 · 17)2(mod 124999) → 1585584 ≡ 10710(mod 12499)→gagal ?

Example

(lanjutan) Ambil kemungkinan lain, mis 1132≡2 · 5 · 33(mod 12499) 1272_{≡2 · 3 · 5 · 11}2_{(mod 12499)}

maka diperoleh (113 · 127)2_{≡ (2 · 3}2_{·5 · 11)}2_{(mod 12499) →}

18522_≡9902_{(mod 12499). Karena 1852 6= ±990(mod 12499)}

maka kita berhasil. Hitung gcd masing-masing seperti sebelumnya diperoleh faktorisasi 12499 = 29 · 431.

Teorema Litle Fermat

Theorem

Misalkan p prima dan andaikan p - a maka ap−1_{≡1(mod p).}

Ilustrasi: p = 3 maka untuk a = 5 berlaku 53−1_{≡1(mod 3), tetapi}

untuk a = 6 tidak berlaku bahwa 63−1_{=36 ≡ 1(mod 3).}

Proof.

Kumpulkan p − 1 kelipatan pertama a, yaitu V = {a,2a,3a,··· ,(p − 1)a}. Diperoleh fakta

Tidak ada anggota V yang kongruen satu sama lainnya (mengapa?)

Tidak ada anggota V yang kongruen dengan nol (mengapa ?) Maka setiap anggota V pasti kongruen modulo p terhadap salah satu 1,2,··· ,p − 1. Kalikan semua kongruensi ini diperoleh a · 2a · 3a · ··· · (p − 1)a ≡ 1 · 2 · 3 · ··· · (p − 1)(mod p) → ap−1_{(p − 1)! ≡ (p − 1)!(mod p) → a}p−1_{≡1(mod p) (Why ?).}

Akibat Teorema Fermat

Corollary

Bila p prima maka ap_{≡a(mod p)untuk sebarang bil bulat a.}

Proof.

Ada 2 kemungkinan: bila p|a maka pernyataan otomatis berlaku. Bila p - a maka mk dg Teorema Fermat diperoleh ap−1_{≡1(mod p).}

Kalikan kedua ruas dengan a, Akibat ini terbukti.

Example

Kita akan membuktikan 538_{≡4(mod 11). Ambil p = 11,}

a = 5 → 5 - 11 → 510_{≡1(mod 11). Dengan fakta 5}2_{≡3(mod 11)}

maka diperoleh

538=510·3+8= (510)3(52)4 ≡1 · 34(mod 11)

Uji Primalitas dengan Teorema Fermat

Bila kongruensi an_{≡a(mod n) tidak berlaku untuk suatu a maka}

dipastikan n komposit.

Example

Misalkan n = 117. Ambil a = 2. Tulis 2117_{= 2}7
16

·25. Karena 27_{=128 ≡ 11(mod 117) maka berlaku}

2117≡1116·25≡ (121)8·25≡48·25≡221(mod 117). Tetapi 221_{= 2}7
3

≡113=121 · 11 ≡ 4 · 11 ≡ 44(mod 117). Akhirnya diperoleh 2117_{≡44  2(mod 117). Jadi disimpulkan 117}

The Wilson Theorem

Historical notes:

Announced in 1770 by Edward Waring (1741-1793), conjecture by John Wilson (his former student), proved by Lagrange in 1771.

Theorem

p prime → (p − 1)! ≡ −1(mod p), or written as p|(p − 1)! + 1.

Proof.

Cases p = 2 and p = 3 as being evident. For p > 3, dene set E = {1,2,··· ,p −1}. For any a ∈ E, the congruence ax ≡ 1(mod p) always has a unique solution a0 _{(why ?). Since a}0 _{solution then}

1 ≤ a0_{≤p − 1 and aa}0_{≡1(mod p). The following statement holds}

Proof (cont...)

Equivalently, for aa0_{≡1(mod p): a 6= 1 and a 6= p − 1 ←→ a 6= a}0_.

Deleting these elements from E, dene E1= {2,3,··· ,p − 2} consist of p − 3 elements, an even integer (why ?). There are p−3₂ pairs (a,a0_{) where a,a}0_∈E

1and a 6= a0 such that aa0≡1(mod p).

Multiply together and rearrange the factors, we obtain 2 · 3 · 4 · ··· · (p − 2) ≡ 1(modp).(why???)

Finally, multiply both sides by p − 1, theorem is proved. (why??)

Convers of Wilson's theorem also holds:

Theorem

(n − 1)! ≡ −1(mod n) → n prime.

Proof.

Supposed n composite, n has a factor d where 2 ≤ d ≤ n − 1. It must be satised d|(n − 1)!. On the other hand, n|(n − 1)! + 1. It implies d|(n − 1)! + 1 (why???). Since d|(n − 1)! + 1 and d|(n − 1) then it neccesary d|1 (why ???). The last statement is contra.

Primality test using the Wilson's theorem is more theoretical than practical, because as n increases, (n − 1)! rapidly becomes

unmanageable in size.

Example

Take p = 13 and E1= {2,3,··· ,11}, then we have p−3₂ =5 pairing

of numbers where each product is congruent to 1 modulo 13, i.e. 2 · 7 ≡ 1(mod 13), 3 · 9 ≡ 1(mod 13), 4 · 10 ≡ 1(mod 13), 5 · 8 ≡ 1(mod 13), 6 · 11 ≡ 1(mod 13).

Application of Wilson Theorem

Quadratic Congruences: ax2_{+bx + c ≡ 0(mod n), where}

a  0(mod n).

Theorem