BAB III
CFD DAN PENDEKATAN NUMERIK
3.1. CFD [10]
Computational Fluid Dynamics (CFD) adalah tool berbasis komputer
untuk mensimulasikan perilaku suatu sistem yang melibatkan aliran fluida, perpindahan panas dan proses fisik lainnya. Cara kerjanya dengan memecahkan persamaan-persamaan aliran fluida (dalam bentuk tertentu) meliputi suatu daerah yang diinginkan, dengan kondisi pada batas-batas daerah tersebut adalah spesifik dan diketahui.
Matematika CFD
Satu set persamaan yang menggambarkan proses proses momentum, transfer massa dan transfer panas dikenal sebagai persamaan Navier Stokes. Persamaan ini berupa persamaan parsial differensial dan diturunkan pada awal abad ke-19. Solusi analitik umum dari persamaan ini tidak diketahui namun persamaan ini dapat didiskritkan dan dipecahkan secara numerik.
Persamaan-persamaan yang menggambarkan proses lain seperti pembakaran dapat dipecahkan bersama dengan persamaan Navier Stokes. Model aproksimasi sering digunakan untuk menurunkan persamaan tambahan ini, model turbulensi adalah salah satu contohnya.
Ada beberapa jumlah metode solusi yang digunakan untuk kode CFD. Metode solusi yang paling banyak digunakan dan digunakan juga untuk ANSYS CFX adalah teknik volume hingga (finite volume). Dalam teknik ini daerah analisis dibagi dalam beberap sub daerah yang disebut volume atur (control
volume). Persamaan atur lalu didiskritkan dan dipecahkan secara iteratif untuk
setiap volume atur. Hasilnya adalah aproksimasi dari nilai setiap variabel pada titik tertentu dalam domain. Dengan cara ini didapatkan gambaran penuh perilaku aliran yang diinginkan.
CFD dipakai oleh engineer maupun ilmuwan dalam berbagai bidang seperti : 1. Penerbangan : desain sayap, mesin turbin pesawat
3. Energi dan Pembangkit daya : optimasi proses pembakaran, peningkatan efisisensi turbin.
4. Perkapalan : desain kapal selam
5. Perminyakan : aliran dalam pipa atau diluar pipa 6. Elektronika : perpindahan panas dalam circuit boards 7. Medis : aliran dalam pembuluh darah
8. Lingkungan : dispersi polutan di udara dan air
Kode kode CFD disusun dalam struktur suatu algoritma numerik yang dapat menangani masalah fluida. Ada 3 tahap utama dalam melakukan simulasi CFD yaitu :
a. Pre Processor b. Solver
c. Post Processor
a. Pre Processor
Pre processor mengandung input dari masalah fluida. Beberapa kegiatan yang masuk dalam bagian ini adalah :
• Pendefinisian dari geometri daerah kajian dan domain komputasi
• Grid generation yaitu pembagian domain ke domain domain yang lebih kecil yaitu grid atau mesh dari elemen elemen kecil (cells)
• Pemilihan fenomena fisik dan kimia dari masalah yang dimodelkan • Pendefinisian properti fluida
• Spesifikasi kondisi batas yang sesuai pada cell yang bersinggungan dengan batas domain
Solusi dari masalah fluida didefinisikan pada titik di dalam tiap cell. Akurasi dari solusi CFD diatur oleh banyaknya jumlah cell dalam grid. Secara umum semakin besar jumlah cell maka akurasi dari solusi yang dihasilkan menjadi lebih baik. Semakin banyak jumlah grid maka biaya komputasi juga semakin besar.
Oleh karena itu grid yang optimal memilki mesh yang tidak seragam, dengan mesh yang halus di area yang terjadi perubahan dari titik satu ke titik lain dan mesh yang lebih kasar di area dengan perubahan properti relatif sedikit. Kemampuan yang juga dikembangkan adalah self adaptive meshing yaitu
kemampuan memperhalus grid di daerah dengan variasi properti tinggi. Secara umum terdapat 2 bagian yang dominan di tahap Pre Processor ini yaitu definisi geometri dari domain dan Grid generation.
b. Solver
Terdapat beberapa teknik utama dalam mencari solusi numerik yaitu finite
difference, finite element dan spectral method. Secara garis besar metode numerik
yang menjadi dasar dari solver melakukan hal-hal sebagai berikut :
1. Aproksimasi dari variabel aliran yang tidak diketahui dengan memakai fungsi-fungsi sederhana
2. Diskritisasi dengan melakukan subtitusi dari aproksimasi tersebut ke persamaan persamaan atur aliran dan dilanjutkan dengan manipulasi matematis
3. Solusi dari persamaan aljabar
Metode lain dikembangkan dari ketiga metode tersebut, salah satunya metode volume hingga (finite volume). Metode ini merupakan pengembangan dari metod
finite difference yang memilki formulasi khusus. Algoritma numeriknya
mengandung langkah sebagai berikut :
• Integrasi dari persamaan persamaan atur dari fluida sepanjang semua volume atur dari domain
• Diskritisasi yang melibatkan subtitusi dari berbagai macam aproksimasi finite difference ke persamaan yang diintgrasikan. Sehingga persamaan integral diubah menjadi persamaan aljabar. • Solusi dari persamaan aljabar dengan metode iteratif
Langkah pertama yaitu pengintegrasian volume atur membedakan metode ini dari semua teknik CFD. Konservasi dari variabel aliran φ seperi kecepatan atau entalpi dalam volume atur yang berhingga dapat dinyatakan sebagai keseimbangan antara bermacam macam proses yang menambah maupun menguranginya.
Secara lebih jelas dapat dinyatakan :
Laju perubahan Fluks netto dari Fluks netto dari dari di volume ke dalam volume atur ke dalam volume atur atur sepanjang waktu karena konveksi karena difusi
φ φ φ = + Laju pembentukan
di dalam volume atur φ
+
Kode kode CFD mengandung teknik diskritisasi yang cocok untuk menangani fenomena key transport, konveksi (transport karena aliran fluida), dan difusi (transport karena variasi φ dari tititk ke titik) dan juga source (terjadinya dan hilangnya φ) dan laju perubahan terhadap waktu.
Perangkat lunak CFD yang digunakan adalah ANSYS CFX. Terdapat satu set persamaan yang dipecahkan oleh ANSYS CFX yaitu persamaan Unsteady Navier Stokes dalam bentuk konservasi.
Persamaan kontinuitas ( U) 0 t ρ ρ ∂ + ∇ • = ∂ (1) Persamaan momentum ( ) ( ( ( ) ))T M U U U U U S t ρ ρ ρδ µ ∂ + ∇ • ⊗ = ∇ • − + ∇ + ∇ + ∂ (2) Persamaan energi ( ) ( ) tot tot E h Uh T S t t ρ ρ ρ λ ∂ ∂ − + ∇ • = ∇ • ∇ + ∂ ∂ (3) tot
h didefinisikan sebagai spesific total enthalpy. Untuk kasus umum dari properti
variabel dan aliran kompresibel dapat dinyatakan dalam spesific static enthlapy h :
2 1 2 tot h = +h U (4) Dimana ( , ) tot h =h p T (5)
Bila kerja viskous tidak dapat diabaikan maka persamaan ditambakan di sisi kanan persamaan energi diatas sehingga memperhitungkan efek dari viscous shear. Persamaan energi menjadi :
2 ( ) ( ) ( ) 3 T tot tot E h Uh T U U U U S t t ρ ρ ρ λ µ δ ∂ −∂ + ∇ • = ∇ • ∇ + ∇ • ∇ + ∇ − • + ∂ ∂ ∇
Dari 5 persamaan diatas dapat diketahui bahwa ada 7 variabel yang tidak diketahui yaitu , , , , , ,u v w P T ρ h . Namun satu set persamaan diatas dapat dilengkapi dengan 2 persamaan aljabar termodinamika yaitu Equation of State yang menghubungkan massa jenis dengan tekanan dan temperatur. Persamaan lain adalah Constitutive Equation yang menghubungkan enthalpi dengan temperatur dan tekanan.
Apabila kontribusi energi terhadap energi total dapat diabaikan maka persamaan Energi dapat disederhanakan menjadi Thermal Energy Equation:
( ) ( ) E h Uh T S t ρ ρ λ ∂ + ∇ • = ∇ • ∇ + ∂ Equation of State
Solver di ANSYS CFX menghitung tekanan dan enthalpi statik. Untuk mencari massa jenis kita harus memilih thermal equation of state dan untuk mencari temperatur kita harus memilih hubungan konstitutif. Pemilihan kedua hubungan ini tidak harus independen dan merupakan pilihan memodelkan.
Thermal equation of state digambarkan sebagai fungsi temperatur dan tekanan.
( , )p T
ρ ρ=
Spesific heat cpacity c dinyatakan sebagai fungsi temperatur dan tekanan. p
( , ) p p
c =c p T
Untuk gas ideal, massa jenis dinyatakan dengan Hukum Gas Ideal dan dalam kasus ini cpdapat menjadi fungsi temperatur saja.
( ) p p
c =c T
Untuk gas ideal, hubungan variabelnya dapat dinyatakan oleh hukum Gas Ideal.
0
( ref)
w p p
R T
ρ = +
Dimana wadalah massa molekular dari gas dan R adalah konstanta gas universal. 0
Persamaan Transport
Selain itu ada beberapa persamaan untuk variabel tambahan seperti persamaan Transport.
Bentuk umum persamaan Transport untuk variabel tambahan (non reacting scalar) dengan adanya turbulensi adalah :
( ) t ( ) t U D S t φ Sc φ µ φ φ ρ φ ρ ∂ + ∇ • = ∇ • + ∇ • + ∂
adalah massa jenis ρ
adalah kuantitas per unit volume (konsentrasi) φ
adalah kuantitas per unit massa φ
ρ
adalah volumetric source yaitu kuantitas per unit volume per unit waktu
Sφ
adalah Kinematic diffusivity
Dφ
t
adalah viskositas tubulensi dengan Sc adalah bilangan turbulensi Schmidt t
µ
c. Post Processor
Bagian ini mengandung kemampuan grafis yang dibutuhkan untuk menampilkan hasil termasuk kemampuan visual yang lain seperti animasi. Hal lain yang juga termasuk adalah display grid dan domain geometri, plot vektor, plot kontur, plot pemukaan 2D atau 3D, particle tracking, animasi dan lain sebagainya.
3.2. Pendekatan numerik [8, 10] 3.2.1. Grid generation
Grid generation adalah aspek penting dalam semua metode numerik yang
menggunakan finite difference, finite volume dan finite elements dalam rangka mendapatkan solusi dari persamaan differensial parsial.
Caranya dengan membagi domain aliran ke dalam elemen elemen kecil (segitiga, poligon 2D, tetrahedral, quadrilateral ) yang disebut cell. Gabungan dari
cell-cell tersebut membentuk satu kesatuan dalam domain yang disebut mesh atau grid karena gabungan dari elemen elemen tersebut seperti jala.
Terdapat beberapa masalah konseptual yang harus diselesaikan dalam memilih sistem grid generation untuk masalah masalah tertentu.
• Domain terbuka maupun tertutup
• Topologi domain (tipe C, H, O maupun kombinasinya) • Single atau multiple block
• Structured atau unstructured • 2D atau 3D
Metode Grid Generation :
Dibawah ini adalah beberapa metode yang digunakan dalam grid generation : Metode Aljabar
Metode ini didasarkan pada persamaan transformasi koordinat pada sebuah domain fisik. Dalam bentuk paling sederhana adalah transformasi Lagrange dan Hermite. Beberapa metode juga berdasarkan skema interpolasi dalam multi dimensi. Interpolasi transfinite dan transformasi multi surface menghasilkan grid yang bagus untuk domain tertutup. Penggabungan metode dengan pengaturan tambahan pada nilai batas dan elliptic smoothing akan menghasilkan sistem grid generation yang efisien seperti yang digunakan di tugas akhir ini yaitu ICEM CFD.
Metode Elliptic
Metode ini didasarkan pada solusi dari persamaan parsial diferensial eliptik dengan beberapa kondisi untuk membuat pengumpulan titik (point
bunching). Solusi dari sistem ini dengan cara iteratif seperti misalnya dengan
metode Successive Over- Relaxation (SOR). Metode ini dapat menghasilkan grid yang sangat halus dan dapat digunakan untuk menghilangkan diskontinuitas pada sistem interpolasi transfinite.
Metode Hiperbolik
Metode ini didasarkan pada solusi dari persamaan parsial diferensial dari tipe hiperbolik, dipecahkan keluar dari batas domain. Ide penggunaan persamaan ini sangat efektif untuk ailran eksternal dimana batas dinding (wall) didefinisikan dengan baik (airfoil, sayap, sayap-bodi) dengan kondisi di far field tidak didefinisikan. Keadaan ini juga menghilangkan kewajiban untuk mendefinisikan distribusi titik pada beberapa garis batas pada domain aliran dan membuat hal ini lebih mudah ditangani dibanding metode lain seperti metode interpolasi
transfinite.
Metode tak terstruktur
Terdapat beberapa algoritma dalam menghasilkan grid tak terstruktur. Metode Delauney triangulation merupakan metode paling populer dibanding metode lain seperti Voronoi. Singkatnya grid tak terstruktur dapat di hasilkan dengan lebih cepat pada domain yang paling kompleks. Penghalusan mesh dapat
dilakukan dengan lebih baik tanpa kesulitan. Namun dalam hal penyimpanan file, grid tak terstruktur membutuhkan lebih banyak memori dibandingkan grid terstruktur.
Grid Adaptif
Semua metode diatas menjelaskan tentang pengetahuan empiris dari bentuk dari solusi persamaan diferensial parsial. Pengetahuan tentang hal ini memaksa kita membuat banyak titik di daerah dengan gradien yang tinggi suatu variabel seperti pada kondisi batas. Solusi yang lebih baik bisa didapatkan bila grid tebakan pertama dapat diadaptasi di skema numerik time marching untuk mengikuti evolusi dari gradien variabel tersebut.
Metode lain
Untuk beberapa masalah dengan kesulitan khusus, ilmuwan telah mengembangkan metode hybrid yang mencakup zona tak terstruktur dan zona terstruktur. Skema hybrid mengambil keuntungan dari kedua metode terstruktur dan tak terstruktur dengan menerapkan grid terstruktur yang menempel koordinat bodi dan grid tak terstruktur di batas luarnya.
Namun tidak ada metode yang cocok digunakan di semua masalah, sebagian besar masih bergantung pada kualitas solusi CFD yang ingin dicapai.
3.2.2. Skema numerik
Untuk melengkapi diskritisasi dari adveksi, variabel φip
ip up
φ =φ + ∇ ∆β φ ι
harus dihubungkan dengan nilai titik dari φ. Skema yang diterapkan di ANSYS CFX memiliki bentuk
Dimana φup adalah nilai titik dari upwind dan ι
adalah vektor dari upwind node ke
integration point (ip).Ketika menggunakan specified blend, ∇φadalah rata rata
dari gradien titik titik yang berdekatan dan ketika menggunakan skema high
resolution ∇φ adalah gradien titik pada upwind node. Pemilihan khusus nilai
β akan memberikan skema lain yang berbeda. 1st Order Upwind Scheme (UDS)
Nilai β =0 adalah nilai untuk first order Upwind Difference. Banyak skema yang dikembangkan untuk CFD yang berdasarkan deret aproksimasi ekspansi seperti deret Taylor, untuk fungsi kotinyu. Semakin banyak bentuk
ekspansi yang digunakan di skema yang berbeda maka semakin akurat juga aproksimasi yang digunakan. Derajat (order) dari skema tersebut merupakan indikasi dari pangkat terbesar yang dipangkas dalam deret ekspansi. Skema 1st Order Upwind sangat handal dan stabil secara numerik dan dijamin tidak akan jauh dari target. Namun skema ini sangat rentan terhadap Difusi numerik atau
‘gradient smearing'.
Numerical Advection Correction Scheme (Specify Blend)
Dengan memilih harga β antar 0 dan , properti difusi dari UDS akan dapat dikurangi. harga β φ ι∇ ∆ disebut Numerical Advection Correction dapat dipandang sebagai anti-diffusive flux yang ditambahkan ke skema upwind. Pemilihan β = secara formal memiliki tingkat akurasi derajat kedua. Kerugian 1 skema ini adalah kurang handal daripada UDS dan kemungkinan timbulnya solusi yang terlalu jauh dari target.
High Resolution Scheme
Skema ini menghitung nilaiβ sedekat mungkin dengan 1 tanpa melanggar prinsip boundedness. Sehingga skema ini akurat dalam hal mengurangi diskontinuitas derajat pertama dan bounded. Kuantitas vektor seperti kecepatan,
βdihitung untuk setiap komponen vektor. 3.2.3. Model turbulensi
Semua aliran yang terjadi dalam dunia engineering baik aliran sederhana seperti semburan 2D, aliran pipa maupun aliran 3D yang lebih kompleks akan menjadi tidak stabil bila memilki Bilangan Reynolds diatas nilai tertentu. Dalam eksperimen pada sistem fluida diketahui bahwa dibawah suatu nilai Bilangan Reynolds tertentu yaitu Bilangan Reynolds kritis (Recrit
Pada nilai diatas Bilangan Reynolds kritis terjadi fenomena kompleks yang berujung pada perubahan radikal dari karakteristik aliran. Aliran menjadi tidak tunak walaupun diterapkan kondisi batas yang tetap. Kecepatan dan properti
) aliran akan smooth. Lapisan-lapisan fluida yang berdekatan akan saling bergerak satu sama lain dalam gerakan yang teratur. Bila diterapkan kondisi batas yang tidak berubah terhadap waktu maka aliran tersebut dinamakan steady atau tunak Sedangkan daerah tersebut dinamakan daerah laminar.
lainnya bervariasi secara acak dan dalam bentuk yang tidak teratur. Aliran ini dinamakan aliran turbulen.
Model turbulensi adalah prosedur komputasional untuk mendekatkan sistem persamaan mean flow sehingga masalah aliran yang bervariasi dapat dihitung. Secara garis besar, model turbulensi digunakan untuk memodifikasi persamaan Navier Stokes unsteady dengan memperkenalkan kuantitas rata rata dan besar fluktuasi untuk menghasilkan persamaan Reynolds Averaged Navier Stokes. Untuk sebagian besar tujuan engineering tidak diharuskan untuk memecahkan secara detail fluktuasi turbulen. Hanya efek dari turbulensi pada mean flow yang akan diperhitungkan. Model turbulensi yang biasa digunakan antara lain :
• Classical model : Berdasarkan persamaan Time averaged Reynolds
1. two-equation model- k− model dan k-ε ω model
2. Reynolds stress equation model (BSL dan SSG)
• Large Eddy simulation : Berdasarkan persamaan space-filtered
Di dalam simulasi dengan ANSYS CFX mode Turbomachinery telah disediakan 4 model turbulensi yaitu k-epsilon, Shear Stress Transport, BSL Reynolds Stress dan SSG Reynolds Stress.
Model k-epsilon
Model ini sangat banyak digunakan dan sudah tervalidasi. Model ini telah berhasil menghitung berbagai macam variasi aliran thin shear layer serta
recirculating flow tanpa menyesuaikan dengan model tiap kasus. Model ini telah
sering dipakai dalam mempelajari aliran seperti dispersi polutan di udara, danau serta asap dari api. Namun model ini memiliki kelemahan dalam menangani masalah swirling flows dan aliran dengan lapisan batas yang melengkung dikarenakan model ini tidak mengandung pengaruh streamline yang melengkung pada turbulensi.
Berikut ini beberpa kelebihan dan kekurangan dari model k-epsilon. Kelebihan :
• Model turbulensi paling sederhana dimana hanya dibutuhkan kondisi batas dan atau kondisi awalnya
• Terbukti kemampuannya dalam menangani aliran di industri • Cukup dipercaya di industri karena telah terbukti (validated)
Kekurangan :
• Membutuhkan biaya lebih daripada model mixing length
• Kemampuan yang kurang dalam menangani : aliran dengan batas batas yang tidak tertentu (unconfined flow), aliran dengan strain yang luas sperti lapisan batas yang melengkung, rotating flow serta fully developed flow di pipa non sirkular.
Model Shear Stress Transport
Salah satu pemasalahan utama dalam memodelkan turbulensi adalah perdiksi yang akurat terhadap separasi aliran di permukaan yang halus. Model turbulen 2-equation sering gagal dalam dalam memprediksi letak awal dan jumlah separasi aliran didalam kondisi adverse pressure gradient. Hal ini adalah fenomena yang penting dalam berbagai aplikasi teknis khususnya aerodinamika pesawat karena karakteristik stallnya diatur oleh separasi aliran pada sayap. Oleh karena itu dikembangkan model yang dapat memprediksi separasi aliran dengan lebih akurat.
Model Shear-Stress-Transport (SST) didesain untuk memberikan akurasi yang tinggi terhadap letak awal dan jumlah aliran dalam separasi didalam adverse
pressure gradient dengan memasukkan efek transport ke dalam formulasi eddy-viscosity. Model ini disarankan untuk simulasi lapisan batas yang akurat. Oleh
karena itu dibutuhkan resolusi yang tinggi pada lapisan batas. Kelebihan :
• Dapat memprediksi separasi aliran dengan lebih akurat di dalam adverse
pressure gradient
• Sangat cocok untuk mendapatkan akurasi tinggi di lapisan batas
• Akurasi dalam menangani komputasi near wall treatment pada bilangan Reynolds rendah
Kekurangan :
• Dibutuhkan grid yang bagus dan rapat di sekitar wall yang berarti dibutuhkan usaha lebih besar pada saat grid generation
Model Reynold Stress
Model turbulensi 2-equations (k-ε dan k-ω) cukup bagus dalam menangani fisik dan karakteristik sebagian besar aliran di dunia industri. Namun dalam aliran
dimana turbulent transport harus diperhitungkan, asumsi eddy viscosity tidak lagi valid sehingga hasilnya pun kurang akurat. Model Reynolds Stress atau Second Moment Closure (SMC) memperhitungkan pengaruh lengkungan streamline , perubahan drastis pada strain rate, secondary flow dibandingkan model turbulensi dengan asumsi Eddy viscosity. Model Reynolds Stress cukup bagus dalam menangani masalah aliran seperti aliran dengan swirl yang kuat temasuk rotating
flow, aliran dengan daerah strain yang kompleks aliran dengan kelengkungan streamline yang tajam maupun bouyant flow.Untuk kasus kasus diatas model
Reynolds Stress memiliki kemampuan prediksi yang lebih baik dibandingkan model Eddy viscosity. Hal ini menjadi justifikasi bagi model Reynolds Stress yang berbasis pada persamaan-persamaan transport untuk komponen individual dari Reynolds stress tensor dan dissipation rate. Hal yang menjadi ciri dari model ini adalah fleksibilitasnya. Konsekuensi dari hal ini adalah adanya kompleksitas yang lebih tinggi dalam memberikan hasil matematis.
Dengan bertambahnya jumlah persamaan transport maka mempengaruhi
robustness dan membutuhkan usaha komputasi lebih. Dibandingkan dengan
model k-epsilon model ini memilki 6 persamaan transport tambahan yang harus dipecahkan. Apabila terjadi kesulitan dalam hal konvergensi maka disarankan untuk menggunakan model berbasis k-ε atau k-ω terlebih dahulu sebelum mencari solusi dengan model Reynolds stress.
Terdapat tiga macam model Reynolds stress yang tersedia di ANSYS CFX yaitu Reynolds Stress Model (LRR-IP), QI Reynolds Stress Model (LRR-IQ) dan SSG Reynolds Stress Model (SSG). Secara umum SSG Reynolds Stress Model merupakan model yang paling akurat diantara ketiganya.
Kelebihan dan kekurangan model ini lebih jelas seperti di bawah ini Kelebihan
• Merupakan model turbulensi klasik yang sangat umum • Hanya membutuhkan kondisi awal dan atau kondisi batas
• Menghasilkan perhitungan yang sangat akurat untuk berbagai kasus yang sederhana dan kompleks seperti aliran dalam pipa non sirkular dan aliran dengan kelengkungan streamline yang tajam
• Biaya komputasi yang sangat tinggi karena bertambahnya persamaan yang harus dipecahkan
