PEMODELAN MASALAH PENUGASAN (ASSIGNMENT PROBLEM) DENGAN KOEFISIEN ONGKOS KABUR

(1)

Majalah I1miah Matematika dan Komputer, April 2006 Nomor I/Tahun XXII ISSN 0216-4728

PEMODELAN MASALAH PENUGASAN (ASSIGNMENT PROBLEM)

DENGAN KOEFISIEN ONGKOS KABUR

Sani Susanto' Dedy Suryadi'

1,2Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri,Universitas Katolik Parahyangan J1. Ciurnbuleuit 94, Bandung - 40141. Tlp/Fax: (022) 232700

[email protected], [email protected] ABSTRAK

Masalah penugasan (MP, assignment problem) sebagai bentuk khusus dari masalah pemrograman linier telah banyak dibahas. Namun demikian, sebagian besar pembahasannya masih didasarkan pada asumsi bahwa besamya ongkos/waktu pengerjaan tugas bersifat tertentu. Tulisan ini membahas MP dalam hal asumsi ini terlanggar, artinya, ongkos/waktu pengerjaan suatu tugas tidak berupa bilangan tunggal , melainkan berupa nilai yang berada padasuatu interval tertentu.

Kata kunci: Masalah Penugasan (Assignment Problem) , bilangan kabur.

PENDAHULUAN koefisien tersebut. Artinya, besar kemungkinan bahwa koefisien-koefisien ongkos

Pada masalah penugasan (MP, assignment itu tidak mengambil nilai berupa sebuah bilangan problem) diberikan sejumlah sumber daya yang saja, melainkan nilainya berada pada suatu interval. dapat mengerjakan sejumlah pekerjaan dengan Jadi, diperlukan suatu pemoC:elan MP yang dapat ongkos total pengerjaan yang diketahui secara mengakomodasi kekaburan koefisien ongkos, agar pasti/tepat. Setiap sumber daya hanya mengerjakan pembahasan MP menjadi lebih realistis. Pemodelan satu pekerjaan, demikian pula sebaliknya. Tujuan MP biasa menjadi MP dengan koefisien ongkos yang dari pemecahan MP adalah menentukan satu kabur dapat dilakukan dengan memodelkan MP ke pekerjaan manakah (dari sejumlah pekerjaan yang dalam masalah pemrograman linier dengan koefisien ada) yang harus dikerjakan oleh seorang pekerja fungsi objektif kabur (MPLKFOK) 0-1 . Model yang (dari sejumlah pekerja yang ada), dan sebaliknya, dihasilkan merepresentasikan pemodelan masalah agar ongkos total pengerj aan menjadi serendah penugasan kabur (MPK).

mungkin. Dalam hal ini, besaran ongkos pengerjaan

dapat digantikan dengan waktu pengerjaan . TINJAUAN PUSTAKA Berdasarkan klasifikasi modellpermasalahan

pada penelitian operasional, MP merupakan bentuk Pada perumusan model MPLKFOK 0-1 untuk khusus masalah transportasi (MT). Adapun MT MPK terdapat beberapa teori yang melandasinya. dapat dimodelkan sebagai masalah pemrograman Teori-teori tersebut meliputi perumusan MP dalam linier bilangan bulat (MPLBB). Dengan demikian, bentuk masalah pemrograman linier (MPL) bersifat MP dapat didekati melalui MPLBB, khususnya crisp, dan konsep bilangan kabur.

MPLBB 0-1 . Masalah Penugasan. MP terbentuk dari adanya

MP yang banyak dibahas dalam literatur hal-hal berikut: terdapat m-buah sumber daya dan n

didasarkan pada asumsi bahwa koefisien ongkos buah pekerjaan, setiap sumber daya dapat pengerjaan diketahu i dengan pasti/tepat. Artinya mengerjakan semua jenis pekerjaan yang tersedia setiap koefisien ini cukup dinyatakan cukup dengan dan setiap pekerjaan boleh dikerjakan oleh semua sebuah bilangan saja. Pada kenyataannya, mungkin sumber daya yang ada, ongkos yang timbul sebagai sekali terjadi kekaburan (juzzyness) pada koefisien- akibat penugasan sumber daya ke-i untuk

(2)

14 SUSANTO & SURY AD!

mengerjakan pekerjaan ke-) adalah sebesar ci) satuan, harus ditentukan penugasan dengan total ongkos terendah sehingga sebuah pekerjaan hanya dikerjakan oleh sebuah sumber daya, dan sebaliknya. MP tersebut dapat dirumuskan ke dalam MPLBB 0-1 sebagai berikut: i em j;n minimasi LLcijxi) (2.1) j;) j;l dengan kendala (2.2) (2.3) X i}

=

0 a/au 1 (2.4)

dimana: Cij, disebut koefisien jungsi objektif (KFO) atau koefisien ongkos yang menyatakan ongkos atau waktu untuk menugaskan sumber daya-i mengerjakan pekerjaan-), Xij bemilai 1 bila sumber daya-i ditugaskan untuk mengerjakan pekerjaan-j

i;:; m j;n dan bemilai 0 bila tidak demikian , L L ci)x i)

i;1 j;l merupakan fungsi objektif dari MP yang menyatakan ongkos total penugasan setiap sumber daya untuk mengerjakan setiap pekerjaan, satu orang pekerja tertentu hanya mengerjakan satu jenis pekerjaan

j =n

tertentu atau

L

xij = 1, satu pekerjaan tertentu j;l

hanya dikerjakan oleh satu orang pekerja tertentu

i=m

atau LXi)

=I, i

= 1

,2,...,m (m

=

jumlah pekerja)

; ;)

danj =1,2,...,n (n = jumlah pekerjaan).

Rumusan MP dengan fungsi objektif (2.1) dibuat berdasarkan asumsi bahwa KFO cij bernilai tentu, yaitu berupa sebuah bilangan tunggal. Pada kenyataannya, seringkali nilai KFO tidak berupa bilangan tunggal, melainkan berada pada sebuah interval. Kenyataan tersebut dapat diakomodasi dengan membangun sebuah model yang baru bagi MP. Model baru itu mengizinkan pelanggaran asumsi ketertentuan KFO Cij dengan

membolehkannya mengambil nilai pada suatu interval. Untuk itu, diperlukan konsep bilangan kabur yang akan dibahas pada bagian berikutnya.

Matematika dan Komputer

Konsep Bilangan Kabur (Susanto dan Adianto, 2005). Konsep bilangan kabur muncul karena sering tidak mungkin digunakan frase tepat sekian, melainkan harus menggunakan frase yang menggambarkan ketidaktepatan, seperti: sekitar sekian, kira-kira sekian, hampir sekian atau kurang lebih sekian. Contohnya, seorang operator dapat menyelesaikan pekerjaan memasang satu kancing baju dalam waktu kurang lebih 15 detik.

Pada Matematika terdapat konsep yang mengakomodasi situasi ketidaktepatan. Konsep tersebut dibangun oleh Lotti Zadeh pada tahun 1965 (Wang, 1997). Nama konsep itu bervariasi, ada yang menyebutnya Fuzzy Logic, Fuzzy Sets, Fuzzy Mathematics. Istilah fuzzy belum mendapatkan keseragaman terjemahan. Beberapa terjemahan tersebut adalah : kabur, tidak tegas, halus . Dalam tulisan ini dipilih padanan kabur untuk kata fuzzy , dan konsep yang akan digunakan, adalah konsep

bilangan kabur ataufuzzy number.

Tinjau A, himpunan bilangan yang sarna dengan 3, jadi A= {3}. Himpunan ini hanya memiliki sebuah anggota, yaitu 3. Himpunan ini dicirikan oleh fungsi berikut, yang disebutfungsi karakteristik dari himpunan A, atau JlA(x) yang persamaannya adalah:

I, jika x

=

3

~

A

(x)

={

0 iik _,_Jl_{a x}

_«

3

Fungsi ini memberikan derajat keanggotaan pada setiap unsur di himpunan semesta. Misalnya, 3 memiliki derajat keanggotaan penuh, yaitu 1, terhadap A. Bilangan 5, 4,2,1 tak memiliki derajat keanggotaan , atau derajat keanggotaannya O.

Bilangan 3.1; 3.01; 3.001; 2.999;2.99;2 .9 nilainya cukup dekat terhadap 3, namun terhadap himpunan A bilangan ini berderajat keanggotaan O. Himpunan yang hanya mengenal dua jenis relasi (anggota atau

bukan anggota) antara suatu unsur dengan suatu himpunan disebut himpunan tegas (crisp set).

Himpunan ini, hanya mengenal dua macam derajat keanggotaan, yaitu keanggotaan penuh (full membership) dengan nilai fungsi karakteristik sebesar 1, serta ketidakanggotaan sarna sekali (full nonmembership).

Berbeda dengan himpunan tegas, himpunan kabur (fuzzy set) , mengenal konsep keanggotaan sebagian (partial membership). Contohnya, bilangan 3.1 atau 2.9 masih mendapat semacam pengakuan

(3)

15

Nomor I, 2006 Matematika dan Komputer

sebagai anggota A, misalnya, masing-masing dengan kabul' segitiga (triangular fuzzy number) dan derajat keanggotaan 0.9. Bila himpunan nilai derajat bilangan kabul' trapesium (trapezoidal fuzzy

keanggotaan himpunan tegas adalah himpunan biner number) (Wang, 1997). Tulisan ini membahas jenis {O;I}, maka himpunan nilai derajat keanggotaan pertama.

himpunan kabur adalah interval tertutup [0,1]. Bilangan kabul' segitiga _{c ij' ditulis}Cjj, dengan Himpunan bilangan yang nilainya sekitar (kira

batas bawah cijdan batas atas C~ didefinisikan oleh

kira, hampir, kurang lebih) 3 adalah contoh

himpunan kabur, disebut bilangan kabul' 3. Ada dua fungsi keanggotaan segitiga berikut: jenis bilangan kabur yang biasa digunakan : bilangan

(X-Cij)/(b-Ci),jikacij :S;x <Cij

Ilc;;

(

x ~ij, Cjj' C~ )

=

(c,j -xy(c,j -Cjj),j ik£Cjj

s

x

:S;C

~

(2.5)

{

O,jikax>c,j _{ataux <cij} Bilangan kabur segitiga Cjj pada (2.5) sering dilambangkan dengan

Cjj = (Cij'Cij'Cj;) (2.6)

Sebagai contoh bilangan kabur segitiga 3, atau 3 ,secara subjektif, dapat didefinisikan melalui fungsi keanggotaan:

2(X- 2.5),jika 2.5:S; x < 3}

3

=

113(x;2.5,3,4) = -(4 -x), jika Ls x

<

4 = (3- ,3,3+) =(2.5, 3, 4) {

O,jika x> 4 atau x

<

2.5

Pada himpunan bilangan kabur segitiga 3, atau 3 , derajat keanggotaan beberapa anggotanya disajikan pada Tabel-l.

ilai deraiat k bit

Tabell. Beb--

-

.-

-- - ----00---.dari--- -h'--- -- -.----_ . ---0---.kab --0---0-3

X 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

fi3(x;2.5,3,4) ₀ _{0.2 0.4 0.6 0.8} ₁ _{0.8 0.6 0.4 0.2} ₀

METODE PENELITIAN

Tinjau Masalah Penugasan (2.1 )-(2.4). Misalkan KFO cij pada (2.1) tidak berupa bilangan tunggal yang tegas (crisp) melainkan berbentuk bilangan kabur (fuzzy), khususnya berbentuk bilangan kabur segitiga Cjj , seperti didefinisikan pada persamaan

(2.5). Untuk itu perlu ditetapkan batas bawah dan batas atas bagi

c

_i_j' _{misalkan saja cjjdan} c~. Jadi

bilangan kabur segitiga Cjj dapat didefinisikan oleh fungsi keanggotaan (2.5). Berikut ini adalah bahasan selengkapnya dari pemodelan MPK serta usulan solusinya .

Pemodelan Masalah Penugasan Kabur. Pengembangan model (2.1)-(2.4) menjadi MPKFOK dapat didekati dengan MPLKFOK 0 1. Perumusan MPLKFOK, dapat dilihat pada (Susanto dan Adianto, 2005), sehingga

(4)

16 SUSANTO & SURY AD!

penerapannya bagi perumusan MPKFOK adalah sebagai berikut:

Langkah-1: Tentukan MP yang akan diubah kedalam

MPKFOK (yaitu, (2.1)-(2.4))

Langkah-Z: Tentukan jenis bilangan kabur bagi KFO

(yaitu, (3.1)) Langkah-3: Tentukan:

a) e=(cll' ..cln;c21 ...c2n;· ...; cil ...cin;....;cml ...cmn)' . yaitu vektor KFO, dengan Cij menyatakan ongkos yang "the most possible" bagi penugasan satu unit sumber daya-i untuk mengerjakan tugas ke:i,

b)

c"

=(C~I ...c~;c;I ...c;n;""; Ci~ ...ci~ ;,,,,;C;I ...c;n)'

yaitu vektor batas bawah KFO, dengan

cij

menyatakan batas bawah ongkos penugasan satu unit sumber daya-i untuk mengerjakan tugas ke

j,

+-(+ + . + + . . + +. . + +)

C) e - cll .. .cln'c21.. .c2n' ....' cil'..cin' ....'cml ...cmn ,

yaitu vektor batas bawah KFO, dengan c; menyatakan batas atas ongkos pengiriman

penugasan satu unit sumber daya-i untuk mengerjakan tugas ke-).

Langkah-4: Rumuskan pemrograman linier bertujuan

majemuk berfungsi objektif

meminimumkan nilai bilangan kabur segitiga sebagai berikut:

minimasiz = (cx.cx,c "x) dengankendala AXiO=,j'h xi~ Usulan Solusi (3.2)

Masalah Penugasan Kabur.

Dalam hal KFO

«,

pada MP (2.1)-(2.4) merupakan bilangan kabur segitiga, maka masalah ini dapat dirumuskan menjadi masalah optimasi (3.2). Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian masalah optimasi (3.2):

Langkah-S: Untuk memecahkan (3.2) ubah masalah

tersebut menjadi:

max ZI = (e - c)», min Z2 = cx.rnin z , = (c ' - e)x

dengan kendala

(3.:)

Ax ~,= , 2:b

x

..

I)

=

0 1 ,

Langkah-6: Untuk memecahkan masalah (3.3) ditempuh sub-langkah berikut ini: Sub-langkah 6-1:

Tentukan nilai-nilai berikut ini:

min • ( -)

Zl

=

nun e-e X (3.4)

xQ ;<={xIAX i ~ . > b,x lj=O,I } v

Z~a x

=

I max (c cjx (3.5)

xO;< ={x IAXI~,2: b,x lj =O,I)

zmax

=

max

ex (3.6)

2

XEX=\xIAX S .=,2: b,x lj=O ,11

min .

Z2

=

min

ex (3.7)

xeX=(xIAxs,=,2:b,x lj= O,11

z~ax

=

,max (c ' - e)x (3.8)

xO ;< =(X IAXi ~ , 2: b,Xij=O,I }

min . ( + )

Z3

=

rrun e - e X (3.9)

xG;<={xlAxjlJ=,2:b,Xlj=O,I }

Sub-langkah 6-2:

(5)

Nomor I, 2006 Matematika dan Komputer 17

o

,

jika (e-e-)x~Z~in (e - e-)x - Zmin . fl (x)=~ .1 jika zmm ~(e-e-)x~zmax (3.10) ZJ 1 max mm' 1 1 Zl -Zl

1 , j ika (e-e-)x;::: z~ax

o

,

jika ex;:::z~ax max Z2 -ex jika zmin ~ cx s z?" (3,11) flZ1 (x)

=

max mm ' 2 2 Z2 -Z2 , jika cx s; z~in

o

,

jika (c" -e)x;:::z~ax

zmax - (e+ - e)x .

3 . jika zmm ~(e+ _ e)x~zmax (3.12)

fl_Z_l(x)

=

_max _mm' ₃ ₃

Z3 - Z3

,jika (c ' -e)x~ Z~in Sub-langkah 6-3:

Definisikan masalah PL berikut ini:

max min{flz (x), flz (x),f.l._{z (x)}} (3.13)

xeX={xIAx 5b.x=O,I) J 1 1

dan definisikan pula

(3.14)

a

=min{flz (X),flz1 , (x),flzl (x)} Sub-langkah 6-4:

Dapatkan masalah berikut (yang ekivalen dengan masalah Sub-langkah 2-3):

max o; (3.15)

dengan kendala

f.l.z

1 (xj

>

o; atau (e-e-)x- cx(z~ax _z~in);::: z~ in (3.16)

f.l. _z1(x j

>«

atau ex + cx(z~ ax - z;in) ~ z~ax (3.17) f.l. z (x);:::cx

1 atau (c ' -e)x+cx(z ~ax _z~in )~z~ax (3.18)

Ax~ ,=,;:::b (3.19)

o

s

e

s

i (3.20)

x i) = 0 atau 1 (3.21)

HASIL DAN PEMBAHASAN tunggal. Masalah ini akan dikembangkan menjadi

MPKFOK dalam hal waktu pengerjaan yang tidak

Untuk memperjelas langkah-Iangkah lagi berupa bilangan bernilai tunggaJ , melainkan

pembentukan dan penyelesaian Masalah Penugasan mengambil nilai pada suatu interval.

dengan Koefisien Fungsi Objektif Kabur Machineco memiliki empat mesin dan empat

(MPKFOK), berikut ini diberikan ilustrasi pekerjaan yang harus diselesaikan. Setiap mesin

numeriknya yang berasal dari masalah Machineco akan ditugaskan untuk meny elesaikan sebuah

(Winston, 2003) sebagai contohnya. Masalah pekerjaan dan sebaliknya. Harus ditentukan

Machineco adalah masalah penugasan dengan KFO penuga san dari setiap mesin yang dimiliki

berupa waktu yang diperlukan oleh sebuah sumber Machin eco, agar total waktu setup yang dibutuhkan

daya untuk mengerjakan pekerjaan tertentu. KFO ini untuk menyelesaikan semua pekerjaan menjadi

(6)

18 SUSANTO & SURY AD! Matematika dan Komputer

menyelesaikan setiapjenis pekerjaan seperti tertera pada Tabel-2 berikut.

T M . k Ti P k .

a etup rap esin untu e

Tb12e Tb1Wka e atu S rap erjaan

Waktu Setup (menit) Mesin

Pekerjaan-l Pekerjaan-2 Pekerjaan-J Pekerjaan-4

Mesin-l 840 300 480 420

Mesin-2 120 720 360 300

Mesin-3 420 480 180 540

Mesin-4 120 240 360 600

min z

=

14xII + 5xI2 + 8x\3 + 7XI4 + 2X21 + 12xn + 6X23 + 5x24 + 7X31 + 8 X32 + 3X33 + 9X34 + 2X41 + 4X42 + 6X43 + lOXM dengan kendala XII+ XI2+ X\3+ Xl4

- -- -

-

_n

C 23 C 24 C31 c32 cn C 34 C41 C42 C43 C44 )

== (S40 300 4S0 420 120 720 360 300 420 4S0 ISO 540 120 240 360 600)

CII = 840 = (840- 840 840+)= (800 840 920)= (C~I C0_{II C;I)} CI2 = 300 = (300- 300 300+)= (270 300 330)=(C~2 c012 C;2) -= 480 -= (480- 480 480+)= (450 480 540)= (C~3 0 C;3) c₁₃ -CI3 CI4 = 420 = (420- 420 420+)=(390 420 480)= (C~4 C0_{I4 C;4 )} -C21= 120 = (120- 120 120+)= (l00 120 140)= (C;I C021 C;I) C22 = 720 = (720- 720 720+) = (680 720 800) = (C;2

c

0

_n

C;2 ) - -c_n= 360 = (360- 360 360+)= (330 360 390)= (C;3 c0_B C;3 )

(8)

-

--

-20 SUSANTO & SURYADI Matematika dan Komputer

C24 = 300 = (300- 300 300+)= (270 300 330)= (C;4 _C240 C;4 ) = 420 = (420- 420 420+)= (390 420 450)= (C~l 0 C;I) C31 C31 = 480 = (480- 480 480+)=(450 480 540)= (C~2 0 C;2 ) c₃₂ c32 -c 33 = 180 = (180- 180 180+)= (160 180 200)=(C~3 _C330 C;3 ) -540 = (-540- 540 540+)= (520 540 600)= (C~4 C;4 ) C34 = C0₃₄ C41 = 120 = (120- 120 120+)= (100 120 140)= (C;l C041 C;I) C42 = 240 = (240- 240 240+)= (210 240 270)= (C;2 C0_{42 C;2)} -C43 = 360 = (360- 360 360+)= (330 360 390)= (C;3 C0_{43 C;3 )} C44 = 600 = (600- 600 600+)= (580 600 660)= (C;4 _C0₄₄ C;4 )

C- =(C;I _C;2 _C;3 _{C;4 C;I C;2} _C;₃ _{C;4 C;I} _C;₂ _C;3 _C;₄_C~ I C~2 C~3 C~4 )

=(800 270 450 390 100 680 330 270 390 450 160 520 100 210 330 580) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 o ( 0 C = CII _{CI2 C13 C14 C2\ C22 C23 C24 C31 C32 C33 C34 C41 C42 C43}

C~4

) =(840 300 480 420 120 720 360 300 420 480 180 540 120 240 360 600) + (+ + + + + + + + + +

C = CII _{CI2 Cl3 C;4 C;I Cn C};3 C24 C31 C32 C;3 C34 C41 C42 C;3 C;4 )

=(920 360 540 480 140 800 390 330 450 540 200 600 140 270 390 660)

Langkah-A: Untuk kasus Machineco didapatkan masalah berikut:

minimasi z = 800XII + 270XI2 + 450Xl3 + 390XI4 + 100X21 + 680xn + 330X23+ 270X24 + 390X31+

450x32 + 160x33+ 520x34 + 100~1 -t 210~2 + 330~ 3 + 580~4, 840XII + 300x12 + 480x13 + 420XI4 + 120x21 + nOxn + 360X23 + 300X24 + 420X31 + 480X32 + 180x33 + 540x34+ 120~1 + 240~2 + 360~3 + 600~4, 920XII + 360x12 + 540X13 + 480XI4 + 140X21 + 800X22 + 390X23 + 330X24+ 450X31 + 540x32 + 200X33 + 600X34 + 140~1 + 270~2 + 390~3 + 560~4' dengan kendala: Xll+ X12+ XI3+ XI4 = 1 X21+ X22+ X23+ X24 = 1 X31+ X32+ X33+ X34 = 1 ~I+ ~2+ ~3+ ~4 = 1 XII+ X21+ X31+ ~I = 1 X12+ X22+ X32+ ~2

=

1 X13+ X23+ X33+ ~3 = 1 X14+ X24+ X34+ ~4 = 1 Xij

=

0 atau Xij

=

I

Langkah-Iangkah Penyelesaian MPLKFOK

Langkah-S: Untuk Machineco didapatkan:

max ZI = 40Xl1 + 30XI2 + 30x13 + 30X14 + 20X2\ + 40X22 + 30X23 + 30X24 + 30X31 + 30X32 + 20X33 + 20X34 + 20~1 + 30~2 + 30~3 + 20~4

min Z2 = 840xII + 300XI2 + 480x13 + 420Xl4 + 120x21 + nOxn + 360X23 + 300X24 + 420X31 + 480xn + 180x33 +

540x34 + 120~1 + 240~2 + 360~3 + 600~4

min Z3 = 80XII + 60XI2 + 60XI3 + 60XI4 + 20X21 + 80X22 + 30X23 + 30X24 + 30X31 + 60xn + 20X33 + 60X34 + 20~1

+ 30~2 + 30~3 + 60X44

(9)

Nomor 1, 2006 Matematika dan Komputer 21

= max (40xl 1+30x12 +30xl3+30x14 +20x21 +40x22 +30x23+30x24 + 30x31+30x32 +

xOl'=lll AXj(}" ,;' b,x;J= O,1l

20x33 +20x34 +20x41+30x42 +30x43 +20x 44) =130

z~ jn

=

min (c v c)»

xO?:= [x IAXj(}",> b, xij =O,I}

= min (40xl 1+30x12+30x 13 +30x14 +20x21+40x 22+30x23 +30x 24 + 30x31 +30x 32+

xO?:={xIAX jU;o,;, b,xij=O,1l

20x33 +20x34 +20x4 1+30x4 2 +30"'43 +20X44 )= 20

z min _min _CX

2

xeX={xIAX$,=,;' b,x'j= O,I }

=

min

(840xII+300x12+480x13 +420x14+120x21 + 720x 22+360x23 +

l Ol'=lx lAx jU;o ,? b , Xij= O, I}

300, 24 + 420, 3I+ 480x 32 +180x33 + 540,34 + 120x 41 + 240x42 + 360x 43+ 600,44) = 900 z ~ax

=

max cx

xeX =! xij =O,l }

= _ max (S 40x l l + _{300x 12 +4S0xl3 +420x 14}+ 120x2 1 + 720 x _{22 +360x23 +} x..Jl'=[x!Ax ,l.k',;' b,x=O,l) 300x24 +420x_{3 1}+4sox32 +ls ox 33 +S40x 34 +120x _{4 1 +}240x42 +360x_{43 +600}x44 )= 24 60 = 24 60 zmin 3 = . min (c + - c)X xOl'=lx lAx i~= ,;'b , x JJ = O.11

= min (soxi l +60x12 +60x₁₃+60x_{14 +20x 2}₁+sox22 +30x2 3+30x _{24 +}

xOl' ={xlAx,l.k',;' b,l JJ = O,I }

30x _{3 1}+60x32 +20x33 +60x34+20x 4 1 +30x42 +30x43 +60x4₄₎₌₁₃₀

z max

=

max (c ' -c)x

3 _x_{Ol' ={x}I _{AXjl.k',;' b,x}~ _IJ=O,1l

= . max (soxl 1 +60x 12 +60x ₁₃+60x14 +20x2 1+sox22 + 30x 23 + 30x24 + 30x3 1 +

xOl'=!xIAx,l.k',;' b,x IJ = O,I )

60x32 +20x33 +60x34 +20x 41+_{30x 42 +30x43 +60x44)} = 25 0

(10)

22 SUSANTO & SURY AD! Matematika dan Komputer

Untuk kasus Machineco didapatkan:

0 , jika (c - c-)x~20 Jl (x)= (c-c-)x-20 ,jika

20~(c-c-)x~130

z, 110 1 ,jika (c - c-)x~ 130

1

0 , jika cx~1500 Jlz (x)= 2460-cx ,jika

900~cx~2460

2 _{ 1560 1 , jika cx

s

900 0 , jika (c+ -c)x~130 250 - c" - C x Jl (x) = _z ( ) ,jika 130

~(c+

-

c)x~250

120 J 1 , jika (c' -c)x~ 130

1

Sub-langkah 6-3:

Definisikan MPL berikut ini:

max mm {J.L z, (x), Jl Z 2 (x), Jl ZJ (x)

J

IeX = { I IAI ~,=, ~ b,I II = 0, I} dan

Sub-langkah 6-4:

Untuk kasus Machineco didapatkan masalah:

maxa dengan kendala:

(40x 11+30X11 +30x13 +30X 14 +20x 21+40X 22 +30X23 +30X 24 +

30x₃₁₊₃₀_X32_{+20X 33 +20X}₃_{4 +20x 41+30X 42 +30X 4}₃+ 20 x44)-110a~20

(S40x II + 300X12 + 4S0XI3 + 420XI4 + 120x 21 + nOX n + 360X23 + 300X24 +

420x₃_1+4S0X₃₂+_lSOx33+540_X34_{+120x 41 +}2_{40X42 + 360}_X43+600x44)+1560a~2460 (SOX_{11 +60X}₁₂+60x₁₃ _{+60X 14 +20}_{x 2}_1+SOX_n+30X₂₃+30X₂₄+ 30x ₃_{1 +60X 3}₂_{+20X 33 +60X}₃_{4 +20x 41 +30X 42 +30X}₄_{3 +60X 44)+}120a~250 O~a

s

1 XII+ X1 2+ X1 3+ XI4 = I X21 + Xn+ X23+X24 = 1 X31+ X32+X33+X34 = 1 X41+ X42+ X43+ X44 = 1 X11+ X21+ X31+ X41= 1 X1 2+ X22+ X32+ X42 = 1 X\3+ X23+ X33+ X43 = 1 X14+ X24+ X34+ X44 = 1 Xij = 0,1

Interpretasi Penyelesaian MPLKFOK. Dengan bantuan perangkat lunak WinQSB didapatkan solusi

terhadap MPLKFOK pada sub-Iangkah 6-4 pada Bab 4.2 sebagai berikut:

ex = 0.n73

(11)

Nomor 1,2006 Matematika dan Komputer 23

X21 =0, X22 =0, X23 =0, X24 =1, X31 =0, X32 =0, X33 = 1, X34=

°

X4\ = I, X42 =0, X43 =0, X44= 0,

Artinya Machineco disarankan untuk melakukan penugasan kerja mengikuti Tabel-3 berikut. -p K '- k Mach' ---- -

Tabel-3 S- _.~- ----0--- ---

_.~---Mesin Pekeriaan-I Pekeriaan-Z Pekeriaan-J Pekeriaan-4

Ilz (x) = Ilz (15,0,0,20,17.5,2.5,30,0,12.5,17.5,0, I0,45,20,30,30) = 1

1 1

sehingga dari definisi pada Sub-Iangkah 6-3 didapatkan nilai

a=min{llz (x),llz (x),llz (x)}= min{0.7273,0.9167,1} = 0.7273

l 2 1

Interpretasi terhadap nilai

a

diberikan setelah pembahasan hal berikut ini. Selanjutnya dari Langkah-5 akan didapatkan nilai-nilai:

max Zl = 40Xll + 30X12 + 30X\3 + 30Xl4 + 20X21 +40X22 + 30X23 + 30X24 + 30X31 + 30X32 +

20X33 +20X34 +20X41 + 30X42 + 30X43 +20X44 = 100 menit

min Z2 = 840XII + 300X\2 +480X13 +420X14 + 120X21 + 720X22 + 360X23 + 300X24 +

420X31 +480X32 + 180X33 + 540X34 + 120X41 +240X42 + 360X43 + 600X44 = 1030 menit min Z3 = 80XII + 60XI2 + 60X13 + 60Xl4 +20X21 + 80X22 + 30X23 + 30X24 + 30X31 + 60X32 +

20X33 + 60X34 +20X41 + 30X42 +30X-<3 +60X44 =130 menit Artinya, bila saran seperti tertera pada Tabel-3

diikuti oleh Machineco, maka di tengah ketidakmenentuan waktu setup mesin, waktu setup maksimum yang dihabiskan Machineco dijamin akan berkisar antara: batas bawah = Z2 - ZI = 1030 - 100 = 930 menit batas atas = Z2 + Z3 = 1030 + 130 = 1160

menit. Meski demikian, waktu setup maksimum yang bersifat paling boleh jadi (the most possible, the most likely) adalah sebesar-besamya 1030 menit.

Di atas telah didapatkan nilai a = 0.7273, nilai ini berkaitan dengan nilai waktu setup maksimum

sebesar 1030 menit. Artinya "derajat keboleh-jadian" terhadap perolehan solusi yang berkaitan dengan

waktu setup maksimum ini adalah 0.7273. Sebagai perbandingan, "derajat kebolehjadian" bagi tercapainya skenario waktu setup terburuk (the worst case) sebesar 1160 menit, adalah 0. Sementara, "derajat kebolehjadian" bagi tercapainya skenario

waktu setup terbaik (the best case) sebesar 930 menit, adalah I.

PENUTUP

Berdasarkan pembicaraan sebelumnya, berikut ini dapat disampaikan beberapa butir kesimpulan dan saran, terutama saran yang berkaitan dengan potensi penelitian selanjutnya.

Simpulan. Langkah-langkah Pemodelan dan Penyelesaian Masalah Penugasan dengan Koefisien Ongkos berbentuk Bilangan Kabur Segitiga telah diuraikan pada Bab 3.1-3.2. Langkah-Iangkah tersebut merumuskan Masalah Penugasan kedalam MPLBB 0-1, kemudian adanya koefisien ongkos yang kabur menjadikan terbentuknya MPLKFOK 0

I. Pencarian solusi dilakukan dengan cara mengubah MPLKFOK 0-1 menjadi MPLBB biasa.

(12)

24 SUSANTO & SURYAD!

Masalah Penugasan Kabur memiliki keunggulan atas Masalah Penugasan biasa. Keunggulan itu terletak pada kemampuannya untuk mengakomodasi kasus koefisien ongkos tidak lagi berupa bilangan tunggal melainkan mengambil nilai pada suatu interval. Kemampuan mengakomodasi kasus ini menjadi penting, karena seringkali pada realitanya koefisien ini dinyatakan dalam frase-frase yang bersifat subjektif, seperti "sekitar", "kira-kira", "hampir" atau "kurang lebih".

Saran. Tulisan ini membahas pemodelan dan penyelesaian Masalah Penugasan dengan Koefisien Objektif berbentuk Bilangan Kabur Segitiga. Dari bahasan ini dapat disampaikan beberapa butir saran penelitian lebih lanjut berikut ini: Pemodelan dan Penyelesaian masalah serupa untuk kasus koefisien ongkos berupa bilangan kabur jenis lain, seperti bilangan kabur trapesium, bilangan kabur bahu kiri,

bilangan kabur bahu kanan dan lain-lain;

Penyusunan analisis sensitivitas serta bentuk dual dan analisis lebih lanjut dari Model Penugasan Kabur.

DAFTAR PUSTAKA

Susanto S dan Adianto H. Pemodelan dan Penyelesaian Pemrograman Linier dengan Koefisien Fungsi Objektif Berbentuk Bilangan Kabur Segitiga.

Jurnal Ekonomi dan Komputer. Lembaga

Penelitian Universitas Gunadarma. Nomor 2/Tahun XIII. hal 85-93.2005.

Wang L X. A Course in Fuzzy Systems and Control. Prentice Hall International. London. 1997.

Winston W L. 2003. Operations Research: Applications and Algorithms. Ed ke-4. International Thomson Publishing. California. 2003.