1. Ilustrasi. Materi 2 Pendugaan Parameter

Materi 2

Pendugaan Parameter

2

1. Ilustrasi

• Inferensia Statistika :

Mencakup semua metode yang digunakan untuk penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi dengan melakukan pengambilan sampel (sampling)

• Estimasi / Pendugaan Parameter

– Yaitu penentuan nilai suatu parameter populasi berdasarkan nilai dari statistik sampel.

– Sedangkan statistik sampel yang digunakan untuk menduga nilai suatu parameter populasi disebut ‘estimator’

• Prosedur Pendugaan Parameter:

1. Menentukan sebuah sampel

2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan dari tiap anggota sampel 3. Menghitung nilai statistik sampel

4. Menghubungkan nilai statistik sampel dengan parameter populasi • Suatu nilai x, hasil hitung dari contoh yang berukuran n, merupakan nilai

3

Parameter Populasi Estimator

Rata-rata, µ x

Beda Rata-rata 2 populasi, µ1 - µ2 x1 - x2

Simpangan baku,  s

• Penduga Tak Berbias : bila statistik x memiliki nilai yang sama dengan nilai parameter populasi, µx

µx = E(x)

• Penduga Paling Efesien : memiliki nilai ragam /simpangan baku terkecil

₁ < ₁  x1 merupakan penduga yang lebih efisien dibanding x2

untuk nilai µ

• Margin Kesalahan :

Ketika diperoleh nilai penduga bagi suatu nilai parameter, perlu dihitung ‘Margin of Error’

Margin of Error = 1.96 .



x atau 1.96 . sx

dimana, sx= nilai penduga bagi



x  sx= s/√n dan



x=



/√n

4

2. Selang Pendugaan

• Suatu selang pendugaan bagi parameter populasi x

x

1

< x < x

2



x

1

dan

x

2

tergantung nilai statistiknya dan juga

pada sebaran penarikan sampel

Jika simpangan baku



_x

besar, maka selang pendugaan juga harus

besar

• Selang pendugaan yang didasarkan pada tingkat kepercayaan

disebut

‘selang kepercayaan’

p (x

1

< x < x

2

)

=

(1 - ) . 100%



untuk 0

< < 1

dimana, (1 - ) = koefesien/derajat kepercayaan

= significance level

• Makin besar selang kepercayaan (%)



makin yakin bahwa selang

5

3. Selang Pendugaan Rata-Rata

µ

: Sampel Besar

• Dalam suatu sampel yang berukuran besar, dimana n ≥ 30, digunakan

distribusi normal baku z untuk menghitung selang kepercayaan µ



Teori

Batas Pusat

• x = atau sx =

Dengan sampel besar, x merupakan penduga yang akurat bagi µ

n σ μ -x n σ n σ p(-z /2 < z < z/2) = 1 - dimana p(-z /2 < < z/2) = 1 - p( x-z_/2 . < µ < x +z_/2 . ) = 1 - n σ μ -x = z n s n σ

Jadi, selang kepercayaan bagi µ, adalah :

– x ± z/2 .  Jika  diketahui

– x ± z/2 .  Jika  tidak diketahui

µ 0 z x - z _{ /2}  /2  /2 z  /2 n σ n s 6 • Contoh:

Suatu perusahaan penerbitan melakukan penelitian ttg harga buku ‘Pengantar

Statistika’ terbitannya yang tersebar di pasaran. Didapatkan 36 sampel dengan rata-rata harga $48.40. Telah diketahui bahwa simpangan baku untuk seluruh buku $4.50.

a. Berapa titik penduga untuk rata-rata harga semua buku yang beredar? Dan berapa margin kesalahan untuk penduga tersebut?

b. Buat rata-rata harga buku tersebut dengan selang kepercayaan 90%. Penyelesaian:

n = 36, x = $48.40, dan



= $4.50 Maka,

_x = = = $ 0.75

a. µ = x = $48.40

Margin of error titik µ = 1.96 . x = 1.96 * 0.75

= $ 1.47 n σ 36 4.50 b. p ( x-z/2 . < µ < _n x+ z/2. ) = 1 - = 0.9 σ n σ

7 n

σ 1 - = 0.9

= 1 - 0.9 = 0.1  /2 = 0.05

Nilai Z/2 dimana luas daerah di bawah kurva

sebelah kiri 0.05 = 1.65 (Tabel Distribusi Normal Z) Maka, harga buku rata-rata dengan selang kepercayaan 90%, adalah: µ = x ± z/2 . _{= 48.40 ± (1.65 * 0.75)} = 48.40 ± 1.24 = 47.16 s/d 49.64 Atau $ 47.16 < µ < $ 49.64

Yang berarti bahwa dengan selang/tingkat kepercayaan 90%, rata-rata harga buku yaitu $ 47.16 s/d $ 49.64 µ 0 z x  /2 = 0.05 0.05 0.95 8

4. Galat & Ukuran Sampel Dalam Pendugaan

µ

• Bila x digunakan untuk menduga µ, maka dengan tingkat kepercayaan (1- )._100%,

galat pendugaan maksimum, e adalah:

e = z/2 . atau e = z/2 . s_n n

σ

• Sering kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus diambil, agar galat pendugaan µ tidak melebihi suatu nilai e. Dalam hal ini jumlah sampel n, adalah:

z/2 .

E

2

n =

adalah simpangan baku populasi, bisa diturunkan dari s sebagai

9

4. Selang Kepercayaan Bagi Pendugaan

µ

Pada

Sampel kecil

• Dalam suatu sampel yang berukuran kecil, dimana n < 30; simpangan baku



tidak diketahui; dan distribusi mendekati normal untuk menghitung selang kepercayaan µ  digunakan ditribusi sampel t

n s μ -x n s n s μ -x = T µ 0 T x - T_{ /2}  /2  /2 T /2 n s

• Selang kepercayaan (1 - )100% bagi µ :

p(-T_/2 < T < T_/2) = 1 -

P(-T/2 < < T/2) = 1 -

p( x-T/2 . < µ < x +T /2 . ) = 1 -

T/2 adalah nilai T dengan derajat bebas

df = n-1 yg di sebelah kanan terdapat daerah seluas /2

10

• Contoh:

Dr John ingin memprediksi rata-rata tingkat kolesterol untuk semua orang dewasa di sebuah kota. Ia mengambil 25 laki-laki dewasa sebagai sampel dan menemukan rata-rata tingkat kolesterol sampel tersebut yaitu 186 dengan simpangan baku 12. Jika diasumsikan tingkat kolesterol untuk semua laki-laki dewasa di kota tersebut terdistribusi normal, tentukan selang kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi

µ

.

Penyelesaian:

n = 25, x = 186, dan s = 12

df = n -1 = 25 -1= 24



Tabel distribusi T df = 24; /2 = 0.025



T = 2.064

Selang kepercayaan bagi µ adalah:

= p( x-T/2 . < µ < x +T/2 . )

= 186 – 2.064 . _{< µ < 186 + 2.064} . _{= 181.05 < µ < 190.95}

Jadi dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata kolesterol untuk semua laki-laki dewasa di sebuah kota (A) terletak berkisar antara 181.05 s/d 190.95

µ 0 T x -2.064 0.025 0.025 2.064 0.4750 0.4750 25 12 n s n s 25 12

11

6. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan Rata-Rata

2 Populasi

A. Bila 2 buah sampel berukuran n1 dan n2 diambil dari 2 populasi yang besar, dgn µ1

dan µ2, maka beda kedua nilai rata-rata sampel akan mendekati sebaran normal.

µx1 – x2 = µ 1 - µ 2 dan x1 – x2 = Sehingga:

)

n

/

(σ

+

)

n

/

(σ

)

μ

-(μ

-)

x

-(x

=

z

2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1

n

σ

+

n

σ

• Contoh soal:

Televisi merek A dengan umur rata-rata 6.5 tahun dan simpangan baku 0.9 tahun. Sedangkan merek B, dengan µ = 6 tahun dan = 0.8 tahun. Berapa peluang bahwa sebuah sampel acak yg terdiri 36 TV merek A memiliki umur 1 tahun lebih lama daripada rata-rata sampel dengan 49 TV merek B?

12 Populasi A µ1 = 6.5 1 = 0.9 n1 = 36 • Penyelesaian:

Distribusi sampling x

A

-x

B

:

µ_{xA – xB} = 6.5 – 6.0 = 0.5 xA – xB = (0.9/√36) + (0.64/√49) = 0.189

Yang ditanyakan adalah P(

x

A

-x

B

≥ 1.0)……?

P(x_A-x_B ≥ 1.0) =P(Z ≥ 2.65) = 1 – P(Z < 2.65)  Lihat Tabel Z = 1 – 0.9960 = 0.004

Populasi B µ1 = 6.0 1 = 0.8 n1 = 49

)

n

/

(σ

+

)

n

/

(σ

)

μ

-(μ

-)

x

-(x

=

z

2 2 1 1 2 1 2 1

2.65

=

0.189

0.5

-1.0

=

z

µ = 0.5 0 Z xA-xB 0.0040 2.65 0.9960

13

• Selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi µ 1 - µ 2 adalah :

)

n

σ

+

n

σ

(

z

±

)

x

-(x

2 2 1 1 2 α 2 1 • Latihan soal:

Berdasarkan laporan Biro Statistik USA, pada tahun 1993 pekerja bagian konstruksi gaji rata-rata mingguan $551, sedangkan pekerja bagian manufaktur sebesar $487. Rata-rata gaji mingguan tersebut dihitung dari sampel acak yang masing-masing terdiri dari 500 dan 700 pekerja. Jika diasumsikan simpangan baku populasi masing-masing adalah $66 dan $60, maka:

a. Hitunglah nilai penduga bagi (µ1 - µ2)

b. Dengan selang kepercayaan 95%, tentukan beda nilai rata-rata gaji mingguan untuk dua populasi di atas !

Z_/2 adalah variabel normal baku yang luas daerah disebelah kanan sebesar /2

)

n

s

+

n

s

(

z

±

)

x

-(x

2 2 1 1 2 α 2 1 atau 14 • Penyelesaian:

Diasumsikan:



populasi 1 = bagian konstruksi; populasi 2 = bagian manufaktur

– n1 = 500, x1 = $551, 1 = $66

– n₂ = 700, x₂ = $487, ₂ = $60

a. Nilai penduga bagi (µ 1 - µ 2) = x1 – x2

= $551 – $487 = $64 b. Tingkat kepercayaan (1- ) = 0.95



= 0.05



/2 = 0.025 Z _/2 = 1.96 maka,

)

700

60

+

500

66

(

1.96

±

487)

-(551

)

n

σ

+

n

σ

(

z

±

)

x

-(x

2 2 1 1 2 α 2 1

=

$71.30 sampai $56.70 = 7.30 ± 64 =

Jadi dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dikatakan bahwa beda rata-rata gaji mingguan untuk semua pekerja bagian konstruksi dan manufaktur adalah antara $56.70 dan $71.30

15

B. Bila ukuran sampel kecil (n1 dan n2 < 30), diambil dari 2 populasi yang

terdistribusi (mendekati) normal, dan 1 = 2 tidak diketahui, maka selang

kepercayaan (1 - ) 100% bagi µ 1 - µ 2 adalah :

dimana,

)

2 1 p 2 α 2 1

n

1

+

n

1

(

.

s

T

±

)

x

-(x

2

-n

+

n

1)s

-(n

+

1)s

-(n

=

s

2 1 2 2 2 2 1 1 p

S_p = nilai dugaan gabungan

simpangan baku dua populasi

s1 dan s2 adalah ragam dari dua sampel

T/2 = nilai T dengan df = n1+ n2 – 2, yang luas daerah di sebelah kanan

sebesar /2

)

n

1

+

n

1

(

S

)

μ

-(μ

-)

x

-(x

=

T

2 1 p 2 1 2 1

)

n

1

+

n

1

(

s

=

s

2 1 p x2 -x1



16 • Contoh:

Diketahui populasi 1 dan populasi 2, masing-masing diambil sampel, dengan rincian:

– n1 = 15, x1 = 80 miligram, s1 = 5 miligram

– n2 = 12, x2 = 77 miligram, s2 = 6 miligram

Jika kedua populasi menyebar normal, dengan simpangan baku populasi

adalah sama, t

entukan selisih rata-rata antara dua populasi dengan tingkat kepercayaan 95%!

Pertama, hitung simpangan baku

x

1

- x

2

:

Penyelesaian:

Diketahui populasi 1 dan populasi 2, masing-masing diambil sampel, dengan rincian:

– n₁ = 15, x₁ = 80 miligram, s₁ = 5 miligram – n₂ = 12, x₂ = 77 miligram, s₂ = 6 miligram

2

-n

+

n

1)s

-(n

+

1)s

-(n

=

s

2 1 2 2 2 2 1 1 p

₁₅

₊

₁₂

_-

₂

=

5.4626

1)6

-(12

+

1)5

-(15

=

2 2

2.1157

=

)

12

1

+

15

1

(

5.4626

=

s

_x1-x2

17

Kedua, tentukan nilai T/2 dari tabel distribusi T :

1- = 0.95  = 0.05  /2 = 0.025 df = n1 + n2 – 1 = 15 + 12 – 2 = 25

Nilai T dengan df = 25 dan 0.025 luas daerah kanan dibawah kurva distribusi T = 2.060.

Sehingga : x2 -x1 2 α 2 1

-

x

)

±

T

s

(x

=(80-77)± 2.060(2.1157) 7.36 sampai 1.36 -= 4.36 ± 3 = 18

C. Bila ukuran sampel kecil (n1 dan n2 < 30), diambil dari 2 populasi yang

terdistribusi (mendekati) normal, dan ₁ ≠ ₂ tidak diketahui, maka selang

kepercayaan (1 - ) 100% bagi µ 1 - µ 2 adalah :

)

2 2 1 1 2 α 2 1

n

s

+

n

s

(

T

±

)

x

-(x

dimana T_/2 = nilai T yang luas daerah di sebelah kanan sebesar /2 dan derajat

bebas (df): x2 -x1 2 1 2 1

S

)

μ

-(μ

-)

x

-(x

=

T

)

n

s

+

n

s

(

=

s

2 2 1 1 x2 -x1



2 2 2 1 2 1

n

s

+

n

s

2 1 2 1

n

s

2

1

-n

₁ 2 2 2

n

s

2

1

-n

₂ + df = dan

19

7. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan Proporsi

• Proporsi populasi, dinotasikan sebagai p  menunjukkan rasio jumlah elemen suatu populasi yang memiliki karakteristik tertentu dengan jumlah total elemen populasi tersebut

N

x

=

p

x = jumlah elemen populasi dengan karakteristik

tertentu

N = jumlah total elemen populasi

• Proporsi sampel, dinotasikan sebagai p  menunjukkan ratio jumlah elemen suatu sampel yang memiliki karakteristik tertentu dengan jumlah total elemen sampel tersebut

n

x

=

p

x = jumlah elemen sampel dengan karakteristik

tertentu

n = jumlah total elemen sampel

• Contoh :

Misal terdapat 789654 keluarga di kota Depok, dan 563282 dari keluarga tersebut sudah memiliki rumah sendiri ………

20

• Seperti rata-rata x, proporsi sampel p juga merupakan variabel acak yang memiliki distribusi peluang yang disebut distribusi sampling

0.71

=

789654

563282

=

N

x

=

p

N = ukuran populasi = 789654

x = keluarga yg sudah memiliki rumah sendiri = 563282

Sehingga :

Proporsi semua keluarga di Depok yang sudah memiliki rumah sendiri :

Kemudian, jika diambil sampel acak sebanyak 240 keluarga, dan ternyata ada

158 keluarga yang sudah memiliki rumah, maka :

n = ukuran sampel = 240

x = keluarga dari sampel yg sudah memiliki rumah = 158

=

0.66

240

158

=

n

x

=

p

Contoh : Sebuah konsultan memiliki 5 staf. Tabel berikut adalah daftar 5 staf &

21 Nama Mengerti Statistika

Ali Ya

John Tidak Susan Tidak

Lee Ya

Tom Ya

Dari populasi ini, proporsi staff yang mengerti statistika :

p = 3/5 = 0.60

Jika diambil sampel berukuran 3 dari populasi tersebut, maka akan dihasilkan 10 kemungkinan kombinasi sampel. ∑Sampel =

( )

5 3 10 ! 3) -(5 ! 3 ! 5 _

 Sampel Proporsi yang Mengerti Statistika ( p )

Ali, John, Susan 1/3 = 0.33

Ali, John, Lee 2/3 = 0.67

Ali, John, Tom 2/3 = 0.67

Ali, Susan, Lee 2/3 = 0.67

Ali, Susan, Tom 2/3 = 0.67

Ali, Lee, Tom 3/3 = 1.00 John, Susan, Lee 1/3 = 0.33 John, Susan, Tom 1/3 = 0.33 John, Lee, Tom 2/3 = 0.67 Susan, Lee, Tom 2/3 = 0.67

p f 0.33 3 0.67 6 1.00 1 ∑f = 10 p P( p) 0.33 3/10 = 0.30 0.67 6/10 = 0.60 1.00 1/10 = 0.10 ∑P( p ) = 10 22

• Untuk n yang besar (n ≥ 30) sebaran bagi pterdistribusi mendekati normal dengan rata-rata dan simpangan baku :

P (p1 < p < p2 ) =P (z/2 < z < z/2 )= (1 - )

n

p.q

=

σ

dan

p

=

μ

p p p σ p p = Z  q = 1 – p ; dimana

Selang kepercayaan bagi p :

σ

.

z

p

p

σ

.

z

-

p

p 2 p 2 α α

<

<

+

• Contoh :

Berdasarkan laporan Biro Sensus USA, 86% dari seluruh keluarga di New York, memiliki kendaraan roda 4. Jika p adalah proporsi suatu sampel acak berukuran 120 keluarga yang memiliki kendaraan roda 4, tentukan peluang bahwa nilai p adalah antara 0.88 dan 0.92.

n

p.q

=

s

dengan

diduga

bisa

σ

p p

23

µp = 0.86

• Penyelesaian :

Diketahui : p = 0.86 dan q = 1 – 0.86 = 0.14

 p adalah proporsi seluruh keluarga yang memiliki kendaraan roda 4

Ditanyakan : P(0.88 < p < 0.92)…? 0.0317 = 120 4) (0.86)(0.1 = n p.q = σ dan 0.86 p = μ_p = _p 0 z p p= 0.0317 1.89 0.2349 0.92 0.88 0.63 0.63 = 0.0317 0.86 0.88 = σ p p = z 0.88 = p Untuk p 1.89 = 0.0317 0.86 0.92 = σ p p = z 0.92 = p Untuk p

Sehingga, peluang bahwa p antara 0.88 dan 0.92 ditunjukkan dengan luas daerah dibawah kurva normal baku antara z = 0.63 dan z = 1.89 P(0.88 < p < 0.92) = P(0.63 < z < 1.89) = P(0 < z < 1.89) - P(0 < z < 0.63) = 0.4706 – 0.2357 = 0.2349 24 • Contoh :

Berdasarkan hasil pooling terhadap 500 wanita, diperoleh informasi bahwa sebanyak 79% dari mereka dapat melakukan pemeriksaan terhadap oli kendaraan. Buatlah selang pendugaan proporsi bagi seluruh wanita yang dapat melakukan pemeriksaan terhadap oli kendaraan mereka dengan tingkat kepercayanan 98% !

Penyelesaian :

Diketahui : n = 500, p = 0.79 maka q = 1 – 0.79 = 0.21

 p adalah proporsi sampel wanita yang dapat melakukan pemeriksaan

terhadap oli kendaraan mereka

Ditanyakan : Maka:

σ

.

z

p

p

σ

.

z

-

p

p 2 p 2 α α

<

<

+

0.0182 500 1) (0.79)(0.2 n p.q = s dengan diduga bisa σp p = =

Untuk tingkat kepercayaan 98%  1 - = 0.98  = 0.02  /2 = 0.01

Nilai Z dengan /2 = 0.01 adalah 2.33

Sehingga, selang pendugaan proporsi bagi seluruh wanita yang dapat melakukan pemeriksaan terhadap oli kendaraan mereka dengan tingkat kepercayanan 98% :

0.832

s/d

0.748

(0.0182)

2.33

0.79

s

.

z

p

p

s

.

z

-

p

p 2 p 2

<

<

+

α

=

±

=

α

25

8. Galat & Ukuran Sampel dlm Pendugaan

p

• Bila p digunakan untuk menduga p, maka dengan tingkat kepercayaan (1- )._100%,

galat pendugaan maksimum, e adalah:

e = z/2 .

n p.q

• Sering kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus diambil, agar galat pendugaan p tidak melebihi suatu nilai e. Dalam hal ini jumlah sampel n, adalah:

• Contoh :

Dari 500 orang sampel acak, sebanyak 160 orang menyukai makanan sea food. Jika kita ingin percaya 95%, bahwa nilai dugaan proporsi orang yg menyukai sea food yang dihasilkan berada dalam 0.02 dari nilai proporsi yg sebenarnya, tentukan jumlah ukuran sampel yg diperlukan !

2 2

E

q

.

p

z

=

n

α2 26 Penyelesaian : 2 2

E

q

.

p

z

=

n

α2  diketahui n = 500, =0.32 500 160 = n x = p  q = 1 – 0.32 = 0.68 Untuk tingkat kepercayaan 95%  1 - = 0.95  = 0.05  /2 = 0.025

Nilai Z dengan /2 = 0.025 adalah 1.96 Maka:

2090

=

(0.02)

(0.68)

(0.32)

(1.96)

E

q

.

p

z

=

n

2 2 2 2 2 α

=

27

9. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan Selisih 2

Proporsi

• Bila p1 dan p2 masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam sampel acak

yang berukuran n1 dan n2 serta q1 = 1 - p1 dan q2 = 1 – p2, maka selang

kepercayaan (1- ).100% bagi selisih antara p1 - p2 :

2 1-p p 2 1 2 1

σ

)

p

-(p

)

p

-(p

=

z

• Contoh soal:

Suatu polling dilakukan terhadap penduduk kota A dan penduduk di sekitar kota tersebut, untuk mengetahui kemungkinan diajukannya suatu rencana pembangunan TPA sampah. Bila 2400 diantara 5000 penduduk kota dan 1200 dari 2000 penduduk sekitar setuju dengan rencana tsb, tentukan selisih proporsi sebenarnya yang setuju dengan tingkat kepercayaan 90% ! 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 nq p nq p p p p p nq p nq p p p . . 2 2 1 2 1 . . 2 2 1

-

)

-

z

.

-

(

-

)

z

.

(

_α

+

<

<

+

_α

+

28 Penyelesaian : p1 - p2 = selisih proporsi 0.60 = 2000 1200 = n x = p ; 0.48 = 5000 2400 = n x = p 2 2 2 1 1 1

Untuk tingkat kepercayaan 90%  1 - = 0.90  = 0.10  /2 = 0.05

Nilai Z dengan /2 = 0.05 adalah 1.65 Maka selisih p1 - p2 dengan tingkat kepercayaan 90% :

2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 nq p nq p p p p p nq p nq p p p . . 2 2 1 2 1 . . 2 2 1

-

)

-

z

.

-

(

-

)

z

.

(

α

+

<

<

+

α

+

2000 (0.40) (0.60) 5000 (0.52) (0.48)

1.65

0.60)

(0.48

±

+

0.0986 -0.1414 -

<

p

₁

-

p

₂

<

29