Materi 3: Relasi dan Fungsi

Materi 3: Relasi dan Fungsi I Nyoman Kusuma Wardana

Definisi Relasi & Fungsi Representasi Relasi

Relasi biner

Sifat-sifat relasi biner Relasi inversi

Mengkombinasikan relasi Komposisi relasi

Relasi  adlh hubungan antara elemen himpunan dgn elemen himpunan yg lain

Cara paling mudah utk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adlh dgn himpunan pasangan terurut.

Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian.

Relasi R dari himp. A ke himp. B dpt

didefinisikan sbg himp. pasangan (a,b) pd

A x B, dimana a  A dan b  B, dgn salah satu dari kalimat berikut:

1) “a berelasi dgn b” ditulis a R b atau R(a,b) 2) “a tidak berelasi dgn b” ditulis sbg a R b

Definisi 1

Perkalian kartesian (Cartesian products) antara himpunan A dan B ditulis: A x B Perkalian kartesian  didefinisikan sbg

semua himp. pasangan terurut dgn komponen pertama adlh anggota

himpunan A & komponen kedua adlh anggota himp. B

Contoh

C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka:

C  D = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

D  C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

A = {1, 2, 3} B = {x, y} C = {a, b, c} A  B = ?

A  C = ?

B  C = ? {(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c)}

{(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)}

Definisi 2

Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.

Notasi: R  (A  B)

A disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebutdaerah hasil (range) dari R.

Contoh

Misal diketahui sbb: P = {2, 4, 8, 9, 15}, Q = {2, 3, 4}

Relasi R dari P ke Q didefinisikan sebagai: (p,q)  R jika p habis dibagi q, maka:

Definisi 3

Relasi PADA A adalah relasi dari A ke A.

Contoh

Misal R adalah relasi pada: A = {2,3,4,8,9} yg didefinisikan oleh (x, y)∈ R

jika x adalah faktor prima dari y, maka: R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}

1. Menggunakan Tabel

Jika relasi disajikan dengan tabel maka:

kolom pertama menyatakan daerah asal

(domain)

kolom kedua menyatakan daerah hasil (range).

Contoh

Misal pd contoh sebelumnya:

R = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)} Dalam bentuk tabel menjadi:

P Q 2 2 4 2 4 4 8 2 8 4 9 3 15 3 P = {2, 4, 8, 9, 15}, Q = {2, 3, 4}

Contoh

Misal pd contoh sebelumnya:

R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)} Dalam bentuk tabel menjadi:

A A 2 2 2 4 2 8 3 3 3 9

2. Menggunakan Matriks

Misal R adlh relasi dari A = {a₁, a₂, …,a_m} ke B = {b₁, b₂, … ,b_n}.

Relasi R dpt disajikan dgn matriks M = [m_ij]

dimana :       R b a R b a m j i j i ij ) , ( , 0 ) , ( , 1

Contoh

Misal relasi pada contoh sebelumnya:

R = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)} Dalam bentuk matriks menjadi:

P = {2, 4, 8, 9, 15}, Q = {2, 3, 4}

Contoh

Misal relasi pada contoh sebelumnya: R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)} Dalam bentuk matriks menjadi:

3. Menggunakan Diagram Panah

Misal diketahui, sbb:

Via: aku senang permen dan coklat

Andre: aku senang coklat dan es krim

Ita: aku suka es krim

Dr contoh tsb dapat dibuat dua himp., yaitu : Himpunan A adlh himp. nama orang

A = { Via, Andre, Ita }

Himpunan B adlh himp. makanan kesukaan

Maka dibuat diagram panah, sbb: permen Andre es krim coklat Via Ita

A = { Via, Andre, Ita }

B = { es krim, coklat, permen }

Via: aku senang permen dan coklat

Andre: aku senang coklat dan es krim

4. Menggunakan Graf Berarah

Tiap elemen himpunan dinyatakan dgn sebuah titik  dsb jg simpul atau vertex

Tiap pasangan terurut dinyatakn dgn busur (arc) yg arahnya ditunjukkn dgn anak panah Jika (a, b)  R,  maka sebuah busur dibuat dr simpul a ke simpul b.

Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) & simpul b dsb simpul tujuan (terminal vertex)

Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dgn busur dari simpul a ke simpul a sendiri.

Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop)

Contoh

R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adlh relasi pd himp. {a, b, c, d}.

R direpresentasikan dgn graf berarah sbb:

a b

Refleksif (reflexive)

Relasi R pd himpunan A disebut refleksif jika (a, a)  R untuk setiap a  A.

Relasi R pd himpunan A tidak refleksif jika ada a  A sedemikian sehingga (a, a)  R.

Contoh:

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pd himp. A, maka:

Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yg berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).

Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3)  R.

Contoh:

Relasi “habis membagi” pd himpunan

bilangan bulat positif bersifat refleksif karena

setiap bilangan bulat positif habis dibagi dgn dirinya sendiri, shg (a, a)R utk setiap a  A Tiga buah relasi ini menyatakan relasi pd

himpunan bilangan bulat positif N.

R : x lebih besar dari y, S : x + y = 5, T : 3x + y = 10 Tidak satupun dr ketiga relasi tsb yg refleksif krn, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.

Relasi yg bersifat refleksif mempunyai matriks yg elemen diagonal utamanya semua

bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

Graf berarah dari relasi yg bersifat refleksif

dicirikan adanya gelang pd setiap simpulnya                 1 1 1 1 

Menghantar (transitive)

Relasi R pd himpunan A disbt menghantar jika (a, b)  R dan (b, c)  R, maka (a, c)  R,

untuk a, b, c  A..

Contoh:

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

a) Relasi R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar.

R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) }

bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:

b) Relasi R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4, 2)} tidak menghantar

karena (2, 4) &(4, 2)  R, tetapi (2, 2)  R,

begitu juga (4, 2) & (2, 3)  R, tetapi (4, 3)R.

c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar

d) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} tidak menghantar karena tidak ada (a, b)  R dan (b, c)  R sedemikian shg (a, c)  R.

e) Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar. Sifat menghantar pd graf berarah

ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b

dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

Jika R adlh relasi pd himp. orang2 dimana

(a,b)  R, jika a adalah ayah dr b, maka dpt dibuat kebalikan dr relasinya, yaitu

(b,a) yg menyatakan b anak dr a. Demikian juga:

o Relasi “lebih besar dari” mempunyai inversi “lebih kecil dari”

o Relasi “lebih tua dari” mempunyai inversi “lebih muda dari”

Misalkan R adlh relasi dari himpunan A ke himpunan B.

Invers dari relasi R, dilambangkan dgn R–1_,

adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh:

R

Contoh:

Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dgn:

(p, q)  R jika p habis membagi q

maka diperoleh:

R–1 _{adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari} Q ke P dengan:

(q, p)  R–1 _{jika q adalah kelipatan dari p} maka diperoleh:

R–1 _{= {(2, 2), (4, 2), (4,4), (8,2), (8,4), (9,3), (15,3) }}

Contoh:

Jika M adalah matriks yg merepresentasikan relasi R,

maka relasi R–1_{, misalkan N, diperoleh dgn}

melakukan transpose thd matriks M,

           0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 M                   0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 T M N

Karena relasi biner mrpkn himp. pasangan terurut  maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda

setangkup antara dua relasi atau lebih jg berlaku.

Jika R₁ dan R₂ masing2 _{adlh relasi dr himp. A}

ke himp. B, maka R₁  R₂, R₁  R₂, R₁ – R₂, dan

Contoh:

Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R₁ = {(a, a), (b, b), (c, c)}

Relasi R₂ = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}

Maka:

R₁  R₂ = {(a, a)}

R₁  R₂ = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

R₁  R₂ = {(b, b), (c, c)}

R₂  R₁ = {(a, b), (a, c), (a, d)}

Jika relasi R₁ dan R₂ masing2 _{dinyatakan dgn}

matriks M_R1 dan M_R2, maka matriks yg

menyatakan gabungan dan irisan dr kedua relasi tersebut adlh

M_{R1  R2} = M_R1  M_R2 M_{R1  R2} = M_R1  M_R2

Contoh:

Misalkan bahwa relasi R₁ dan R₂ pd himp. A dinyatakan oleh matriks

Tentukan M_{R1  R2} dan M_{R1  R2} .            0 1 1 1 0 1 0 0 1 1

R

           0 0 1 1 1 0 0 1 0 2

R

Jawab:

Misalkan bahwa relasi R₁ dan R₂ pd himp. A dinyatakan oleh matriks

           0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 R            0 0 1 1 1 0 0 1 0 2 R M_{R1  R2} = _MR1  _MR2 =           0 1 1 1 1 1 0 1 1 M_{R1  R2} = _MR1  _MR2 =           0 0 1 1 0 0 0 0 0

Misalkan R adlh relasi dr himp. A ke himp. B, dan S adlh relasi dr himp. B ke himp. C

Komposisi R dan S, dinotasikan dgn S  R, adlh relasi dr A ke C yg didefinisikan oleh:

S  R = {(a, c)  a  A, c  C, dan untuk

Contoh:

Misalkan:

R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}

adlh relasi dari himp. {1, 2, 3} ke himp. {2, 4, 6, 8},

S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

adlh relasi dr himp. {2, 4, 6, 8} ke himp. {s, t, u} Carilah komposisi relasi R dan S !

Jawab:

S  R = {(1,u), (1,t), (2,s), (2,t), (3,s), (3,t), (3,u) } Utk lebih jelas, amati gambar berikut. Lihatlah titik awal dan akhir dr panah, sbb:

R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

Contoh:

Misalkan:

U = {(3,p), (6,p), (6,q), (9,r), (12,s), (12,t)}

adlh relasi dari himp. {3, 6, 9, 12} ke himp. {p, q, r, s, t},

T = {(p, v), (p,z), (r,x), (r,y), (r,z), (t,y)}

adlh relasi dr himp. {p, q, r, s, t} ke himp. {v, x, y, z}

Carilah komposisi relasi U dan T !

Jawab:

Misalkan A dan B adlh himpunan.

Relasi biner f dr A ke B mrpkn suatu fungsi jika setiap elemen di dlm A dihubungkan dgn

tepat satu elemen di dlm B.

Jika f adlh fungsi dari A ke B kita menuliskan:

yg artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan

atau transformasi.

Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dlm

A dihubungkan dgn elemen b di dlm B. Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan

(image) dr a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

Himpunan yg berisi semua nilai pemetaan f

disbt jelajah (range) dr f.

Perhatikan bahwa jelajah dari f adlh himp. bagian (mungkin proper subset) dari B.

a _b

A B

Contoh:

Relasi

f = {(1, u), (2, v), (3, w)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adlh fungsi

dari A ke B.

Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w.

Daerah asal dr f adlh A dan daerah hasil adlh B.

Jelajah dr f adlh {u, v, w}, yg dlm hal ini sama dgn himpunan B.

Contoh:

Relasi

f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi

dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A.

Daerah asal fungsi adalah A, daerah

hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}.

Contoh:

Relasi

f = {(1, u), (2, v), (3, w)}

dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan

fungsi, karena tidak semua elemen A

Contoh:

Relasi

f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v.

Tergantung dr jenis bayangan, fungsi dibedakan mnjd:

1. Fungsi satu-ke-satu (one-to-one) 2. Fungsi pada (onto)

3. Fungsi berkoresponden satu-ke-satu (bijection)

Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua

Contoh:

Relasi

f = {(1, w), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu.

Tetapi relasi

f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah bukan

Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B mrpkn bayangan dr satu atau lebih elemen himpunan A.

Dengan kata lain, seluruh elemen B mrpkn

Contoh:

Relasi

f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi pada karena w tdk termasuk jelajah dr f. Tetapi relasi

f = {(1, w), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan

fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.

Fungsi f dikatakan berkoresponden ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi ke- satu-ke-satu dan juga fungsi pada.

Contoh:

Relasi

f = {(1, u), (2, w), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adlh fungsi yg

berkoresponden satu-ke-satu, karena f adlh fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.

Jika f adlh fungsi berkoresponden satu-ke-satu dr A ke B, maka kita dpt menemukan

balikan (invers) dari f.

Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1_.

Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka:

Fungsi yg berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan jg fungsi yg invertible

(dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya.

Sebuah fungsi dikatakan not invertible

(tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh:

Relasi

f = {(1, u), (2, w), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yg berkoresponden satu-ke-satu.

Balikan fungsi f adalah:

F-1 _{= {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}}

Contoh:

Tentukan invers dr fungsi:

f(x) = x – 1

Jawab:

Fungsi f(x) = x – 1, adlh fungsi yg

berkorespondensi satu-ke-satu. Jadi, balikan (invers) fungsi tsb ada

Misalkan f(x) = y, shg y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, fungsi balikannya adlh f-1_{(y) = y +1.}

Misalkan g adlh fungsi dr himp. A ke himp. B, dan f adlh fungsi dari himp. B ke himp. C.

Komposisi f dan g, dinotasikan dgn f  g, adlh fungsi dari A ke C yg didefinisikan oleh:

Contoh:

Diberikan fungsi

g = {(1, u), (2, u), (3, v)}

yg memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi:

f = {(u, y), (v, x), (w, z)}

yg memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adlh:

Contoh:

Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 _{+ 1.}

Tentukan f  g dan g  f . Jawab: (f  g)(x) = f(g(x)) = f(x2 _{+ 1) = x}2 _{+ 1 – 1} = x2 (g  f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 _{+ 1} = x2 _{- 2x + 2}

Munir, R., 2005, Matematika Diskrit, Penerbit Informatika

Rosen, K.H., 2007, Discrete Mathematics