PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL TINGKAT SMP KOMPETISI MATEMATIKA PASIAD

SE-INDONESIA VIII 19 Pebruari 2012 I. SOAL PILIHAN GANDA

Untuk menjawab soal pilihan ganda memang terkadang perlu strategi sederhana misalnya Trial and Error (coba-coba). Sebagai contoh subtitusikan pilihan(option) yang ada ke dalam variabel persamaan yang diketahui. Strategi ini sering kali cukup jitu untuk menghemat waktu pengerjaan. Strategi semacam ini penulis serahkan pada pembaca untuk mencoba dan memikirkannya. Kali ini penulis mencoba menyelesaikan soal secara uraian berdasarkan teori matematika sederhana yang sudah dikuasai siswa SMP khususnya siswa yang menekuni olimpiade matematika.

1. Terdapat berapa banyak solusikah untuk persamaan x 2.2x=4? A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 SOLUSI : 4 2 . 2 x = x 2 1 2 1 2 1

2

2

2

2

2

2

.

2

2

=

=

=

+ + x x x x x x Sehingga

1

0

)

1

(

0

1

2

2

1

2

1

2 , 1 2 2 2 2

=

=

−

=

+

−

=

+

=

+

x

x

x

x

x

x

x

x

Jadi ada 1 solusi untuk x Jawaban : C

2. Jika k adalah sebuah bilangan bulat ganjil, maka bentuk sederhana dari 2k . 7k .(– 2)–k adalah …. A. 14k

B. 7–k C. 7k D. (–7)k SOLUSI :

2k _{. 7}k _{.(– 2)}–k _{= 2}k _{.(– 2)}–k_{. 7}k _{, Untuk k bilangan ganjil maka} 2k _{. 7}k _{.(– 2)}–k _{= 2}k _{.(–1)( 2}–k_{). 7}k 2k _{. 7}k _{.(– 2)}–k _{= 2}k _{. ( 2}–k_{) . (–1). 7}k 2k . 7k .(– 2)–k = 2k+(-k). (–1). 7k 2k . 7k .(– 2)–k = 20. (–1). 7k 2k _{. 7}k _{.(– 2)}–k _{= (–1). 7}k _{= (–7}k₎ Jawaban : D

3. Jika 3,5 7 2 ₌       x

, maka nilai dari x adalah …. A.

2

1

−

B.

2

1

C.

2

3

D.

1

SOLUSI : 5 , 3 7 2 ₌       x 2 1 2 7 7 2       =       x 2 1 7 2 7 2 −       =       x

2

1

−

=

x

Jawaban : A

4. Jika x dan y adalah bilangan bulat maka nilai dari x . y adalah ….

A. 90 B. 56 C. 72 D. 42 SOLUSI :

Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-sik, diperoleh: x2 –y2 =

( )

₁₇ 2

x2 –y2 =17

(x + y)(x – y) = 17 . 1

Karena 17 dan 1 relatif prima, maka: x + y = 17 x - y = 1 + 2x = 18 x = 9 sehingga y = 8 Nilai x . y = 9 . 8 = 72 Jawaban : C

5. Jika diketahui a= 5+ 2,b= 6+1,c=2+ 3.Maka urutan yang benar dari a, b, dan c adalah …. A. a < b < c B. c < b < a C. b < a < c D. a < c < b SOLUSI : . 3 2 , 1 6 , 2 5+ = + = + = b c a

6

2

7

6

2

1

6

10

2

7

10

2

2

5

2 2

+

=

+

+

=

+

=

+

+

=

b

a

12

2

7

3

4

7

3

4

3

4

2

=

+

+

=

+

=

+

c

b2 < a2 , maka b < a b2 _{< c}2 _{, maka b < c} a2 _{< c}2 _{, maka a < c}

Jadi Urutan yang benar adalah b < a < c Jawaban : C

6. Bentuk sederhana dari

(

2− 5

)

2 adalah …. A.

2

−

5

B.

2

+

5

C.

5

−

2

D.

4

−

5

SOLUSI :

(

2

−

5

)

2

=

2

−

5

Karena

5

>

2

maka

2

−

5

< 0 (negatip), sehingga 2 5 ) 5 2 ( 5 2− =− − = − Jawaban : C

7. Berapa banyak segitiga dalam gambar di samping A. 35

B. 154 C. 73 D. 220

SOLUSI :

Kasus 1:

Titik B dihubungkan dengan dua titik pada sisi AG, AH,AI, AJ, AK, AL dan AC. Banyaknya titik pada masing-masing sisi tersebut ada 5

Banyaknya segitiga yang ada =5C2 x 7 = 70 Kasus 2 :

Titik A dihubungkan dengan dua titik pada sisi BD , BE, BF, dan BC, tetapi tidak termasuk titik B sebab sudah terhitung pada kasus 1.

Banyaknya segitiga yang ada =7C2 x 4 = 84 Total banyaknya segitiga = 70 + 84 = 154 Jawaban : B.154

8. Berapakah jumlah digit dari 12510 . 328 . 1505 A. 31 B. 44 C. 48 D. 58 SOLUSI : 12510 _{. 32}8 _{. 150}5 _{= (5}3₎10 _{. (2}5₎8 _{. (3.5.10)}5 12510 . 328 . 1505 = 530 . 240 . 35.55.105 12510 . 328 . 1505 = 535 . 235 . 25 . 35.105 12510 _{. 32}8 _{. 150}5 _{= 10}35 _{. 6}5_.105 12510 _{. 32}8 _{. 150}5 _{= 6}5_.1040 _{= 7776 . 10}40

Yang dimaksud jumlah digit pada soal ini adalah banyaknya digit yaitu 4 + 40 = 44 Jawaban : B

9. Seekor semut berjalan menyusuri rangka sebuah bangun seperti dalam gambar dari titik A menuju B. Ada berapa banyak jalan berbeda yang dapat dilalui oleh semut tersebut? ( Jalur yang dipilih merupakan lintasan tersingkat)

A. 48 B. 90 C. 60 D. 180

SOLUSI :

Banyaknya langkah tepat ada 6 yaitu 2 langkah ke kanan, 2 langkah ke dalam, dan 2 langkah ke atas.

Alternatif 1 :

Misalkan langkah ke kanan diberi kode 1, langkah ke dalam diberi kode 2, dan langkah ke atas diberi kode 3. Maka banyaknya cara melangkah sama dengan banyaknya susunan 112233 Banyaknya cara = 90 ! 2 !. 2 !. 2 ! 6 ₌ Alternatif 2 :

Semut akan melangkah dua kali ke kanan diantara 6 langkah. Banyaknya cara =6C2 = 15 Semut akan melangkah dua kali ke dalam diantara 4 langkah sisa. Banyaknya cara =4 C2= 6 Banyaknya cara seluruhnya = 15 x 6 = 90

10. Jika diketahui

x

−

4

+

y

+

2

+

(

z

+

1

)

2

=

0

, maka nilai x + y + z adalah …. A. –2 B. –1 C. 1 D. 2 SOLUSI :

0

)

1

(

2

4

+

+

+

+

2

=

−

y

z

x

terjadi jika

0

4

=

−

x

⇒x−4=0⇔ x=4, dan

2

0

2

0

2

=

⇒

+

=

⇔

=

−

+

y

y

y

, serta

1

0

1

0

)

1

(

z

+

2

=

⇒

z

+

=

⇔

z

=

−

Jadi x + y + z = 4 +(-2)+(-1) = 1 Jawaban : C

11. m dan n adalah dua bilangan bulat positip sedemikian sehingga m + n + m.n = 24. Berapakah nilai m + n ? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 SOLUSI : m + n + m.n = 24 (m+ 1)(n + 1) – 1 = 24 (m+ 1)(n + 1) = 25 = 25 . 1 = 5 . 5

Kasus 1 : (m+ 1)(n + 1) = 25 . 1, sehingga didapatkan m = 24, n = 0 (bukan bilangan bulat positip) Kasus 2 : (m+ 1)(n + 1) = 5 . 5,sehingga didapatkan m = 4, n = 4, dan m + n = 8

Jawaban : B

12. Sebuah angka 6 digit cdbcda dapat dibagi dengan 11. Jika a + b = 10, maka nilai a . b adalah …. A. 30

B. 25 C. 15 D. 10 SOLUSI :

cdbcda dapat dibagi 11 sehingga

(c + b + d) – (d + c + a) = 11k, dengan k bilangan bulat c + b + d – d – c – a = 11k b – a = 11k

⇔

b=11k + a Padahal a + b = 10 sehingga a + (11k + a) = 10 2a = 10 – 11k

2

11

10

k

a

=

−

Karena a merupakan digit maka nilai k yang memenuhi adalah 0 sehingga a = 5 Selanjutnya diperoleh b = 5

Nilai a . b = 5 . 5 = 25 Jawaban : B

13. Ada berapa kemungkinan bilangan asli n, sehingga

3

21

3

+

+

n

n

adalah bilangan asli. A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 SOLUSI :

3

12

3

3

21

3

+

+

=

+

+

n

n

n

Agar merupakan bilangan asli maka n + 3 harus merupakan faktor dari 12 yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 12, sehingga kemungkinannya:

n + 3 = 1, atau n = –2 (bukan bilangan asli) n + 3 = 2, atau n = –1 (bukan bilangan asli) n + 3 = 3, atau n = 0 (bukan bilangan asli) n + 3 = 4, atau n = 1

n + 3 = 6, atau n = 3 n + 3 = 12, atau n = 9

Jadi ada 3 kemungkinan bilangan asli n yang memenuhi Jawaban : B

14. Misalkan a dan b adalah digit-digit pada bilangan ab dan ba, sehingga ab – ba = 72. Maka berapakah nilai dari a2 + b2

A. 52 B. 72 C. 82 D. 62 SOLUSI :

Misalkan digit bilangan ditulis [ab]=10a + b, dan [ba] = 10b + a [ab] – [ba] = 72

10a + b – (10b + a) = 72 9a – 9b = 72

a – b = 8

Karena a dan b digit maka diperoleh a=9, dan b = 1, sehingga a2 + b2 = 81 + 1 = 82

atau a = 8, dan b = 0,sehingga a2 + b2 = 64 + 0 = 64

Jawaban : C 15. Diberikan x = 0,53 dan y = 0,254 ? 1 1 2 2 ₌     ₋ −     ₊ y x y x A. 128 B. 120 C. 108 D. 64 SOLUSI : x = 0,53 = 8 1 2 1 3 =       _{dan y = 0,254 =} 256 1 4 1 4 =      

















₋

−

+









₊

₊

₋

=









₋

−









₊

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

1

1

1

1

1

1

2 2

( )

                        =     =     ₋ −     ₊ 4 3 2 2 4 1 2 2 1 2 2 2 1 1 y x y x y x

( )

512

128

4

1

256

1

2

8

1

2

1

1

2 2

=













=

















































=









₋

−









₊

y

x

y

x

Jawaban : A

16. Diketahui x2 _{– 2x – 2 = 0, maka berapakah nilai dari}

4

_?

2 2

x

x

+

A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 SOLUSI : x2 – 2x – 2 = 0 (x – 1)2 _{– 3 = 0} (x – 1)2 = 3 x – 1 =

±

3

x1,2 = 1

±

3

(x1)2 = 1 + 3 +

2

3

= 4 +

2

3

(x2)2 = 1 + 3 –

2

3

= 4 –

2

3

Untuk x = x1 maka

3

2

4

4

3

2

4

4

2 2

+

+

+

=

+

x

x

3

2

4

3

2

4

3

2

4

4

3

2

4

4

2 2

−

−

×

+

+

+

=

+

x

x

12 16 ) 3 2 4 ( 4 3 2 4 4 2 2 − − + + = + x x

8

3

2

4

3

2

4

4

2 2

+

=

+

+

−

=

x

x

Silahkan diperiksa Untuk x = x2 dihasilkan nilai yang sama Jawaban : B

17. Berapakah sisa pembagian 50 _{+ 5}1 _{+ 5}2 _{+ 5}3 _{+ … + 5}2012 _{dibagi 125} A. 29 B. 30 C. 61 D. 31 SOLUSI : 50 _{+ 5}1 _{+ 5}2 _{+ (5}3 _{+ … + 5}2012_{)= 1 + 5 + 25 + 5}3_{(1 + 5 + 5}2 _{+ …+5}2009₎ 50 _{+ 5}1 _{+ 5}2 _{+ (5}3 _{+ … + 5}2012_{)= 31 + 125(1 + 5 + 5}2 _{+ …+5}2009₎ Artinya sisa pembagiannya adalah 31

18. Apakah digit terakhir dari bilangan (1! + 2! + 3! + …+2012!)2012 _? A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 SOLUSI : (1! + 2! + 3! + …+2012!)2012 =(1 + 2 + 6 + 24 + …0+….0+….)2012 =(…..33)2012

Tinggal kita cari digit terakhir dari 32012 sbb: 32012_≡(34₎503_(mod10)

32012_≡81503_(mod10) 32012≡1503(mod10) 32012≡1(mod10)

Jadi digit terakhir dari (1! + 2! + 3! + …+2012!)2012 _{adalah 1} Jawaban : A

19. Misalkan a, b, c, dan d adalah anggota bilangan bulat positip. Jika a dibagi b menghasilkan 15 sisa 7, b dibagi 6 menghasilkan c sisa 3, dan a dibagi 18 menghasilkan d sisa x. berapakah nilai x? A. 13

B. 14 C. 16 D. 15 SOLUSI :

a dibagi b menghasilkan 15 sisa 7, artinya a = 15b + 7………..(1) b dibagi 6 menghasilkan c sisa 3, artinya b = 6c + 3.………...(2) dari (1) dan (2) diperoleh :

a = 15(6c + 3) + 7 a = 90c + 45 + 7 a = 18(5c) + 52 a = 18 (5c + 36) + 16 misalkan 5c + 36 = d, maka a = 18d + 16

artinya a dibagi 18 menghasilkan d sisa x = 16 Jawaban : C 20. Sederhanakan 1−3x− x−1 untuk x < 0 A. –2x B. 2x C. x D. –x SOLUSI : untuk x < 0, maka x x x x x x x x 2 2 1 3 1 ) 1 ( ( 3 1 1 3 1 − = − = − + − = − − − − = − − − Jawaban : A

21. Ada berapa bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 atau 5 A. 270 B. 269 C. 280 D. 240 SOLUSI :

Bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 saja: 3, 6, 9, …,576 Un = 576 a + (n – 1)b = 576 3 + (n – 1)3 =576 3 + 3n – 3 = 576 3n = 576 n = 192

Bilangan asli kurang dari 579 , yang habis dibagi 5 saja: 5, 10, 15, …,575 Un = 575 a + (n – 1)b = 575 5 + (n – 1)5 =575 5 + 5n – 5 = 575 5n = 575 n = 115

Bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 dan 5 : 15, 30, 45, …,575 Un = 575 a + (n – 1)b = 575 15 + (n – 1)15 =575 15 + 15n – 15 = 575 15n = 575 n = 38

Jadi bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 atau 5 adalah 192 + 115 – 38 = 269

Jawaban : B

22. Berapakah nilai maksimum dari

6

2

8

+

+

−

x

x

? A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 SOLUSI : Agar

2

6

8

+

+

−

x

x

_{bernilai maksimum maka}

x

−

2

+

x

+

6

_{harus minimum. Dipenuhi untuk}

6

2

+

+

−

x

x

= 8. Jadi nilai maksimum

1

8

8

6

2

8

₌

₌

+

+

−

x

x

Jawaban : D

23. Sederhanakan

−

a

+

a

+

−

a

, jika a < 0 A. 2a B. –2a C. –3a D. 3a SOLUSI :

Perlu diingat bahwa nilai mutlak hasilnya selalu positip, sehingga untuk a < 0 diperoleh

a

a

a

a

a

a

a

+

+

−

=

−

+

(

−

)

+

(

−

)

=

−

3

−

Jawaban : C 24. Misalkan ₁₂₃ m A=999...9, dan

A

=

10

50

−

1

, carilah m ? A. 50 B. 49 C. 51 D. 40 SOLUSI :

Perhatikan pola berikut : 102 _{–1 = 99} 103 _{–1 = 999} 104 –1 = 9999 ……….. 1050 –1 = 3 2 1 digit 50 9 ... 999 Jadi nilai m =50 Jawaban : A

25. Misalkan a2 _{– 12 a – b + 41 = 0, dengan a, b}

∈

_{Z. Berapakah nilai a untuk b yang paling minimum ?} A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 SOLUSI : a2 _{– 12 a – b + 41 = 0} a2_{–12a + 36 +5 –b = 0} (a–6)2 = b–5

5

6

=

±

−

−

b

a

Untuk a, b

∈

Z, maka b minimum jika b–5=0, atau b = 5 Sehingga diperoleh a−6=0, atau a = 6

Jawaban : B

26. Berapakah nilai x + y, jika diketahui x2 + y2 – 4x + 10y + 29 = 0 ?

A. –2 B. –1 C. –3 D. 1 SOLUSI : x2 _{+ y}2 _{– 4x + 10y + 29 = 0} ( x – 2)2 + (y + 5)2 = 0

Karena ( x – 2)2 _{> 0, dan (y + 5)}2_{> 0 maka} x – 2 = 0 , diperoleh x = 2, dan

y + 5 = 0, diperoleh y = - 5 Nilai x + y = 2 + (-5) = -3 Jawaban : C

27. Berapakah sisa pembagian bilangan 1.2.3…..2012 – 1 dibagi dengan 100101 ? A. 99 B. 101 C. 10001 D. 10099 SOLUSI :

Perhatikan bahwa 100101 = 3.61.547

artinya, 100101 membagi habis (1.2.3…61…547...2012) =

2012! . Sehingga jika 2012!–1 dibagi

100101 bersisa 100101–1 = 100100

Tidak ada jawaban yang memenuhi

28. Diketahui a dan b adalah digit-digit pada bilangan dua digit ab dan ba, sehingga (ab)2 _{– (ba)}2 _{= 1089. Berapakah nilai dari a}2 _{+ b}2 _?

A. 11 B. 35 C. 61 D. 83 SOLUSI : (ab)2 _{– (ba)}2 _{= 1089} Artinya: (10a + b)2 – (10b + a)2 = 1089

100a2 + 20ab + b2 – (100b2 + 20ab + a2) = 1089 100(a2 – b2) – (a2 – b2) = 1089

99(a2 _{– b}2_{) = 1089} (a2 – b2) = 11

(a + b)(a – b) = 11 . 1

Karena 11 dan 1 relatif prima, maka selanjutnya kita cari a dan b sbb: a + b = 11 a – b = 1 + 2a = 12 a = 6 sehingga diperoleh b = 5 Jadi a2+ b2 = 36 + 25 = 61 Jawaban : C 29. Hitunglah ( 1 + 3 + 5 + … + 307) – (2 + 4 + 6 + … + 306) ? A. –154 B. –153 C. 153 D. 154 SOLUSI :

Sebenarnya soal ini bisa diselesaikan langsung menggunakan rumus deret aritmetika, namun penulis ingin menyajikan menggunakan alternatif lain sbb:

( 1 + 3 + 5 + … + 307) – (2 + 4 + 6 + … + 306) =

( 1 + 2 + 3 + … + 307 – (2 + 4 + 6 + … + 306)) – (2 + 4 + 6 + … + 306) = ( 1 + 2 + 3 + … + 307) – 2(2 + 4 + 6 + … + 306)=

½ (307)(307+1) – 4(½ (153)(153+1)) = 154 (307) –153(308)=

(153 + 1)(307)–153(307+1) = 307 – 153 = 154

Perhatikan bahwa : (a + 1)b – a(b + 1) = ab + b – ab – a = b – a Jawaban : D

30. Berapakah sisa pembagian ₁₄₂₄₃ digit 108 47 ... 474747 dibagi 9 ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 SOLUSI : 43 42 1 digit 108 47 ... 474747

memiliki jumlah digit 1444441082digit444443 7 4 ... 7 4 7 4 7 4+ + + + + + + + = 54(4+7) = 9x6x11 Karena jumlah digitnya bisa dibagi 9 maka

43 42 1 digit 108 47 ... 474747

juga bisa dibagi 9. Jadi bersisa 0 Jawaban : A

31. Diketahui a, b, dan c adalah bilangan bulat yang memenuhi -5 < a < 3, - 8 < b < 1, dan b2 _{– 2a + 3c = 6. Berapakah nilai c terkecil yang mungkin ?}

A. –7 B. –12 C. –17 D. –19 SOLUSI : b2 – 2a + 3c = 6 3c = 6 – (b2 – 2a)

3

)

2

(

6

b

2

a

c

=

−

−

3

)

2

(

2

2

a

b

c

=

−

−

Agar c terkecil, maka b2 – 2a = 3k dan harus maksimum. Dipenuhi untuk b = –7 dan a = –4, sehingga b2 – 4ac = 49+8=57 = 3 . 19

Jadi nilai terkecil

2

19

17

3

57

2

3

)

2

(

2

2

−

=

−

=

−

=

−

−

=

b

a

c

Jawaban : C 32. Berapakah nilai ? 20 1 1 19 1 1 ... 4 1 1 3 1 1 2 1 1 _{2 2 2 2 2}       −       −       −       −       − A.

20

1

B.

40

21

C.

2

21

D.

20

21

SOLUSI : =       −       −       −       −       − _{2 2 2 2 2} 20 1 1 19 1 1 ... 4 1 1 3 1 1 2 1 1 =       −       +       −       +       −       +       −       +       −       + 20 1 1 20 1 1 19 1 1 19 1 1 ... 4 1 1 4 1 1 3 1 1 3 1 1 2 1 1 2 1 1 =                                                             20 19 20 21 19 18 19 20 ... 4 3 4 5 3 2 3 4 2 1 2 3

=

















































































































































20

19

19

18

...

4

3

3

2

2

1

20

21

19

20

...

4

5

3

4

2

3

      =             40 21 20 1 2 21 Jawaban : B

33. Urutkan bilangan bulat positip a, b, dan c, jika

1

1

1

.

c

a

c

b

b

a

+

>

+

>

+

A. a>b>c B. a>c>b C. c>a>b D. b>a>c SOLUSI :

Ambil contoh : a = 2, b = 1, dan c = 3 sehingga c > a > b

5

1

4

1

3

1

3

2

1

?

3

1

1

?

1

2

1

1

?

1

?

1

>

>

=

+

+

+

=

+

+

+

b

b

c

a

c

a

Jawaban : C

34. Diketahui x,y, dan z adalah bilangan bulat positip yang memenuhi 3x + 2y + 5z = 37. Berapakah nilai y terbesar yang mungkin ?

A. 29 B. 14,5 C. 14 D. 13 SOLUSI : 3x + 2y + 5z = 37 2y = 37 – 3x – 5z

2

)

5

3

(

37

x

z

y

=

−

+

Nilai y terbesar jika x dan z minimum.

Untuk x = z = 1, diperoleh y = 14,5 (bukan bilangan bulat) Untuk x = 2, dan z = 1 diperoleh y terbesar yaitu 13 Jawaban : D

35. Berapakah nilai dari a2 _{+ b}2 _{+ c}2_{, jika a + b = c + 6 dan ab – ac = bc – 1 ?} A. 40 B. 38 C. 36 D. 34 SOLUSI : a + b = c + 6

⇔

a + b – c = 6 ab – ac = bc – 1

⇔

ab – ac – bc = –1 (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – bc – ac)

62 _{= a}2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{+ 2(–1)}

a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{= 36 + 2 = 38}

Jawaban : B

36. Misalkan x = 0,02468101214…100102104

Angka-angka di belakang koma pada bilangan desimal x tersusun dari bilangan bulat genap dari 0 hingga 104. Maka, berapakah angka ke-101 di belakang koma?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 SOLUSI : 0,2,4,6,8, ada 5 digit

10,12,14,…,98, total ada 2x5x9 = 90 digit Digit berikutnya 100,102 total ada 6 digit 5 + 90 + 6 = 101 digit

Jadi digit ke-101 adalah 2 Jawaban : C

37. Manakah yang merupakah faktor dari x2 – y2 – 6x – 8y – 7 ?

A. x + y + 1 B. x – y – 5 C. x – y – 1 D. x + y + 7 SOLUSI : x2 _{– y}2 _{– 6x – 8y – 7 = (x}2 _{– 6x + 9) – (y}2_{+ 8y + 16)} x2 – y2 – 6x – 8y – 7 = (x–3)2 – (y + 4)2 x2 – y2 – 6x – 8y – 7 = (x–3 + y + 4) (x– 3 – y – 4) x2 _{– y}2 _{– 6x – 8y – 7 = (x + y + 1) (x – y – 7)} Salah satu faktornya adalah x + y + 1 Jawaban : A

38. Berapakah angka terakhir pada bilangan 20122012 _? A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 SOLUSI : 20122012≡(201x10+2)2012(mod10) 20122012_≡22012_(mod10) 20122012_≡(25₎402_.22_(mod10) 20122012≡(2)402.22(mod10) 20122012≡₍₂₎404_(mod10) 20122012≡(25)80.24(mod10) 20122012_≡(2)84_(mod10) 20122012≡(25)16.24(mod10) 20122012≡220(mod10) 20122012_≡(25₎4_(mod10) 20122012≡24(mod10) 20122012≡16(mod10) 20122012≡6(mod10)

Solusi Alternatif

Pola :21_{= 2, 2}2 _{=4, 2}3_{= 8, 2} 4_{=..6, 2}5_{=…2, 2}6 _{= …4,… (berulang setiap 4 kali)} 2012 : 4 = 503 sisa 0, Angka terakhir bisa dihitung dari 24_{= 16}

Jawaban: B

39. Diketahui m dan n adalah bilangan bulat positip, dan m + n + mn = 34. Berapakah nilai dari m + n ? A. 6 B. 8 C. 10 D. 34 SOLUSI : m + n + mn = 34 (m + 1)(n + 1) – 1= 34 (m + 1)(n + 1) = 35= 35 . 1 = 7 . 5

Kasus 1: m + 1 = 35

⇔

m = 34, sedangkan n + 1 = 1

⇔

n = 0 (bukan bilangan bulat positip) Kasus 2: m + 1 = 7

⇔

m = 6, sedangkan n + 1 = 5

⇔

n = 4

Jadi m + n = 6 + 4 = 10 Jawaban : C

40. Umur ayah sekarang adalah 60 tahun. Ketika umur ayah seumuran umurku, umurku setengah dari umurku sekarang. Berapakah umurku sekarang ?

A. 45 B. 40 C. 35 D. 30 SOLUSI :

Diketahui umur ayah sekarang 60 tahun Misal umur anak sekarang = x

“Ketika umur ayah seumuran umurku, umurku setengah dari umurku sekarang”

Artinya umur ayah k tahun lalu sama dengan setengah umur anak sekarang. Juga tersirat bahwa k = x . Jika ditulis dalam persamaan:

60 – k = ½ x 60 – x = ½ x 40 60 2 3 = = x x

Jadi, umurku (anak) sekarang adalah 40 tahun Jawaban : B

41. Misalkan a, b, dan c adalah angka-angka pada sebuah bilangan kuadrat tiga angka abc. Jika satuan dan puluhan pada bilangan tersebut dinaikkan berturut-turut 1 dan 3, juga akan menghasilkan bilangan kuadrat. Maka, berapakah nilai a + b + c ?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 SOLUSI :

Pertama kita tulis bilangan 3 digit abc dengan[abc] Karena merupakan bilangan kuadrat maka [abc]=m2_{, artinya}

Selanjutnya diketahui [(a)(b+3)(c+1)] = n2_{, artinya} 100a + 10(b + 3) + (c + 1) = n2 100a + 10b + 30 + c + 1 = n2 100a + 10b + c + 31 = n2 n2 _{– m}2 _{= 31} (n + m)(n – m) = 31 . 1

Karena 31 dan 1 relatif prima maka n dan m dapat dicari sbb n + m = 31 n – m = 1 -2m = 30 m = 15 Jadi 100a + 10b + c = m2 _{= 15}2 _{= 225} Diperoleh a = 2, b = 2, dan c = 5 Jadi nilai a + b + c = 2 + 2 + 5 = 9 Jawaban : A 42. Diberikan (2a – 3)2 +( b + 2)2 + 1,5 =

4

3

. Carilah nilai 4a – b ? A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 SOLUSI : (2a – 3)2 + (b + 2)2 + 1,5 =

4

3

(2a – 3)2 + (b + 2)2 +

2

3

=

2

3

(2a – 3)2 _{+ (b + 2)}2 _{= 0} 2a – 3 = 0 dan b + 2 = 0 a =1,5 dan b = – 2 Jadi nilai 4a – b = 4(1,5) – (–2) =8 Jawaban : B

43. Diketahui persamaan 2x2 + (x + 1)2 = 1. Carilah

_x

−

₅

_?

A. 2 2 ) 4 ( 3 + − − B. 2 2 3 ) 4 ( 5 − − − C. 2 2

4

3

+

D.

1

SOLUSI : 2x2 + (x + 1)2 = 1 2x2 _{+ x}2 _{+ 2x + 1 = 1} 3x2 + 2x = 0 x(3x + 2) = 0 x = 0 atau x =

3

2

−

5

−

x

_{dipenuhi hanya untuk x = 0 sehingga}

x

−

5

=

0

−

5

=

−

5

Jawaban : A

44. Sebuah mobil angkutan antar kota biasa menempuh perjalanan dari kota A ke kota B dengan kecepatan 70 km/jam. Namun pada suatu ketika mobil itu mengalami kerusakan sehingga harus menurunkan kecepatan 50 km/jam tepat di tengah perjalanan, sehingga sampai ke kota B

terlambat 3 jam dari waktu biasanya. Berapakah jarak dari kota A ke kota B? A. 525 km B. 775 km C. 850 km D. 1050 km SOLUSI : S(A-C) + S(C-B)=S

15

150

10

70

150

25

35

70

)

3

2

(

50

)

2

(

70

=

=

=

+

+

=

+

+

t

t

t

t

t

t

t

t

S = 70t = 70 x 15 = 1050

Jadi jarak kota A ke kota B adalah 1050 km Jawaban : D 45. Misalkan 6 6 57 11 . 57 11+ − =

A , maka carilah nilai A2 + 5 ?

A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 SOLUSI : 6 6 57 11 . 57 11+ − = A 2 64 57 121 ) 57 11 ( ) 57 11 ( 6 6 6 = = − = − + = A A A A2 _{+ 5 = 2}2 _{+ 5 = 4 + 5 = 9} Jawaban : C 46. Sederhanakan ? 9 18 9 3 . 3 1 ) 1 ( ₃ 2 1 3 − − ₊ + + + a a a a a A. 6

_a

B. 3 6 _a C. 4 6 a D. 3 6

9

a

SOLUSI : 3 1 2 2 2 1 2 1 3 1 1 3 2 1 3 1 2 1 ( 3 3 3 ) 1 ( ) 1 ( 9 18 9 3 . 3 1 ) 1 (           + +           + + = + + + + − − a a a a a a a a a a 3 1 2 2 3 2 1 3 4 ) 1 1 ( 3 3 ) 1 (           +           + = − a a a             +           + = − 3 2 2 1 2 1 2 1 3 2 ) 1 1 ( 3 3 ) 1 ( a a a                       + + = − 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 3 3 ) 1 1 ( ) 1 ( a a a                   + + = 2 1 3 2 3 1 1 1 a a a a Jadi :

3

3

1

3

1

9

18

9

3

.

3

1

)

1

(

6 6 1 2 1 3 2 3 2 1 3

a

a

a

a

a

a

a

a

=

=









=

+

+

+

+

− − − Jawaban : B

47. Diberikan sistem persamaan berikut :

2

12

40

6

2 2

+

=

+

=

+

y

x

y

x

Carilah nilai x – y ? A.

2

11

+

6

2

B.

2

11

−

6

2

C. 2 2 D.

2

SOLUSI :

)

(

36

2

36

2

36

)

(

6

2 2 2 2 2

y

x

xy

xy

y

x

y

x

diperoleh

an

dikuadratk

ruas

kedua

Jika

y

x

Diketahui

+

−

=

⇔

=

+

+

⇔

=

+

=

+

Selanjutnya perhatikan bahwa (x – y )2 =x2 + y2 – 2xy

Subtitusikan 2xy diperoleh

(x – y )2 =x2 + y2 – (

₃₆

₍

2 2

₎

y

x

+

−

)

(x – y )2 =2(x2 + y2) – 36

Subtitusikan x2 _{+ y}2 _{yang diketahui pada soal diperoleh}

(x – y )2 _{=2(40+12 2) – 36} (x – y )2 _{=80+24 2– 36} (x – y )2 _{=44+24 2} (x – y )2 _{=4(11+6 2)} Jadi nilai x – y =

±

4

(

11

+

6

2

)

x – y =

±

2

11

+

6

2

Jawaban : A

Diketahui BE = CE = DE,

m

∠

ADB

=

10

0

,

dan

m

∠

BAC

=

50

0

.

maka berapakah besar sudut ACE ?

A. 10 B. 15 C. 30 D. 45 SOLUSI :

Dari kondisi soal misalkan BE = CE = DE= r,atau BD=2r dan mengingat sifat besar sudut keliling yang menghadap diameter = 900 _{, maka dapat digambar segiempat talibusur ABCD sebagai} berikut:

Pada Segitiga ABD ditemukan

∠

ABD = 1800 _{– (90+10)}0 _{= 80}0 Pada segitiga AHB ditemukan

∠

AHB = 1800 – (50 + 80)0 = 500

∠

EHC =

∠

AHB = 500 _{(bertolak belakang)}

∠

BEC = 2.

∠

BAC = 2 . 500 _{= 100}0_{(hubungan sudut pusat dan sudut keliling)} Pada segitiga HEC ditemukan

∠

HCE = 1800 _{– (100 + 50)}0 _{= 30}0

Jadi

∠

ACE =

∠

HCE = 300 Jawaban : C

49. Misalkan x−4−x −2x=4,berapakah nilai( x−1)3? A. 9 B. 4 C. 1 D. –1 SOLUSI : 4 2 4− − = − x x x x x x− 4− =4+2

Kedua ruas dikuadratkan diperoleh :

2 2

4

16

16

)

4

(

x

−

−

x

=

+

x

+

x

2 2 2

4

16

16

)

4

(

4

2

x

x

x

x

x

x

−

−

+

−

=

+

+

2 2 2

4

16

16

2

16

4

2

x

x

x

x

x

x

x

−

−

+

−

+

=

+

+

16

2

4

2

16

16

4

2

−

=

+

+

+

2

−

2

−

−

x

x

x

x

x

x

2

4

16

4

2

x

−

x

=

x

+

x

−

)

4

(

4

4

2

x

−

x

=

x

+

x

2

−

)

4

(

2

4

x

x

x

2

x

−

=

+

−

Kedua ruas dikuadratkan diperoleh : x2(4 – x )2 = 4(16x2 +8x3 + x4)

16x2 _{– 8x}3 _{+ x}4 _=64x2 _{+ 32 x}3 _{+ 4x}4 3x4 _{+ 40x}3 _{+ 48x}2 _{= 0} x2(3x2 + 40x + 48) = 0 x2 (3x+4)(x+12) = 0 x = 0 atau x =

3

4

−

_{, atau x = –12} Nilai 3 ) 1

( x − _{dipenuhi untuk x = 0 sehingga} ( x −1)3 =(−1)3 =−1 Jawaban : D 50. Diketahui

.

45

14

4

4

1

4

1

2 2

+

+

+

+

=

x

x

x

x

Berapakah nilai x 2 + 3 ? A. 3 B. 4 C.

4

13

D.

25

76

SOLUSI :

.

45

14

4

4

1

4

1

2 2

+

+

+

+

=

x

x

x

x

Misalkan y = x2 + 4x, maka :

.

45

14

4

1

1

=

+

+

y

y

.

45

14

)

4

(

)

4

(

4

=

+

+

+

+

y

y

y

y

y

y

.

45

14

)

4

(

4

2

=

+

+

y

y

y

90y + 180 = 14y2 + 56y

14y2 _{– 34y – 180 = 0} 7y2 _{– 17y – 90 = 0} (7y + 18)(y – 5 )=0 7y = – 18 atau y = 5

5

,

7

18

=

−

=

atau

y

y

Kasus 1: x2 + 4x = y

0

18

28

7

7

18

4

2 2

=

+

+

−

=

+

x

x

x

x

Diskriminan = D = 282 – 4 . 7 . 18 D = 28(28 – 18) = 28 . 10 = 280 Sehingga nilai x bentuk akar. Kasus 2 : x2 _{+ 4x = 5} x2 _{+ 4x – 5 =0} (x +5)(x –1) = 0 x = - 5 atau x = 1 x2 _{+ 3 = 25 + 3 = 28 atau 1 + 3 = 4} Jawaban : B

II. SOAL URAIAN

Carilah penyelesaian dari 2 2 1

10 5 3 5 3− + + = x+ − x+ SOLUSI : 1 2 2 10 5 3 5 3− + + = x+ − x+ _………(1) Misalkan p= 3− 5 + 3+ 5

10

4

2

6

)

5

3

)(

5

3

(

2

5

3

5

3

2

=

−

+

+

+

−

+

=

+

=

p

Jika kedua ruas dipangkatkan ½ diperoleh : 2

1

10

=

p

_………(2) Misalkan

q

=

x

+

2

−

2

x

+

1

2 2

)

1

1

(

)

1

1

2

1

)

1

(

1

2

2

2

+

−

+

=

+

+

−

+

−

=

+

−

=

x

x

x

x

x

q

Jika kedua ruas dipangkatkan ½ diperoleh :

1

1

−

+

=

x

q

_{………..(3)}

Selanjutnya dari (1) , (2) dan (3) diperoleh ;

1 1 2 1 10 10 = x+−

Persamaan ini dipenuhi jika

2 1 1 1− = + x 2 3 1 = + x 4 9 1 = + x 4 5 = x

Demikian uraian pembahasan lengkap Soal Babak Final KMP Pasiad VIII. Komentar, kritik, saran, catatan, maupun solusi alternatif dari pembaca sangat penulis harapkan untuk perbaikan dan menambah wawasan penulis maupun penggemar olimpiade matematika. Mudah-mudahan sedikit usaha penulis yang bisa dilakukan ini bisa membantu mencerdaskan anak bangsa khususnya dalam penguasaan matematika. Silahkan pembaca dapat mengirimkannya melalui:

1. Kolom komentar blog :http://olimatik.blogspot.com