1 1.1 Latar Belakang Masalah
Data antar kejadian (time-to-event data) adalah data lama waktu sampai suatu peristiwa terjadi atau sering disebut data survival. Untuk memperoleh data antar kejadian, diperlukan tiga komponen yang harus didefinisikan terlebih dahulu yaitu definisi event (peristiwa) yang menjadi perhatian, titik origin dan unit pengukuran yang digunakan. Analisis data antar kejadian sendiri merupakan analisis uji hidup yang digunakan untuk meneliti daya tahan hidup suatu unit atau individu pada keadaan tertentu yang mencakup survival time (waktu tahan hidup) atau failure time (Collet, 1994). Tujuan dari analisis ini adalah untuk menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu.
Analisis data antar kejadian dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang kesehatan, demografi maupun asuransi. Selain itu, contoh aplikasi lain dari analisis data antar kejadian adalah dalam teori antrian. Dalam analisis data antrian, data yang digunakan adalah data lama waktu menunggu sampai mendapatkan pelayanan. Seperti yang diketahui, distribusi probabilitas yang sering digunakan untuk menganalisis data antrian khususnya untuk data lama waktu menunggu adalah distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial ini juga merupakan distribusi parametrik yang populer untuk memodelkan data antar kejadian. Besarnya peran dari distribusi eksponensial mengakibatkan banyaknya ahli statistika yang tertarik untuk memodifikasi distribusi eksponensial tersebut.
Salah satu contoh distribusi yang ternyata merupakan hasil campuran antara distribusi eksponensial dengan parameter 𝜃 dan distribusi gamma dengan parameter (2, 𝜃) adalah distribusi Lindley. Distribusi Lindley telah banyak dikembangkan oleh para peneliti dan terbukti bahwa distribusi ini memiliki potensi dalam memodelkan data antar kejadian. Ghitany (2008) menunjukkan
bahwa distribusi Lindley lebih cocok untuk memodelkan data waktu menunggu dalam sebuah antrian. Di dalam analisis data antar kejadian terdapat beberapa fungsi yang sering digunakan, salah satunya adalah fungsi hazard. Fungsi hazard didefinisikan sebagai tingkat (rate) terjadinya suatu event. Fungsi hazard merupakan pemberi informasi yang berlawanan dengan fungsi survival. Dengan menggunakan fungsi hazard, dapat pula dilihat tingkat kegagalan dari suatu event. Distribusi eksponensial memiliki bentuk fungsi hazard yang bergerak konstan, hal ini dikarenakan distribusi eksponensial memiliki sifat “pelupa” (lack
of memory) yang berarti bahwa probabilitas survive ke depan tidak dipengaruhi
oleh kondisi survive sekarang (Danardono, 2012). Kelebihan distribusi eksponensial dalam memodelkan data waktu menunggu adalah dari sifat lack of
memory ini, karena sifat tersebut mengakibatkan observasi bersifat independen.
Akan tetapi, sifat lack of memory tadi terkadang dianggap kurang mampu merepresentasikan fungsi hazard dari serangkaian data waktu menunggu di sebuah antrian. Pada praktiknya tingkat terjadinya pelayanan dalam sebuah antrian tidak selalu konstan. Seseorang yang memiliki waktu menunggu lebih besat pastinya memiliki tingkat pelayanan yang berbeda dengan orang lain yang memiliki waktu menunggu kecil. Sedangkan distribusi Lindley sebagai bentuk campuran eksponensial memiliki bentuk fungsi hazard yang bergerak naik. Pergerakan ini juga dianggap kurang dapat merepresentasikan data antrian, karena semakin besarnya waktu tunggu tidak selalu mengakibatkan semakin besarnya tingkat pelayanan. Oleh karena itu, modifikasi distribusi banyak dilakukan oleh peneliti dengan membentuk suatu distribusi baru yang lebih dapat merepresentasikan data sedemikian hingga dapat diperoleh bentuk fungsi hazard yang lebih fleksibel dalam tingkat kegagalannya, yaitu menangani kenaikan dan penurunan tingkat kegagalan serta bentuk upside down bathtub dari tingkat kegagalan. Salah satu modifikasi yang dilakukan adalah dengan memperkenalkan keluarga distribusi baru.
Di dalam skripsi ini, akan dibahas mengenai pembentukan keluarga distribusi baru dengan menggunakan transformasi integral pada fungsi densitas yang mana hasilnya dapat dibentuk sebagai fungsi komposisi. Keluarga distribusi
baru yang dibentuk didasarkan pada fungsi distribusi Lindley melalui sebuah fungsi distribusi G tertentu. Dengan mensubstitusikan distribusi eksponensial pada keluarga distribusi baru tersebut, maka akan terbentuk distribusi baru yang disebut sebagai distribusi Lindley-eksponensial. Distribusi Lindley-eksponensial ini dapat digunakan untuk menganalisis data survival serta data antrian.
Estimasi parameter distribusi Lindley-eksponensial dilakukan dengan menggunakan Estimasi Maksimum Likelihood serta iterasi Newton Raphson. Kemudian dilakukan perbandingan distribusi untuk melihat kecocokan distribusi Lindley-eksponensial pada data waktu menunggu. Dengan diketahui distribusi yang paling cocok dengan data, maka akan dilakukan analisis selanjutnya seperti membentuk fungsi densitas, survival ataupun hazard. Data yang akan digunakan adalah data lama waktu menunggu antrian pelayanan di Bank BRI cabang Katamso Yogyakarta.
1.2 Batasan Masalah
Dalam skripsi ini pembahasan difokuskan pada pembentukan distribusi Lindley-eksponensial serta beberapa fungsi distribusi beserta karaketristiknya. Fungsi distribusi yang dibahas adalah fungsi survival, fungsi densitas, fungsi distribusi kumulatif, fungsi hazard, fungsi kuantil serta fungsi pembangkit momen. Sedangkan, analisis yang dilakukan adalah sebatas menguji kecocokan data waktu menunggu pada distribusi Lindley-eksponensial serta menunjukkan beberapa fungsi distribusi Lindley-eksponensial berdasarkan data waktu menunggu tersebut. Pengujian kecocokan dilakukan dengan membandingkan distribusi Lindley-eksponensial dengan distribusi eksponensial, distribusi Lindley serta distribusi power Lindley. Analisis ini dilakukan pada data waktu menunggu antrian pelayanan di Bank BRI Katamso Yogyakarta. Data yang digunakan hanya berupa data lama menunggu nasabah dalam antrian tanggal 4 Mei 2014 pada jam pelayanan10.00 hingga 15.00.
1.3 Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengembangkan distribusi eksponensial serta Lindley dalam pemodelan data survival dan data waktu menunggu melalui pembentukan distribusi baru.
2. Memperkenalkan dan mendefinisikan distribusi Lindley-eksponensial beserta karakteristik dari distribusi tersebut, khususnya karakteristik fungsi hazardnya.
3. Mengaplikasikan distribusi Lindley-eksponensial serta membandingkan kecocokan distribusi Lindley-eksponensial dengan tiga distribusi lainnya pada pemodelan data waktu menunggu antrian pelayanan di Bank BRI. Dengan adanya penelitian ini diharapkan dapat :
1. Menambah pengetahuan pembaca tentang penerapan ilmu statistika secara lebih luas.
2. Menambah wawasan pembaca tentang pemodelan dalam data antar kejadian.
3. Memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan.
1.4 Metode Penulisan
Metode yang dipakai dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur. Sumber literatur yang dipakai diperoleh dari buku, artikel dan jurnal penelitian yang berkaitan dengan tema yang dibahas dalam skripsi ini. Sumber-sumber tersebut berasal dari sumber-sumber resmi dari perpustakaan maupun situs online.
1.5 Tinjauan Pustaka
Di dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, analisis data antar kejadian khususnya analisis data waktu menunggu banyak dibutuhkan. Oleh karena itu, banyak peneliti mencoba memodifikasi distribusi yang sering digunakan untuk analisis data antar kejadian tersebut. Tujuannya adalah untuk membentuk dsitribusi yang lebih dapat merepresentasikan data. Distribusi Lindley merupakan salah satu distribusi yang memiliki potensi dalam memodelkan data antar
kejadian. Setelah diselidiki, distribusi Lindley dengan satu parameter ternyata merupakan campuran antara distribusi eksponensial 𝜃 dengan distribusi gamma 2, 𝜃 . Ghitany, dkk. (2008) memaparkan bahwa distribusi Lindley merupakan distribusi yang lebih baik dibandingkan distribusi eksponensial biasa. Hal ini ditunjukkan dengan membandingkan antara distribusi Lindley dan eksponensial menggunakan data waktu menunggu. Beberapa peneliti telah mencoba mengembangkan distribusi Lindley. Bakouch, dkk. (2012) menjelaskan tentang perluasan distribusi Lindley. Di dalam papernya dijelaskan bahwa perluasan dari distribusi Lindley lebih fleksibel untuk memodelkan data survival, khususnya dalam hal reliabilitas serta bentuk tingkat kegagalan. Perluasan distribusi Lindley ini dilakukan dengan cara eksponensiasi yang dapat menangani kenaikan dan penurunan tingkat kegagalan serta bentuk unimodal dan bathtub dari tingkat kegagalan.
Pengembangan distribusi Lindley tidak berhenti pada seorang peneliti saja. Hal ini dilakukan pula oleh oleh Shanker, dkk. (2013) yang memperkenalkan distribusi Lindley dengan 2 parameter yang digunakan untuk memodelkan data waktu menunggu dan data waktu survival, Ghitany, dkk. (2012) memperkenalkan kembali satu lagi perluasan dari distribusi Lindley yaitu distribusi power Lindley dengan 2 parameter. Distribusi power Lindley ini merupakan campuran dari 2 komponen distribusi weibull serta generalisasi dari ditribusi gamma dengan proporsi campuran 𝑝 = 𝛽/(𝛽 + 1). Distribusi power Lindley ini memiliki keunggulan dalam hal bentuk densitasnya serta fungsi hazard maupun nilai skewness dan kurtosisnya.
Beberapa tahun terakhir banyak muncul model pengembangan lain dari sebuah distribusi, yaitu dengan cara menggabungkan dua atau beberapa distribusi menjadi sebuah distribusi baru. Peneliti yang mulai melakukan hal tersebut, diantaranya Eugene, dkk. (2002) memperkenalkan distribusi beta-normal, Ristic, dkk. (2012) mencoba memperkenalkan keluarga distribusi Lindley dari fungsi survival yang mana kemudian menggabungkannya dengan distribusi
exponentiated eksponensial serta Bhati, dkk. (2015) mencoba memperkenalkan
dengan distribusi eksponensial menjadi distribusi Lindley-eksponensial dua parameter. Pembentukan distribusi baru tersebut dilakukan dengan melakukan transformasi integral atau dapat dikatakan membentuk fungsi komposisi dari fungsi distribusi kumulatif. Pembentukan fungsi komposisi dijelaskan dalam
paper yang ditulis oleh Al-Hussaini (2012). Pembentukan distribusi baru ini
terbukti dapat mengubah bentuk fungsi hazard menjadi tidak konstan dan monoton. Beberapa paper yang telah disebutkan merupakan dasar dalam penyusunan skripsi ini.
Pada skripsi ini akan membahas tentang pengembangan distribusi eksponensial dan distribusi Lindley dengan fungsi hazard konstan serta naik monoton menjadi distribusi gabungan Lindley-eksponensial yang mampu menangani kenaikan, penurunan, serta bentuk upside down bathtub fungsi hazard sesuai dengan nilai parameternya. Dalam pembentukan distribusi gabungan ini digunakan transformasi integral serta konsep fungsi komposisi. Selain itu, akan dibahas pula fungsi kuantil berdasarkan buku yang ditulis oleh Nair, dkk. (1970) serta paper yang ditulis oleh Corless, dkk. (1996) dan Jodra (2010).
1.6 Sistematika Penulisan
Garis besar sistematika penulisan yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah sebagai berikut :
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini menjelaskan tentang latar belakang pengambilan tema, tujuan penulisan yang ingin dicapai serta manfaat yang diharapkan, pembatasan masalah agar pembahasan tidak menyimpang dari tujuan penulisan, metode penulisan, tinjauan pustaka untuk memperkuat argumen dan sistematika penulisan sesuai dengan arah dan tujuan dari penulisan skripsi.
BAB II LANDASAN TEORI
Bab ini menjelaskan mengenai teori-teori yang mendukung penulisan tentang pembentukan distribusi Lindley-Eksponensial serta kelengkapan distribusi. Teori
tersebut diantaranya tentang variabel random, konsep bentuk fungsi densitas, fungsi hazard, fungsi survival, fungsi kuantil, Moment Generating Function (MGF) suatu distribusi, perhitungan estimasi parameter dengan Maximum
Likelihood Estimator (MLE), algoritma Newton Rhapson, ukuran kebaikan model
(AIC dan BIC) serta distribusi probabilitas yang digunakan sebagai dasar pembentukan distribusi Lindley-eksponensial.
BAB III DISTRIBUSI LINDLEY-EKSPONENSIAL
Bab ini menjelaskan mengenai pembentukan distribusi baru Lindley-eksponensial serta karakteristik dari distribusi tersebut, seperti bentuk densitas, fungsi survival, fungsi hazard, fungsi kuantil, moment distribusi. Selain itu, di dalam bab ini juga dijelaskan tentang penentuan estimasi parameter dari distribusi Lindley-eksponensial dengan metode MLE.
BAB IV STUDI KASUS PEMODELAN DATA WAKTU MENUNGGU MENGGUNAKAN DISTRIBUSI LINDLEY-EKSPONENSIAL
Bab ini menjelaskan tentang aplikasi distribusi Lindley-eksponensial untuk data survival. Studi kasus yang diambil adalah waktu tunggu nasabah Bank BRI cabang Katamso Yogyakarta dalam antrian teller pada hari Senin tanggal 4 Mei 2014 pada jam pelayanan10.00 hingga 15.00. Dari data yang dimiliki, dilakukan perhitungan estimasi beberapa parameter yang diperlukan. Kemudian dihitung nilai AIC dan BIC dari distribusi tersebut untuk dibandingkan dengan distribusi lainnya. Selanjutnya, barulah distribusi terbaik digunakan untuk membentuk fungsi densitas, survival serta hazard.
BAB V PENUTUP
Bab ini menjelaskan tentang kesimpulan dari hasil pembahasan pada bab-bab sebelumnya. Selain itu, bab ini juga berisi saran dari penulis untuk penelitian-penelitian selanjutnya yang berkaitan dengan skripsi ini.
