BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Gelanggang, Lapangan, dan Ruang Vektor

Suatu himpunan tak kosong R disebut gelanggang jika di dalam R didefinisikan dua operasi, masing-masing dinotasikan dengan + dan . , sedemikian sehingga dipenuhi :

1. (R, +) suatu grup komutatif 2. (R, .) suatu semigrup

3. a.(b + c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a untuk semua a, b, c di R

Jika perkalian di R memenuhi a.b = b.a untuk setiap a, b di R, maka R dinamakan gelanggang komutatif.

Selanjutnya pada gelanggang komutatif R jika untuk semua 0 ≠ a ∈ R terdapat b ≠ 0 ∈ R sedemikian sehingga berlaku ab = ba = 1 maka R disebut lapangan yang dinotasikan dengan k. Struktur lain yang ada kaitannya dengan lapangan adalah ruang vektor.

Suatu himpunan tak kosong V disebut ruang vektor atas suatu lapangan k jika (V, +) suatu grup komutatif dan untuk setiap α∈ k, v ∈ V didefinisikan suatu unsur, ditulis αv, di V sehingga dipenuhi :

1. α(v + w) = αv + αw 2. (α + β)v = αv + βV

3. α(βv) = (αβ)v

4. 1v = v, untuk semua α,β∈ k dan v, w ∈ V

Generalisasi dari ruang vektor atas lapangan adalah modul atas gelanggang. Himpunan tak hampa M disebut modul kiri atas gelanggang R (atau ditulis R-modul gelanggang ) jika M dilengkapi dengan dua operasi yaitu operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian dengan skalar yang dinyatakan dengan pemetaan f : R x M → M dengan f(r, a) = ra ∈ M, ∀ r ∈ R dan a ∈ M sedemikian sehingga dipenuhi : (1) (M, +) grup komutatif (2) ∀ r, s ∈ R dan ∀ a, b ∈ M berlaku : a. r(a + b) = ra + rb b. (r + s)a = ra + sa c. r(sa) = (rs)a d. 1a = a

Jika pada definisi di atas, operasi perkalian skalar didefinisikan oleh f : M x R → M dengan f(a,r) = ar ∈ M maka M disebut modul kanan atas gelanggang R ( atau ditulis R-modul kanan).

2. 2 Hasilkali Tensor

Pendefinisian aljabar atas lapangan yang akan dibahas di sini memerlukan sifat-sifat hasilkali tensor. Dalam tulisan ini penulis akan membahas hasilkali

tensor dari dua buah modul atas gelanggang dan menggunakannya untuk hasilkali tensor aljabar.

DEFINISI 2.1 Misalkan AR dan RB berturut-turut menyatakan R-modul

kanan dan kiri. Jika U menyatakan grup Abel aditif, maka

φ

:

A

x

B

→

U

dikatakan pemetaan balance jika dipenuhi :

1.

φ

(a1 + a2, b) =

φ

(a1, b) +

φ

(a2, b) 2.

φ

(a, b1 + b2) =

φ

(a, b1) +

φ

(a, b2) 3.

φ

(ar, b) =

φ

(a, rb),

untuk semua a, a1, a2∈ A , b, b1, b2∈ B dan r ∈ R.

Kondisi (1) dan (2) mengatakan bahwa

φ

suatu pemetaan bilinier.

Dapat ditunjukkan bahwa jika η : U → U` suatu homomorfisma grup maka pemetaan komposisi ηϕ : A x B → U` suatu pemetaan balance.

Jika AR dan RB sebarang R-modul, definisikan S =S(A, B) menjadi grup

komutatif bebas atas A x B. ( Grup komutatif bebas artinya jumlah langsung dari pembangun suatu grup siklik tak hingga dan A x B memuat semua pembangun dari S. Dalam hal ini S = ⊕<(ai, bi)> dengan i ∈ I ). Dengan kata lain, setiap unsur di S dapat ditulis secara tunggal sebagai suatu jumlah hingga ∑ za,b(a, b) dengan z bilangan bulat.

Misalkan H subgrup dari S yang dibangun oleh unsur-unsur dengan bentuk sebagai berikut.

1. (a1+a2, b) - (a1, b) - (a2, b) 2. (a, b1+b2) - (a, b1) - (a, b2)

3. (ar, b) - (a, rb), untuk semua a, a1, a2∈ A , b, b1, b2∈ B dan r ∈ R.

Sekarang definisikan A⊗B menjadi suatu grup komutatif aditif S/H. Untuk (a, b) ∈ S, definisikan a⊗b = (a, b) + H = 1(a, b) + H ∈ A⊗B. Restriksi pada S → S/H oleh A x B menghasilkan pemetaan φ :AxB → A⊗B. Berdasarkan

pendefinisian H di atas dapat dilihat bahwa φ suatu pemetaan balance.

Dari konstruksi di atas dapat diperoleh definisi hasilkali tensor sebagai berikut :

DEFINISI 2.2 Untuk modul AR dan RB atas suatu ring R, suatu hasilkali

tensor dari A dan B adalah pasangan (T, ) dimana T adalah grup komutatif dan : A x B → T suatu pemetaan balance. Untuk sebarang pemetaan balance f : A x B → C ke sebarang grup komutatif C, terdapat homomorfisma grup komutatif yang tunggal f` : T → C sedemikian sehingga f = f`ϕ.

φ

φ

Diagramnya dapat dilihat sebagai berikut :

A x B ϕ T f ∃! f `

PROPOSISI 2.1 Misalkan AR dan RB adalah R-modul. Maka (A⊗RB, θ)

suatu hasilkali tensor dari A dan B atas R. Lebih jauh, jika (X, θ`) sebarang hasilkali tensor lain, maka terdapat isomorfisma grup komutatif σ : A⊗B → X sedemikian sehingga θ` = σθ.

Bukti :

Sebelumnya telah dibuktikan bahwa A⊗RB suatu grup komutatif dan

θ : AxB → A⊗B suatu pemetaan balance. Sekarang, misalkan ϕ: AxB → U

sebarang pemetaan balance. Karena S modul bebas atas AxB, penugasan (a, b) ϕ(a, b)menentukan suatu homomorfisma η`: S → U. Karena ϕ pemetaan balance maka η` memetakan setiap generator dari H ke nol atau

η`(H) = 0. Jadi, H ⊂ ker(η`). Dari teorema isomorfisma grup terdapat

η : S/H → U sedemikian sehingga η[(a,b) + H ]= η`[(a, b)]= ϕ(a, b). Tetapi dari pendefinisian awal S/H = A⊗B dan (a, b) + H =a⊗b. Oleh karenanya, η : S/H = A⊗B → U suatu homomorfisma dengan η(a⊗b) = ϕ(a, b) .

a

Berikut akan ditunjukkan bahwa η unik.

Misalkan f : A⊗B → U suatu homomorfisma grup komutatif lain sehingga ϕ = fθ. Ambil ξ unsur di A⊗B dan tuliskan ξ = ∑ a⊗b, yaitu jumlah hingga. Sekarang perhatikan, f(ξ)= ∑fθ(a, b) = ∑ϕ(a, b) = η(ξ). Hal ini menunjukkan bahwa η = f.

Perhatikan diagram berikut :

A x B

θ θ`

σ

A⊗B τ X

Karena (X, θ`) suatu hasilkali tensor maka θ` : AxB → X suatu pemetaan balance dan terdapat σ : A⊗B → X dengan θ` = σθ. Demikian juga karena (A⊗B, θ) suatu hasilkali tensor maka θ : AxB → A⊗B suatu pemetaan balance dan terdapat τ : X →A⊗B dengan θ = τθ`. Jadi diperoleh θ` = στθ` dan juga

θ = τσθ. Hal ini menunjukkan bahwa στ dan τσ suatu pemetaan identitas. Jadi,

σ: A⊗B → X mendefinisikan suatu isomorfisma. Q.E.D Untuk mempermudah pemahaman hasilkali tensor berikut akan diberikan beberapa contoh dan perhitungan sederhana dari hasilkali tensor

CONTOH I.

Untuk 1

≤

n, m ∈ Z dengan gcd(m, n) = d ≥ 1 pembangun dari ideal (n) + (m) = nZ + mZ = (d). Bentuk Zn = Z/(n), dan demikian juga untuk Zm dan Zd. Misalkan

η : Zn x Zm→ Zd oleh pengaitan η(i + (n), j + (m) ) = ij + (d) untuk i, j ∈ Z, maka

BUKTI :

Buat pengaitan η : Zn x Zm→ Zd oleh η(i + (n), j + (m) ) = ij + (d) untuk

i, j ∈ Z. Pertama akan ditunjukkan bahwa η suatu pemetaan. Ambil (I + (n), j + (m)), dan (a + (n), b + (m)) ∈ Zn x Zmsebarang dengan I + (n ) = a+(n)

dan j + (m) = b + (m). Kita peroleh bahwa I - a = n1 dan j – b = m1 untuk suatu n1 ∈(n) dan m1∈ (m). Tetapi ij = (a + n1)(b + m1) = ab + am1 + bn1 +n1m1 , akibatnya ij – ab ∈ (d) yang menunjukkan bahwa ij + (d) = ab + (d). Jadi, η terdefinisi dengan baik.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa η suatu pemetaan balance. Ambil i + (n), j + (i) ∈ Zn dan a + (m), b + (m) ∈ Zm dan r ∈Z. Tetapi karena :

¾ η(I + j + (n), a + (m)) = (I + j)a +( d) = ia + (d) + ja + (d) =

η(I + (n), a + (m)) + η(j+(n), a+(m));

¾ η(I + (n), a + b + (m)) = i(a + b) + (d) = ia + (d) + ib + (d) = η(I + (n), a + (m)) + η(i+(n), b+(m));

¾ η(ri + (n), a + (m)) = (ri)a + (d) = i(ra) + (d) = η(I + (n), ra + (m)) ; maka η

suatu pemetaan balance

Selanjutnya Misalkan ϕ: Zn x Zm → C sebarang pemetaan balance ke

suatu grup komutatif C, akan ditunjukkan bahwa terdapat homomorfisma grup komutatif ϕ` : Zd → C sedemikian sehingga ϕ = ϕ`η. Oleh karena itu definisikan

ϕ`(k + (d)) = ϕ(k+(n), 1+(m)) dengan k ∈ Z. Ambil k + (d), l + (d) ∈Zd dengan k + (d) = l + (d), maka k – l = in + jm atau k = in + jm + l.Kita peroleh:

ϕ`(k + (d)) = ϕ(k + (n), 1 + (m)) = ϕ(in + jm + l + (d), 1+ (d)) = ϕ(l + (d), 1 + (d)) = ϕ`(l + (d)) yang menunjukkan bahwa ϕ` terdefinisi dengan baik.

Sekarang akan ditunjukkan bahwa ϕ` suatu homomorfisma grup. Ambil k + (d), l + (d) ∈ Zd , karena ϕ balance maka Kita peroleh bahwa ϕ`(k + l + (d))=

ϕ(k + l + (n), 1+ (m))= ϕ(k + (n), 1+ (m))+ ϕ(l + (n), 1 + (m)) = ϕ`(k + (d)) +

ϕ`(l + (d)). Jadi, ϕ` Suatu homomorfisma.

Sekarang perhatikan bahwa ϕ`η(I + (n), j + (m))= ϕ`(ij + (d))= ϕ(ij + (n), 1+ (m) = ϕ(I + (n), j + (m)). Kita peroleh bahwa ϕ = ϕ`η. Misalkan h : Zd → C

pemetaan lain yang memenuhi ϕ = hη. Maka h(k + (d)) = hη(k + (n), 1 + (m)) = ϕ(k + (n), 1 + (m))= ϕ`(k + (d)). Jadi, h=ϕ`.

Dari pembuktiaan di atas terbukti bahwa (Zd, η) mendefinisikan suatu

hasilkali tensor dari Zn dan Zm. Q.E.D

CONTOH II

Jika p ≠ q ∈ Z dengan gcd(p, q) = 1, maka Z/(p) ⊗Z Z/(q) = 0.

Bukti :

Karena gcd(p, q) = 1 maka ada s, t ∈ Z sehingga sp+tq=1. Perhatikan bahwa (1+(p))⊗(1+(q))=(sp+tq+(p)) ⊗ (1+(q))=(tq+(p)) ⊗ (1+(q))

= ((t+(p)q)⊗(1+(q)) = 0.

CONTOH III

Untuk sebarang 2 ≤ n ∈ Z, untuk (n) = nZ

<

Z dan Q himpunan semua bilangan rasional, maka Q ⊗Z Z/(n) = 0.

Bukti :

Ambil x ∈ Q sebarang. Tulis x = ny untuk suatu y ∈ Q. Jadi, x ⊗ (1+(n))=ny ⊗ (1+(n)) = y ⊗ n(1+(n)) = y ⊗ 0 = 0.

Kita peroleh bahwa Q ⊗Z Z/(n) = 0. Q.E.D

CONTOH IV : PERHITUNGAN HASILKALI TENSOR

Diberikan Z2 himpunan semua bilangan bulat modulo dua dan Z4 himpunan semua bilangan bulat modulo 4. Di sini akan dihitung hasilkali tensor antara Z2 dan Z4 yaitu Z2⊗ Z4 Untuk itu perhatikan tabel berikut :

Z4 Z2

0

1

2

3

0

₀

_⊗

₀

₀

_⊗

₁

₀

_⊗

₂

₀

_⊗

₃

1

₁

_⊗

₀

₁

_⊗

₁

₁

_⊗

₂

₁

_⊗

₃

Dari tabel tersebut kita peroleh:

¾

0

⊗

0

=

0

⊗

1

=

0

⊗

2

=

0

⊗

3

=

1

⊗

0

=

1

⊗

2

Yang terakhir diperoleh dengan menggunakan sifat hasilkali tensor yaitu na ⊗ b = a ⊗ nb = n(a ⊗ b).

Jadi,

0

⊗

1

,

0

⊗

2

,

0

⊗

3

,

1

⊗

0

,

1

⊗

2

dapat diwakili oleh

0

⊗

0

dan

1

⊗

3

dapat diwakili oleh

1

⊗

1

. Sehingga kita peroleh Z2⊗Z4 =

{

0

⊗

0

,

1

⊗

1

}

yang isomorf dengan Z2. Hal ini sesuai dengan apa yang telah dibahas pada contoh 1 sebelumnya.

LEMA 2.1. Misalkan k suatu lapangan dan V suatu ruang vektor atas k.Lapangan k sendiri dapat dipandang sebagai ruang vektor berdimensi satu atas k. Terdapat isomorfisma k ⊗ V ≅ V ≅ V ⊗ k.

Bukti :

Akan dibuktikan k ⊗ V ≅ V. Pandang V suatu hasilkali tensor dari k dan V. Sementara k ⊗ V sendiri adalah hasilkali tensor.

Pandang diagram berikut :

kxV

θ ϕ

f

V g k ⊗ V

(i) Karena V mendefinisikan hasilkali tensor k dan V maka untuk setiap pemetaan balance ϕ : k x V → k ⊗ V terdapat secara tunggal homomorfisma f : V→ k ⊗ V sehingga ϕ=fθ.

(ii). Dengan cara yang sama pandang bahwa k ⊗ V suatu hasilkali tensor. Diperoleh bahwa untuk setiap pemetaan balance θ: k x V → V terdapat dengan tunggal g : k ⊗ V→ V sedemikian sehingga θ=gϕ

(iii).Dari (i) dan (ii) diperoleh ϕ = fθ=fgϕ dan di sisi lain 1k⊗ Vϕ =ϕ. Jadi, fg=1k ⊗ V. Juga θ=gϕ=gfθ dan 1Vθ=θ yang berakibat gf =1V. Oleh karenanya, g suatu isomorfisma. Jadi telah dibuktikan bahwa k ⊗ V ≅ V ≅ V ⊗ k. Q.E.D

LEMA 2.2. Misalkan A, A` suatu R-modul kanan dan misalkan B, B`, suatu R-modul kiri. Jika α: A → A` dan β: B → B` adalah suatu R-homomorfisma , maka terdapat homomorfisma α⊗β: A ⊗ B → A` ⊗ B` dengan

α⊗β :a ⊗ b →αa ⊗βb untuk setiap a di A dan b di B. Bukti :

Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa A x B → A` ⊗ B` yang didefinisikan oleh (a, b) αa ⊗ βb suatu pemetaan balance dan berdasarkan definisi hasilkali

tensor A ⊗ B terdapat homomorfisma α⊗β: A ⊗ B → A` ⊗ B` dengan α⊗β : a ⊗

b →αa ⊗βb. Q.E.D