MODEL MATEMATIKA PADA PERMAINAN KETANGKASAN BOLA (JUGGLING) SEDERHANA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Prisca Devi Yudistasari

NIM : 053114020

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2011

Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements

to Obtain The Sarjana Sains Degree

In Mathematics

by :

Prisca Devi Yudistasari

Student Number : 053114020

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2011

but set an example for the believers in speech, in life, in love,

in faith and in purity." (1 Timotius 4:12)

Try not to measure your success by the success of others.

Success should be defined by one person: "Yourself!"

-Lupe Fiasco-

Life is so much easier when you trust the process.

Trust God!

Never be afraid of hanging your dream high. The higher your

dream is, the harder your effort would be

"You must learn from your past mistakes, but not learn on your

past successes. "

-Denis Waitley-

permainan juggling dimana susunannya periodik, beatnya konstan, dan paling

banyak satu bola akan dilempar dan ditangkap untuk setiap beat. Pada skripsi ini

yang akan dibahas adalah model matematika dari permainan juggling sederhana

yaitu mencari tahu saat beat ke berapa bola akan dilempar dan ditangkap. Model

matematika tersebut digambarkan dengan barisan juggling. Barisan juggling

adalah lamanya suatu bola saat mulai dilempar untuk setiap beat pada satu

periode. Pembahasan skripsi ini akan menunjukkan bagaimana mengetahui suatu

barisan merupakan barisan juggling atau bukan dengan menggunakan diagram

juggling atau tes permutasi. Selain itu akan ditunjukkan bagaimana mengubah

suatu barisan juggling menjadi barisan juggling yang baru dan mencari invers dari

barisan juggling.

beats are constant, and at most one ball gets caught and thrown on every beat. In

this thesis, which will be discussed are mathematical models of simple juggling is

to find out when the beats to how the ball will be thrown and caught.

Mathematical model is illustrated with juggling sequence. Juggling sequence is

the duration of a ball when thrown it begins for one period on every beat.

Discussion of this thesis will show how to know a sequence is a juggling sequence

or not using juggling diagram or permutation test. Furthermore will be shown how

to transform juggling sequence into new juggling sequence and find inverse of a

juggling sequence.

melimpahkan rahmat dan karunia kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan

skripsi ini dengan baik. Skripsi ini ditulis untuk memenuhi salah satu syarat

memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Fakultas Sains

dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis mendapat bantuan, bimbingan dan

arahan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih

yang tak terhingga kepada:

a. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.

b. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program

Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

c. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing

yang telah banyak meluangkan waktu dan membantu serta sabar

membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

d. Prof. Frans Susilo, S.J. selaku dosen pembimbing akademik.

e. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah

memberikan ilmu yang sangat berguna kepada penulis.

f. Seluruh karyawan sekretariat FST yang telah memberikan pelayanan

administrasi kepada penulis selama masa kuliah.

g. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang memberikan fasilitas

dan kemudahan kepada penulis.

selalu memberikan doa, perhatian, dukungan dan cintanya kepada

penulis.

j. Temen-temen matematika angkatan 2005 terkhususnya

sahabat-sahabatku : Yosephin Artiani, Wuri Johana Fransisca dan Agnes Tri

Susilawati, terima kasih sudah memberikan kenangan indah selama

kuliah baik senang, sedih, tangis dan tawa yang sudah kita lewati

bersama.

k. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan dan

kekeliruan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat

menyempurnakan skripsi ini.

Akhirnya, semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca

demi perkembangan ilmu pengetahuan, khususnya matematika.

Yogyakarta, 14 Desember 2010

Penulis

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……….. iii

HALAMAN PENGESAHAN ………... iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS ……. v

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ….. vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ………... vii

ABSTRAK ... viii

ABSTRACT ... ix

KATA PENGANTAR ………... x

DAFTAR ISI ………... xii

DAFTAR TABEL ……….. xiv

DAFTAR GAMBAR ………. xv

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ……….... 1

B. Rumusan Masalah ………... 3

C. Batasan Masalah ………... 3

D. Tujuan Penulisan ………... 4

E. Metode Penulisan ... 4

F. Manfaat Penulisan ………... 4

G. Sistematika Penulisan ………... 5

C. Permutasi ………... 18

BAB III MODEL MATEMATIKA PADA PERMAINAN KETANGKASAN BOLA (JUGGLING) SEDERHANA

A. Permainan Ketangkasan Bola (Juggling) Sederhana ……… 20

B. Diagram Juggling ………... 24

C. Teorema Rata-Rata ………... 25

D. Pertukaran Tempat (Site Swaps) dan Algoritma

Perataan (Flattening Algorithm) ………... 38

E. Tes Permutasi ………..………... 58

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan ………. 78

B. Saran ………... 78

DAFTAR PUSTAKA ………... 80

Tabel 3.2 ... 75

Gambar 3.2 ... 22

Gambar 3.3 ... 23

Gambar 3.4 ... 24

Gambar 3.5 ... 24

Gambar 3.6 ... 26

Gambar 3.7 ... 33

Gambar 3.8 ... 34

Gambar 3.9 ... 39

Gambar 3.10 ... 40

Gambar 3.11 ... 58

Gambar 3.12 ... 72

Gambar 3.13 ... 76

A. Latar Belakang Masalah

Ada berbagai macam permainan yang dapat dimainkan dalam

kehidupan sehari-hari. Salah satunya yaitu permainan ketangkasan bola

(juggling). Juggling dapat digambarkan sebagai suatu permainan dimana

pemain melempar dan menangkap sejumlah bola agar tetap di udara dan

tidak jatuh ke tanah. Bola akan dilempar satu-persatu dan jika lemparan bola

tinggi maka bola akan lebih lama untuk ditangkap, sedangkan jika lemparan

bola pendek maka bola akan cepat untuk ditangkap. Beat pada permainan

juggling didefinisikan sebagai satuan waktu untuk melakukan suatu gerakan.

Gerakan ini dapat berupa gerakan melempar, gerakan menangkap, atau tidak

melakukan gerakan apapun (diam). Dalam permainan juggling, beat akan

selalu konstan sehingga dapat diprediksi saat beat ke berapa bola akan

dilempar, ditangkap, atau tidak dilempar dan ditangkap (diam). Agar bola

tidak jatuh ke tanah harus ada suatu susunan dimana bola suatu saat harus

dilempar lebih tinggi atau bola dilempar lebih rendah. Cara melempar dan

menangkap bola bervariasi, misalkan tangan pemain ada didepan, tangan

pemain ada di belakang, tangan pemain disilangkan, dan sebagainya.

Juggling ada beberapa jenis diantaranya yaitu juggling sederhana,

juggling multiplex dan juggling dengan banyak tangan. Juggling sederhana

dan dilempar pada beat yang sama. Juggling multiplex adalah permainan

juggling dimana akan ada beberapa bola yang ditangkap dan dilempar pada

beat tertentu. Misalnya, jika seorang pemain melakukan permainan juggling

7 bola, maka pemain itu tidak harus selalu melempar dan menangkap satu

bola pada beat tertentu tetapi dapat juga melempar dan menangkap 3 bola

pada beat tersebut. Dari definisi tersebut dapat dikatakan bahwa juggling

sederhana juga merupakan juggling multiplex. Untuk juggling sederhana

dan juggling mulitplex hanya akan dimainkan menggunakan satu tangan,

sedangkan juggling dengan banyak tangan akan dimainkan menggunakan

lebih dari satu tangan.

Dalam permainan juggling biasanya akan diperhatikan beberapa

hal dalam melakukan permainan ini yaitu cara melempar dan menangkap

bola, banyaknya orang yang memainkan, banyaknya bola yang digunakan,

dan panjang lemparan bola. Karena pembahasan hanya pada permainan

juggling sederhana, maka banyaknya tangan tidak akan diperhatikan. Cara

melempar dan menangkap bola juga tidak akan diperhatikan pada

pembahasan ini, sehingga hanya akan diperhatikan banyaknya bola yang

dimainkan dan panjang lemparan bola. Panjang lemparan bola didefinisikan

sebagai lamanya suatu bola saat mulai dilempar dan ditangkap kembali.

Panjang lemparan bola juga akan menentukan pada beat ke berapa bola

akan dilempar dan ditangkap. Panjang lemparan bola ini yang kemudian

Dalam skripsi ini, topik yang akan dibahas hanya pada permainan

ketangkasan bola (juggling) sederhana yaitu menentukan model matematika

pada permainan juggling dan beberapa cara mengubah model juggling

tersebut menjadi model juggling yang baru dengan syarat-syarat tertentu.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan atas uraian yang dikemukakan dalam latar belakang,

pokok permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Bagaimana mendeskripsikan suatu permainan ketangkasan bola

(juggling) sederhana?

2. Bagaimana model matematika pada permainan ketangkasan bola

(juggling) sederhana?

3. Bagaimana mengubah suatu model juggling yang sudah ada menjadi

model juggling yang baru?

C. Batasan Masalah

Pembahasan masalah dalam skripsi ini hanya dibatasi pada susunan

permainan ketangkasan bola (juggling) sederhana dan menentukan model

matematika pada permainan juggling tersebut. Pembuktian rumus

penyusunan barisan juggling pada subbab 3.5.1 (halaman 69) juga tidak

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk :

1. Mengetahui deskripsi suatu permainan ketangkasan bola (juggling)

sederhana.

2. Mengetahui model matematika pada permainan ketangkasan bola

(juggling) sederhana.

3. Mengubah suatu model juggling yang sudah ada menjadi model

juggling yang baru dengan syarat-syarat tertentu.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka,

yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan makalah yang

telah dipublikasikan. Oleh karena itu dalam skripsi ini tidak disajikan hal

baru dalam bidang matematika.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah :

1. Dapat mengetahui deskripsi suatu permainan ketangkasan bola

(juggling) sederhana.

2. Dapat mengetahui model matematika pada permainan ketangkasan

bola (juggling) sederhana.

3. Dapat mengetahui cara mengubah suatu model juggling yang sudah

G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN

Bab ini berisi gambaran secara umum tentang isi skripsi ini yang

meliputi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan

masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan,

dan sistematika penulisan.

BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan bab selanjutnya yaitu aritmetika modulo, fungsi, dan permutasi.

BAB III MODEL MATEMATIKA PADA PERMAINAN KETANGKASAN BOLA (JUGGLING) SEDERHANA Bab ini membahas permainan ketangkasan bola (juggling) sederhana meliputi susunan juggling, diagram juggling, barisan

juggling, metode-metode untuk mengubah barisan juggling, dan

invers dari barisan juggling.

BAB IV PENUTUP

A. ARITMETIKA MODULO

Aritmetika modulo adalah salah satu metode abstrak untuk

melakukan penghitungan. Sebagai contoh, jika sekarang bulan September,

bulan apakah setelah 25 bulan dari sekarang? Jawabannya adalah Oktober,

dan itu dapat dengan mudah dihitung mulai dari September dan

menghitung 25 bulan ke depan. Tetapi terdapat cara yang lebih sederhana

yaitu bahwa 25 didapat dari 25 =2⋅12+1, maka tinggal menghitung 1

bulan setelah September. Berikutnya akan didefinisikan cara ini secara

umum.

Definisi 2.1.1

Misal m suatu bilangan bulat positif dan a∈Ζ. Jika a =mq +r dengan

q adalah hasil bagi dan r adalah sisa pembagian a oleh m, maka dapat

ditulis bahwa amod m =r.

Dari definisi diatas didapat bahwa r adalah sisa pembagian a oleh

m, sehingga nilai r dapat ditulis yaitu 0≤r<m .

Contoh 2.1.1

2. 11mod 3=2 karena 11 =3⋅3+2

Teorema 2.1.1

Setiap bilangan bulat modulo terletak tepat satu di antara

.

m

) 1 ( , , 2 , 1 ,

0 K m −

Bukti :

Ambil sebarang bilangan bulat a dan misalkan amod m =r.

Dari Definisi 2.1.1 didapat bahwa ada q sedemikian hingga a =mq +r

dengan r∈Ζ dan 0≤r<m .

Karena 0≤r<m , maka r terletak di antara 0,1,2,K,(m −1). ■

B. RELASI DAN FUNGSI Definisi 2.2.1

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang

memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Relasi dari dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :

- Dengan diagram panah

- Dengan himpunan pasangan berurutan

Contoh 2.2.1

Diketahui A = {3,4,5} dan B = {2,4}. Bila relasi dari A ke B adalah lebih

dari, nyatakan relasi tersebut dengan :

a. Diagram panah

b. Himpunan pasangan berurutan

c. Diagram Cartesius

Jawab :

a. Diagram panah

A B

3

4 2

5 4

b. Himpunan pasangan berurutan

{(3,2), (4,2), (5,2), (5,4)}

Definisi 2.2.2

Fungsi atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan

yang menetapkan bahwa setiap elemen di A mempunyai tepat satu

pasangan elemen di B. Untuk mendefinisikan bahwa f memetakan A ke B

akan disimbolkan dengan f :A→B.

Tidak semua relasi merupakan sebuah fungsi atau pemetaan, hanya

relasi tertentu yang memenuhi persyaratan tersebut diatas.

Ciri-ciri relasi yang merupakan pemetaan/fungsi :

1. Pada diagram panah : semua anggota A mempunyai pasangan dan

tidak ada cabang relasi dari himpunan A.

Contoh pemetaan/fungsi :

A B

• •

• •

• •

Contoh bukan pemetaan/fungsi :

A B A B

• • • •

• • • •

• • • •

• •

Terdapat cabang dari Terdapat satu anggota A yang himpunan A tidak mempunyai pasangan

2. Pada himpunan pasangan berurutan : tidak terdapat dua unsur

himpunan A yang ditulis lebih dari satu kali.

Contoh pemetaan/fungsi :

{a,1), (b,1), (c,2), (d,3)}

Contoh bukan pemetaan/fungsi :

{(a,1), (b,2), (b,3), (c,3)}

3. Pada diagram Cartesius : tidak ada dua titik segaris vertikal.

Contoh bukan pemetaan/fungsi :

Definisi 2.2.3

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi surjektif (onto) jika

setiap elemen di B mempunyai sekurang-kurangnya satu pasangan elemen

di A.

Contoh 2.2.2

Misal diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c}.

Fungsi dikatakan fungsi surjektif jika setiap elemen di B

mempunyai sekurang-kurangnya satu elemen di A. Sebagai contoh dapat

dilihat sebagai berikut :

B A f : →

A B

1 a

2 b

3

Definisi 2.2.4

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi injektif(satu-satu)

jika setiap elemen di B mempunyai paling banyak satu pasangan elemen di

A.

Contoh 2.2.3

Misal diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d, e}.

Fungsi dikatakan fungsi injektif jika setiap elemen di B

mempunyai paling banyak satu elemen di A. Sebagai contoh dapat dilihat

sebagai berikut :

B A f : →

A B

1 a

2 b

3 c

4 d

e

Definisi 2.2.5

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bijektif(onto dan

satu-satu) jika dan hanya jika f merupakan fungsi surjektif dan fungsi

injektif, dan dinotasikan dengan .

1 1

:

− ⎯→ ⎯

onto B A

Contoh 2.2.4

Misal diketahui A = {1, 2, 3}dan B = {a, b, c}.

Fungsi dikatakan memenuhi fungsi bijektif jika setiap elemen

di B mempunyai sekurang-kurangnya satu elemen di A dan setiap elemen

di B mempunyai paling banyak satu elemen di A. Sebagai contoh dapat

dilihat sebagai berikut :

B A f : →

A B

1 a

2 b

3 c

Untuk membuktikan bahwa suatu fungsi merupakan fungsi

surjektif, fungsi injektif atau fungsi bijektif, maka ada cara yang dapat

digunakan untuk mengetahuinya yaitu :

1. Untuk menunjukkan bahwa φ adalah fungsi surjektif, dapat

diperlihatkan bahwa untuk ∀_b∈B,∃_a∈A sedemikian hingga φ(a)=b.

2. Untuk menunjukkan bahwa φ adalah fungsi injektif, dapat

diperlihatkan bahwa φ(a₁)=φ(a₂)→ a₁ = a₂).

Contoh 2.2.5

Fungsi f :R→ R didefinisikan dengan f

( )

n =n+2.

Jawab :

Ambil sebarang k∈R, akan ditunjukkan ada n∈R sedemikian hingga

( )

n k

f = .

Karena f

( )

n =n+2,maka

k n+2= .

Didapat bahwa n =k −2.

Karena k∈R, maka n∈R.

Untuk n=k−2, maka

k k k

f

=

+ − = −

2 ) 2 ( ) 2 (

Jadi fungsi f merupakan fungsi surjektif.

Contoh 2.2.6

Fungsi f :R→ R didefinisikan dengan f

( )

n =3n+2.

Apakah fungsi f merupakan fungsi injektif ?

Jawab :

Harus dibuktikan bahwa :

) (

2

1,n R

n ∈

∀ (f(n₁)= f(n₂)→n₁ =n₂).

Maka, dimisalkan f

( )

n₁ = f

( )

n₂ dengan n₁,n₂ ∈R, maka

( )

n1 f

( )

n2

f =

2 3 2

3n₁+ = n₂ +

kurangkan kedua ruas dengan bilangan 2 :

kemudian bagi kedua ruas dengan bilangan 3, sehingga didapat

2

1 n

n =

Jadi fungsi f merupakan fungsi injektif.

Contoh 2.2.7

Fungsi f :R+ →R+ didefinisikan dengan

( )

x x f 2 3 = .

Apakah fungsi f merupakan fungsi bijektif ?

Jawab :

a. Akan ditunjukkan fungsi f merupakan fungsi surjektif.

Ambil sebarang k∈R+, akan ditunjukkan ada x∈R+ sedemikian

hingga

( )

x k

f = .

Karena

( )

x x f

2 3

= ,maka

k x = 2 3 . Didapat bahwa k x 2 3 = .

Karena k∈R+, maka x∈R+.

Untuk

k x

2 3

= , maka

k k k f = ⋅ = 3 2 2 3 ) 2 3 (

b. Ditunjukkan fungsi f merupakan fungsi injektif.

Harus dibuktikan bahwa :

) (

2 1,

+ ∈

∀_{x x} R (f(x₁)= f(x₂)→x₁ =x₂).

Maka, dimisalkan f

( )

x₁ = f

( )

x₂ dengan x₁,x₂ ∈R+, maka

( )

x1 f

( )

x2

f =

2

1 2

3 2

3

x x =

2

1 2

2x = x

kemudian bagi kedua ruas dengan bilangan 2, sehingga didapat

2

1 x

x =

Jadi fungsi f merupakan fungsi injektif.

Karena fungsi f merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif, maka

fungsi f merupakan fungsi bijektif.

Definisi 2.2.6

Permutasi dari himpunan A adalah fungsi dari A ke A yang merupakan

fungsi satu-satu dan onto. Permutasi ini dinotasikan dengan .

1 1

: − ⎯→ ⎯

onto A A

f

Contoh 2.2.8

Misal diketahui A = {1, 2, 3}.

Fungsi dikatakan permutasi jika setiap elemen dalam domain A

berpasangan dengan elemen dalam kodomain A dan setiap elemen dalam

kodomain A berpasangan dengan tepat satu elemen dalam domain A.

Sebagai contoh dapat dilihat sebagai berikut :

A A

1 1

2 2

3 3

Definisi 2.2.7

Misal f adalah fungsi satu-satu dengan domain A dan range B. Maka fungsi

invers f−1 mempunyai domain B dan range A _{dan didefinisikan dengan}

( )

y x f

( )

x y f−1 = ⇔ =

untuk setiap y di B.

Dari definisi diatas dapat dikatakan bahwa jika f memetakan x ke y,

maka f−1 memetakan y kembali ke x. Jika f bukan fungsi satu-satu, maka

1

−

f _{tidak dapat didefinisikan.}

Contoh 2.2.9

Pandang fungsi f yang didefinisikan oleh y =5x+2.

Dengan mempertukarkan variabel-variabel dalam persamaan itu didapat

5 2 2

5 + ⇔ = −

= y y x

Jadi bila f(x)=5x+2, maka

5 2 )

(

1 = −

− x

x

f .

Contoh 2.2.10

Misalkan diketahui fungsi y =x2 −6.

Maka dengan mempertukarkan x dan y didapat

6 6

2 _{− ⇔ =± +}

= y y x

x .

Fungsi diatas bukan merupakan fungsi satu-satu, karena untuk setiap

dalam daerah asal ada dua elemen dalam daerah hasil. 6

− > x

Jadi fungsi y = x2 −6 tidak mempunyai invers.

C. PERMUTASI Definisi 2.3.1

Permutasi adalah suatu susunan terurut dari objek-objek yang berbeda.

Objek tersebut terdiri dari objek 1, objek 2, objek 3 dan seterusnya. Setiap

objek berbeda satu dengan yang lainnya.

Contoh 2.3.1

Misal terdapat 3 huruf yaitu A, B, C. Berapa banyak permutasi yang dapat

dibentuk dari 3 huruf tersebut ?

Jawab :

Banyaknya permutasi yang dapat dibentuk dari huruf A, B, C adalah 6

Jumlah permutasi yang dapat dibentuk dihitung menggunakan

suatu rumus umum. Suatu permutasi dari n objek yang berbeda di mana

pada setiap pemilihan diambil sebanyak r objek adalah suatu cara

penyusunan r objek dari n objek tersebut dengan memperhatikan urutan

susunannya. Didefinisikan :

)! ( ! ) , ( _, r n n P P r n P

P_{r nr r}n

n = = = = ₋

dimana )n!=n(n−1)(n−2)...(2)(1 .

Pada kasus khusus dimana r=n, rumusnya menjadi

! ! 0 ! )! ( ! n n n n n Pn

n = =

− =

Contoh 2.3.2

Menggunakan Contoh 2.3.1, hitung berapa banyak permutasi yang dapat

dibentuk dari 3 huruf tersebut dengan menggunakan rumus permutasi?

Jawab :

Banyaknya permutasi yang dapat dibentuk dari 3 huruf yaitu

6 1 2 3 ! 3 )! 3 3 ( ! 3 3

A. PERMAINAN KETANGKASAN BOLA (JUGGLING) SEDERHANA Kata juggling berasal dari bahasa Latin joculare yang berarti

lelucon. Permainan juggling lebih sering dikenal sebagai suatu permainan

dimana penonton akan terhibur bahkan tertawa saat melihatnya. Sejarah

awal dari permainan juggling yaitu dengan ditemukannya salah satu bagian

dari lukisan dinding pada sebuah makam di Mesir yang dapat dilihat pada

Gambar 3.1.

Gambar 3.1

Dari lukisan tersebut dapat dilihat bahwa terdapat tiga orang yang

melakukan permainan juggling dengan cara yang berbeda-beda. Orang yang

kedua memainkan juggling dengan menggunakan tiga bola, dan orang yang

ketiga memainkan juggling dengan menggunakan dua bola serta tangan

menyilang. Bagian dari lukisan tersebut merupakan bukti sejarah bahwa

sudah ada berbagai bentuk juggling yang telah dimainkan sejak jaman

dahulu di beberapa belahan dunia. Artikel-artikel dari Arthur Lewbel juga

mendata sejarah dari permainan juggling seperti buku China dari Lie Zi

yang menceritakan kemampuan Lan Zi memainkan juggling dengan 7

pedang, ada juga cerita dari Cuchulainn orang Irlandia yang memainkan

jugling dengan sembilan apel.

Telah dijelaskan bahwa juggling digambarkan sebagai suatu

permainan dimana pemain melempar dan menangkap sejumlah bola agar

tetap di udara dan tidak jatuh ke tanah dengan beat yang konstan serta

susunan yang periodik. Misalkan permainan 3 bola dengan susunan 333.

Pertama-tama lemparkan bola satu-persatu, bola pertama dilempar pada beat

ke 1 dan akan ditangkap 3 beat kemudian atau pada beat ke 4. Bola kedua

dilempar pada beat ke 2 dan juga akan ditangkap 3 beat kemudian atau pada

beat ke 5 sedangkan bola ketiga dilempar pada beat ke 3 dan akan ditangkap

3 beat kemudian atau pada beat ke 6 dan seterusnya. Dari pengertian

juggling yang ada, dapat ditambahkan syarat untuk juggling sederhana yaitu

bola akan dilempar dan ditangkap paling banyak satu untuk setiap beat.

Pada pembahasan juggling sederhana kali ini akan diasumsikan juga bahwa

Permainan juggling biasa dimainkan dengan b bola pada beat yang

konstan. Nilai b menyatakan banyaknya bola yang dimainkan sedangkan

beat didefinisikan dengan bilangan bulat yaitu x∈Ζ = {..., -2, -1, 0, 1,

2,...}.

3.1.1 Jenis-jenis susunan permainan juggling

Ada beberapa jenis susunan permainan juggling diantaranya

sebagai berikut :

1. Susunan Cascade

Cara memainkan juggling bola yang paling dasar adalah dengan

menggunakan susunan cascade. Susunan ini biasa disebut dengan b

bola cascade. Pada susunan ini, bola dilempar secara bergantian

pada setiap tangan dan melalui susunan yang menyerupai bentuk

angka delapan. Susunan ini biasa digunakan pada permainan

juggling dengan jumlah bola ganjil.

2. Susunan Fountain

Cara memainkan juggling bola yang lain adalah dengan

menggunakan susunan fountain. Pada susunan ini, saat bola

dilemparkan akan terbentuk dua lintasan bola yang berbeda berupa

lingkaran. Susunan ini biasa digunakan pada permainan juggling

dengan jumlah bola genap.

Gambar 3.3 3. Susunan Shower

Susunan yang lain disebut susunan shower. Pada susunan ini,

saat bola dilemparkan akan melalui lintasan berupa setengah

lingkaran dan lintasan horisontal. Susunan ini dapat digunakan

Gambar 3.4

Untuk selanjutnya, tidak akan dibahas lebih lanjut mengenai susunan

juggling tetapi lebih akan membahas mengenai barisan juggling.

B. DIAGRAM JUGGLING

Permainan juggling kadang sulit untuk dipahami jika dijelaskan

dengan kata-kata sehingga untuk lebih memudahkan akan digunakan

diagram juggling. Diagram juggling digunakan untuk menggambarkan

lemparan bola pada setiap beat. Pada diagram juggling, arah perpindahan

bola disesuaikan dengan panjang lemparannya. Dapat dilihat contoh diagram

juggling sebagai berikut :

Gambar di atas adalah diagram juggling dengan susunan 441 dimana jika

bola pertama dilempar pada beat ke-1 dengan panjang 4, maka bola akan

ditangkap pada beat ke-5. Jika bola kedua dilempar pada beat ke-2 dengan

panjang 4, maka bola akan ditangkap pada beat ke-6. Kemudian jika bola

ketiga dilempar pada beat ke-3 dengan panjang 1, maka bola akan ditangkap

pada beat ke-4 dan begitu seterusnya. Jadi dapat diartikan bahwa nilai 4, 4, 1

merupakan panjang lemparan bolanya.

C. TEOREMA RATA-RATA

Misalkan pada suatu permainan juggling sudah diketahui susunan

dan diagram jugglingnya, maka kemudian akan ditentukan berapa banyak

bola yang harus digunakan untuk memainkannya. Ada dua cara untuk

mengetahuinya yaitu menghitung jumlah orbit pada diagram juggling dan

menggunakan Teorema rata-rata. Orbit didefinisikan sebagai lintasan yang

dilalui oleh suatu bola pada diagram juggling. Jumlah orbit pada diagram

juggling sama dengan jumlah bola yang digunakan pada permainan

juggling.

Contoh 3.3.1

Diketahui suatu permainan juggling mempunyai susunan 333 dan diagram

Gambar 3.6

Berapa banyak bola yang harus digunakan untuk memainkan permainan

juggling di atas?

Jawab :

Pertama-tama hitung jumlah orbit pada diagram juggling dan kemudian

didapat bahwa jumlah orbitnya sama dengan 3.

Sehingga banyaknya bola yang harus digunakan untuk memainkan

permainan juggling tersebut adalah 3 bola.

Misalkan permainan juggling dinyatakan dengan suatu fungsi

, didefinisikan sebagai bilangan bulat non-negatif. Jika

adalah panjang lemparan juggling pada beat ke-x untuk

0

N :Ζ→

f N0

) (x

f x∈Ζ, maka

akan didapat suatu barisan yaitu

)... 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 (

... f − f − f − f f f f

Definisi 3.3.1

Jika fungsi f₊(x)= x+ f(x) adalah permutasi dari bilangan bulat, maka

Contoh 3.3.2

Perlihatkan bahwa fungsi

⎩ ⎨ ⎧ = + = = + = + 2 3 mod jika 1 1 3 mod dan 0 3 mod jika 4 ) ( x x x x x x f

adalah permutasi dari bilangan bulat dan tentukan fungsi jugglingnya?

Jawab :

Untuk membuktikan bahwa fungsi adalah permutasi, harus memenuhi

syarat-syarat berikut :

+ f

a. Ambil sembarang x∈Ζ.

Masukkan nilai x ke fungsi f₊ maka didapat nilai fungsi f₊∈Ζ.

b. Fungsi surjektif

Ambil , akan ditunjukkan ada s

m∈Ζ_kodφ

s

x∈Ζ_domφ sedemikian

hingga

( )

x m

f₊ = .

1. Karena f₊(x)= x+4,maka

m x+4=

Didapat bahwa x=m−4.

Karena m dan 4∈Ζ, maka x∈Ζ.

Untuk x=m−4, maka

(

−4

)

= −4+4

+ m m

f

=m

2. Karena f+(x)= x+1,maka

Didapat bahwa x=m−1.

Karena m dan 1∈Ζ, maka x∈Ζ.

Untuk x=m−1, maka

(

−1

)

= −1+1

+ m m

f

=m

Jadi fungsi f₊ merupakan fungsi surjektif.

c. Fungsi injektif

Harus dibuktikan bahwa :

) (

2

1, ∈Ζ

∀x x (f+(x1)= f+(x2)→x1 =x2).

Maka, dimisalkan f₊

( )

x₁ = f₊

( )

x₂ dengan x₁,x₂∈Ζ, maka

( )

x1 f

( )

x2

f₊ = ₊

4

4 ₂

1 + = x +

x

2

1 x

x =

dan

( )

x1 f

( )

x2

f₊ = ₊

1

1 ₂

1 + = x +

x

2

1 x

x =

Jadi fungsi f₊ merupakan fungsi injektif.

Terbukti bahwa fungsi f₊ adalah permutasi dari bilangan bulat.

Menurut Definisi 3.3.1, karena fungsi di atas adalah permutasi, maka

⎩ ⎨ ⎧ = = = = 2 3 mod jika 1 1 3 mod dan 0 3 mod jika 4 ) ( x x x x f Definisi 3.3.2

Jika adalah barisan bilangan bulat non-negatif, maka barisan ini

adalah barisan juggling jika dan hanya jika fungsi adalah

fungsi juggling.

{ }

1

0 − = p k k a p x a x

f( )= _mod

Periode adalah panjang barisan juggling dan dinotasikan dengan p. Misalkan untuk barisan 441, maka barisan ini mempunyai periode 3 dan

untuk barisan 56414, maka barisan ini mempunyai periode 5. Susunan dari

permainan juggling adalah periodik karena nilainya akan berulang

terus-menerus.

Contoh 3.3.3

Misalkan diketahui barisan 333.

Tunjukkan bahwa barisan tersebut adalah barisan juggling ?

Jawab :

Barisan 333 dapat ditulis sebagai barisan dengan x = 0, 1, 2 yaitu ,

, .

x

a a0 =3

3

1 =

a a2 =3

Dari Definisi 3.3.2, barisan 333 adalah barisan juggling jika dan hanya jika

Dari Definisi 3.3.1, untuk menentukan f(x)=a_xmodp adalah fungsi

juggling, maka fungsi f+(x)= x+a_xmod_p harus merupakan permutasi dari

bilangan bulat.

Untuk membuktikan bahwa fungsi adalah permutasi, harus memenuhi

syarat-syarat berikut :

+ f

a. Ambil sembarang x∈Ζ.

Masukkan nilai ke fungsi x f₊ maka didapat nilai x+a_xmod_p ∈Ζ.

b. Fungsi surjektif

Ambil , akan ditunjukkan ada s

m∈Ζkodφ x∈Ζdomφ_s sedemikian

hingga

( )

x m

f₊ = .

Karena f+(x)= x+a_xmod_p,maka

m a

x+ _xmodp =

Didapat bahwa x=m−a_xmodp.

Karena

m

dan a_x mod p∈Ζ, maka x∈Ζ.

Untuk x=m−a_xmod_p, maka

(

m ax p

)

m ax p ax p f+ − mod = − mod + mod

m =

Jadi fungsi f₊ merupakan fungsi surjektif.

c. Fungsi injektif

) (

2

1, ∈Ζ

∀x x (f+(x1)= f+(x2)→x1 =x2).

Maka, dimisalkan f₊

( )

x₁ = f₊

( )

x₂ dengan x₁,x₂∈Ζ, maka

( )

x1 f

( )

x2

f₊ = ₊

p x p

x x a

a

x_{1 mod 2 mod}

2

1 = +

+

2

1 ax1 x ax2

x + = +

Karena untuk a_x a_x ∈a_x

2

1 , , nilai bergantung pada

serta menurut sifat permainan juggling sederhana yaitu

untuk setiap beat akan dilempar dan ditangkap paling banyak satu

bola, maka didapat

2

1 dan x

x a

a

2

1dan x

x

2

1 x

x =

Jadi fungsi f₊ merupakan fungsi injektif.

Terbukti bahwa fungsi f₊(x)= x+a_xmodp adalah permutasi dari bilangan

bulat.

Maka fungsi f (x) = a_xmod_p merupakan fungsi juggling.

Jadi barisan 333 adalah barisan juggling.

Definisi 3.3.3

Jika f adalah fungsi juggling, maka panjang dari barisan juggling dinyatakan

Jika ada x yang mempunyai tak hingga, maka barisan tidak

periodik sehingga fungsi f bukan merupakan fungsi juggling. Jadi, jika

tak hingga maka juga tak hingga. ) (x f ) (x f ) (f panjang Contoh 3.3.4

Diberikan fungsi sebagai berikut :

{

)

(

0 jika 0

0 jika 2

( ) 1

= ≠ +

=

x x x T

x

f

dengan T(x) adalah pangkat tertinggi dari 2 yang habis membagi x.

Berapakah panjang (f) dari fungsi di atas?

Jawab :

Untuk mencari , pertama-tama cari nilai untuk x = 0, 1, 2,

….

) (f

panjang f(x)

Untuk x =0, sudah diketahui bahwa nilaif(x)=0.

Untuk nilai x selanjutnya harus dicari terlebih dulu nilai T(x).

T(x) adalah pangkat tertinggi dari 2 yang habis membagi x.

x habis dibagi oleh 2T(x) jika ada bilangan bulat m sedemikian hingga

m x =2T(x) ⋅ .

Untuk x =1, 1 habis dibagi karena ada bilangan bulat 1 sedemikian

hingga . Karena nilai habis membagi 1 maka didapat T(1) = 0.

0

2

1 2

1= 0⋅ 20

Jadi nilai f(1)= 2T(1)+1 = 20+1 =21 =2.

Untuk x =2, 2 habis dibagi karena ada bilangan bulat 1 sedemikian

hingga . Karena nilai habis membagi 2 maka didapat T(2) = 1.

1

2

1 2

Jadi nilai f(2)= 2T(2)+1 = 21+1 =22 =4.

Untuk , 3 habis dibagi karena ada bilangan bulat 3 sedemikian

hingga . Karena nilai habis membagi 3 maka didapat T(3) = 0. 3

=

x 20

3 2

3= 0 ⋅ 20

Jadi nilai f(3)= 2T(3)+1 = 20+1 =21 =2.

Untuk x =4, 4 habis dibagi karena ada bilangan bulat 1 sedemikian

hingga . Karena nilai habis membagi 4 maka didapat T(4) = 2.

2

2

1 2

4= 2⋅ 22

Jadi, nilai f(4)= 2T(4)+1 = 22+1 =23 =8.

M

dan seterusnya.

Gambar 3.7

Jika Gambar 3.7 diteruskan sampai beat (x) ke-tak hingga, maka dapat

dilihat bahwa ada x ∈ Ζ sedemikian hingga tak hingga. Misal untuk

nilai ,

) (x f

16 =

x f

( )

16 =16 x =32 nilai f

( )

32 =64, x =48 nilai

dan seterusnya. Sehingga dapat dikatakan bahwa adalah tak

terbatas. Dapat dilihat pula bahwa diagram juggling tersebut terdiri dari tak

( )

48 =32

f

hingga banyak orbit. Karena jumlah orbit sama dengan jumlah bola

(bola (f)), maka dapat dikatakan bahwa panjang (f)=bola (f)=∞.

Teorema 3.3.1

Misal f adalah fungsi juggling. Jika panjang (f) berhingga, maka

( )

I

lim I

I

∑

∈ ∞

→

x f x

ada dan sama dengan bola (f), dengan I={a,a+1,a+2,...,b}⊂Z dan

1

I =b−a+ yaitu banyaknya anggota di I.

Bukti :

Akan dibuktikan bahwa f

( )

x bola

( )

f

I

lim x I

I =

∑

∈

∞

→ .

Menurut Definisi 3.3.3 didapat bahwa f(x)≤ panjang(f), dengan

dinyatakan sebagai nilai max . )

(f

panjang f(x)

panjang (f) panjang(f)

Gambar 3.8

Menurut Gambar 3.8, nilai I terbatas ke atas oleh I+2panjang(f) dan

terbatas ke bawah oleh I−2panjang(f) sehingga dapat ditulis menjadi

Pada Gambar 3.8 diperlihatkan diagram juggling untuk satu orbit. Karena

nilai jumlahan lemparan bola didapat dari perkalian banyaknya orbit dengan

interval I dan banyaknya bola sama dengan banyaknya orbit, maka

( )

( )

I

I

x ≤ ⋅

∑

∈ f x bola f

I ) ( ) ( I ≤

∑

∈ x bola x f

x _(3.2)

Masukkan (3.2) ke dalam pertidaksamaan (3.1) sehingga didapat

( )

I 2 ( )

) (

) ( 2

I I panjang f

f bola

x f f

panjang ≤ x ≤ +

−

∑

∈ _(3.3)

Menggunakan Gambar 3.8, didapat bahwa jika nilai I−2panjang(f)

dikalikan dengan banyaknya bola, maka hasilnya akan lebih kecil atau sama

dengan nilai jumlahan lemparan bola atau dapat ditulis menjadi

( )

≤

∑

_∈ −

I ( )

) 2

I )( (

x f x

f panjang f

bola .

Dengan menggunakan pertidaksamaan diatas, maka pertidaksamaan (3.3)

dapat diubah menjadi

( ( )(I 2

( )

) ( ) ( )(I 2 ( ))

If x bola f panjang f

f panjang f

bola

x ≤ +

≤

−

∑

_∈

bila ketiga ruas dibagi dengan I diperoleh

(

)

(

)

I ) ( 2 I ) ( I ) ( I ) ( 2 I )

(f panjang f _If x bola f panjang f

bola _x +

≤ ≤

−

∑

_∈

bila ketiga ruas akan dicari limitnya maka pertidaksamaan menjadi

( )

(

)

( )

(

)

I ) ( 2 I lim I ) ( lim I ) ( 2 I lim I I I I f panjang f bola x f f panjang f

bola _x +

sehingga didapat

( )

( )

(

( )

)

I ) ( lim I 2 lim I I I

∑

∈ ∞ → ∞ → ⎟⎟_⎠ ≤ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

− bola f panjang f x f x f bola dan

( )

( )

(

( )

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ≤ ∞ → ∈ ∞ →

∑

I 2 lim I ) ( lim I I I f panjang f bola f bola x f x .

Karena I →∞, maka nilai

( )

( )

(

( )

)

I )) ( 2 )( ( lim ) ( lim I 2 lim I I I f panjang f bola f bola f panjang f bola f bola ∞ → ∞ → ∞ → ⎟⎟_⎠ = − ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

= bola(f)−0

= bola(f).

Begitu juga untuk nilai

( )

( )

(

( )

)

I )) ( 2 )( ( lim ) ( lim I 2 lim I I I f panjang f bola f bola f panjang f bola f bola ∞ → ∞ → ∞ → ⎟⎟_⎠ = + ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

= bola(f)+0

= bola(f).

Sehingga didapat persamaan

( )

f f x bola

( )

f

bola ≤

∑

x∈ ≤ ∞ → _I ) ( lim I I .

Karena nilai pertidaksamaan pada sebelah kiri dan sebelah kanan sama,

Jadi terbukti

∑

x∈ f

( )

x = bola

( )

f ∞

→ _I

lim I

I . ■

Teorema 3.3.2

Jumlah bola yang digunakan untuk memainkan juggling pada barisan

juggling sama dengan nilai rata-rata barisan tersebut.

Bukti :

Menurut Teorema 3.3.1 didapat bahwa jumlah bola yang digunakan untuk

memainkan permainan juggling pada barisan juggling akan sama dengan

nilai rata-rata barisan tersebut. ■

Teorema 3.3.1 dan Teorem3.3.2 berakibat bahwa jika barisan dari

bilangan bulat non-negatif adalah barisan juggling maka nilai rata-rata dari

barisan tersebut harus merupakan bilangan bulat. Atau dengan kata lain jika

nilai rata-rata dari barisan tersebut bukan merupakan bilangan bulat, maka

barisan tersebut bukan barisan juggling. Tetapi sebaliknya, jika nilai

rata-rata dari barisan tersebut merupakan bilangan bulat, maka belum tentu

bahwa barisan tersebut adalah barisan juggling.

Contoh 3.3.5

1. Apakah barisan 5432 adalah barisan juggling?

Jawab :

75 , 3 4

2 3 4

5+ + + ₌

Hasil rata-ratanya bukan bilangan bulat.

Jadi barisan 5432 bukan barisan juggling.

2. Apakah barisan 321 adalah barisan juggling?

Jawab :

Rata-rata dari barisan 321 adalah :

2 3

1 2

3+ + ₌

Hasil rata-ratanya merupakan bilangan bulat.

Tetapi jika barisan ini digambar menggunakan diagram juggling, maka

tidak akan memenuhi sifat permainan juggling yaitu pada setiap beat

akan dilempar dan ditangkap paling banyak satu bola. Karena saat bola

dilempar dengan panjang lemparan 3, 2, dan 1 di beat yang berbeda,

maka bola akan ditangkap pada beat yang sama.

Jadi barisan 321 bukan barisan juggling.

D. PERTUKARAN TEMPAT (SITE SWAPS) DAN ALGORITMA PERATAAN (FLATTENING ALGORITHM)

Terdapat dua operasi yang dapat mengubah barisan juggling

menjadi barisan juggling yang baru. Dua operasi tersebut adalah pertukaran

3.4.1 PERTUKARAN TEMPAT (SITE SWAPS)

Andaikan permainan juggling dinyatakan dengan fungsi juggling f

dan bola dilempar pada beat ke-x. Misalkan dipilih beat yaitu dengan

. Maka dapat dibuat fungsi juggling baru

d x+

i j

d = − f′ yang sama dengan f

untuk semua beat kecuali pada beat ke x dan x+d. Dengan menggunakan

fungsi juggling f′, panjang lemparan bola menjadi f′(x) dan .

Untuk mengetahui lebih jelasnya dapat dilihat contoh pada Gambar 3.9 dan

Gambar 3.10 dengan d = 2 :

)

(x d

f′ +

x x+2 x x+2

Gambar 3.9

Pada Gambar 3.9, diagram juggling sebelah kiri menyatakan fungsi

juggling f dan diagram juggling sebelah kanan menyatakan fungsi juggling

. Pada diagram juggling sebelah kiri dapat dilihat bahwa pada beat ke-x

nilai dan pada beat

ke-f′

4 ) (x =

f (x+2) nilai . Dengan

menggunakan operasi site swap, didapat bahwa diagram juggling sebelah

kanan pada beat ke-x nilai

1 ) 2

(x+ =

f

3 )

( =

′ x

f dan pada beat ke- nilai

.

) 2 (x+

2 ) 2

( + =

x x+2 x x+2

Gambar 3.10

Pada Gambar 3.10, diagram juggling sebelah kiri menyatakan

fungsi juggling f dan diagram juggling sebelah kanan menyatakan fungsi

juggling . Pada diagram juggling sebelah kiri dapat dilihat bahwa pada

beat ke-x nilai dan pada beat

ke-f′

2 )

(x =

f (x+2) nilai . Dengan

menggunakan operasi site swap, didapat bahwa diagram juggling sebelah

kanan pada beat k-x nilai

2 ) 2

(x+ =

f

4 )

( =

′ x

f dan pada beat ke- nilai

.

) 2 (x+

0 ) 2

( + =

′ x f

Dari kedua gambar tersebut didapatkan bentuk umum untuk

menentukan nilai f′(x) dan f′(x+d) yaitu

f′

( ) (

x =f x+d

)

+d

dan

(

x d

) ( )

f x d f′ + = −

dengan d = j−i.

Dapat dilihat pada Gambar 3.9 bahwa bola ( f ) = bola (f ). Orbit

pada kedua diagram merupakan dua orbit yang berbeda tetapi jumlah bola

yang dimainkan tetap tidak berubah. Hal yang sama dapat dilihat pada

Gambar 3.10 yaitu orbit pada salah satu diagram hanya diubah bentuknya

sehingga jumlah bola yang dimainkan juga tidak berubah.

Pembahasan di atas memberikan salah satu contoh mengubah

barisan juggling menjadi barisan juggling yang baru dengan menggunakan

operasi site swap. Contoh tersebut kemudian diselesaikan menggunakan

definisi dari operasi site swap.

Definisi 3.4.1

Misal adalah barisan bilangan bulat non-negatif dengan .

Jika i dan j bilangan bulat non-negatif sedemikian hingga

{ }

1

0

− =

= p

k k a

s p≥2

1 0≤i< j≤ p−

dan , maka barisan baru yaitu barisan sama dengan barisan s

kecuali elemen ke i dan j yaitu i

a i

j− ≤ si,j

i j

aj + − dan . Operasi

transformasi s ke disebut sebagai pertukaran tempat (site swap).

i j ai − +

j i s,

Teorema 3.4.1

Barisan s dan barisan tidak mempunyai perbedaan karena hanya

mengubah posisi pada elemen-elemen tertentu, sehingga dapat dikatakan

kedua barisan memiliki sifat-sifat yang sama yaitu : j

i s_,

1. Barisan s adalah barisan juggling jika dan hanya jika barisan

juga barisan juggling.

j i s_,

2. Nilai rata-rata dari barisan s sama dengan nilai rata-rata dari barisan

3. Jumlah bola yang digunakan pada barisan s sama dengan jumlah

bola yang digunakan pada barisan s_i,j.

Bukti :

1. Akan dibuktikan bahwa jika barisan s adalah barisan juggling, maka

barisan si,j juga barisan juggling dan sebaliknya.

Diketahui barisans adalah barisan juggling. ⇒

Akan dibuktikan bahwa barisan si,j juga barisan juggling.

Karena s barisan juggling dan dimisalkan barisan , maka

menurut Definisi 3.3.1 dan Definisi 3.3.2 didapat bahwa fungsi

{ }

1

0 − = = p k k a s p x a x x

f₊( )= + _mod adalah permutasi dari bilangan bulat.

Menurut Definisi 3.4.1, barisan s dapat diubah menjadi barisan

dengan menggunakan operasi site swap dan akan didapat

elemen yang baru yaitu

{ }

1

0 , − = = p k k j i b s

⎩

⎨

⎧

=

′

+ + ∈Ζ = ≠ ≠ Ζ ∈∈Ζ =

−d d x x i

x f j x i x x x f j x x d x f

x

f

( ) , dan

, dan , ) ( dan , ) (

)

(

Untuk menunjukkan bahwa barisan adalah barisan juggling, maka

harus diperlihatkan bahwa fungsi j i s_,

) (x

f₊′ adalah permutasi dari bilangan

bulat.

Karena fungsi merupakan permutasi dari bilangan bulat dan nilai

, maka fungsi ) (x f₊

Ζ ∈

d f₊′(x)= x+f′(x) juga merupakan permutasi dari

Karena fungsi f₊′(x) memenuhi permutasi dari bilangan bulat, maka

barisan s_i,j juga merupakan barisan juggling.

Terbukti bahwa jika barisans adalah barisan juggling, maka barisan

juga barisan juggling.

j i s_,

Diketahui barisan adalah barisan juggling.

⇐ si,j

Akan dibuktikan bahwa barisan s juga barisan juggling.

Misalkan barisan si_,j =

{ }

bk _kp₌−1₀, maka menurut Definisi 3.3.1 dan

Definisi 3.3.2 didapat bahwa fungsi f₊′(x)= x+b_xmodp adalalah

permutasi dari bilangan bulat.

Menurut Definisi 3.4.1, barisan s_i,j dapat diubah menjadi barisan

{ }

1 0 − = = p k k a

s dengan menggunakan operasi site swap dan akan didapat

elemen yang baru yaitu

⎩

⎨

⎧

=

′ + + ∈Ζ = ≠ ≠ Ζ ∈ ′ − ∈Ζ =

′ x d d x x i

f j x i x x x f j x x d x f

x

f

( ) , dan

, dan , ) ( dan , ) (

)

(

Untuk menunjukkan bahwa barisan adalah barisan juggling, maka

harus diperlihatkan bahwa fungsi adalah permutasi dari bilangan

bulat. j i s, ) (x f₊

Karena fungsi merupakan permutasi dari bilangan bulat dan nilai

, maka fungsi ) (x f₊′

Ζ ∈

d f₊(x)=x+f(x) juga merupakan permutasi dari

Karena fungsi memenuhi permutasi dari bilangan bulat, maka

barisan juga merupakan barisan juggling. )

(x f₊

j i s_,

Terbukti bahwa jika barisan adalah barisan juggling, maka barisan s

juga barisan juggling.

j i s_,

Jadi terbukti bahwa barisan s merupakan barisan juggling jika dan

hanya jika barisan s_i,j juga barisan juggling.

2. Karena jumlah nilai dari elemen yang diubah pada barisan s dan barisan

selalu sama dan nilai elemen yang lain tetap maka jumlah barisan

juggling dari keduanya akan selalu sama, sehingga nilai rata-rata

barisannya juga akan sama. j

i s_,

3. Karena nilai rata-rata pada barisan s sama dengan nilai rata-rata pada

barisan , maka menggunakan Teorema 3.3.2 didapat bahwa jumlah

bola pada barisan s juga sama dengan jumlah bola pada barisan .

■ j

i s_,

j i s_,

Dalam melakukan permainan juggling, awal lemparan tidak selalu

dimulai dari beat ke-0, tapi pada skripsi ini akan didefinisikan bahwa awal

lemparan dimulai dari beat ke-0.

Contoh 3.4.1

Bagaimana barisan juggling yang baru dari barisan juggling 642 jika

a. beat ke 0 dan 1?

b. beat ke 0 dan 2?

Jawab :

a. Diketahui barisan juggling 642.

beat ke-0 = 6

beat ke-1 = 4

Operasi site swap pada beat ke 0 dan 1 yaitu :

beat ke-0 = 4 + 1 – 0 = 5

beat ke-1 = 6 - 1 + 0 = 5

Sehingga didapat barisan juggling yang baru yaitu barisan 552.

b. Diketahui barisan juggling 642.

beat ke-0 = 6

beat ke-2 = 2

Operasi site swap pada beat ke 0 dan 2 yaitu :

beat ke-0 = 2 + 2 – 0 = 4

beat ke-2 = 6 - 2 + 0 = 4

Sehingga didapat barisan juggling yang baru yaitu barisan 444.

Definisi 3.4.2

Jika adalah barisan bilangan bulat non-negatif dengan ,

maka adalah barisan baru yaitu . Operasi transformasi

s ke disebut sebagai operasi cyclic shift.

{ }

1

0

− =

= p

k k a

s p≥2

→

s a_p−1a₀a₁a₂...a_p−2

Teorema 3.4.2

Barisan s dan barisan tidak mempunyai perbedaan karena hanya

mengubah posisi pada elemen-elemen tertentu, maka dapat dikatakan kedua

barisan memiliki sifat-sifat yang sama yaitu : →

s

1. Barisan s adalah barisan juggling jika dan hanya jika barisan

juga barisan juggling.

→ s

2. Nilai rata-rata dari barisan s sama dengan nilai rata-rata dari

barisan s_→.

3. Jumlah bola yang digunakan pada barisan s sama dengan jumlah

bola yang digunakan pada barisan s_→.

Bukti :

1. Karena operasi cyclic shift pada barisan s dan barisan hanya

mengubah letak posisi elemennya dan tidak mengubah nilai pada tiap

elemen dimana jika barisan s adalah maka barisan

akan menjadi .

→ s

1 2 2 1

0a a ...ap− ap−

a s_→

2 2 1 0

1 ... −

− p

p a a a a

a

Sehingga jika barisans adalah barisan juggling, maka barisan pasti

juga barisan juggling.

→ s

Begitu juga jika barisan adalah barisan juggling, maka barisan s

pasti juga barisan juggling. → s

Jadi terbukti bahwa barisan s merupakan barisan juggling jika dan

2. Karena jumlah nilai dari elemen yang diubah pada barisan s dan barisan

tidak berbeda maka jumlah dari barisan juggling akan selalu sama,

sehingga nilai rata-rata barisannya juga akan sama. →

s

3. Karena nilai rata-rata pada barisan s sama dengan nilai rata-rata pada

barisan , maka menggunakan Teorema 3.3.2 didapat bahwa jumlah

bola pada barisan s juga sama dengan jumlah bola pada barisan . ■ →

s

→ s

Contoh 3.4.2

Bagaimana barisan juggling yang baru jika dilakukan operasi cyclic shift

pada:

a. barisan juggling 642?

b. barisan juggling 330?

Jawab :

a. Diketahui barisan juggling 642. Dengan menggunakan cyclic shift

didapat barisan juggling yang baru yaitu barisan 264.

b. Diketahui barisan juggling 330. Dengan menggunakan cyclic shift

didapat barisan juggling yang baru yaitu barisan 033.

3.4.2 ALGORITMA PERATAAN (FLATTENING ALGORITHM) Algoritma perataan digunakan untuk mengubah barisan s ke

barisan yang baru yaitu barisan dengan b bola dan periode p. Barisan

dari barisan s. Algoritma perataan menggunakan dua operasi yaitu operasi

site swap dan operasi cyclic shift.

Untuk menggunakan algoritma perataan ini diberikan

langkah-langkah sebagai berikut :

1. Jika s barisan konstan, maka operasi akan berhenti dan barisan konstan

tersebut adalah barisan yang baru.

2. Gunakan operasi cyclic shift untuk menyusun barisan s sedemikian

hingga untuk t sebagai panjang lemparan maksimum diletakkan pada

beat ke-0 dan u bukan panjang lemparan maksimum diletakkan pada

beat ke-1. Jika nilai t dan u mempunyai perbedaan satu, maka operasi

akan berhenti dan barisan yang terakhir adalah barisan yang baru.

3. Lakukan operasi site-swap pada beat ke 0 dan 1. Definisikan kembali

barisan s dan kembali ke langkah pertama. Jika belum mendapat barisan

yang konstan,maka lakukan kembali operasi cyclic shift pada barisan

tersebut.

Dengan menggunakan Teorema 3.4.1 dan Teorema 3.4.2 yang

pertama, barisan-barisan selanjutnya pada algoritma perataan adalah barisan

juggling jika dan hanya jika input dari barisan adalah barisan juggling.

Begitu juga apabila barisan-barisan selanjutnya pada algoritma perataan

bukan barisan juggling jika dan hanya jika input dari barisan juga bukan

barisan juggling. Untuk input adalah barisan juggling, algoritma perataan

perbedaan sekurang-kurangnya dua. Jika nilai t dan u mempunyai perbedaan

satu, maka akan ada bola yang ditangkap pada beat yang sama. Jika

rata-rata input dari barisan juggling adalah b dan periodenya p, maka Teorema

3.4.1 dan Teorema 3.4.2 yang kedua menjamin bahwa output barisan adalah

barisan b bola, yaitu barisan yang elemennya sama dengan b. Untuk input

bukan barisan juggling, algoritma perataan akan berhenti saat langkah kedua

dan output barisan mempunyai bentuk t(t −1)...

Contoh 3.4.3

Bagaimana algoritma perataan dapat mengubah barisan 642 menjadi barisan

yang baru?

Jawab :

Input barisan yaitu barisan 642. Untuk mendapat barisan yang baru

digunakan operasi site-swap dan operasi cyclic shift sebagai berikut :

1. Pada barisan 642 dilakukan operasi site-swap pada beat ke 0 dan 1 :

beat ke-0 = 4 + 1 – 0 = 5

beat ke-1= 6 – 1 + 0 = 5

Sehingga didapat barisan baru yaitu barisan 552.

2. Pada barisan 552 dilakukan dua operasi cyclic shift karena jika hanya

dilakukan satu operasi cyclic shift, maka didapat barisan baru yaitu

barisan 255. Barisan 255 tidak memenuhi langkah kedua karena 2 bukan

cyclic shift. Dengan dua operasi cyclic shift didapat barisan baru yaitu

barisan 525.

3. Pada barisan 525 dilakukan operasi site-swap pada beat ke 0 dan 1 :

beat ke-0 = 2 + 1 – 0 = 3

beat ke-1 = 5 – 1 + 0 = 4

Sehingga didapat barisan baru yaitu barisan 345.

4. Pada barisan 345 dilakukan operasi cyclic shift sehingga didapat barisan

baru yaitu barisan 534.

5. Pada barisan 534 dilakukan operasi site-swap pada beat ke 0 dan 1 :

beat ke-0 = 3 + 1 – 0 = 4

beat ke-1 = 5 – 1 + 0 = 4

Sehingga didapat barisan baru yaitu barisan konstan 444.

Algoritma perataan juga dapat ditunjukkan dengan gambar sebagai berikut :

444 534

345 525

552

642⎯⎯ →swap⎯ ⎯⎯ →2shift⎯ ⎯⎯ →swap⎯ ⎯⎯ →shift⎯ ⎯⎯ →swap⎯

Rata-rata barisan 642 = 4 3

2 4 6

= + +

dan periode = 3.

Jadi, barisan yang baru adalah barisan konstan 444.

Contoh 3.4.4

Bagaimana algoritma perataan dapat mengubah barisan 514 yang bukan

barisan juggling menjadi barisan yang baru?

Diketahui : Input barisan yaitu barisan 514.

Barisan 514 bukan barisan juggling karena jika dilakukan permainan

juggling akan ada dua bola yang ditangkap pada beat yang sama. Untuk

mendapat barisan yang baru digunakan operasi site-swap dan operasi cyclic

shift sebagai berikut :

1. Pada barisan 514 dilakukan operasi site-swap pada beat ke 0 dan 1 :

beat ke-0 = 1 + 1 – 0 = 2

beat ke-1 = 5 – 1 + 0 = 4

Sehingga didapat barisan baru yaitu barisan 244.

2. Pada barisan 244 dilakukan operasi cyclic shift sehingga didapat barisan

baru yaitu barisan 424.

3. Pada barisan 424 dilakukan operasi site-swap pada beat ke 0 dan 1 :

beat ke-0 = 2 + 1 – 0 = 3

beat ke-1 = 4– 1 + 0 = 3

Sehingga didapat barisan baru yaitu barisan 334.

4. Pada barisan 334 dilakukan operasi cyclic shift sehingga didapat barisan

baru yaitu barisan 433.

Algoritma perataan juga dapat ditunjukkan dengan gambar sebagai berikut :

433 334

424 244

514 ⎯⎯ →swap⎯ ⎯⎯ →shift⎯ ⎯⎯ →swap⎯ ⎯⎯ →shift⎯

Pada barisan 433, operasi akan berhenti karena saat melakukan permainan

beat yang sama dan dapat dilihat bahwa jika input bukan barisan juggling,

maka output barisan juga bukan barisan juggling dan akan membentuk e(e -

1)...

Jadi, barisan yang baru yaitu barisan 433.

Contoh 3.4.5

Berapa banyakbarisan 333 dengan periode 3 yang dapat diubah menjadi

barisan juggling dengan 3 bola?

Jawab :

1. Barisan 333 diubah menjadi barisan yang baru menggunakan operasi site

swap sebagai berikut :

beat ke-0 = 3 + 1 – 0 = 4, beat ke-1 = 3 – 1 + 0 = 2

Barisan yang baru yaitu barisan 423.

2. Barisan 423 dapat diubah kembali menggunakan operasi cyclic shift

menjadi barisan 342 dan barisan 234.

- Barisan 342 diubah menjadi barisan yang baru menggunakan operasi

site swap sebagai berikut :

beat ke-0 = 4 + 1 – 0 = 5, beat ke-1 = 3 – 1 + 0 = 2

Barisan yang baru yaitu barisan 522.

- Barisan 234 diubah menjadi barisan yang baru menggunakan operasi

site swap sebagai berikut :

beat ke-0 = 3 + 1 – 0 = 4, beat ke-1 = 2 – 1 + 0 = 1

3. Barisan 522 dapat diubah kembali menggunakan operasi cyclic shift

menjadi barisan 252 dan barisan 225.

- Barisan 252 diubah menjadi barisan yang baru menggunakan operasi

site swap sebagai berikut :

beat ke-0 = 5 + 1 – 0 = 6, beat ke-1 = 2 – 1 + 0 = 1

Barisan yang baru yaitu barisan 612.

- Barisan 225 diubah