TEOREMA ABEL-DINI DAN DUAL KÖTHE-TOEPLITZ PADA DERET GANDA

(1)

TEOREMA ABEL-DINI DAN DUAL KÖTHE-TOEPLITZ

PADA DERET GANDA

Sumardyono1, Soeparna D.W2 & Supama3

1

PPPPTK Matematika, Mahasiswa S3 UGM

1

[email protected]

2,3

Jurusan Matematika, FMIPA, UGM

3

[email protected]

ABSTRAK

Pada paper ini Teorema Abel-Dini diperluas pada deret ganda. Dipaparkan pula aplikasinya pada Dual Köthe-Toeplitz suatu Ruang Barisan Ganda.

Kata-kata kunci: Teorema Abel-Dini, Dual Köthe-Toeplitz, Deret Ganda

PENDAHULUAN

Pada studi analisis, dikenal beberapa teorema yang namanya dikaitkan dengan nama Abel maupun Dini. Salah satu teorema yang berkaitan dengan deret tak hingga dikenal dengan nama Teorema Abel-Dini. Beberapa literatur yang membahas tentang Teorema Abel-Dini antara lain Hildebrandt [5], Rajagopal [9], dan Knopp [7].

Sementara konsep dual Köthe-Toeplitz telah dirintis oleh Köthe & Toeplitz [8], Garling [3],Chillingworth [2], dan masih banyak lagi. Topik ini juga dibahas dengan cukup lengkap dalam Kamthan & Gupta [6] dan Wilansky [10]. Konsep dual ini berbeda dengan dual topologis yang anggotanya merupakan fungsional kontinu.

Pada paper ini, notasi

∑

_≥1

i atau

∑

i

menyatakan jumlahan dari i = 1 sampai

dengan tak hingga. Jika terbatas maka batas atas akan dinyatakan pada notasi sigma.

Berikut Teorema Abel-Dini untuk deret tunggal bilangan real.

Teorema 1. ([1], [7])

Jika

∑

_i_≥1a_i adalah deret real non-negatif

yang divergen dan An =

∑

₌ n i 1ai maka

∑

i≥1 1+ i i A a

δ konvergen untuk δ> 0 (dan

divergen untuk δ≤ 0)

Pengertian dual-α dinyatakan sebagai berikut.

Definisi 1

Diberikan ruang vektor tak nol λ⊂ω

dengan ω adalah koleksi semua barisan bilangan real (atau kompleks) maka didefinisikan dual-α sebagai berikut.

λα_{= {}_x_:_x_∈_ω_,

_∑

_<_∞

≥1

i xiyi , ∀y∈λ}

Selain dual-α, juga dikenal dual-β,

dual-γ, dan dual-δ dari λ. Namun dalam paper ini hanya akan dikaji yang berkaitan dengan dual-α. Kesemua dual ruang vektor di atas, terutama dual-α, sering disebut dengan dual Köthe-Toeplitz. Selanjutnya akan dibahas perluasan Teorema Abel-Dini pada ruang barisan ganda, dan terapannya dalam menentukan dual Köthe-Toeplitz pada suatu ruang barisan ganda.

(2)

TEOREMA ABEL-DINI PADA DERET GANDA

Pada studi ini, elemen barisan dibatasi pada bilangan real. Perluasan ke elemen bilangan kompleks mudah dikonstruksi. Barisan ganda (double sequences)

merupakan suatu generalisasi dari barisan tunggal (single sequences).

Definisi 2

Barisan ganda didefinisikan sebagai fungsi sebagai berikut

R N N

x: × →

Notasi (x_ij) menyatakan barisan ganda

dengan xij∈R,∀i,j

Selanjutnya untuk membuktikan Teorema Abel-Dini pada deret ganda, diperlukan beberapa lemma sebagai berikut.

Lemma 1. ([1], [4]) Jika x, r∈ R, x> 0, x≠ 1 maka xr – 1 >r (x – 1) untuk r> 1 xr – 1 <r (x – 1) untuk 0 <r< 1 Lemma 2. ([1], [4]) Jika x, y∈ R+, x≠y, r∈ R, maka (a). rxr – 1 (x – y) >xr – yr>r.yr – 1 (x – y) untuk r< 0 atau r> 1 (b). rxr – 1 (x – y) <xr – yr<r.yr – 1 (x – y) untuk 0 < r< 1

Sekarang, kita siap untuk memperluas Teorema Abel-Dini pada deret ganda.

Teorema 2 (Teorema Abel-Dini untuk Deret Ganda)

Jika

∑ ∑

_≥₁ _≥₁

i j aij deret divergen real

non-negatif dan Amn =

∑ ∑

₌ ₌ m i n j aij 1 1 maka

∑ ∑

_≥₁ _≥₁ ₁₊ i j ij ij A a δ konvergen untuk δ> 0. Bukti: Untuk 0 <δ< 1. Dipandang deret

∑ ∑

≥ ≥ − − − − − 1 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( . i j ij j i j i ij A A A A δ δ δ δ =

∑ ∑

_≥ _≥ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 ) 1 )( 1 ( 1 1 i j ij j i A Aδ δ .... (1)

Jumlahan (1) ada, karena bila i, j→∞

maka Aij →∞.

Menurut Lemma 2 maka

δ δ ) 1 )( 1 (− − − _i _j ij A A >δ. ( ( 1)( 1)) 1 − − − ₋ j i ij ij A A Aδ = δ.A_ijδ−1.a_ij Sehingga diperoleh

∑ ∑

≥ ≥ − − − 1 1 ) 1 )( 1 ( 1 . . . i j ij j i ij ij A A a A δ δ δ δ <

∑ ∑

_≥ _≥ − − − − − 1 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( . . i j ij j i j i ij A A A A δ δ δ δ

Karena ruas kanan adalah deret (1) yang konvergen dan berdasarkan uji banding, maka diperoleh

∑ ∑

≥ ≥ − − − 1 1 ) 1 )( 1 ( 1 . . . i j ij j i ij ij A A a A δ δ δ δ konvergen. Labih lanjut,

∑ ∑

≥ ≥ − − − 1 1 ) 1 )( 1 ( 1 . . . i j ij j i ij ij A A a A δ δ δ δ =

∑ ∑

_≥ _≥ − − − 1 1 ) 1 )( 1 ( 1_. . i j j i ij ij A a A δ δ =

∑ ∑

_≥ _≥ − − 1 1 ) 1 )( 1 ( . . i j ij j i ij A A a δ δ <∞ Karena Aij >A(i – 1)(j – 1) maka

∑ ∑

≥1 ≥1 _. . i j ij ij ij A A a δ δ <

∑ ∑

_≥ _≥ − − 1 1 ) 1 )( 1 ( . . i j ij j i ij A A a δ δ <∞ Sehingga diperoleh

(3)

∑ ∑

≥1 ≥1 +1 . i j ij ij A a δ δ <∞ atau

∑ ∑

≥1 ≥1 +1 . i j ij ij A a δ δ <∞ Karena δ≠ 0 maka

∑ ∑

i≥1 j≥1 +1 ij ij A a δ <∞ (konvergen) Untuk δ> 1.

Menurut Lemma 2 maka

) ( . ( 1)( 1) 1 ) 1 )( 1 (i−− j− Aij −Ai− j− Aδ

δ

< Aijδ −A(δi−1)(j−1) Sehingga diperoleh ij j i a A . . 1 ) 1 )( 1 ( − − − δ

δ

< A_ijδ −A₍δ_i₋₁₎₍_j₋₁₎ δ δ δ δ ) 1 )( 1 ( 1 ) 1 )( 1 ( . . . − − − − − j i ij ij j i A A a A < _δ _δ δ δ ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( . − − − − − j i ij j i ij A A A A ) 1 )( 1 ( . . − − j i ij ij A A a δ δ < _δ _δ ij j i A A 1 1 ) 1 )( 1 ( − − − Kedua ruas dikenakan double sigma

sehingga diperoleh

∑ ∑

≥ ≥ − − 1 1 ) 1 )( 1 ( . . i j j i ij ij A A a δ δ <

∑ ∑

_≥ _≥ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 ) 1 )( 1 ( 1 1 i j ij j i A Aδ δ

Ruas kanan konvergen, karena untuk i, j

→∞ maka Aij →∞ .

Dengan Uji Banding diperoleh

∑ ∑

≥ ≥ − − 1 1 ) 1 )( 1 ( . . i j j i ij ij A A a δ δ < ∞

Oleh karena Aij >A(i – 1)(j – 1) maka

diperoleh

∑ ∑

≥1 ≥1 _. . i j ij ij ij A A a δ δ <

∑ ∑

_≥ _≥ − − 1 1 ) 1 )( 1 ( . . i j j i ij ij A A a δ δ Sehingga diperoleh

∑ ∑

≥1 ≥1 +1 . i j ij ij A a δ δ <∞

Dan karena δ≠ 0 maka diperoleh

∑ ∑

i≥1 j≥1 +1 ij ij A a δ <∞ (konvergen)

DUAL KÖTHE-TOEPLITZ PADA RUANG BARISAN GANDA

Pada bagian ini, akan dibuktikan dual-α

suatu ruang barisan ganda dengan menggunakan Teorema Abel-Dini.

Notasi 2ω dan 2lp berturut-turut

menyatakan ruang semua barisan ganda, dan barisan ganda yang terjumlah

mutlak-p (p-absolutely summable) dari bilangan

real. } : 2 ) {( 2 = ∈

∑∑

<∞ i j p ij ij x x p

ω

l dengan p≥1 Definisi 3

Dimisalkan E himpunan bagian tak

kosong dari 2ω, maka dual-α dari E

didefinisikan dengan

∑∑

<∞ ∈ = i j ij ij ij a b x Eα {( ) 2ω: untuk setiap( y_ij)∈E}

Untuk menentukan dual-α beberapa ruang barisan ganda, diperlukan lemma dan teorema berikut ini.

Lemma 3 (Ketaksamaan Hölder untuk

p

l

2 )

Untuk setiap (xij),(yij)∈2lp maka

berlaku

∑ ∑

i≥1 j≥1xij yij ≤

(

)

p i j p ij x 1 1 1

∑ ∑

≥ ≥ .

(

)

q i j q ij y 1 1 1

∑ ∑

≥ ≥ Bukti:

(4)

Dibentuk α =

(

)

p i j p ij ij x x 1 1 1

∑ ∑

≥ ≥ dan β =

(

)

q i j q ij ij y y 1 1 1

∑ ∑

≥ ≥ dengan 1 + 1 =1 q p

Maka menurut Lemma Young, diperoleh

(

)

p i j p ij ij x x 1 1 1

∑ ∑

≥ ≥ .

(

)

q i j q ij ij y y 1 1 1

∑ ∑

≥ ≥ ≤ p 1 .

(

)

∑ ∑

i≥1 j≥1 p ij p ij x x + q 1_.

(

∑ ∑

i≥1 j≥1

)

q ij q ij y y Kedua ruas diambil double sigma,

diperoleh

(

) (

)

q i j q ij p i j p ij i j ij ij y x y x 1 1 1 1 1 1 1 1 . .

∑ ∑

≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤

(

∑ ∑

)

∑ ∑

≥ ≥ ≥ ≥ 1 1 1 1 . i j p ij i j p ij x p x +

(

∑ ∑

)

∑ ∑

≥ ≥ ≥ ≥ 1 1 1 1 . i j q ij i j q ij y q y ⇔

(

) (

)

∑ ∑

≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤ q p 1 1 ₊ ⇔

(

) (

)

∑ ∑

≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤₁ (terbukti) Teorema 3

Jika

∑ ∑

_i_≥₁ _j_≥₁a_ij deret divergen real

non-negatif dan Amn =

∑ ∑

₌ ₌ m i n j aij 1 1 maka

∑ ∑

_≥₁ _≥₁ i j ij ij A a divergen Bukti:

Untuk setiap m, n, r, s∈ Z+ (himpunan

semua bilangan bulat positif), maka

A(m+r)(n+s) ≥Amn sehingga diperoleh ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( + + + + n m n m A a + ) 2 )( 1 ( ) 2 )( 1 ( + + + + n m n m A a + ... + ) )( 1 ( ) )( 1 ( s n m s n m A a + + + + ₊ ) 1 )( 2 ( ) 1 )( 2 ( + + + + n m n m A a + ) 2 )( 2 ( ) 2 )( 2 ( + + + + n m n m A a + ... + ) )( 2 ( ) )( 2 ( s n m s n m A a + + + + ₊ ... ... ... ) 1 )( ( ) 1 )( ( + + + + n r m n r m A a ₊ ) 2 )( ( ) 2 )( ( + + + + n r m n r m A a _{+ ... +} ) )( ( ) )( ( s n r m s n r m A a + + + + ≥ ) )( ( ) 1 )( 1 ( s n r m n m A a + + + + ₊ ) )( ( ) 2 )( 1 ( s n r m n m A a + + + + _{+ ... +} ) )( ( ) )( 1 ( s n r m s n m A a + + + + ₊ ) )( ( ) 1 )( 2 ( s n r m n m A a + + + + ₊ ) )( ( ) 2 )( 2 ( s n r m n m A a + + + + _{+ ... +} ) )( ( ) )( 2 ( s n r m s n m A a + + + + ₊ ... ... ... ) )( ( ) 1 )( ( s n r m n r m A a + + + + ₊ ) )( ( ) 2 )( ( s n r m n r m A a + + + + _{+ ... +} ) )( ( ) )( ( s n r m s n r m A a + + + + ₌ ) )( ( ) )( ( s n r m mn s n r m A A A + + + + − _{= 1 –} ) )( (m r n s mn A A + +

Fix atau ditetapkan m dan n sehingga

untuk r, s →∞ maka 1 – ) )( (m r n s mn A A + + → 1. Ini artinya

∑ ∑

∞_i₌_m₊₁ ∞_j₌_n₊₁ ij ij A a > 1 untuk setiap m, n∈ N sehingga limi, j

ij ij

A a

≠ 0. Dengan demikian diperoleh bahwa deret

∑ ∑

i≥1 j≥1

ij ij

A a

tidak konvergen atau divergen.

Terakhir, dibuktikan dual-α ruang barisan ganda 2lp menggunakan Teorema

Abel-Dini pada Deret Ganda.

Teorema 4

( )

2lpα =2lq dengan p>1_dan 1 +1 =1 q p Bukti:

(5)

Diambil sebarang (x_ij)∈2lqmaka

∑ ∑

i≥1 j≥1

q ij

x < ∞ .

Untuk setiap (y_ij)∈2lp dengan

1 1 1 ₊ ₌ q p maka diperoleh

∑ ∑

i≥1 j≥1xij yij ≤

(

)

p i j p ij x 1 1 1

∑ ∑

≥ ≥ .

(

)

q i j q ij y 1 1 1

∑ ∑

≥ ≥ ∞ Jadi,

( )

2lpα ⊃2lq Sebaliknya, Diambil sebarang (x_ij)∈

( )

2lpα. Diandaikan (x_ij)∉2lq maka

∑ ∑

i≥1 j≥1 q ij x = ∞ Dimisalkan aij = q ij x maka xij = q ij a 1 dan

∑ ∑

_i_≥₁ _j_≥₁a_ij = ∞ (divergen) Dibentuk Amn =

∑ ∑

₌ ₌ m i n j aij 1 1 dan bij = ij A 1 Dibentuk (y_ij) dengan ⎪yij⎪ = aijq 1 bij maka diperoleh y_ij p= a_ijb_ijp= _p ij ij A a

Karena aij≥ 0 (non-negatif) dan

∑ ∑

i≥1 j≥1aij = ∞ maka

(i) Menurut Teorema 2 diperoleh

∑ ∑

i≥1 j≥1 1+ ij ij A a δ =

∑ ∑

_≥₁ _≥₁ i j p ij ij A a =

∑ ∑

_≥₁ _≥₁ i j yij ∞ Jadi, {y(i)} ∈lp(ω).

(ii) Menurut Teorema 3 diperoleh

∑ ∑

i≥1 j≥1 ij ij A a =

∑ ∑

_≥₁ _≥₁ i j aijbij =

∑ ∑

_i_≥₁ _j_≥₁ 1 1 ij q ij p ij a b a =

∑ ∑

_i_≥₁ _j_≥₁xij yij = ∞ (kontradiksi) Sehingga haruslah (x_ij)∈2lq Jadi,

( )

2lpα ⊂2lq KESIMPULAN

Teorema Abel-Dini dapat diperluas deret ganda (double series). Teorema ini juga

merupakan salah satu alat yang dapat dipergunakan untuk menunjukkan dual-α

suatu ruang barisan ganda, khususnya ruang barisan 2lp.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Baccala, Brent. 2008. The Hölder and Minkowski Inequalities. A

lecture paper, not published.

[2] Chillingworth, H.R. 1958.

Generalized “dual” sequence spaces. Nederl. Akad. Wetensch.

Indag. Math. 20

[3] Garling, D.J.H. 1967. The β- and γ -duality. Proc. Cambridge Philos.

Soc. 63

[4] Hardy, G., Littewood, J.E., & Pólya, G. 1934. Inequalities.

Cambridge: At The University Press.

[5] Hildebrandt, T.H. 1942. Remarks on the Abel-Dini Theorem. The American Mathematical Monthly.

Vol.49, No.7 (Agt-Sep, 1942), hal.441-445.

[6] Kamthan, P.K. & Gupta, M. 1981.

Sequence spaces and series. New

York. Marcel Dekker, Inc.

[7] Knopp, Konrad. 1956. Infinite Sequences and Series. Translated

by F. Bagemihl. New York: Dover Publications, Inc.

[8] Köthe, G. & Toeplitz. 1934.

Lineare Räume mit unendlich vielen Koordinaten und Ringe unendlicher Matrizen, Jour. Reine angew. Math.

171

[9] Rajagopal, C.T. 1944. The Abel-Dini and Allied Theorems. The

(6)

American Mathematical Monthly.

Vol.51, No.10 (Des, 1944), hal.566-570.

[10] Wilansky, A. 1984. Summability through Fuctional Analysis.

(7)

Nama Penanya : Hanna A P Instansi : UKSW Pertanyaan :

1. Apakah repesentasi dari deret tersebut adalah matriks dan keragaman akan konvergensinya ?

Jawaban :

1. Ya, dan kenvergensinya berupa skalar

Nama Penanya : M. Mahfuzh. S

Instansi : Univ. Lambung Mangkurat Pertanyaan :

1. Apakah ruang selain deret ganda bisa menggunakan teorema Abel-Dini ? Jawaban :

1. Tidak bisa, karena Abel – Dini menggunakan konsep barisan

Pertanyaan : Volume itu ukuran untuk apa ? Jawaban : -

Nama Penanya : Trevi Meri Andriyani Instansi : UKSW

Pertanyaan :

1. Taraf Signifikasi seperti apa ? Jawaban :