Muh. Irwan Jurusan Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM
Info:
Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Edisi: Januari – Juni 2015 Artikel No.: 3
Halaman: 16 - 20 ISSN: 2355-083X
Prodi Matematika UINAM
ABSTRAK
Bilangan quaternion merupakan perluasan bilangan kompleks,sehingga sifat-sifat yang berlaku pada bilangan kompleks juga berlaku pada bilangan quaternion kecuali sifat komutatif terhadap operasi perkalian. Pada penelitian ini diperlihatkan beberapa sifat quaternion seperti modulasi, konjugasi serta perkalian bilangan quaternion dengan suatu fungsi eksponensial yang merupakan fungsi yang bernilai quaternion. Yang selanjutnya dapat diterapkan pada bidang-bidang tertentu.
Kata Kunci:Bilangan kompleks, Quaternion
1. PENDAHULUAN
Sistem bilangan dalam ilmu matematika merupakan suatu hal yang mendasar untuk diketahui. Berbagai jenis bilangan seperti bilangan genap, ganjil, prima, komposit, bilangan asli, bilangan nol, bilangan cacah, sampai pada bilangan riil dan imajiner. sedangkan gabungan antara bilangan imajiner dan bilangan riil dikenal dengan nama bilangan kompleks. Sehingga dapat dikatakan bahwa Bilangan kompleks marupakan bilangan yang terluas dari sistem bilangan. Oleh karena itu, tidak salah jika bilangan kompleks memiliki penjelasan yang tidak sedikit dalam matematika dan terapannya. Seperti, geometri, vektor fungsi, matriks dan lain-lain. Bilangan kompleks memiliki banyak diantaranya dalam bidang fisika, kimia, komputer, statistika dan lain sebagainya.
Salah satu perluasan bilangan kompleks adalah bilangan quaternion. Bilangan quaternion pertama kali diperkenalkan oleh Sir William Rowman Hamilton pada tahun 1805-1865. Perbedaan bilangan quaternion dengan bilangan kompeks terletak pada bagian imejiner, dimana bagian imejinernya ada tiga bagian yang merupakan kombinasi linear antara satu dengan yang lain. Seperti bilangan kompleks, bilangan quaternion juga memiliki peranan penting dalam berbagai bidang ilmu seperti kimia, fisika pemrosesan gambar dan signal, komputer grafik,
dilakukan di antaranya, The maximal and minimal ranks of a quaternion matrix expression with applications yang diteliti oleh somaye dkk. pada tahun 2013, penelitian berikutnya The general quaternionic M–J sets on the mapping 𝑧 ← 𝑧𝛼+ 𝑐 (𝛼 ∈ 𝑁), pada tahun 2007 oleh wang Xing yuan dan sun yuan-yuan. Penelitian berikutnya pada tahun 2008 yang berjudul The Colombeau Quaternion Algebra Cortes yang ditulis oleh w. ferrero m.a., dan juriaans s.o. Dari berbagai penelitian di atas sehingga pada penelitian ini akan dibahas tentang sifat-sifat bilangan quaternion
2. TINJAUAN PUSTAKA a. Bilangan Kompleks
Definisi 2.1 Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari bilangan riil (𝑎, 𝑏) atau 𝑎 + 𝑏𝑖, dimana 𝑖2 = −1. Berdasarkan definisi di atas, jika 𝑎 = 0 dan 𝑏 ≠ 0 maka bilangan kompleks disebut bilangan imajiner murni, jika 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 1 disebut satuan imajiner. Karena Bilangan kompleks merupakan perluasan dari bilangan riil, sehingga semua operasi seperti penjumlahan, pengurangan, pembagian, perkalian yang berlaku pada bilangan riil juga berlaku pada bi langan kompleks. Misalkan, 𝑧1 = 𝑎1+ 𝑏1𝑖, dan 𝑧2 = 𝑎2+ 𝑏2𝑖, sehingga
𝑧1± 𝑧2 = (𝑎1± 𝑏1𝑖) + (𝑎2± 𝑏2)𝑖 = (𝑎1± 𝑎2) + (𝑏1± 𝑏2)𝑖 (2.1) Dari operasi di atas, maka diperoleh bahwa (𝑎1± 𝑎2) adalah bagian riil dan (𝑏1± 𝑏2) adalah bagian imajiner.langan kompleks. Selanjutnya, perkalian bilangan kompleks 𝑧1× 𝑧2 adalah
𝑧1× 𝑧2 = (𝑎1 + 𝑏1𝑖)(𝑎2+ 𝑏2𝑖) = (𝑎1𝑎2− 𝑦1𝑦2) + 𝑖(𝑥1𝑦2+ 𝑦1𝑥2) (2.2)
Sedangkan pembagian 𝑧1 oleh 𝑧2, dengan
𝑧2 ≠ 0, 𝑧1 𝑧2 = 𝑎1 + 𝑏1𝑖 𝑎2 + 𝑏2𝑖 =𝑎1𝑎2+ 𝑏1𝑏2 𝑎22+ 𝑏 22 +𝑖(𝑏1𝑎2− 𝑎1𝑏2) 𝑎22+ 𝑏 22 (2.3)
Definisi 2.2 Konjugate bilangan kompleks
Jika 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 bilangan kompleks maka konjuget dari 𝑧 dituliskan dengan 𝑧̅ dan didefinisikan dengan 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖.
b. Bilangan Quaternion
Himpunan bilangan quaternion dituliskan dengan simbol ℍ sebagai penghargaan bagi Sir William Roman Hamilton, dimana elemen-elemen dari bilangan quaternion merupakan kombinasi linear dari bilangan skalar riil dan tiga bagian imajiner 𝒊, 𝒋 dan 𝒌 yang dituliskan sebagai
ℍ = {𝑞 = 𝑞0+ 𝒊𝑞1+ 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3|𝑞0, 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 ∈
ℝ}. (2.4)
Jika 𝑞2 dan 𝑞3 bernilai nol maka persamaan
(2.4) merupakan suatu bilangan kompleks. Sedangkan jika 𝑞0 = 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3 = 0, maka persamaan (2.4) merupakan elemen identitas penjumlahan quaternion. Jika 𝑞0 = 1, 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3 = 0 maka persamaan (2.4) disebut elemen identitas perkalian quaternion (J.P. Morais, dkk.
2012). Selanjutnya, persamaan (2.4) dapat dituliskan menjadi
𝑞 = 𝑆𝑐(𝑞) + 𝒒, (2.5)
Dalam hal ini 𝑆𝑐(𝑞) = 𝑞0 adalah bagian skalar dari 𝑞, dan 𝒒 = 𝒊𝑞1+ 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3 sebagai bagian vektor (vector part) dari 𝑞. Perkalian elemen-elemen dari suatu bilangan quaternion berdasarkan aturan Hamilton dapat dituliskan sebagai
𝒊2 = 𝒋2 = 𝒌2 = 𝒊𝒋𝒌 = −1.
(2.6) 𝒋𝒌 = −𝒌𝒋 = 𝒊, 𝒊𝒋 = −𝒋𝒊 = 𝒌
dan 𝒋𝒌 = −𝒌𝒋 = 𝒊. (2.7)
Secara singkat dapat dituliskan dalam bentuk tabel sebagai berikut,
× 1 𝒊 𝒋 𝒌
1 1 𝒊 𝒋 𝒌
𝒊 𝒊 −1 𝒌 −𝒋
𝒋 𝒋 −𝒌 −1 𝒊
𝒌 𝒌 𝒋 −𝒊 −1
Dapat diperhatikan bahwa operasi penjumlahan dan pengurangan quaternion dilakukan seperti pada operasi penjumlahan dan pengurangan suku banyak. Jika 𝑝, 𝑞 ∈ ℍ dengan 𝑝 = 𝑝0+ 𝒊𝑝1+ 𝒋𝑝2+ 𝒌𝑝3 dan 𝑞 = 𝑞0+ 𝒊𝑞1+ 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3 dimana 𝑝0, 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑞0, 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 ∈ ℝ maka
𝑝 + 𝑞 = (𝑝0+ 𝑞0) + 𝒊(𝑝1+ 𝑞1) + 𝒋(𝑝2+ 𝑞2)
+ 𝒌(𝑝3+ 𝑞3). (2.8)
Dengan cara yang sama, operasi pengurangan pada bilangan quaternion
𝑝 − 𝑞 = (𝑝0− 𝑞0) + 𝒊(𝑝1− 𝑞1) + 𝒋(𝑝2−
Selanjutnya, operasi perkalian 𝑝 dan 𝑞 dilakukan berdasarkan perkalian polinom yaitu
𝑝𝑞 = 𝑝0𝑞0− 𝒑. 𝒒 + 𝑝0𝒒 + 𝑞0𝒑 + 𝒑 × 𝒒, (2.10)
dimana 𝒑. 𝒒 = (𝑝1𝑞1+ 𝑝2𝑞2+ 𝑝3𝑞3) adalah hasil kali titik (dot product) dan 𝒑 × 𝒒 = 𝒊(𝑝2𝑞3− 𝑝3𝑞2) + 𝒋(𝑝1𝑞3− 𝑝3𝑞1) + 𝒌(𝑝1𝑞2−
𝑝2𝑞1). Hasil perkalian 𝑝𝑞 dengan 𝑞𝑝 tidak selalu sama, ini karena perkalian silang dari 𝒑 dan 𝒒
tidak komutatif. Sehingga dapat dikatakan bahwa
𝑝𝑞 = 𝑞𝑝 jika dan hanya jika 𝑝0 = 𝑞0 dan 𝒑 = 𝒒.
Definisi 2.2. Untuk sebarang 𝑝 ∈ ℍ dengan 𝑝 = 𝑝0+ 𝒊𝑝1+ 𝒋𝑝2+ 𝒌𝑝3 dimana 𝑝0, 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3 ∈ ℝ, konjugasi dari 𝑝 adalah
𝑝̅ = 𝑝0+ 𝒊𝑝1+ 𝒋𝑝2+ 𝒌𝑝3 = 𝑝0− 𝒊𝑝1− 𝒋𝑝2− 𝒌𝑝3. (2.11)
Dan modulo p dituliskan dengan |p| dan didefinisikan sebagai
|𝑝| = √𝑝02+ 𝑝
12+ 𝑝22+ 𝑝32 (2.12)
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas tentang beberapa sifat bilangan quaternion. Teorema 3.1 (dekomposisi bilangan quaternion)
Misalkan 𝑞 = 𝑞0 + 𝒊𝑞1+ 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3, maka 𝑞 dapat didekomposisi menjadi
𝑞 = 𝑞++ 𝑞− = 1
2(𝑞 + 𝒊𝑞𝒋) + 1
2(𝑞 − 𝒊𝑞𝒋), dari dekomposisi ini sehingga
𝑞± = {𝑞0± 𝑞3+ 𝒊(𝑞1∓ 𝑞2)} 1 ± 𝒌 2 (3.1) 𝑞± =1 ± 𝒌 2 {(𝑞0± 𝑞3) + 𝒋(𝑞2∓ 𝑞1)}(3.2) Bukti.
Berdasarkan sifat nonkomutatif terhadap perkalian maka persamaan (3.1) dan (3.1) dibuktikan dengan menguraikan dekomposisi quaternion,
𝑞± =1 2(𝑞 ± 𝒊𝑞𝒋) =1 2{(𝑞0+ 𝒊𝑞1 + 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3) ± 𝒊(𝑞0+ 𝒊𝑞1+ 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3)𝒋} =1 2{(𝑞0+ 𝒊𝑞1 + 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3) ± (𝒊𝒋𝑞0+ 𝒊(𝒊𝒋)𝑞1+ 𝒌𝒋𝑞2 + (𝒊𝒌𝒋)𝑞3)} (3.3)
Dengan menggunakan persamaan (2.6), persamaan (3.3) menjadi
𝑞± =1
2{(𝑞0+ 𝒊𝑞1+ 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3) ± (𝒌𝑞0+ 𝒊𝒌𝑞1+ 𝒌𝒋𝑞2+ 𝑞3)} =1
2{(𝑞0± 𝒌𝑞0) + (𝒊𝑞1± 𝒊𝒌𝑞1) + (𝒋𝑞2± 𝒌𝒋𝑞2) + (𝒌𝑞3± 𝑞3)}
=1 2{(𝑞0± 𝒌𝑞0) + (𝒊𝑞1± 𝒊𝒌𝑞1) + (−𝒊𝒌𝑞2± (−𝒊)𝑞2) + (𝒌𝑞3± 𝑞3)} =1 2{𝑞0(1 ± 𝒌) + 𝒊𝑞1(1 ± 𝒌) ∓ 𝒊𝑞2(1 ± 𝒌) ± 𝑞3(1 ± 𝒌)} = ((𝑞0± 𝑞3) + 𝒊(𝑞1∓ 𝑞2)) (1 ± 𝒌) 2 .
Dengan cara yang sama dilakukan untuk membuktikan persamaan (3.2) yaitu
𝑞∓ =1 2(𝑞 ∓ 𝒊𝑞𝒋) =1 2{(𝑞0+ 𝒊𝑞1 + 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3) ∓ 𝒊(𝑞0+ 𝒊𝑞1+ 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3)𝒋} =1 2{(𝑞0+ 𝒊𝑞1 + 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3) ∓ (𝒊𝒋𝑞0+ 𝒊(𝒊𝒋)𝑞1+ 𝒌𝒋𝑞2 + (𝒊𝒌𝒋)𝑞3)} =1 2{(𝑞0+ 𝒊𝑞1 + 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3) ∓ (𝒌𝑞0+ 𝒊𝒌𝑞1+ 𝒌𝒋𝑞2+ 𝑞3)} =1 2{(𝑞0∓ 𝒌𝑞0) + (𝒊𝑞1∓ 𝒊𝒌𝑞1) + (𝒋𝑞2∓ 𝒌𝒋𝑞2) + (𝒌𝑞3∓ 𝑞3)} =1 2{(𝑞0∓ 𝒌𝑞0) + (𝒊𝑞1∓ 𝒊𝒌𝑞1) + (−𝒊𝒌𝑞2∓ (−𝒊)𝑞2) + (𝒌𝑞3∓ 𝑞3)} =1 2{𝑞0(1 ∓ 𝒌) + 𝒊𝑞1(1 ∓ 𝒌) ± 𝒊𝑞2(1 ∓ 𝒌) ∓ 𝑞3(1 ∓ 𝒌)} = ((𝑞0∓ 𝑞3) + 𝒊(𝑞1± 𝑞2))(1 ∓ 𝒌) 2 .
Jadi Teorema 3.1 terbukti.
Teorema 3.2 Quaternion modulus
Misalkan 𝑞 = 𝑞0 + 𝒊𝑞1+ 𝒋𝑞2+ 𝒌𝑞3, dan 𝑝 = 𝑝0+ 𝒊𝑝1+ 𝒋𝑝2+ 𝒌𝑝3, maka
𝑝𝑝̅ = |𝑝|2
|𝑝𝑞| = |𝑝||𝑞| (3.4)
Bukti.
Dengan menggunakan persamaan (2.11) persamaan 3.4 (i) menjadi,
𝑝𝑝̅ = (𝑝0+ 𝒊𝑝1+ 𝒋𝑝2+ 𝒌𝑝3)(𝑝0− 𝒊𝑝1− 𝒋𝑝2− 𝒌𝑝3)
= 𝑝02− 𝒊2𝑝
12− 𝒋2𝑝22− 𝒌𝑝32
= 𝑝02+ 𝑝12+ 𝑝22+ 𝑝32
Berdasarkan definisi modulasi pada persamaan (2.12) maka diperoleh
𝑝𝑝̅ = (√𝑝02+ 𝑝
12+ 𝑝22+ 𝑝32) 2
= |𝑝|2
|𝑝||𝑞| = (√𝑝02+ 𝑝
12+ 𝑝22+ 𝑝32) (√𝑞02+ 𝑞12 + 𝑞22+ 𝑞32)
= √𝑝02𝑞02+ 𝑝12𝑞12+ 𝑝22𝑞22+ 𝑝32𝑞32
= √(𝑝0𝑞0)2+ (𝑝1𝑞12 + (𝑝2𝑞2)2+ (𝑝3𝑞3)2
dengan menjabarkan persamaan 2.10, diperoleh
|𝑝||𝑞| == √(𝑝0𝑞0)2+ (𝑝1𝑞12 + (𝑝2𝑞2)2+ (𝑝3𝑞3)2 = |𝑝𝑞|
Teorema 3.3
Misalkan 𝑝 = 𝑝0+ 𝒊𝑝1+ 𝒋𝑝2+ 𝒌𝑝3, bilangan quaternion murni dan 𝑓(𝑥) = 𝑒𝒊𝑥 fungsi eksponensial dengan 𝑥 ∈ ℝ maka 𝑝𝑓(𝑥) = 𝑒𝒊𝑥(𝑝0+ 𝑖𝑝1) + 𝑒−𝒊𝑥(𝒋𝑝2+ 𝒌𝑝3) (3.6) Bukti. 𝑝𝑓(𝑥) = (𝑝0+ 𝒊𝑝1+ 𝒋𝑝2+ 𝒌𝑝3)𝑒𝒊𝑥 = (𝑝0+ 𝒊𝑝1)𝑒𝒊𝑥 + (𝒋𝑝 2+ 𝒌𝑝3)𝑒𝒊𝑥.
Dengan menggunakan rumus Euler 𝑒𝒊𝑥 = cos(𝑥) + 𝒊 sin(𝑥),
𝑝𝑓(𝑥) = (𝑝0+ 𝒊𝑝1)(cos(𝑥) + 𝒊 sin(𝑥)) + (𝒋𝑝2+ 𝒌𝑝3)(cos(𝑥) + 𝒊 sin(𝑥))
= (𝑝0(cos(𝑥) + 𝒊 sin(𝑥)) + 𝒊𝑝1(cos(𝑥) + 𝒊 sin(𝑥))) +
𝒋𝑝2(cos(𝑥) + 𝒊 sin(𝑥)) + 𝒌𝑝3(cos(𝑥) + 𝒊 sin(𝑥)) Karena 𝒊𝒋 = −𝒋𝒊 dan 𝒌𝒊 = −𝒊𝒌, persamaan menjadi
𝑝𝑓(𝑥) = (cos(𝑥) + 𝒊 sin(𝑥))(𝑝0+ 𝒊𝑝1) + (cos(𝑥) − 𝒊 sin(𝑥))(𝒋𝑝2+ 𝒌𝑝3)
Dengan menggunakann kembali rumus Euler, diperoleh
𝑝𝑓(𝑥) = 𝑒𝒊𝑥(𝑝0+ 𝒊𝑝1) + 𝑒−𝒊𝑥(𝒋𝑝2+ 𝒌𝑝3) Terbukti teorema 3.3.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian telah dibuktikan beberapa sifat quaternion yang dapat digunakan untuk analisis lebih lanjut seperti Analisis Transformasi Fourier, Transformasi Kanonikal Linear dan lain sebagainya.
5. DAFTAR PUSTAKA
Morais, J.P., Geogiev S., Sprosieg, W. 2012. Real Quaternionic Calculus Handbook. Springer Basel: Hidelberg New York London.
Bahri, M., Irwan, M., Toaha, S., dan Saleh, M. 2014. Correlation Theorem for Two-Sided Quaternion Fourier Transform. Applied Mathematical Sciences. 41: 1999-2005.
Hitzer, E. M. S. 2013. Quaternion Fourier
Trasform on Quaternion
Field and Generalization. Advance Applications of Clifford Algebras. 17: 1- 20.
