KATA PENGANTAR. Medan, April Nana Kartika, ST

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat, karunia dan hidayahNya, bahan ajar modul mata kuliah Statistik Probabilitas ini dapat terselesaikan. Modul yang di susun ini diharapkan digunakan sebagai sebagai sumber belajar pokok mahasiswa.

Dalam Modul ini akan dipelajari tentang bagaimana cara menyelesaikan Masalah probabilitas sebagai alat pengambil keputusan, alat-alat statistik yang dibutuhkan untuk melakukan pengkajian terhadap masalah yang dihadapi. Serta senagaoi dasar berpikir selanjutnya dalam mencari terobosan baru (policy) guna memecahkan masalah yang dihadapi.

Adapun isi dari mata kuliah Statistik Probabilitas ini adalah sebagai berikut : Teori probabilitas, Distribusi Probabilitas Diskret, Teori Keputusan, Metode dan Distribusi Sampling, Hipotesa, Uji Chi Kuadrat

Modul yang merupakan sumber bahan belajar ini untuk membekali kompetensi mahasiswa, namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar selalu relevan dengan kondisi lapangan.

Dengan adanya modul ini di harapkan kepada mahasiswa agar lebih mudah dan mengerti didalam pemahaman materi - materi yang ada, karena di susun menggunakan bahasa yang sederhana, dan mudah – mudahan dapat mengaplikasikan dalam kehidupan sehari – hari.

Demikian, semoga modul dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya para mahasiswa STMIK TRIGUNA DHARMA. Adapun saran dan kritik dari para praktisi sangat diharapkan dalam meningkatkan kualitas modul ini

Medan, April 2010 Nana Kartika, ST

CHAPTER 1

Pertemuan 1

Perkenalan Dengan Statistika Probabilitas

A. DESKRIPSI

Membahas berbagai macam konsep (teori) maupun metode statistika, yang selanjutnya dapat digunakan untuk melakukan interpretasi terhadap berbagai macam data penelitian dan sekaligus mengetahui alat-alat analisa apa saja yang dibutuhkan sesuai dengan masalah yang dihadapi.

Tujuan mata kuliah ini adalah memberi pengetahuan kepada mahasiswa tentang: a. Masalah probabilitas sebagai alat pengambil keputusan.

b. Alat-alat statistik yang dibutuhkan untuk melakukan pengkajian terhadap masalah yang dihadapi.

c. Dasar berpikir selanjutnya dalam mencari terobosan baru (policy) guna memecahkan masalah yang dihadapi.

B. PRASYARAT : STATISTIKA I

C. MATERI

1. Teori probabilitas

1.1. Pengertian dan manfaat probabilitas 1.2. Pendekatan probabilitas

1.3. Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas 1.4. Teorema Bayes

1.5. Beberapa prinsip menghitung dalam probabilitas 2. Distribusi Probabilitas Diskret

2.1. Pengertian distribusi probabilitas 2.2. Distribusi probabilitas Binomial

2.3. Distribusi probabilitas Hipergeometrik 2.4. Distribusi probabilitas Poisson

3. Distribusi probabilitas normal

3.1. Pengertian dan karakteristik Distribusi Probabilitas Normal 3.2. Distribusi Probabilitas Normal

3.3. Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar 3.4. Pendekatan Normal terhadap Binomial

3.5. Faktor koreksi kontinuitas 4. Teori Keputusan

4.1. Elemen-elemen Keputusan

4.2. Keputusan dalam keadaan berisiko 4.3. Keputusan dalam kondisi ketidak pastian

5. Metode dan Distribusi Sampling 5.1. Pengertian populasi dan sample 5.2. Metode penarikan sample

5.3. Distribusi Sampel rata-rata dan proporsi

5.4. Distribusi Sampel Selisih rata-rata dan proporsi 5.5. Factor Koreksi untuk populasi terbatas

6. Hipotesa

6.1. Pengertian dan Pengujian Hipotesa 6.2. Prosedur pengujian hipotesa

6.3. Menguji hipotesa Rata-rata dan Proporsi Sampel Besar

6.4. Menguji hipotesa Selisih Rata-rata dan Proporsi Sampel Besar 6.5. Jenis Kesalahan I dan I

7. Uji Chi Kuadrat 7.1. Pendahuluan

7.2. Uji Chi-Kuadrat untuk Keselarasan 7.3. Uji Chi-Kuadrat untuk Kenormalan 7.4. Uji Chi-Kuadrat untuk independensi D. Materi Dalam Petemuan

1 Pendahuluan, Perkenalan dengan Statistika Probabilitas 2 Konsep Dasar Probabilitas

3 Konsep Dasar Dan Hukum Probabilitas 4 Teorema Bayes

5 Quiz

6 Karakteristik Distribusi Kurva Normal 7 Distribusi Probabilitas Diskret

8 UTS

9 Teori Keputusan

10 Metode dan Distribusi Sampling 11 Hipotesa

12 Menguji Hipotesa Rata – Rata Sampel Besar 13 Quiz

14 Pengujian Hipotesa Sampel Kecil 15 Uji Chi-Kuadrat

16 UAS

E. Textbook :

1. Bambang Yuwono, 2006, Bahan Kuliah Statistika, UPN “Veteran” Yogyakarta 2. J. Supranto, 2000, Statistik Teori dan Aplikasi, Erlangga, Jakarta

3. Sudjana, 1992, Metode statistika, Tarsita Bandung 4. Zanzawi soeyuti, 1990, Metode statistika, UT, Jakarta

F. Acuan/Referensi :

1. Ronald E Walpole, 1992, Pengantar Statistika, Gramedia, Jakarta 2. Murray R Spiegel, 1994, Statistika, Erlangga, Jakarta

3. Richard Lungan, 2006, Aplikasi Statistika dan Hitung Peluang,Graha Ilmu, Yogyakarta

4. Samsubar Saleh, 1988, Statistik Induktif, AMP YKPN Yogyakarta 5. Samsubar Saleh, 1986, Statistik Deskriptif, AMP YKPN, Yogyakarta

6. Suharyadi dan Purwanto, 2003, Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Salemba, Jakarta

G. Penilaian : 1. Absen 10%

2. Quiz & Tugas 20 % 3. UTS 30%

CHAPTER 2

Pertemuan 2

KONSEP DASAR PROBABILITAS

A. PENDAHULUAN

Secara sederhana probabilitas dapat diartikan sebagai sebuah peluang untuk suatu kejadian.

1. Manfaat mempelajari probabilitas

sangat berguna untuk pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, sehingga diperlukan untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa akan terjadi. Probabilitas dinyatakan dalam angka pecahan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase.

Contoh:

Seluruh mahasiswa Panca Budi harus memiliki sertifikat computer untuk program microsoft exel. Di kota Medan sendiri banyak terdapat tempat kursus computer diantaranya LP3I, Medicom, Tricom dll. Maka akan muncul kebingungan dalam memilih tempat kursus. Untuk menentukan pilihan biasanya mahasiswa akan bertanya kepada teman-teman, mereka kursus dimana? Dari ratusan mahasiswa mungkin anda bertanya hanya pada 20 orang mahasiswa. Yang paling banyak diminati anda akan memilih tempat tersebut untuk kursus.

Dari contoh tersebut dapat dilihat bahwa keputusan diambil hanya dari beberapa contoh atau sampel dari populasi keseluruhan.

2. Pengertian probabilitas

Lind (2002) dalam mendefenisikan probabilitas sebagai:

“Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi dimasa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase” Tiga hal penting dalam membicarakan probabilitas:

Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperthatikan peristiwa mana yang akan terjadi

b. Hasil (outcome)

suatu hasil dari sebuah percobaan. Dalam hasil ini semua kejadian akan dicatat atau dalam artian seluruh peristiwa yang akan terjadi dalam sebuah percobaan. Misalnya dalam mengikuti ujian semester maka hasil yang akan diperoleh ada mahasiswa yang lulus dan ada yang tidak lulus. Ada yang lulus memuaskan ada yang tidak memuaskan

c. Peristiwa (event)

kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan

Contoh:

Percobaan Pertandingan sepak bola antara Fakultas Ekonomi UNPAB dan Fakultas Pertanian UNPAB

Hasil Fakultas Ekonomi menang,

Fakultas Ekonomi kalah

Seri, tidak ada yang kalah dan tidak ada yang menang

Peristiwa Fakultas Ekonomi Menang

Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan dari 0 sampai 1. probabilitas 0 menunjukkan sesuatu yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 mununjukkan peristiwa pasti terjadi.

Contoh penulisan probabilitas dalam desimal atau persentase:

1. Pada hari Jumat adalah penutupan bursa saham, maka kebanyakan investor berusaha meraih keuntungan melalui penjualan saham atau yang biasanya diistilahkan profit taking, sehingga probabilitas menjual mencapai 0,7 sedangkan membeli 0,3.

Probabilitas kejadian dengan nilai 0 berarti peristiwa yang tidak mungkin terjadi, seperti seorang anak balita melahirkan seorang bayi. Sedangkan probabilitas dengan nilai 1 adalah peristiwa yang pasti terjadi, seperti semua manusia pasti akan meninggal. B. PENDEKATAN PROBABILITAS

Untuk menentukan tingkat probabilitas suatu kejadian, maka ada tiga pendekatan yaitu pendekatan klasik, pendekatan relatif dan pendekatan subjektif.

1. Pendekatan klasik

Diasumsikan bahwa semua peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi (equally likely)

Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil)

hasil n kemungkina total jumlah ) (peristiwa hasil n kemungkina jumlah as Probabilit  Contoh:

Pada kegiatan mahasiswa belajar semua hasil ada yang sangat memuaskan, memuaskan dan terpuji. Jumlah hasil ada 3 dan hanya 1 peristiwa yang terjadi, maka probabilitas setiap peristiwa adalah 1/3.

Pada suatu percobaan hanya 1 peristiwa yang terjadi, dan peristiwa lain tidak mungkin terjadi pada waktu yang bersamaan maka dikenal sebagai peristiwa saling lepas.

”Peristiwa saling lepas (mutually exclusive) adalah terjadinya suatu peristiwa sehingga peristiwa yang lain tidak terjadi pada waktu yang bersamaan”

Pada suatu percobaan atau kegiatan semua hasil mempunyai probabilitas yang sama, dan hanya satu peristiwa yang terjadi maka peristiwa ini dikenal dengan lengkap terbatas kolektif (collection exhaustive).

”lengkap terbatas kolektif (collection exhaustive) adalah sedikitnya satu dari seluruh hasil yang ada pasti terjadi pada setiap percobaan atau kegiatan yang dilakukan”

2. Pendekatan Relatif

Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi, yang dinyatakan sebagai berikut:

percobaan total jumlah terjadi yang peristiwa Jumlah relatif kejadian as Probabilit  Contoh:

Dari kegiatan belajar mahasiswa dapat dilihat hasilnya pada Wisuda Sarjana Universitas Panca Budi tahun 2007 sebanyak 800 orang mahasiswa. 500 orang lulus dengan memuaskan, 200 orang dengan sangat memuaskan dan 100 orang dengan prediket terpuji. Maka probabilitas lulus memuaskan adalah 500/800 = 0.625; lulus dengan sangat memuaskan 200/800 = 0.25 dan lulus dengan terpuji 100/800 = 0.125.

3, Pendekatan Subjektif

Yang dimaksud dengan pendekatan subjektif adalah menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan.

Contoh:

Menurut pengamat politik, Susilo Bambang Yudoyono akan menang dalam Pemilu Indonesia tahun 2009

CHAPTER 3

Pertemuan 3

KONSEP DASAR DAN HUKUM PROBABILITAS

Dalam teori probabilitas, probabilitas kejadian dilambangkan dengan “P”, apabila kejadian jual saham dilambangkan dengan huruf “A”, maka probabilitas jual saham dilambangkan dengan P (A). Sebaliknya apabila kejadian beli saham dilambangkan dengan “B”, maka probabilitas beli saham dilambangkan dengan P (B).

A. Hukum Penjumlahan

Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa yang saling lepas (mutually exclusive) yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.

Hukum ini dilambangkan sebagai:

P (A atau B) = P (A) + P(B)

Untuk kejadian yang lebih banyak dilambangkan sampai n yaitu: P(A atau ... n) = P(A) + P(B) + ...+P(n) Contoh:

Berikut adalah kegiatan perdangan saham di BEJ untuk tiga perusahaan perbankan dengan jumlah total sebanyak 200 transaksi

Jenis Transaksi Volume Transaksi

Jual saham (A) 120

Beli saham (B) 80

Jumlah Total transaksi 200

Penyelesaian:

Dari data diatas diketahui bahwa:

Probabilitas Jual = P(A) = 120/200 = 0.60 Probabilitas Beli = P(B) = 80/200 = 0.40 Sehingga probabilitas A atau B,

P(A atau B) = P(A) + P(B) = 0.6 +0.4 = 1.0 1. Peristiwa atau Kejadian Bersama

Pada peristiwa bersama dua atau lebih peristiwa dapat terjadi secara bersama-sama, peristiwa bersama tersebut dapat lebih mudah dilihat dengan diagram Venn seperti berikut:

Penjumlahan probabilitas dengan adanya unsur kegiatan bersama, maka rumus penjumlahan dirumuskan kembali menjadi sebagai berikut:

P(A atau D) = P(A) + P(D) – P(AD) Dimana:

P(A atau D) : probabilitas terjadinya A atau D atau A dan D bersama- sama P(A) : probabilitas terjadinya A

P(D) : probabilitas terjadinya D

P(AD) : probabilitas terjadinya A dan D bersama-sama 2. Kejadian saling lepas (mutually exclusive)

Kejadian saling lepas terjadi apabila hanya satu dari dua atau lebih peristiwa yang dapat terjadi. Dapat digambarkan dengan diagram Venn:

Maka P(AB) = 0

Oleh sebab itu, untuk peristiwa yang saling lepas, probabilitas kejadian A atau B yang dinyatakan P(A atau B)

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB)

A D

A AD

D

Karena P(AB) = 0 maka

P(A atau B) = P(A) + P(B) – 0 Sehingga:

P(A atau B) = P(A) + P(B)

Contoh:

Cobalah hitung berapa probabilitas kejadian jual saham dan beli saham P(AB) dan probabilitas kejadian untuk saham BCA, BII dan BNI (P(DEF).

Kegiatan Perusahaan Jumlah

BNI (C) BII (D) BCA (E)

Jual (A) 30 50 40 120

Beli (B) 40 30 10 80

Jumlah 70 80 50 200

Penyelesaian:

Probabilitas kejadian A dan B adalah kejadian yang saling lepas, maka P(AB)=0. maka hukum penjumlahan untuk peristiwa saling lepas adalah:

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.6 + 0.4

= 1.0

probabilitas kejadian ketiga saham juga merupakan kejadian saling lepas, maka hukum penjumlahannya adalah:

P (C atau D atau E) = P(C) + P(D) + P(E) – P(CDE) = 0.35 + 0.40 + 0.25 – 0 = 1.0 probabilitas P(C atau D) P(C atau D) = P(C) + P(D) – P(CD) = 0.35 + 0.40 = 0.75 B. Hukum Perkalian.

Dalam hukum perkalian dikehendaki setiap peristiwa independent yaitu suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi.

“Peristiwa independent adalah terjadinya peristiwa atau kejadian tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain.”

Dapat dinyatakan dalam bentuk:

(P(A dan B) = P(A) x P(B)

1. Probabilitas bersyarat (Condicional Probability)

Probabilitas bersyarat adalah probabilitas statu peristiwa akan terjadi, dengan ketentuan peristiwa lain telah terjadi. Hukum perkalian untuk probabilitas bersyarat bahwa peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi dinyatakan sebagai berikut:

P(A dan B) = P(A) x (P(B|A)

2. Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)

Peristiwa pelengkap menunjukan bahwa apabila ada dua peristiwa A dan B yang saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi. Maka probabilitas keduanya dapat dirumuskan sebagai berikut:

P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)

Dalam bentuk diagram Venn dapat digambarkan sebagai berikut

C. Diagram pohon probabilitas

Tahapan dalam menyusun diagram pohon:

1. Tahap 1 adalah langkah awal kegiatan, kita mulai dengan tanda titik atau bulatan A

utamanya berupa kegiatan dibursa saham. Nilai probabilitas pada tahap 1 adalah 1.

2. Tahap 2, membuat cabang. Kegiatan di bursa ada 2 yaitu kegiatan jual dan kegiatan beli saham. Probabilitas jual = 0,6 dan probabilitas beli 0,4. nilai probabilitas pada cabang = 0,6 + 0,4 = 1,0

3. Tahap 3 membuat ranting. Pada setiap cabang baik jual maupun beli ada 3 ranting jenis saham yaitu BCA, BLP dan BNI. Nilai probabilitas setiap ranting = 0,35 + 0,40 + 0,25 = 1

4. Tahap 4, menghitung probabilitas bersama (joint probability) antara kejadian pertama A dan B dengan kejadian kedua D, E dan F. kita bisa menghitung probabilitas P(D|A) atau P(E|B) secara langsung. Nilai probabilitas keseluruhan pada tahap 4 juga harus sama dengan 1.

Contoh:

Hasil penelitian di Yakarta menunjukan bahwa 60 % dari usa Kecil dan menengah (UKM) tidak berbadan hukum, sedang sisanya berbadan hukum. Bank sebagai lembaga pembiayaan dengan memerhatikan aspek kehati-hatian memberikan probabilitas 80% lepada UKM berbadan hukum untuk mendapatkan kredit, sedangkan yang tidak berbadan hukum masih memopunyai desempatan sebesar 20% untuk mendapatkan kredit. Hitunglah berapa persen probabilitas UKM mendapat kredit dari bank?

Penyelesaian: 1 Jual (0,6) Beli (0,4) BCA BLP BNI BCA BLP BNI

CHAPTER 4

Pertemuan 4

Teorema Bayes

Teorema ini dikembangkan oleh Thomas Bayes pada abad ke-18. Bayes seorang pendeta, bertanya apakah Tuhan ada dengan memerhatikan fakta-fakta yang ada di bumi. Jadi bila Tuhan ada, maka ada fakta sebagai ciptaan Tuhan. Apabila fakta dilambangkan P(A1) untuk suatu fakta dan P(A2) untuk fakta lain, sedang keberadaan Tuhan dinyatakan dengan P(B), maka teorema Bayes dinyatakan sebagai:





 

 

 





 

P



BA₂



2 A P 1 A B P 1 A P 1 A B P 1 A P B 1 A P     

Rumus diatas merupakan probabilitas bersyarat, suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada. P(A1|B) menyatakan bahwa fakta-fakta di bumi akan ada apabila Tuhan ada. Karena banyak fakta tersebut maka rumus Bayes diperluas:





 

 

 

A₁ P



BA₁



P

 

A₂ P



BA₂



P

 

Ai P



BAi



P 1 A B P 1 A P B 1 A P         ...

BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG A. FAKTORIAL

Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu kelompok. Contoh konvensional, apabila kita mempunyai tiga bank yaitu BCA, BII dan BNI ada berapa cara menyusun uratan ketiga bank tersebut?

Secara sederhana dapat kita lakukan dengan mengurut ketiga bank sebagai berikut: BCA, BII, BNI BCA, BNI, BII BII, BCA, BNI

Dari uraian diatas dapat kita ketahui bahwa terdapat 6 cara mengurutkan nama bank tersebut, namun apabila jumlah bank tersebut 100 buah bank, tentu kita akan kewalahan dalam mengurutkan. Maka dapat dilakukan dengan pendekatan faktorial, Apabila bank berjumlah tiga maka cara menurutkan nama bank:

3! = 3 x 2 x 1 = 6

B. PERMUTASI

Digunakan untuk mengetahui sejumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. Pada permutasi ini kita berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek, permutasi dirumuskan sebagai berikut:



n r

!

n! r P n  _ dimana :

P : Jumlah permutasi atau cara objek disusun n : Jumlah total objek yang disusun

r : Jumlah objek yang digunkan pada saat bersamaan, jumlah r dapat sama dengan n atau lebih kecil

! : tanda dari faktorial Contoh:

Dari 20 kelas di Universitas Panca budi, ingin dikelompokkan menjadi beberapa kelompok. Jika satu kelompok terdiri dari 5 kelas, ada berapa susunan kelompok yang dapat dibuat? Jawab





15! 1.860.480 ! 15 16 17 18 19 20 0          ! 5 2 20! 5 P 20

C. KOMBINASI

Kombinasi digunakan apabila kita tertarik pada berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memerhatikan urutannya. Misalnya ada 10 bank dan kita hanya akan mengambil 3 bank, maka ada beberapa kombinasi bank yang dapat diambil tanpa memerhatikan urutan atau susunannya. Dirumuskan sebagai berikut:



n r

!

r! n! r C n  _ Contoh:

Ada 5 orang siswa mendaftar sebagai pembawa acara dalam suatu kegiatan hiburan. Pihak penyelengara hanya akan memilih 2 orang yang dapat dijadikan pasangan. Ada berapa kombinasi pasangan yang dapat dipilih oleh panitia?







10  ! 2 5 2! 5! 2 C 5

CHAPTER 5

Pertemuan 6

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL

1. Kurva berbentuk genta (= Md= Mo) 2. Kurva berbentuk simetris

3. Kurva normal berbentuk asimptotis 4. Kurva mencapai puncak pada saat X= 

5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

Distribusi probabilitas dan kurva mempunyai persamaan matematika yang sangat tergantung pada nilai tengah () dan standar deviasi (). Distribusi probabilitas dan kurva normal dari suatu variable acak (X) yang nilainya terletak -  sampai 

dinyatakan dengan lambang X ~ N(X; , ).

Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah:

              X untuk , 2 /σ μ x 1/2 e 2 2ππ 1 σ) μ, (X; Ν

Jenis-jenis probabilitas Normal

Jenis-jenis probabilitas normal sangat dipengaruhi oleh nilai rata-rata hitung dan standar deviasinya, maka distribusi probabilitas kurva normal diantaranya:

a. Distribusi probabilitas dan Kurva Normal dengan  dan  Berbeda.

Keterangan:

1. Mesokurtik

Kurva normal ini mempunyai  = Md dan Mo yang sama , namun  berbeda 2. Platykurtik 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 m

Nilai  semakin tinggi dan kurva semakin pendek. Nilai  tinggi menunjukkan bahwa nilai data semakin menyebar dari nilai tengahnya ()

3. Leptokurtik

Nilai  semakin rendah dan kurva semakin runcing. Niali  rendah ini menunjukkan data semakin mengelompok pada nilai tengahnya ().

b. Distribusi probabilitas dan Kurva Normal dengan  Berbeda dab  sama

Bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan  berbeda dan  sama mempunyai jarak antara kurva yang berbeda, namun bentuk kurva tetap sama. Gambar diatas menunjukan nilai rata-rata berbeda dengan standar deviasi yang sama. Pada contoh dapat dilihat mangga dikelompokkan menjadi mutu ”A” dengan berat rata-rata 450 gram, mutu ”B” dengan 300 gram dan mutu ”C” dengan 150

gram.

c. Distribusi Probabilitas dan Kurva normal dengan  Berbeda dan  berbeda Kurva dengan  berbeda dan  berbeda mempunyai titik pusat yang berbeda pada sumbu mendatar dan bentuk kurva berbeda karena mempunyai standar deviasi yang berbeda. Kurva seperti ini relatif sering terjadi karena antara populasi terdapat perbedaan atau setiap populasi juga mempunyai keragaamn yang berbeda.

d. Distribuís probabilitas Normal Baku

Distribuís normal baku adalah distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1.

Beberapa hal yang perlu dilakukan dalam rangka distribusi probabilitas normal baku adalah mengubah atau membakukan distribusi aktual dalam bentuk distribusi normal baku yang dikenal dengan nilai Z atau skor Z. Rumus niali Z adalah:

σ μ X Ζ 

dimana:

Z = skor Z atau nilai normal baku

X = Nilai dari statu pengamatan atau pengukuran

 = Nilai rata-rata hitung suatu distribusi

 = standar deviasi suatu distribusi e. Luas dibawah Kurva Normal

Kurva normal juga mengikuti hukum empirik. Untuk distribusi simetris, dengan distribusi frekuensi berbentuk lonceng seperti kurva normal diperkirakan 68,26% data akan berada pada kisaran rata-rata hitung ditambah dua kali standar devíasi, (X  1 ), (X  2) dan semua data atau 99,74 % akan berada pada kisaran rata-rata hitung ditambah tiga kali standar deviasi, (X  3).

• Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26% dari jumlah data.

• Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau biasa dituis P(0<Z<0,76)?

• Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya dihasilkan = 0,2764 f. Pendekatan Normal Terhadap Binomial

Pada distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal.

Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar. Pada saat n = 20 terlihat bahwa distribusi probabilitas binomial mendekati distribusi probabilitas normal yaitu kurva berbentuk lonceng, memiliki puncak tunggal dan simetris.

Dalil pendekatan normal terhadap binomial.

Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah =np dan standar deviasi =npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah:

 -3 -3 =x Z=0 +1₊₁  +2₊₂  +3₊₃   -2 -2  -1 -1 68,26% 99,74% 95,44% 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 1 r 0 1 2 3 r 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 r

npq np X Ζ 

di mana n  dan nilai p mendekati 0,5 g. Faktor Koreksi Kontinuitas

Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal (menurut Lind 2002) diperlukan faktor koreksi selain syarat binomial terpenuhi yaitu:

a. hanya terdapat dua peristiwa b. peristiwa bersifat independen

c. besar probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan d. data merupakan hasil perhitungan

apabila telah memenuhi syarat binomial, maka kita menggunakan faktor koreksi yang besarnya 0,5. Faktor koreksi ini diperlukan untuk mentransformasi dari binomial menuju normal yang merupakan variabel acak kontinu.

Contoh:

Sudan merupakan pedagang buah di pusat pasar Medan. Setiap hari membeli 300 kg jeruk. Probabilitas buah laku dijual adalah 80% dan 20% tidak laku atau busuk. Berapa probabilitas buah sebanyak 250 kg laku dan tidak busuk?

Jawab:

n = 300; probabilitas laku p = 0,8 dan q = 0,2

 = np = 300 x 0,80 = 240

 = npq = 6,93

diketahu X = 250, dikurang factor koreksi 0,5 sehingga X = 250 – 0,5 = 249,5 dengan demikian nilai Z menjadi;

Jadi probabilitas lkau hádala = 0,5 + 0,4147 = 0,9147 Jadi harapan buah laku 250 kg hádala 91,47%

CHAPTER 6

Pertemuan 7

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET

Untuk mempermudah mengetahui probabilitas banyak kejadian atau percobaan dapat dilakukan dengan bantuan distribusi probabilitas. Dimana distribusi probabilitas memberikan keseluruhan kemungkinan nilai yang mungkin muncul atau terjadi dari sebuah kejadian atau percobaan.

A. Pengertian Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas menunjukan hasil yang diharapkan terjadi dari suatu kegiatan dengan nilai probabilitas masing-masing hasil tersebut.

Distribusi probabilitas adalah sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan kejadian yang disertai dengan nilai probabilitas masing-masing hasil (event).

Contoh:

Ada tiga orang mahasiswa yang akan memilih mata kuliah pada semester genap tahun 2007/2008. Mata kuliah tersebut adalah Stasistika (STK) dan matematika (MTK). Ketiga mahasiswa tersebut bebas memilih mata kuliah mana yang akan diikuti, bisa memilih STK semua, STK dan MTK atau MTK semua. Berikut adalah kemungkinan dari ketiga pilihan mahasiswa tersebut

Kemungkinan pilihan mahasiswa Jumlah pilihan STK A B C 1 STK STK STK 3 2 STK STK MTK 2 3 STK MTK STK 2 4 STK MTK MTK 1 5 MTK STK STK 2 6 MTK STK MTK 1 7 MTK MTK STK 1 8 MTK MTK MTK 0

2 orang yang memilih STK ada 3 kejadian. Mahasiswa ada 3 orang yang memilih STK ada 1 kejadian. Dari ke 8 kejadian tersebut kita dapat menyusun distribusi probabilitas sebagai berikut: Jumlah STK di pilih mahasiswa Jumlah frekuensi Total kemungkinan Distribusi probabilitas Hasil P(r) 0 1 8 1/8 0,125 1 3 8 3/8 0,375 2 3 8 3/8 0,375 3 1 8 1/8 0,125

Jumlah Atoatal Distribusi Probabilitas 1,000

Dari tabel distribusi probabilitas kita dapat dengan mudah menentukan berapa probabilitas ketiga mahasiswa akan memilih mata kuliah Statistik yaitu 0,125.

Dalam bentuk grafik poligon dapat digambarkan sebagai berikut:

0,125 0,375 0,375 0,125 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0 1 2 3 Jumlah Pilihan

Grafik Distribusi Probabilitas Pilihan Mahasiswa

B. Variabel Acak/Random a. Variabel Acak

Variabel acak didefenisikan sebagai sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi secara acak atau untung-untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda

Contoh:

Petani menimbang berat setiap semangka yang telah dipanen. Dari lima semangka beratnya berturut-turut 3.56; 3.80; 2.79; 3.60 dan 4.05 kg. Maka penimbangan berat adalah percobaan acak dan nilai berat setiap semangka adalah variabel acak. b. variabel acak diskret

variabel acak diskret merupakan hasil dari percobaan yang bersifat acak dan mempunyai nilai tertentu yang terpisah dalam suatu interval. Variabel acak diskret ini biasanya berupa bilang bulat dan berasal dari hasil perhitungan.

Contoh: jumlah mahasiswa 800 orang, jumlah buah jeruk 20 buah, jumlah telur 300 butir dan sebagainya

c. variabel acak kontinu

variabel acak kontinu mempunyai nilai yang menempati pada seluruh interval hasil percobaan, biasanya dihasilkan dari hasil pengukuran dan bukan penjumlahan. Semua nilai yang dihasilkan dari kegiatan pengukuran baik bulat maupun pecahan merupakan variabel acak kontinu.

Contoh: pada buah semangka jumlah buah semangka 10 buah adalah variabel acah diskret, tapi berat semangka misalnya 3,56 kg ini merupakan variabel acak kontinu C. Rata-rata hitung, Varians, dan Standar deviasi

a. Nilai Rata-rata Hitung

Nilai rata-rata hitung merupakan nilai harapan (expected value) yang dilambangkan E(x)

Rumus nilai rata-rata hitung:

 = E(x) = ∑ (X). P(X) dimana:

 : Nilai rata-rata hitung distribusi pobabilitas E(x) : Nilai harapan (expected value)

X : Kejadian

P(X) : Probabilitas suatu kejadian ∑ : Lambang operasi penjumlahan b. Varians dan Standar deviasi

Varian dan standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yaitu mengukur seberapa besar data menyebar dari nilai tengahnya. Semakin kecil sebaran data, maka semakin baik, karena menunjukkan data mengelompok pada nilai rata-rata hitung.





 

2 σ σ iasi StandarDev X P . 2 μ X 2 σ Varians       _    Dimana: 2 : Varians  : Standar deviasi X : Nilai suatu kejadian

 : Nilai rata-rata hitung distribusi probabilitas P(X) : Probabilitas suatu kejadian X

∑ : Lambang operasi penjumlahan Contoh:

Hitunglah nilai rata-rata hitung, Standar deviasi dan Varian pada kasus pilihan tiga mahasiswa pada mata kuliah Statistika pada contoh terdahulu?

Penyelesaian: X P(X) X.P(X) X -  (X - )2 (X - )2 P(X) 0 0,125 0,000 - 1,500 2,250 0,281 1 0,375 0,375 - 0,500 0,250 0,094 2 0,375 0,750 0,500 0,250 0,094 3 0,125 0,375 1,500 2,250 0,281  1,500 2 0,750

Dari data diatas dapat dilihat bahwa:

 Rata-rata hitung adalah sebesar 1,500 menunjukan bahwa ada 1,5 mahasiswa yang mengambil mata kuliah Statistika. Namun karena orang tidak dalam bentuk pecahan, maka bisa didekatkan pada 1 atau 2 orang.

 Varians = 2 = 0,75, maka standar deviasi =  = 2 =  0.75 = 0,87. Ini menunjukan bahwa standar penyimpangan data dari nilai tengahnya adalah 0,87.

D. Distribusi Probabilitas Binomial

Ini menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang dinamakan Bernoulli.

Ciri-ciri Percobaan Bernouli:

• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian: (a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan; (b) transaksi saham: jual- beli,

(c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.

• Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1.

• Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas.

• Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.

Pembentukan Distribusí Binomial

Hal yang diperlukan dalam membentuk distribusí binomial: a. banyaknya atau jumlah dari percobaan atau kegiatan b. Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal Dapat dinyatakan sebagai berikut:

 





r n q . r p ! r n r! n! r P    Dimana:

P (r) : Nilai probabilitas binomial

P : Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan

r : Banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan n : Jumlah total percobaan

! : Lambang faktorial Contoh:

PT Sari Buah Lestari mengirim buah-buah segar setiap harinya kepada sebuah swalaya terkenal di kota Medan. Dengan jaminan kualitas buah yang segar, 80% buah yang dikirim lolos seleksi oleh swalayan tersebut. PT Sari Buah Lestari mengirim 10 buah Melon setiap harinya

Permintaan:

a. Berapa probabilitas 10 buah diterima b. Berapa probabilitas 8 buah diterima c. Berapa probabilitas 7 buah diterima Penyelesaian:

a. probabilitas 100 buah diterima semua n = 10 p = 0,8 r = 10 q = 0,2

 





 





 

 

 

 

0,021475 0,2 . 0,107374 . 1 1 2 , 8 , 0 0 0 2 , 8 , 0 0          r P r P 0 . 0 ! 10! 10! r P 1 1 0 . 0 ! 1 1 10! 10! r P r n q . r p ! r n r! n! r P 10 10

Distribusi probabilitas Hipergeometrik

• Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluang suatu kejadian tetap atau konstan atau antar-kejadian saling lepas.

• Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatu kejadian sering terjadi tanpa pemulihan dan nilai setiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan.

• Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitas berbeda adalah Distribusi Hipergeometrik.

Pada kasus dimana terjadi percobaan tanpa pengembalian pada populasi yang terbatas, dan jumlah sampel terhadap polpulasinya lebih 5%, distribusi hipergeometrik lebih tepat digunakan. Distribusi hipergeometrik dinyatakan sebagai berikut:

 

  



n C N r n C s N r C s r P     Dimana:

P (r) : Nilai probabilitas hipergeometrik dengan kejadian r sukses N : Jumlah populasi

s : Jumlah suskses dalam populasi

r : Jumlah suskses yang menjadi perhatian n : Jumlah sampel dari populasi

C : Simbol kombinasi

Distribusi Probabilitas Poisson

• Dikembangkan oleh Simon Poisson

• Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan baik, namun untuk n di atas 50 dan nilai P(p) sangat kecil akan sulit mendapatkan nilai binomialnya.

• Rumus:

 

Χ! μ e x μ Χ P   dimana

 : Rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses; dimana  = n.p e : Bilangan konstsan = 2,71828

X : Jumlah nilai sukses

P : probabilitas sukses suatu kejadian ! : Lambang faktorial

CHAPTER 7

Pertemuan 9

TEORI KEPUTUSAN

Setiap hari kita harus mengambil keputusan, baik keputusan yang sederhana maupun keputusan jangka panjang.

Untuk membantu dalam pengambilan keputusan, ilmu statistika telah mengembangkan cabang statistika baru yaitu teori keputusan statistika. Ilmu ini berkembang sejak tahun 1950-an yang sebenarnya telah dipelopori sejak abad ke-18 oleh pendeta Thomas Bayes.

Contoh:

Keputusan yang diambil suatu perusahaan:

• Barang dan jasa apa yang akan diproduksi,

• Metode apa yang dipakai untuk memproduksi,

• Untuk siapa barang dan jasa di produksi,

• Bagaimana strategi pemasaran dan promosinya,

• Apakah perusahaan membutuhkan tenaga pemasaran,

• dan lain-lain.

1. Elemen-elemen Keputusan

• Kepastian (certainty): informasi untuk pengambilan keputusan tersedia dan valid.

• Risiko (risk): informasi untuk pengambilan keputusan tidak sempurna, dan ada probabilitas atas suatu kejadian.

• Ketidakpastian (uncertainty): suatu keputusan dengan kondisi informasi tidak sempurna dan probabilitas suatu kejadian tidak ada.

• Konflik (conflict): keputusan di mana terdapat lebih dari dua kepentingan. Setiap keputusan dalam atatistika mempunyai tiga elemen atau komponen penting 1. Pilihan atau alternatif yang terjadi bagi setiap keputusan.

2. States of nature yaitu peristiwa atau kejadian yang tidak dapat dihindari atau dikendalikan oleh pengambil keputusan.

3. Hasil atau payoff dari setiap keputusan.

2. Keputusan dalam Keadaan Beresiko

Pengambilan keputusan dalam keadaan berisiko berarti bahwa terdapat informasi Namur tidak sempurna, dan ada probabilitas terhadap statu kejadian. Ada beberapa langkah yang diperlukan dalam pengambilan keputusan berisiko yaitu:

1. Mengidentifikasi berbagai macam alternatif yang ada dan layak bagi suatu keputusan.

2. Menduga probabilitas terhadap setiap alternatif yang ada. 3. Menyusun hasil/payoff untuk semua alternatif yang ada 4. Mengambil keputusan berdasarkan hasil yang baik

Contoh:

H. Ibrahim merupakan petani modern, dan menginvestasi sebagain keuntungan untuk membeli saham. Pada tahun 2007 ia berinvestasi sebesar Rp. 10.000.000,-. Ada tiga saham perusahaan yang sedang dipelajari yaitu saham LPBN, saham Mega dan Saham BBCA. Berikut hasil atau payoff dari ketiga saham tersebut:

Kode Peru sa haan Harga saham Juml ah saha m

Kondisi baik Kondisi Buruk Devid en/ lbr Total deviden Devid en/ lbr Total deviden LPB N 9.000 1.111 400 444.44 4 250 277.77 8 MEG A 18.500 541 2.000 1.081.0 81 300 162.16 2 BBC A 30.000 333 4.463 1.487.6 67 185 61.667

Beberapa metode dalam statistika yang digunakan untuk pengambilan keputusan dalam keadaan berisiko:

A. Nilai yang diharapkan (Expected Value)

Peristiwa

Tindakan

Hasil/ Payoff

Ketidakpastian berkenaan dengan kondisi mendatang. Pengambil keputusan tidak

mempunyai kendali terhadap kondisi mendatang. Dua atau lebih alternatif dihadapi pengambil keputusan. Pengambil keputusan harus mengevaluasi alternatif dan memilih alternatif dengan kriteria tertentu.

Laba, impas (break even), rugi

SAHAM BAIK P= 0,5 BURUK P = 0,5 Perhitungan EV Nilai EV LPBN 444.444 277.778 (444.444 x 0,5) + (277.778 x 0,5) 361.111 MEGA 1.081.081 162.162 BBCA 1.487.667 61.667

Nilai EV yang terbesar merupakan keputusan yang terbaik. Dari EV tersebut, maka keputusan investasi H. Ibrahim adalah membeli saham BBCA

B. Expected Opportunity Loss

• Metode lain dalam mengambil keputusan selain EV

• EOL mempunyai prinsip meminimumkan kerugian karena pemilihan bukan keputusan terbaik.

• Hasil yang terbaik dari setiap kejadian diberikan nilai 0, sedangkan untuk hasil yang lain adalah selisih antara nilai terbaik dengan nilai hasil pada peristiwa tersebut. SAHAM OL BAIK P= 0,5 OL BURUK P = 0,5 Perhitungan EV Nilai EV LPBN 1.043.223 0 (1.043.223 x 0,5) + (0 x 0,5) 521.612 MEGA 406.586 115.616 BBCA 0 216.111

Nilai OL untuk alternatif terbaik adalah nol, maka kondisi baik adalah BBCA = 0 dan kondisi terburuk LPBN = 0. nilai OL terendah adalah untuk BBCA maka dapat direkomendasikan untuk dibeli oleh investor.

C.Ecpected value of Perfect Information

Hasil yang diharapkan dalam informasi sempurna merupakan perbedaan antara hasil maksimum dalam kondisi kepastian dan hasil maksimum dalam kondisi ketidak pastian

• Setiap keputusan tidak harus tetap setiap saat. Keputusan dapat berubah untuk mengambil kesempatan yang terbaik.

• Pada kasus harga saham, pada kondisi baik, saham BBCA adalah pilihan terbaik, namun pada kondisi buruk, maka saham MEGA lebih baik.

• Apabila hanya membeli saham BBCA maka EV = 1.487.667 x 0,5 + 61.667 x 0,5 = 774.667

• Apabila keputusan berubah dengan adanya informasi yang sempurna dengan membeli harga saham BBCA dan MEGA

• Nilai EVif lebih tinggi dari EV dengan selisih: = 822.723 -774.667 = 108.056.

Nilai ini mencerminkan harga dari sebuah informasi.

• Nilai informasi ini menunjukkan bahwa informasi yang tepat itu berharga -- dan menjadi peluang pekerjaan -- seperti pialang, analis pasar modal, dan lain-lain. D. Pengambilan Keputusan dalam Kondisi Ketidakpastian

Keputusan dalam ketidakpastian menunjukkan tidak adanya informasi yang sempurna, juga tidak adanya probabilitas atau informasi tentang probabilitas suatu kejadian. Ada beberapa kriteria yang telah dikembangkan dalam pengambilan keputusan untuk kondisi ketidakpastian:

1. Kriteria Laplace

Probabilitas semua kejadian diasumsikan sama, dan hasil perkalian antara hasil dengan probabilitas yang tertinggi tertinggi adalah keputusan terbaik.

2. Kriteria Maximin

Keputusan didasarkan pada kondisi pesimis atau mencari Nilai maksimum pada kondisi pesimis (lakukan yang terbaik dalam situasi terburuk)

3. Kriteria Maximax

Keputusan didasarkan pada kondisi optimis dan mencari nilai maksimumnya. 4. Kriteria Hurwicz

Keputusan didasarkan pada perkalian hasil dan koefisien optimisme. Koefisien ini nilainya antara 0 sampai 1. nilai 0 untuk kondisi yang sangat pesimis dan nilai 1 untuk kondisi yang sangat optimis. Koefisien ini merupakan perpaduan antara optimis dan pesimis. Alternatif yang terbaik adalah nilai yang tertinggi dari hasil perkalian antara hasil atau payoff dengan koefisien optimisme.

5. Kriteria (Minimax) Regret

Keputusan didasarkan pada nilai regret minimum. Nilai regret diperoleh dari nilai OL (opportunity Loss) pada setiap kondisi dan dipilih yang maksimum. Alternatif keputusan yang diambil adalah nilai regret yang minimum.

Contoh

Berikut adalah deviden yang dibagikan oleh tiga perusahaan yang ada di BEJ yaitu LPBN, MEGA dan BBCA. Deviden dibedakan dalam krisis, normal dan Boom.

Perusahaan Kondisi Perekonomian

Boom Normal Krisis

LPBN 1.180 488 250 MEGA 2.000 1.356 300 BBCA 4.463 1.666 185 a. Kriteria Laplace 1. EV (LPBN) = 1/3 X 1.180 + 1/3 X 488 + 1/3 X 250 = 639 2. EV (MEGA) = 1/3 X 2.000 + 1/3 X 1.356 + 1/3 X 300 = 1.219 3. EV (BBCA) = 1/3 X 4.463 + 1/3 x 1.666 + 1/3 x 185 = 2.015

b. Kriteria Maximim

Berdasarkan kriteria Maximin, alternatif yang memberikan nilai maksimum pada kondisi terburuk adalah MEGA. Maka keputusan terbaik adalah membeli saham MEGA.

c. Kriteria maximax

Berdasarkan kriteria Maximax, alternatif yang memberikan nilai maksimum pada kondisi terbaik adalah BBCA. Maka keputusan terbaik adalah membeli saham BBCA. d. Kriteria Hurwicz

• Menggunakan koefisien optimisme (a) dan koefisien pesimisme (1- a).

• Koefisien ini anda dapat diperoleh melalui hasil penelitian atau pendekatan relatif dari data tertentu.

Contoh:

Koefisien optimisme didasarkan pada probabilitas terjadinya kondisi boom dibandingkan dengan kondisi krisis. Berdasarkan data diperoleh koefisien optimisme sebesar 0,63 sehingga koefisien pesimisme adalah 1 – 0,63 = 0,37.

Berdasarkan nilai EV, maka keputusan yang terbaik adalah membeli saham BBCA yaitu yang memiliki nilai EV tertinggi.

e. Kriteria minimax regret

• Langkah pertama adalah mencari nilai OL.

• Langkah kedua adalah memilih nilai maksimum dari nilai OL setiap keadaan.

• Nilai OL yang minimum adalah keputusan yang terbaik.

Perusahaan Kondisi Perekonomian

Boom Normal Krisis

LPBN 3.283 1.178 50

MEGA 2.463 310 0

BBCA 0 0 115

Perusahaan Nilai Regret

Maksimum

LPBN 3.283

Emiten Boom Krisis Perhitungan EV

LPBN 1.180 250 (1.180x0.63) + (250x0.37) 836

MEGA 2.000 300 (2.000x0.63) + (300x0.37) 1.371

BBCA 115

Berdasarkan kriteria minimax regret, keputusan yang terbaik adalah membeli saham BBCA yaitu yang memiliki nilai regret terendah.

E. Analisis Pohon Keputusan

Pohon keputusan berguna untuk menyusun bebrapa alternatif dengan hasil bersyarat (conditional payoff), keputusan yang terbaik adalah dengan nilai EV yang tertinggi. 2.880 836 (1) 1.371 (2) 2.880 (3) 1.180 250 2.000 300 4.463 185 Probabilitas Ekonomi Boom (0,63) Probabilitas Ekonomi Krisis (0,37) Probabilitas Ekonomi Boom (0,63) Probabilitas Ekonomi Krisis (0,37) Probabilitas Ekonomi Boom (0,63) Probabilitas Ekonomi Krisis (0,37) Membeli Saham MEGA

Membeli Saham LPBN

Membeli Saham BBCA

CHAPTER 8

Pertemuan 10

METODE DAN DISTRIBUSI SAMPLING

Populasi dan sampel merupakan aspek penting dalam mempelajari statistika induktif.

Populasi adalah kumpulan dari semua kemungkinan orang-orang, benda-benda dan ukuran lain yang menjadi objek perhatian atau kumpulan seluruh objek yang menjadi perhatian.

Sampel adalah suatu bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian.

Hubungan populasi dan sample dapat digambarkan sebagai berikut:

Populasi dapat dikelompokkan menjadi dua, yaitu:

a. Populasi terbatas (finite) yaitu populasi yang ukurannya terbatas berukuran N. contoh: semua bank yang ada misalnya 138 Bank.

b. Polpulasi tidak terbatas (infinite) yaitu populasi yang mengalami proses secara terus menerus sehinga usuran N menjadi tidak terbatas perubahan nilainya. Contohnya Pelanggan jamu Sidomuncul.

Sampel dapat dibedakan menjadi dua yaitu:

 Sampel probabilitas

Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga masing-masing anggota populasi memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel.

 Sampel nonprobabilitas

Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga setiap anggota tidak memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel.

39 A. Metode penarikan sample

1. Penarikan Sampel Acak Sederhana

Merupakan pengambilan sampel dari populasi secara acak tanpa memperhatikan strata yang ada dalam populasi dan setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dijadikan sampel.

Ada dua cara pengambilan sampel acak sederhana: 1. Sistem Kocokan

Sistem sampel acak sederhana dengan cara sama sistem arisan.

2. Menggunakan tabel acak

Memilih sampel dengan menggunakan suatu tabel. Dalam penggunaannya ditentukan terlebih dahulu titik awal (starting point).

2. Penarikan sampel acak terstruktur:

Penarikan sampel acak terstruktur dilakukan dengan membagi anggota populasi dalam beberapa sub kelompok yang disebut strata, lalu suatu sampel dipilih dari masing-masing stratum.

Contoh menentukan jumlah stratum setiap kelompok

Metode Penarikan Sampel

Sampel Probabilitas (Probability Sampling)

Sampel Nonprobabilitas (Nonprobability Sampling)

1.Penarikan sampel acak sederhana (simple

random sampling)

2. Penarikan sampel acak terstruktur (stratified random sampling)

3. Penarikan sampel cluster (cluster sampling)

1.Penarikan sampel sistematis (systematic sampling)

2. Penarikan sampel kuota (kuota sampling)

3. Penarikan sampel purposive (purposive sampling)

Populasi tidak berstrata

Populasi terstrata

Jumlah Persentase Jumlah sampel anggota dari total per stratum

1 Bulat 1 4 0 (0,04 x 10)

Kelompok Stratum

Dari table diatas terlihat bahwa jumlah sample setiap stratumnya didasarkan pada jumlah proporsi persentsae setiap stratum terhadap jumlah totalnya.

3. Penarikan sample Cluster (cluster sampling)

Penarikan cluster adalah teknik memilih sampel dari kelompok unit-unit kecil (cluster) dari sebuah populasi yang relatif besar dan tersebar luas. Anggota dalam setiap cluster bersifat tidak homogen berbeda dengan penarikan sampel terstruktur.

Pemilihan sampel pada metode ini adalah dengan metode acak sederhana, dengan harapan akan mengurangi biaya penarikan sampel populasi yang tersebar pada area geografis yang terlalu besar.

4. Penarikan sampel secara sistematis (systematic Random Sampling)

Penarikan dikatakan sampel sistematis apabila setiap unsur atau anggota dalam populasi disusun dengan cara tertentu-Secara alfabetis, dari besar kecil atau sebaliknya-kemudian dipilih titik awal secara acak lalu setiap anggota ke K dari

Sampel Terstruktur

Sebagai contoh apabila akan dipilih 5 perusahaan reksadana, maka perusahaan mana yang akan menjadi sampel dengan menggunakan metode sistematis, beberapa langkah yang harus dilakukan adalah:

a. memberikan nomor urutan misalnya dari aset terbesar sampai terkecil atau sebaliknya

b. jumlah populasi misalnya 59, dan jumlah sampel 5, maka jarak antara sampel adalah 12

c. nomor sampel adalah 1, 13, 25, 37, dan 49 (setiap sampel berjarak secara sistematis yaitu 12)

5. penarikan sampel Kuota (Kuota sampling)

Penarikan sampel kuota adalah pengambilan sampel dari populasi yang mempunyai ciri-ciri tertentu sampai jumlah atau kuota yang diinginkan. Tujuan penarikan sampel kuota adalah untuk memperbaiki keterwakilan seluruh komponen dalam populasi. Sebagai contoh apabila akan dilakukan penelitian terhadap tingkat kehadiran mahasiswa yang mengambil matakuliah statistika dari populasi 150 orang ditentukan kuota 20 orang. Kalau pengumpulan data belum mencapai 20 orang maka penelitian belum dianggap selesai.

6. penarikan sampel purposive (purposive sampling)

Penarikan sampel purposive adalah penarikan sampel dengan pertimbangan tertentu. Pertimbangan tersebut berdasarkan pada kepentingan atau tujuan penelitian.

Penarikan sampel dengan purposive ada dua cara:

a. convenience sampling yaitu penarikan sampel berdasarkan keinginan peneliti sesuai dengan tujuan penelitian.

b. Judment sampling yaitu penarikan sampel berdasarkan penilaian terhadap karakteristik anggota sampel yang disesuaikan dengan tujuan penelitian.

B. Kesalahan penarikan sampel (sampling error)

Merupakan perbedaan antara nilai statistik sampel dengan nilai parameter dari populasi. Dalam pemilihan sampel, dimana jumlah sampel adalah sebagian dari populasi, mungkin akan terdapat perbedaan antara rata-rata hitung dan standar deviasi sampel terhadap rata-rata hitung dan standar deviasi populasi. Perbedaan nilai statistik ini yang dikenal dengan kesalahan penarikan sampel (sampling error).

Dengan menggunakan sampel bisa ditemukan kesalahan penarikan sampel pada saat hasil sampel tersebut digunakan untuk menduga parameter suatu populasi. Untuk menentukan tingkat keyakinan akan hasil menggunakan sampel untuk menduga parameter dapat dipahami dengan mentusun distribusi sampel (sampling distribution) dan rata-rata hitung sampel (sampel means).

Distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel dan populasi adalah suatu distribusi probabilitas yang terdiri dari seluruh kemungkinan rata-rata hitung sampel dari suatu ukuran sampel tertentu yang dipilih dari populasi, dan probabilitas terjadinya dihubungkan dengan setiap rata-rata hitung sampel.

a. Distribusi sampel rata-rata dan porposi menpunyai nilai hitung rat-rata: x C 1 N n    p C 1 N n p  

b. Distribusi sampel rata-rata dan porposi mempunyai standar deviasi





2 x N n x X C 1 S   



_N



n 2 p p C p S   

c. Hubungan antara standar deviasi sampel x dan porposi pada kondisi sampel terbatas





1 N n N n S_x    









1 N n N x n P 1 P Sp    

d. Hubungan standar deviasi sampel x dan porposi pada kondisi sampel tidak terbatas n S_x  





n P 1 P Sp 

d. Distribusi sampel rata-rata dan porposi merupakan distribusi normal, sehingga dapat diketahui nilai Znya yaitu

s x Z 





p s P p Z 

D. Distribusi Sampel Selisih rata-rata dan proporsi

Distribusi sampel selisih apabila terdapat dua atau lebih populasi yang diambil sebagai sampel

a. Distribusi sampel selisih rata-rata 1. Nilai rata-rata 2 1 2 1 2 x 1 x x x X _    

2. Nilai standar deviasi

2 n S n S S S S 2 2 x 1 2 1 x 2 2 x 2 1 x 2 x 1 x      3. Nilai Z









2 x 1 x 2 1 2 1 S x x Z       

b. Distribusi sampel selisih proporsi 1. Nilai rata-rata 2 1 2 1 2 p 1 p P P P P P _    

2. Nilai standar deviasi









2 2 2 1 1 1 2 2 p 2 1 p 2 p 1 p n P 1 P n P 1 P S S S _       3. Nilai Z



 



2 p 1 p 2 1 2 1 S P P p p Z      .

E. Faktor Koreksi untuk populasi terbatas

Faktor koreksi adalah usaha untuk memperbaiki hasil dugaan parameter dan diterapkan jika rasio n/N lebih besar dari 0,05. faktor koreksi terhadap standar deviasi dirumuskan sebagai berikut 1 N n N n S_x    

sedang untuk standar deviasi proporsi

1 N n N n ) p 1 ( p S_p     

CHAPTER 9

Pertemuan 11

HIPOTESA

A. Hipotesa

Hipotesa adalah suatu pernyataan mengenai nilai suatu parameter populasi yang dimaksudkan untuk pengujian dan berguna untuk pengambilan keputusan.

Hipotesa sebenarnya disusun berdasarkan data, akan tetapi karena data tersebut dihasilkan dari sample yang mempunyai probabilitas, sehingga hasilnya bisa saja benar dan mungkin saja salah. Oleh sebab itu sebuah hipotesa sebelum menjadi keputusan haruslah diuji terlebih dahulu dengan menggunakan data observasi.

Menurut Nasir (1988) hipotesa yang baik mempunyai cirri-ciri: a. menyatakan hubungan

b. sesuai dengan fakta c. sederhana dan dapat diuji

d. dapat menerangkan fakta dengan baik B. Pengujian Hipotesa

Pengujian hipotesa adalah prosedur yang didasarkan pada bukti sampel yang dipakai untuk menentukan apakah hipotesa merupakan suatu pernyataan yang wajar dan oleh karenanya tidak ditolak, atau hipotesa tersebut tidak wajar dan oleh karena itu harus ditolak.

C. Prosedur Pengujian Hipotesa

Langkah 1. Merumuskan Hipotesa (Hipotesa nol (H0) dan Hipotesa Alternatif (H1))

Langkah 2. Menentukan Taraf Nyata (Probabilitas menolak hipotesa)

Langkah 3. Menentukan Uji statistik (Alat uji statistik, uji Z, t, F, X2 dan lain-lain)

Langkah 4. Menentukan Daerah Keputusan (Daerah di mana hipotesa nol diterima atau ditolak))

Langkah 5. Mengambil Keputusan

Menolak H0 MenerimaH1

Langkah 1 Merumuskan Hipotesa

Perumusan hipotesa dikembangkan oleh Fisher yang dikenal sebagai Bapak Ststistik, yang membedakan hipotesa menjadi nol dan hipotesa alternative.

Hipotesa nol (Ho)

Satu pernyataan mengenai nilai parameter populasi Hipotesa alternative (H1)

Suatu pernyataan yang diterima jika data sampel memberikan cukup bukti bahwa hipotesa nol adalah salah

Contoh:

1. Rata-rata hasil investasi reksadana sama dengan 13,17%, maka Ho :  = 13,17%

H1 :  13,17%

2. rata-rata IPK mahasiswa diatas 3 Ho : IPK > 3

H1 : IPK < 3

Langkah 2. menentukan taraf nyata

Taraf nyata adalah Probabilitas menolak hipotesa nol apabila hipotesa nol tersebut adalah benar.

Taraf nyata adalah nilai kritis yang digunakan sebagai dasar untuk menerima atau menolak hipotesa nol. Taraf nyata dilambangkan dengan α, dimana α = 1 – C. C adalah tingakat keyakinan, apabila C = 0,95 maka taraf nyata 0,05. semakain tinggi tingkat keyakinan maka semakin kecil taraf nyata. Kebiasaan yang sering digunakan untuk pertanian dan ekonomi adalah taraf nyata 5% atau tingkat keyakinan 95%. Langkah 3. menentukan Uji Statistik

Suatu nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan untuk memutuskan apakah akan menerima atau menolak hipotesa.

Pada bagain ini akan dibahas uji Z, yang diperoleh dari rumus berikut:

Χ σ μ Χ Ζ  n / S sampel error dar tan s S populasi hitung rata Rata sampel hitung rata Rata X Z Nilai : ana dim x x         

Pengujian satu arah

Adalah daerah penolakan Ho hanya satu yaitu terletak di ekor sebelah kanan saja atau ekor sebelah kiri saja. Karena hanya satu daerah penolakan berarti luas daerah penolakan tersebut sebesar taraf nyata yaitu a, dan untuk nilai kritisnya biasa ditulis dengan Za.

Sedangkan pengujian dua arah

Adalah daerah penolakan Ho ada dua daerah yaitu terletak di ekor sebelah kanan dan kiri. Karena mempunyai dua daerah, maka masing-masing daerah mempunyai luas ½ dari taraf nyata yang dilambangkan dengan ½a, dan nilai kritisnya biasa dilambangkan dengan Z ½a.

Langkah 5. mengambil Keputusan

Keputusan ditentukan dengan melihat nilai Z, apabila terletak pada daerah yang menerima Ho maka hipotesa dapat diterima atau sebaliknya apabila nilai Z tidak terletak pada daerah yang meneriam Ho maka hipotesa ditolak

CONTOH MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR

Perusahaan reksadana menyatakan bahwa hasil investasinya rata-rata mencapai 13,17%. Untuk menguji apakah pernyataan tersebut benar, maka lembaga konsultan

Daerah tidak menolak Ho Daerah penolakan Ho Skala z 1,65 Probabilitas 0,95 Probabilitas 0,5

Daerah Keputusan Uji Satu Arah

Daerah Keputusan Uji Dua Arah

Daerah tidak menolak Ho Daerah penolakan Ho Daerah penolakan Ho 0,025 0,95 0,025 0 -1,95 1,95

bahwa rata-rata hasil investasi adalah 11,39% dan standar deviasinya 2,09%. Ujilah apakah pernyataan perusahaan reksadana tersebut benar dengan taraf nyata 5%.

Langkah 1

Merumuskan hipotesa. Hipotesa yang menyatakan bahwa rata-rata hasil investasi sama dengan 13,17%. Ini merupakan hipotesa nol, dan hipotesa alternatifnya adalah rata-rata hasil investasi tidak sama dengan 13,17%. Hipotesa tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:

H0 : m = 13,17%. H1 : m ¹ 13,17%.

Langkah 2

Menentukan taraf nyata. Taraf nyata sudah ditentukan sebesar 5%, apabila tidak ada ketentuan dapat digunakan taraf nyata lain. Taraf nyata 5% menunjukkan probabilitas menolak hipotesa yang benar 5%, sedang probabilitas menerima hipotesa yang benar 95%.

Nilai kritis Z dapat diperoleh dengan cara mengetahui probabilitas daerah keputusan H0 yaitu Z/2 = /2 – 0,5/2 = 0,025 dan nilai kritis Z dari tabel

normal adalah 1,96.

Langkah 3

Melakukan uji statistik dengan menggunakan rumus Z. Dari soal diketahui bahwa rata-rata populasi = 13,17%, rata-rata sampel 11,39% dan standar deviasi 2,09%. Mengingat bahwa standar deviasi populasi tidak diketahui maka diduga dengan standar deviasi sampel, dan standar error sampel adalah sx = s/n sehingga nilai Z adalah

Langkah 4

CONTOH UJI SIGNIFIKANSI MENGGUNAKAN TANDA LEBIH BESAR DAN LEBIH KECIL (Satu Arah)

1. Ujilah beda rata-rata populasi, misalkan hipotesanya adalah rata-rata hasil investasi lebih kecil dari 13,17%. Maka perumusan hipotesanya menjadi:

H0 : m £ 13,17 H1 : m > 13,17

Untuk tanda £ pada H0 menunjukkan daerah penerimaan H0, sedang tanda > pada H1 menunjukkan daerah penolakan di sebelah ekor kanan seperti Gambar A. 2. Ujilah beda selisih dua rata-rata populasi, misalkan hipotesanya adalah selisih dua

rata-rata populasi lebih besar sama dengan 0. H0 : mpa– mpl ³ 0

H1 : mpa– mpl < 0

Untuk tanda ³ pada H0 menunjukkan daerah penerimaan H0, sedang tanda < pada H1 menunjukkan daerah penolakan di sebelah ekor kiri seperti Gambar B.

Daerah penolakan H0 Tidak menolak 0,95 Daerah penolakan H0 0,025 0,025 -1,96 Z=-5,11 1,96

Langkah 5

Mengambil Keputusan. Nilai uji Z ternyata terletak pada daerah menolak H0.

Nilai uji Z = –5,11 terletak disebelah kiri –1,96. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa menolak H0, dan menerima H1, sehingga pernyataan

bahwa hasil rata-rata investasi sama dengan 13,17% tidak memiliki bukti yang cukup kuat.

Daerah penolakan H0 Daerah penolakan H0 Tidak menolak H0 Tidak menolak H0 1,65 1,65 Gambar A Gambar B H0 : x  13,17 H0 : pa– pl  0 H1 : x > 13,17 H1 : pa– pl < 0

CHAPTER 10

Pertemuan 12

MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR

CONTOH PENGUJIAN DUA ARAH

1. Ujilah nilai rata-rata sama dengan 13,17%. Maka hipotesanya dirumuskan sebagai berikut:

H0 : m = 13,17%. H1 : m ¹ 13,17%.

2. Ujilah nilai koefisien untuk b sama dengan 0. Maka hipotesanya dirumuskan sebagai berikut:

H0 : b = 0 H1 : b ¹ 0.

MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA DAN PROPORSI SAMPLE BESAR

Ada Tiga hal yang terkait dengan pengujian hipotesa rata-rata dan porposi sample besar yaitu:

a. Proses pengujian hipotesa, dimana pengujiannya tetap mengikuti 5 langkah b. Yang diuji dalam hal ini adalah rata-rata populasi dan proporsi dari populasi c. Sample besar. Sample besar adalh sample yang berjumlah 30 atau lebih.

Dengan menggunakan sample besar diharapkan akan mendekati distribusi normal sehingga dapat digunakan nilai dan uji Z.

CONTOH MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR

Perusahaan reksadana menyatakan bahwa hasil investasinya rata-rata mencapai

Daerah penolakan H0 Tidak menolak H0 Daerah penolakan H0 0,5 0,4750 0, 1,96 0,95 -1,96 0,

CESS mengadakan penelitian pada 36 perusahaan reksadana dan didapatkan hasil bahwa rata-rata hasil investasi adalah 11,39% dan standar deviasinya 2,09%. Ujilah apakah pernyataan perusahaan reksadana tersebut benar dengan taraf nyata 5%. Langkah 1

Merumuskan hipotesa. Hipotesa yang menyatakan bahwa rata-rata hasil investasi sama dengan 13,17%. Ini merupakan hipotesa nol, dan hipotesa alternatifnya adalah rata-rata hasil investasi tidak sama dengan 13,17%. Hipotesa tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:

H0 : m = 13,17%. H1 : m ¹ 13,17%. Langkah 2

Menentukan taraf nyata. Taraf nyata sudah ditentukan sebesar 5%, apabila tidak ada ketentuan dapat digunakan taraf nyata lain. Taraf nyata 5% menunjukkan probabilitas menolak hipotesa yang benar 5%, sedang probabilitas menerima hipotesa yang benar 95%.

Nilai kritis Z dapat diperoleh dengan cara mengetahui probabilitas daerah keputusan H0 yaitu Za/2 = a/2 – 0,5/2 = 0,025 dan nilai kritis Z dari tabel normal adalah 1,96.

Langkah 3

Melakukan uji statistik dengan menggunakan rumus Z. Dari soal diketahui bahwa rata-rata populasi = 13,17%, rata-rata-rata-rata sampel 11,39% dan standar deviasi 2,09%. Mengingat bahwa standar deviasi populasi tidak diketahui maka diduga dengan standar deviasi sampel, dan standar error sampel adalah sx = s/Ön sehingga nilai Z adalah

11 , 5 36 / 09 , 2 17 , 13 39 , 11 n / S X S X x            Langkah 4

Menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis Z=1,96

Daerah penolakan H0

Tidak menolak H0

0,95

Daerah penolakan H0

Langkah 5

Mengambil Keputusan. Nilai uji Z ternyata terletak pada daerah menolak H0. Nilai uji Z = –5,11 terletak disebelah kiri –1,96. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa menolak H0, dan menerima H1, sehingga pernyataan bahwa hasil rata-rata investasi sama dengan 13,17% tidak memiliki bukti yang cukup kuat.

MENGUJI HIPOTESA PROPORSI SAMPEL BESAR Rumus uji Z untuk proporsi adalah

n ) P 1 ( P P p     dimana: Z = Nilai uji Z p = Proporsi sampel P = Proporsi populasi N = jumlah sampel

MENGUJI HIPOTESA SELISIH RATA-RATA SAMPEL BESAR

Distribusi sampling dari selisih rata-rata proporsi memiliki distribusi normal dan mempunyai standar deviasi sebagai berikut:

2 2 2 1 2 1 2 X 1 X n n      _ Di mana:

x1-x2 : Standar deviasi selisih dua populasi

1 : Standar deviasi populasi 1

2 : Standar deviasi populasi 2 n1 : Jumlah sampel pada populasi 1 n2 :Jumlah sampel pada populasi 2

sedangkan untuk rumus Z adalah sebagai berikut:









2 x 1 x 2 1 2 1 S x x Z       

x1 -x 2 : Selisih dua rata-rata hitung sampel 1 dan sampel 2

1 - 2 : Selisih dua rata-rata hitung populasi 1 dan populasi 2 S x1-x2 : Standar deviasi selisih dua populasi

standar deviasi selisih dua sampel adalah:

2 2 2 1 2 1 2 X 1 X n s n s S _   Di mana:

S x1-x2 : Standar deviasi selisih dua populasi s1 : Standar deviasi populasi 1

s2 : Standar deviasi populasi 2 n1 : Jumlah sampel pada populasi 1 n2 :Jumlah sampel pada populasi 2

MENGUJI HIPOTESA SELISIH PROPORSI SAMPEL BESAR Untuk standar deviasi proporsi populasi dirumuskan sebagai berikut:

2 2 2 1 1 1 2 p 1 p n ) p 1 ( p n ) p 1 ( p S _      

sedangkan nilai uji Z dirumuskan sebagai berikut:



 



2 p 1 p 2 1 2 1 S P P p p Z     

standar deviasi selisih dua sampel







n2 1



) p 1 ( p 1 n ) p 1 ( p S 1 2 p 1 p         