BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. LogikaFuzzy
Logikafuzzyadalah suatu cara untuk memetakan suatu ruang masukan ke dalam suatu ruang keluaran. Logika fuzzy ditemukan oleh Prof.Lotfi A. Zadeh dari Universitas California di Barkeley pada tahun 1965. Sebelum ditemukannya teori logika fuzzy (fuzzy logic), dikenal sebuah logika tegas (crisp logic) yang memiliki nilai benar atau salah secara tegas. Sebaliknya logika fuzzy merupakan sebuah logika yang memiliki kekaburan atau kesamaran (fuzzyness) antara benar atau salah. Dalam teori logika fuzzy, sebuah nilai bisa bernilai benar atau salah secara bersamaan namun berapa besar kebenaran atau kesalahan suatu nilai tergantung kepada bobot/derajat keanggotaan yang dimilikinya. Dalam teori logika fuzzy dikenal himpunan fuzzy (fuzzy set) merupakan pengelompokan sesuatu berdasarkan variabel bahasa (linguistic variable), yang dinyatakan dalam fungsi keanggotaan (membershipfunction).
2.2. HimpunanFuzzy
2.3. Fungsi Keanggotaan
Menurut Chen & Pham (2001), fungsi keanggotaan atau membership fuction adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data kedalam nilai keanggotaannya yang berada pada interval nol (0) dan satu (1). Pemetaan titik-titik input data (y) terhadap derajat keanggotaannya (µ) dapat digambarkan pada gambar 2.1.
Gambar 2.1 Pembentukan Fungsi Keanggotaan. Sumber : Chen & Pham (2001)
Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah dengan melalui pendekatan fungsi. Terdapat beberapa fungsi yang biasa digunakan dalam membentuk fungsi keanggotaanfuzzyyaitu :
1. Representasi Linear
Gambar 2.2 Representasi Fungsi Keanggotaan Linear Naik Sumber : Canianiet al.(2012)
Fungsi keanggotaan dari grafik pada gambar 2.2 di atas dapat ditentukan melalui persamaan 2.1.
(2.1)
Jenis representasi linier yang ke dua merupakan kebalikan dari yang pertama. Garis lurus dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri, kemudian bergerak menurun ke nilai domain yang memiliki derajat
keanggotaan lebih rendah. Representasi linier turun dapat ditampilkan pada gambar 2.3.
Fungsi keanggotaan dari grafik pada gambar 2.3 di atas dapat ditentukan melalui persamaan 2.2.
(2.2)
2. Representasi Segitiga
Representasi segitiga pada dasarnya adalah gabungan dari dua garis linear. Dan memiliki tiga parameter yaitu a,b dan c, dengan a<b<c. Representasi segitiga ditampilkan pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4 Representasi Fungsi Keanggotaan Segitiga Sumber : Canianiet al.(2012)
Fungsi keanggotaan dari grafik pada gambar 2.4 di atas dapat ditentukan melalui persamaan 2.3.
(2.3)
3. Representasi Trapesium
Gambar 2.5 Representasi Fungsi Keanggotaan Trapesium Sumber : Canianiet al.(2012)
Fungsi keanggotaan dari grafik pada gambar 2.5 di atas dapat ditentukan melalui persamaan 2.4.
(2.4)
4. Representasi Sigmoid
(b)
Gambar 2.6 Representasi Fungsi KeanggotaanSigmoid (a) Kurva pertumbuhan (b) Kurva Penyusutan 5. Representasi Bentuk Lonceng
Fungsi keanggotaan Lonceng atau generalized bell, ditentukan oleh tiga parameter yaitu parametera, b danc. Parameter b selalu positif, supaya kurva menghadap kebawah. Representasi trapesium ditampilkan pada Gambar 2.7.
Gambar 2.7 Himpunanfuzzydengan kurvabell Sumber : Canianiet al.(2012)
Fungsi keanggotaan dari grafik pada gambar 2.7 di atas dapat ditentukan melalui persamaan 2.5.
6. RepresentasiGaussian
Fungsi keanggotaan gaussian, ditentukan oleh dua parameter c dan Parameter c adalah titik tengah atau centre dari kurva d adalah lebar dari kurva tersebut. Representasi fungsi keanggotaan gaussian dapat ditampilkan pada gambar 2.8.
(2.6)
Gambar 2.8 Himpunanfuzzydengan kurvagaussian Sumber : Canianiet al.(2012)
2.4. Fuzzy Inference System 2.4.1. Metode mamdani
Metode Mamdani sering juga dikenal dengan nama Metode Max-Min. Metode ini diperkenalkan oleh Ebrahim Mamdani pada tahun 1975. Untuk mendapatkan output, diperlukan 4 tahapan:
1. Pembentukan himpunanfuzzy 2. Aplikasi fungsi implikasi (aturan) 3. Komposisi aturan
4. Penegasan (deffuzy) 1. Pembentukan himpunanFuzzy
Pada Metode Mamdani, baik variabel input maupun variabel output dibagi menjadi satu atau lebih himpunanfuzzy.
2. Aplikasi fungsi implikasi
3. Komposisi Aturan
Tidak seperti penalaran monoton, apabila sistem terdiri dari beberapa aturan, maka inferensi diperoleh dari kumpulan dan korelasi antar aturan. Ada 3 metode yang digunakan dalam melakukan inferensi sistem fuzzy, yaitu: max, additive dan probabilistik OR (probor).
a. Metode Max (Maximum)
Pada metode ini, solusi himpunanfuzzydiperoleh dengan cara mengambil nilai maksimum aturan, kemudian menggunakannya untuk memodifikasi daerah fuzzy, dan mengaplikasikannya ke output dengan menggunakan operator OR (union). Jika semua proposisi telah dievaluasi, maka output akan berisi suatu himpunanfuzzyyang merefleksikan konstribusi dari tiap-tiap proposisi. Secara umum dapat dituliskan:
µsf[xi] max(µsf[xi], µkf[xi]) (2.7)
dengan:
µsf[xi] = nilai keanggotaan solusifuzzysampai aturan ke-i; µkf[xi] = nilai keanggotaan konsekuenfuzzyaturan ke-i; Misalkan ada 3 aturan (proposisi) sebagai berikut:
[R1] IF Biaya Produksi RENDAH And Permintaan NAIK THEN Produksi Barang BERTAMBAH;
{R2] IF Biaya Produksi STANDAR THEN Produksi Barang NORMAL; [R3] IF Biaya Produksi TINGGI And Permintaan TURUN THEN Produksi
Barang BERKURANG; b. Metode Additive (Sum)
Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara melakukan bounded-sum terhadap semua output daerahfuzzy. Secara umum dituliskan:
dengan:
µsf[xi] = nilai keanggotaan solusifuzzysampai aturan ke-i; µkf[xi] = nilai keanggotaan konsekuenfuzzyaturan ke-i; c. Metode Probabilistik OR (probor)
Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara melakukan product terhadap semua output daerahfuzzy. Secara umum dituliskan:
µsf[xi] µsf[xi]+ µkf[xi]) - (µsf[xi] * µkf[xi]) (2.9) dengan:
µsf[xi] = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i; µkf[xi] = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i;
1. Penegasan (defuzzy)
Input dari proses defuzzifikasi adalah suatu himpunan fuzzy yang diperoleh dari komposisi aturan-aturan fuzzy, sedangkan output yang dihasilkan merupakan suatu bilangan pada domain himpunan fuzzy tersebut. Sehingga jika diberikan suatu himpunanfuzzydalam range tertentu, maka harus dapat diambil suatu nilai crsip tertentu sebagai output.
Ada beberapa metode defuzzifikasi pada komposisi aturan MAMDANI, antara lain:
a. Metode Centroid (Composite Moment)
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil titik pusat (z*) daerah fuzzy.
b. Metode Bisektor
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai pada domain fuzzy yang memiliki nilai keanggotaan separo dari jumlah total nilai keanggotaan pada daerahfuzzy.
c. Metode Mean of Maximum (MOM)
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai rata-rata domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum.
d. Metode Largest of Maximum (LOM)
e. Metode Smallest of Maximum (SOM)
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai terkecil dari domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum.
2.4.2. Metode Sugeno
Meimaharani (2014) Metode Sugeno sering dikenal dengan nama metode Max-Min dimana metode ini mempunyai output (konsekuen) sistem tidak berupa himpunan fuzzymelainkan berupa konstanta atau persamaan linier.
1. ModelFuzzySugeno Orde Nol
IF (X1 is A1) - (X2 is A2) - (X3 is A3) - . - (XNis AN) THEN z = k (2.10) Dimana :
- Ai adalah himpunanfuzzyke-i sebagai anteseden - kadalah konstanta (tegas) sebagai konsekuen 2. ModelFuzzySugeno Orde Satu
IF (X1 is A1) - . - (XNis AN) THEN z = p1* x1 + + pN* XN + q (2.11) Dimana :
- Ai adalah himpunanfuzzyke-i sebagai anteseden - pi adalah suatu konstanta ke-i
- qmerupakan konstanta dalam konsekuen.
2.5. PSO
2.5.1. Dasar Algoritma PSO
jauh makanan itu pada setiap iterasi. Jadi strategi terbaik untuk menemukan makanan itu adalah dengan cara mengikuti burung yang terdekat dengan makanan tersebut (Tsai & Shih, 2012).
Setiap anggota di dalam kawanan mengadaptasi pola pencariannya dengan belajar dari pengalamannya sendiri dan pengalaman anggota yang lain. Burung direpresentasikan sebagai partikel dalam algoritma. Setiap partikel merepresentasikan sebuah solusi potensial yang merupakan sebuah titik di dalam ruang pencarian. Jika burung telah menemukan makanan, maka pada saat tersebut global optimum dianggap sebagai lokasi dari makanan (Guo & He, 2013).
Semua partikel mempunyai nilai fitness yang dievaluasi oleh sebuah fungsi evaluasi (Tsai & Shih, 2012). Nilaifitness dan kecepatan digunakan untuk mengatur arah terbang sesuai dengan pengalaman terbaik kawanan untuk mencari global optimum (gbest) di dalam ruang pencarian. Partikel-partikel tersebut terbang melewati ruang pencarian solusi dengan belajar dari pengalaman-pengalaman terbaik semua partikel. Oleh karena itu, partikel-partikel tersebut mempunyai sebuah kecenderungan untuk terbang menuju area pencarian yang lebih baik pada serangkaian pembelajarannya di dalam proses pencarian tersebut (Guo & He, 2013 ).
Setiap partikel menyimpan jejak koordinatnya dalam ruang pencarian yang dengan solusi terbaik yang telah dicapai sejauh ini. Koordinat terbaik yang dicapai sebuah partikel saat tercapainya nilai fitness terbaik pada saat itu disebut sebagai pbest. Sedangkan koordinat terbaik yang dicapai partikel mana pun dalam suatu wilayah tetangga di dalam populasi(subset of the swarm)partikel disebut local best (lbest).
Pembaharuan partikel diselesaikan dengan persamaan (2.12) dan (2.13). Persamaan (2.12) digunakan untuk menghitung kecepatan baru tiap partikel dan persamaan (2.13) digunakan untuk memperbarui posisi tiap partikel pada ruang solusi (Guo & He, 2013 ).
= + * rand * ( - ) + * rand * ( - ) (2.12)
= + (2.13)
Pada persamaan (2.12) dan (2.13) di atas, adalah kecepatan partikel saat ini dan adalah posisi partikel saat ini. Posisi dari setiap partikel diperbarui setiap generasi atau iterasi dengan cara menambahkan vektor kecepatan ke vektor posisi sebagaimana persamaan (2.13) di atas. Sedangkan rand adalah bilangan acak antar nol (0) dan satu (1). C1dan C2adalah faktor pembelajaran atau learning factor
yang secara berturut turut merepresentasikan sebuah komponen kognitif dan sebuah komponen sosial, Biasanya C1 = C2 = 2. w adalah bobot inersia yang
digunakan untuk menyeimbangkan antara kemampuan pencarian global dan pencarian lokal. Biasanya, berat inersia yang bagus adalah kurang sedikit dari satu (Tsai & Shih, 2012).
2.5.2. Prosedur Algoritma PSO
Menurut Tsai & Shih (2012), proses algoritma PSO dapat dijelaskan dalam langkah- langkah sebagai berikut :
1) Inisialisasi sekumpulan partikel secara acak.
(2.14) 2) Inisialisasi posisi dan kecepatan dari setiap partikel.
(2.15) 3) Hitung nilai fitness dari setiap partikel (fi) berdasarkan formula dan model
yang telah ditentukan sesuai dengan masalah optimasinya.
5) Untuk setiap partikel, bandingkan nilai fitnessfidengan nilai terbaik yang dicapai dalam populasi pgd (global best), jika fi < pgd, maka pgd diganti denganfi.
6) Kecepatan (vi) dan posisi dari partikel (xi) diubah dengan persamaan (2.12) dan (2.13).
7) Jika telah mencapai kondisi akhir (mencapai nilai iterasi maksimum atau perulangan telah mencapai nilai optimum) maka perulangan berhenti dan nilai optimumnya didapatkan namun jika belum maka diulangi pada nomor 3.
2.5.3. Parameter Algoritma PSO
Jordehi & Jasni (2013) menyatakan bahwa pada proses optimasi dengan PSO, parameter yang dibutuhkan adalah :
a) Jumlah partikel
Umumnya range jumlah partikel adalah 20 - 40. sedangkan untuk kasus yang rumit dapat diterapkan jumlah partikel 100 sampai 200. b) Dimensi dari partikel
Ini ditentukan dari masalah yang akan dioptimasi. c) Rangedari partikel
Ini juga ditentukan dari masalah yang akan dioptimasi. Dapat menspesifikasikan range yang berbeda untuk dimensi yang berbeda dari partikel.
d) C1 (learning factor untuk partikel), C2 (learning factor untuk swarm) dan biasanya bernilai sama yaitu 2.
e) Vmax adalah perubahan maksimum partikel selama iterasi berlangsung.
Range Vmaxbiasanya adalah -10 sampai 10.
f) Kondisi berhenti
Mencapai nilai iterasi maksimum, perulangan telah mencapai nilai optimum atau minimumerroryang diinginkan.
g) Inertia weight(w)
2.5.4. Pseudo Code Algoritma PSO
Gambar 2.9Pseudo CodePSO Sumber : Mishra et al.(2013)
2.5.5 Diagram Alir PSO
Lebih lanjut, Mishra et al. (2013) menyatakan bahwa selain dalam bentuk pseudo code, algoritma PSO dapat dijelaskan dalam bentuk diagram alir pada gambar 2.10.
for(setiap partikel)
inisialisasi partikel menggunakan persamaan (2.14) dan (2.15)
end repeat
for(setiap partikel) hitung nilai fitness
if(nilai fitness baru lebih baik dari nilai fitness lama) update nilai fitnes dari partikel tersebut
end end
Pilih partikel dengan nilai fitness terbaik diantara semua partikel tetangganya dan simpan nilai fitness terbaik tersebut
for (setiap partikel)
Hitung velocity partikel menggunakan persamaan (2.12) Update posisi partikel menggunakan persamaan (2.13)
End
Tidak
Ya
Gambar 2.10Flow chartPSO Sumber : Mishra. at al. (2012) Menentukan Parameter PSO
Inisialisasi Partikel dan Swarm dan Sorting Partikel
Evaluasi inisial partikel untuk mendapatkanpBestdangBest
Update kecepatan partikel
Update posisi partikel
Evaluasi partikel baru untuk menemukan pBestbaru dangBestbaru
Updateparameterfuzzyuntuk membentuk Fungsi Keanggotaan
Kriteria berhenti terpenuhi ?
Diperoleh nilai fungsi keanggotaan Fuzzy yang optimal
Selesai
2.6. Fungsi Evaluasi (Fitness Function)
Pada algoritma PSO, setiap individu disebut sebagai sebuah partikel. Satu partikel menyatakan satu solusi di dalam ruang masalah. Setiap partikel memiliki nilai fitness yang dievalusi menggunakan fungsifitnessuntuk dioptimasi (Guo & He, 2013).
Honget al(2008) meyatakan bahwa nilaifitnesspada sebuah fungsi keanggotaan fuzzy dapat dihitung dengan mempertimbangkan keterhubungan daerah linguistik yang satu dengan daerah linguistik yang lainnya. Pada penelitian ini, faktor suitabilitas digunakan sebagai fungsi evaluasi atau fungsi fitness untuk mengevaluasi partikel pada PSO. Persamaan (2.14) digunakan untuk menentukan nilai faktor suitability dari fungsi keanggotaan fuzzy dan persamaan (2.15) digunakan untuk menentukan nilai fitness dari fungsi keanggotaan tersebut (Hong et a,2008).
Faktor suitabilitas = [max(( ), 1) 1]+ (2.14)
Fitness= (2.15)
2.7. Galat
Dalam penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis yang hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai yang benar dari penyelesaian analitis diperlukan galat. Dalam penelitian ini galat diukur berdasarkan selisih atau errorantara hasil aktual dengan output yang dihasilkan oleh model.
2.8. MAPE (Mean Absolute Percentage Error)
Untuk mencari MAPE diatas dapat ditentukan melalui persamaan (2.16 dan 2.17) berikut ini :
t=At Ft (2.16)
MAPE = * 100 (2.17)
2.9. Riset-Riset Terkait
Dalam melakukan penelitian, penulis menggunakan beberapa riset terkait yang dijadikan acuan yang membuat penelitian berjalan lancar. Adapun riset-riset terkait tersebut adalah seperti tercantum pada tabel 2.1 berikut ini.
Tabel 2.1 Riset-Riset Terkait
No Judul Riset Nama dan
Tahun Peneliti
Metode yang Digunakan
Hasil Penelitian 1 Performance Evaluation of
Mamdani-type and Sugeno-type Fuzzy Inference System Based Controllers for Computer Fan.
Philip A. Adewuyi (2013) 2 Pendugaan galat baku nilai
tengah menggunakan metode resampling jackknife dan bootstrap nonparametric dengan software R 2.15.0
Septiana 3 Development of Mamdani FIS
for Flow Rate Control in a Rawmill of Cement Industry.
Kansal.V, Kaur.A 4 Analisis sistem inference
No Judul Riset Nama dan Tahun Peneliti
Metode yang Digunakan
Hasil Penelitian 5 Fuzzy membership
function generation using particle swarm optimization
Permana, K.E, Hashim, S.Z.M
Particle Swarm Optimization
Optimisasi fungsi keanggotaan fuzzy
menggunakan PSO dengan fitness function
error dan
standar deviasi. 2.10. Kontribusi Riset
