OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TIN (2)

SOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 2015

BIDANG MATEMATIKA

BAGIAN A: SOAL ISIAN SINGKAT

1. Banyak faktor persekutuan dari 145152 dan 544320 yang merupakan bilangan genap positip adalah … .

SOLUSI:

145152 = 28_.34_.7

544320 = 26_.35_.5.7

Jika diperhatikan FPB dari dua bilangan tersebut adalah 26_.34_{.7. Ini berarti faktor}

persekutuan kedua bilangan yang memuat bilangan 2 memiliki pangkat maksimalnya 6, dan yang memuat bilangan 3 pangkat maksimalnya 4, dan 7 pangkat maksimalnya 1.

Kasus 1:

Faktor persekutuan yang merupakan bilangan genap positip yaitu 6 bilangan genap: 21_{, 2}2_{, 2}3_{, 2}4_{, 2}5_{, dan 2}6_.

Kasus 2:

Faktor yang lain didapat dengan memperhatikan sifat perkalian Ganjil x Ganjil = Ganjil,

dan Ganjil x Genap = Genap. Ada 9 kemungkinan bilangan ganjil berbeda yang dapat dibuat yaitu : 3 1_{, 3} 2_{, 3} 3_{, 3} 4_{, 7, 3.7, 3}2_{.7, 3}3_{.7, 3}4_{.7. Faktor persekutuan yang merupakan}

bilangan genap positip diperoleh dari perkalian bilangan ganjil tersebut dengan bilangan genap yang diperoleh pada kasus 1, banyaknya adalah 9 x 6 = 54.

Dari kasus 1 dan 2 maka diperoleh 60 faktor _{persekutuan yang merupakan bilangan}

genap positip.

2. Pak Tani memiliki 500 ekor ayam yang terdiri dari ayam pedaging dan ayam petelur. Sebagian ayam berwarna merah dan sebagian lagi berwarna putih. Banyak ayam petelur dan berwarna merah adalah 100 ekor. Jika diambil satu ekor ayam secara acak, maka peluang untuk mendapatkan ayam pedaging adalah sama dengan peluang untuk mendapatkan ayam berwarna putih, yaitu sebesar 3/5. Banyak ayam pedaging yang berwarna merah adalah … .

SOLUSI:

Perhatikan gambar berikut:

500 Ayam

Ayam Pedaging Ayam Petelur

Ayam pedaging

merah

100 ayam petelur

P(Ayam Pedaging) =

5

3

, sehingga banyak ayam pedaging =

500

300

5

3





P(Ayam warna putih) =

5

3

, sehingga banyak ayam berwarna putih =

500

300

5

3





Jadi banyak ayam pedaging berwarna merah adalah 500 – (300 + 100) = 100 ekor

3. Diketahui ABCD adalah segiempat talibusur pada lingkaran yang memiliki jari-jari luar 5

cm. Diketahui AD diameter lingkaran, panjang AB = 5 cm, dan panjang AC = 6 cm. Keliling ABCD adalah … cm.

SOLUSI:

Perhatikan gambar berikut.

Menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga ACD diperoleh CD = 8 cm

Menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga ABD diperoleh BD =

5

3

cm

Menggunakan sifat Ptolomeus:

AC x BD = AD.BC +AB.CD

6.

5

3

=10.BC+5.8

BC = 3 3 4 10

40 3 30

  

Keliling segiempat tali busur ABCD adalah 10 + 5 + 8 +

3

3



4

=

19



3

3

cm

4. Rani dan Susi masing-masing memilih empat angka berbeda yang merupakan anggota dari {1, 2, 3, 6, 8, 9} untuk menyusun dua buah bilangan dua angka. Jika mereka masing-masing menjumlahkan kedua bilangan yang disusun, maka hasilnya adalah bilangan tiga angka. Notasikan jumlah bilangan yang diperoleh Rani dan Susi berturut-turut adalah r dan s. Diketahui bahwa r bersisa 2 jika dibagi 47. Jika s memiliki nilai terbesar yang mungkin, maka r + s = … .

SOLUSI:

xy didefinisikan 10x+y

Misalkan bilangan yang dipilih Susi adalah ab dan cd. dengan a, b, c, d



{1, 2, 3, 6, 8, 9}. dinotasikan s = ab + cd (bilangan tiga angka). Agar diperoleh s terbesar, dipilih a=9, b=6,

c=8, d=3, sehingga s = 96 + 83 = 179.

kl + mn = 47k+2, untuk suatu k bilangan asli

kl + mn – 2 = 47k, k=3,4,5, …21

Untuk k = 3, maka kl + mn – 2= 141, dipenuhi untuk kl=82, mn=61 Ini berarti r = 82 + 61 = 143

Jadi r + s = 143 + 179 = 322

5. Diketahui x dan y adalah dua bilangan bulat. Banyak anggota himpunan penyelesaian dari persamaan

0 80 18

36 4

4xy xy x y 

adalah ….

SOLUSI:

Misalkan x a, y b, maka persamaan 4xy4 xy36 x18 y800,

menjadi 4 2 4 36 18 800 b

a ab b a



4

a

2



b



4

ab







36

a



18

b





80



0



2ab



218



2ab



800

Ini tidak lain persamaan kuadrat dalam 2a + b, sehingga dengan pemfaktoran diperoleh,



2ab10



2ab8



0 8 2

atau 10

2ab ab

Agar diperoleh nilai x dan y bilangan bulat maka nilai a dan b juga harus bilangan bulat. Kasus 1: 2ab10

Diperoleh 6 pasangan (a,b) yaitu (0,10), (1,8), (2,6), (3,4), (4,2), dan (5,0) Kasus 2: 2ab8

Diperoleh 4 pasangan (a,b) yaitu (0,8), (1,6), (2,4), (3,2), dan (4,0)

Ini berarti banyak pasangan (x,y) sama dengan banyak pasangan (a,b) yaitu 11 Jadi banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah 11 _.

6. Diketahui barisan himpunan beranggotakan beberapa bilangan asli berurutan sedemikian rupa sehingga banyak anggota himpunan-himpunan tersebut membentuk barisan aritmetika. Empat suku pertama barisan himpunan tersebut adalah {1}, {2,3,4}, {5,6,7,8,9}, {10,11,12,13,14,15,16}.

Bilangan 2015 berada pada suku/himpunan ke ….

SOLUSI:

{1}, {2,3,4}, {5,6,7,8,9}, {10,11,12,13,14,15,16}. {dst….}

Perhatikan bahwa anggota-anggota himpunan dari setiap suku secara berurutan merupakan bilangan asli berurutan.

Terlihat pola bilangannya sbb:

Suku ke 1 2 3 4 5 6 … n

Anggota terakhir dari himpunan

Selanjutnya perhatikan,

n2 _{= 2015}

n =

2015

45 44

2025 1936

 

 

n n

Ini berarti suku ke-44 adalah {...,1936}, dan suku ke-45 adalah {1937, 1938, … ,2025} Jadi 2015 berada pada suku ke 45_.

7. Diketahui  ABC siku-siku di A, serta lingkaran yang berpusat di O menyinggung sisi

AB dan AC berturut-turut di S dan T. Selanjutnya SU dan TV adalah diameter lingkaran. Jika r adalah jari-jari lingkaran, maka luas daerah yang diarsir adalah … satuan luas.

SOLUSI:

Perhatikan gambar berikut:

Dapat ditunjukkan bahwa CVU kongruen UOV, sehingga CV = r, CA = AB = 3r

Luas Arsiran = L segitiga ABC – L Lingkaran + L Tembereng

= L segitiga ABC – L Lingkaran + L ¼ lingkaran OUV – L segitiga OUV

= .3r.3r r r2 ₂1.r.r

4 1 2 2

1 









= 4 2

1 2 2 2 1 2 2

9_r  _r 



_r 



_r

= 4 2

3 2

4r 



r

8. Delegasi perwakilan pelajar kota Bahagia ke suatu pertemuan pelajar nasional terdiri dari 5 orang. Ada 10 siswa laki-laki dan 10 siswa perempuan yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika disyaratkan bahwa paling sedikit seorang delegasi harus laki-laki, maka banyak cara untuk memilih delegasi tersebut adalah ….

SOLUSI:

Dari 10 siswa laki-laki dan 10 siswa perempuan dipilih 5 calon dengan syarat paling sedikit seorang laki-laki.

Kasus 1:

1 laki-laki, 4 perempuan, banyaknya =

2100

1

2 laki-laki, 3 perempuan, banyaknya =

5400

1

3 laki-laki, 2 perempuan, banyaknya =

5400

1

4 laki-laki, 1 perempuan, banyaknya =

.

10

2100

1

5 laki-laki, 0 perempuan, banyaknya =

252

1

Jadi banyaknya cara memilih delegasi adalah 2x2100+2x5400+252 = 15252 cara

9. Jika salah satu akar dari persamaan kuadrat 2x2 _{+ (c – 2015)x + 168 = 0 adalah bilangan}

prima, maka nilai c terbesar yang mungkin adalah … .

SOLUSI:

Perhatikan persamaan kuadrat 2x2 _{+ (c – 2015)x + 168 = 0.}

Selanjutnya 168 dapat dituliskan sebagai perkalian dua bilangan 168.1=84.2=56.3=42.4=28.6=24.7=21.8=14.12

Misalkan p dan q adalah faktor dari 168 sehingga p x q = 168.

Agar diperoleh akar yang positip maka persamaan kuadrat di atas diselesaikan dengan pemfaktorkan menjadi:

(2x – p)(x – q) = 0

Ini berarti c – 2015 = - 2q – p atau c = 2015 – (p + 2q) Diketahui bahwa salah satu akarnya prima.

Kasus 1: akar prima tersebut diperoleh dari persamaan x – q = 0. untuk q = 2, diperoleh p = 84, dan c =2015 – (84 + 4)=1927

untuk q = 7, diperoleh p = 24, dan c =2015 – (24 + 14)=1977

Kasus 2: akar prima tersebut diperoleh dari persamaan 2x – p = 0. untuk p = 4, diperoleh q = 84, dan c =2015 – (84 + 4)=1927

untuk p = 6, diperoleh q = 56, dan c =2015 – (56 + 6)=1953

Dari kasus 1 dan 2, maka nilai c terbesar yang mungkin adalah 1977

10. Jika kurva parabola y = x2 _{+ 4x – 5 dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian digeser ke}

arah sumbu-X positip sejauh 2 satuan, maka diperoleh kurva dengan persamaan … .

SOLUSI:

Titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = x menjadi A’(y,x)

Parabola y = x2 _{+ 4x – 5 dicerminkan terhadap garis y = x menjadi x = y}2 _{+ 4y – 5}

Parabola x = y2 _{+ 4y – 5 digeser ke arah sumbu-X positip sejauh 2 satuan menjadi}