commit to user
i
OPTIMALISASI PORTOFOLIO SAHAM PADA INDEKS LQ-45 DENGAN PENDEKATAN BAYES
MELALUI MODEL BLACK-LITTERMAN
oleh
FAUZIA WIDYANDARI
M 0108019
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
commit to user
commit to user
iii
ABSTRAK
Fauzia Widyandari, 2012. OPTIMALISASI PORTOFOLIO SAHAM PADA INDEKS LQ-45 DENGAN PENDEKATAN BAYES MELALUI MODEL BLACK-LITTERMAN. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Saham merupakan salah satu instrumen yang sering dipakai dalam investasi. Tingkat pengembalian (return) dari harga saham dan besarnya risiko yang ditanggung investor merupakan hal yang perlu diperhatikan. Untuk mengoptimalkan return dan meminimalkan risiko dapat dibentuk portofolio saham. Portofolio merupakan kombinasi linier dari beberapa aset. Diasumsikan bahwa return saham tunggal dan portofolio berdistribusi normal. Penelitian ini bertujuan untuk mengkonstruksikan perhitungan nilai return portofolio dengan model Black- Litterman melalui pendekatan bayes.
Perhitungan nilai return diterapkan pada saham yang terdaftar dalam bursa Indeks LQ-45. Return dihitung dari harga penutupan saham harian pada masing masing aset yang terdaftar. Nilai return yang dipakai dalam penyusunan portofolio optimal memiliki distribusi normal. Perhitungan dengan historis data dicari dengan menggunakan estimasi dari mean return yang memiliki bobot dari kombinasi vektor mean dan distribusi prior. Kombinasi tersebut berdasarkan
views atau nilai dugaan dari investor mengenai return yang akan didapatkan. Bobot portofolio dengan model Black-Litterman memberikan hasil portofolio yang optimal.
.
commit to user
iv
ABSTRACT
Fauzia Widyandari, 2012. OPTIMIZATION STOCK PORTFOLIO IN LQ-45 INDEX WITH BAYES APPROACH FOR THE BLACK-LITTERMAN MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Stock is one of instrument that is often used in investment. Return of rate from stock price and the magnitude of risks are things that need attention. A stock portfolio can be formed to optimize return dan minimize the risk. The portfolio is defined as a linear combination of some assets. The calculation assumes that the single stock and portfolio returns were normally distributed. The purpose of this study is to construct a return portfolio value calculation by Black-Litterman Model with Bayes approach.
The calculation of return was applied to the shares listed in the stock exchange LQ-45 index. Return is calculated from the daily closing price of the shares on each asset listed. Return values are used in the preparation of optimal portfolio has a normal distribution. The calculation the historical data are used estimates of mean returns, which have a weight of a combination mean vector and the prior distribution. The combination is based on the views or values of the allegations investor for the returns that will be obtained. Portfolio weights with the Black-Litterman Model give optimal portfolio .
commit to user
v
MOTO
So which of the favors of your Lord would you deny?
(QS. Ar Rahman)
Today a reader, tomorrow a leader
commit to user
vi
PERSEMBAHAN
commit to user
vii
KATA PENGANTAR
Segala Puji bagi Allah SWT atas limpahan karunia, rahmat, dan hidayah-Nya,
sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bimbingan, kerjasama, serta bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu,
dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada
1. Ibu Dr. Sri Subanti, M.Si selaku Pembimbing I yang telah memberikan
bimbingan, saran, serta ide - ide dalam menyelesaikan skripsi ini,
2. Bapak Drs. Sutrima, M.Si selaku Pembimbing II, yang telah memberikan
bimbingan dan saran dalam menyelesaikan skripsi ini,
3. Teman teman Matematika 2008 yang tak hentinya memberikan bantuan dan
motivasi kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Surakarta, November 2012
commit to user
1.1Latar Belakang Masalah ...
1.2Perumusan Masalah ...
2.1.1 Konsep Dasar Probabilitas ...
commit to user
III METODE PENELITIAN 21
commit to user
x
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1 Perusahaan yang Terdaftar dalam Indeks LQ-45 ... 27
Tabel 4.2 Hasil Uji Kenormalan dengan Kolmogorov Smirnov ... 28
Tabel 4.3 Varian Kovarian dari Aset Terpilih ... 30
Tabel 4.4 Matriks Views dari Aset Terpilih ... 31
Tabel 4.5 Nilai Pembobotan Portofolio dengan Black-Litterman ... 31
Tabel 4.6 Nilai Pembobotan Portofolio dengan Data Historis ... 32
commit to user
xi
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 4.1 Histogram Return Saham Terpilih ... 29
commit to user
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang Masalah
Investasi merupakan kegiatan yang membawa konsekuensi untung dan
rugi. Proses investasi merupakan pemahaman dasar dasar keputusan dari
langkah yang diambil. Untuk memahami proses investasi, seorang investor harus
mengetahui konsep dasar investasi yang menjadi landasan setiap tahap dalam
membuat keputusan. Hal yang mendasar dalam proses keputusan investasi adalah pemahaman hubungan antara tingkat keuntungan investasi (return) yang
diharapkan dan risiko suatu investasi. Hubungan risiko dan return yang
diharapkan merupakan hubungan yang linier, artinya semakin besar risiko yang
ditanggung, semakin besar pula tingkat return yang diharapkan (high risk, high
return).
Investor dapat menginvestasikan sejumlah dana pada aset nyata (emas, mesin, bangunan, dan sebagainya) maupun aset finansial (deposito, saham,
ataupun obligasi). Ramainya perdagangan surat berharga di pasar modal
mencerminkan minat investasi yang besar dari masyarakat. Investor terdorong
menginvestasikan dananya pada beberapa aset untuk mengurangi risiko kerugian.
Dengan kata lain, investor membentuk suatu portofolio saham optimal yang
merupakan kombinasi atau kumpulan dari beberapa saham terpilih untuk mendapatkan return yang besar atau mendapatkan return tertentu dengan risiko
kecil. Portofolio saham optimal merupakan kombinasi linier dari investasi
(Abdurakhman, 2007).
Saham memiliki kecenderungan untuk tidak stabil, berfluktuasi naik dan
turun. Namun, ada kelompok saham yang memiliki likuiditas tertinggi. Penilaian
likuiditas adalah seleksi atas saham saham yang mempertimbangkan kapitalisasi
pasar. Saham ini termasuk dalam daftar indeks LQ 45. Oleh karena itu, data
saham dari indeks LQ 45 inilah yang akan dijadikan studi kasus dalam penelitian
commit to user
2
Penelitian untuk mengoptimalkan besarnya return pada portofolio saham
pernah dilakukan oleh Fadila (2011) melakukan penelitian pengukuran besarnya
risiko dihitung dengan menggunakan metode Value at Risk (VaR) yang
merupakan metode pengukuran risiko secara statistik yang memperkirakan
kerugian maksimum yang mungkin terjadi atas suatu portofolio pada tingkat
kepercayaan (level of confidence) tertentu. Distribusi return saham didekati
dengan distribusi mixture dengan banyaknya komponen penyusun tertentu (finite
mixture model). Kedua penelitian terdahulu menggunakan konsep dasar
pembentukan portofolio dengan metode Markowitz, dimana perhitungan yang
digunakan hanya melibatkan mean variance saja.
Metode untuk pengoptimalan portofolio berkembang menjadi Capital
Asset Pricing Model (CAPM) yang memperhatikan adanya aset tak berisiko.
Black dan Litterman (1992:28) mengembangkan suatu model yang
menggabungkan antara perhitungan return portofolio melalui metode CAPM
dengan melibatkan intuisi dari investor. Tahun 2008, Retno Subekti melakukan penelitian untuk membandingkan return saham melalui metode mean variance
dan Black-Litterman pada studi kasus saham S&P500. Pada penelitian ini akan
mengkaji ulang penelitian sebelumnya dengan menggunakan pendekatan bayes
untuk mengoptimalkan return yang didapat melalui model Black-Litterman.
1.2Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian diatas, dapat disusun perumusan masalah sebagai
berikut
1. bagaimana bentuk nilai pembobotan portofolio saham dengan model
Black-Litterman melalui pendekatan bayes,
2. bagaimana menerapkan nilai pembobotan portofolio pada saham yang
commit to user
3
1.3 Batasan Masalah
Untuk membatasi permasalahan agar tidak meluas, dalam penelitian ini
data yang digunakan adalah data harga saham dari perusahaan yang terdaftar
dalam indeks LQ-45 pada bulan Agustus 2011 Juni 2012.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut
1. mendapatkan hasil nilai pembobotan portofolio saham dengan model
Black-Litterman melalui pendekatan bayes pada penyusunan portofolio optimal,
2. menerapkan nilai pembobotan portofolio pada saham yang tergabung dalam
indeks LQ-45 untuk menghitung return yang didapatkan.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini secara teoritis dapat memberikan ide baru tentang optimalisasi portofolio melalui model Black-Litterman melalui
pendekatan Bayes. Manfaat praktis yaitu memberikan informasi bagi investor
untuk mengoptimalkan portofolio dalam saham sehingga dapat diketahui besar
commit to user
4
BAB II
LANDASAN TEORI
Landasan teori ini terdiri dari tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran.
Tinjauan pustaka merupakan bagian tentang penelitian penelitian yang telah
dilakukan sebelumnya dan teori - teori penunjang yang digunakan sebagai dasar
penulisan. Sedangkan kerangka pemikiran berisi alur pikir dalam penulisan
skripsi.
2.1Tinjauan Pustaka
Penelitian tentang optimalisasi sebelumnya telah banyak dikembangkan
oleh para ahli statistika ekonomi. Dimulai pada tahun 1952 Harry Markowitz
mengembangkan metode optimalisasi portofolio dengan konsep Mean-variance,
pemilihan portofolio berdasarkan return dan risikonya. Mean-variance
memerlukan pengetahuan tentang korelasi antara return aset dan standar deviasi
pada aset. Pada tahun 1964, Sharpe mengemukakan teori baru untuk
pengoptimalan portofolio yaitu Capital Asset Pricing Model (CAPM) yang
menghubungkan pembentukan portofolio dengan aset tak berisiko. Pada tahun
1992, Black dan Litterman mengungkapkan teori baru dalam pengoptimalan
portofolio saham. Portofolio optimal yang dibentuk tidak hanya melalui data historis tapi juga melalui campur tangan dari intuisi investor. Rumusan teori
-Pada tahun 2008, penelitian tentang model Black-Litterman pernah dilakukan oleh Retno Subekti yang membahas keunggulan model
Black-Litterman dibandingkan model Markowitz dalam meminimalkan risiko dan
memaksimalkan return saham. Hal ini sejalan dengan yang diungkapkan oleh
Christodoulakis.
Tahun 2010, Zhou dan Avramov mengungkapkan adanya kemungkinan
ketidakpastian parameter dan prediksi return (return predictability). Penelitian ini
akan mengkaji ulang penelitian penelitian sebelumnya dan menerapkan pada
commit to user
5
2.1.1 Konsep Dasar Probabilitas
Berikut ini dituliskan beberapa definisi, teorema serta konsep dasar
probabilitas (Bain & Engelhardt, 1992).
Definisi 2.1 Probabilitas merupakan suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti (uncertain event).
Nilai probabilitas diperoleh berdasarkan hasil observasi atau pertimbangan
pembuat keputusan. Besarnya nilai kemungkinan munculnya suatu kejadian
adalah diantara 0 dan 1 atau .
Diambil suatu percobaan dari sampel , dengan bagian dari sampel .
dikatakan sebagai probabilitas dari peristiwa jika dan hanya jika
memenuhi 3 kondisi sebagai berikut :
1.
2.
3. Untuk suatu barisan peristiwa yang saling asing, yaitu peristiwa
dengan ketika maka
Definisi 2.2 Jika kejadian dengan . Maka probabilitas bersyarat didefinisikan sebagai
Teorema 2.1 Misalkan kejadian dengan maka
commit to user
6
Teorema 2.3 Teorema Bayes
Jika partisi dari dan untuk setiap dan
Definisi 2.3 Suatu variabel random akan mengikuti distribusi normal mean
dan variansi yang dinotasikan dengan mempunyai persamaan
untuk
dimana dan .
Definisi 2.4 Nilai ekspektasi dari yaitu
Definisi 2.5 Variansi yaitu
dengan substitusi , maka persamaan diatas menjadi pdf normal standar
Definisi 2.6 Jika suatu fungsi dari variabel random diskrit menyatakan
probabilitas setiap nilai x yang mungkin berikut ini
maka disebut fungsi densitas probabilitas diskrit , dengan fungsi distribusi
commit to user
7
Definisi 2.7 Jika suatu variabel random disebut variabel random kontinu jika terdapat fungsi f(x), dengan fungsi kumulatif nya dinyatakan dengan
Fungsi Massa Probabilitas Bersama (Joint Probability Mass Function,
disingkat sebagai joint pmf ) dari variabel random diskrit berdimensi k,
didefinisikan sebagai
untuk semua nilai yang mungkin dari
Definisi 2.8 Jika pasangan dari variabel random diskrit yang
mempunyai pmf bersama maka pmf marginal dari dan adalah
secara umum
Dalam kasus kontinu pdf marginal didefinisikan dengan cara yang sama.
Dalam kasus kontinu pdf marginal didefinisikan dengan menggunakan jumlahan
menjadi integral.
Fungsi distribusi komulatif bersama (Joint Cumulative Distribution
Function, disingkat CDF) dari variabel random berdimensi k
didefinisikan sebagai
Definisi 2.9 Jika adalah variabel random berdimensi k dengan
commit to user
8
Definisi 2.10 Jika dan adalah variabel random diskrit atau kontinu dengan
pdf bersama maka pdf bersyarat dari diberikan
didefinisikan sebagai
untuk semua nilai sedemikian sehingga dan nol untuk lainnya.
Definisi 2.11 Fungsi Likelihood Fungsi densitas probabilitas bersama dari
variabel random , dengan nilai dikatakan
sebagai fungsi likelihood.
Untuk yang tetap , fungsi likelihood adalah fungsi ,
dituliskan dengan . Jika adalah sampel random dari
maka
Definisi 2.12 Maximum Likelihood Estimator (MLE) Misalkan
adalah fungsi densitas probabilitas bersama dari
. Jika diberikan nilai observasi , nilai dari dalam
dimana menjadi maksimum disebut estimasi maksimum likelihood dari .
Maka merupakan nilai dari sehingga
Definisi dari fungsi likelihood dan MLE dapat diaplikasikan dalam kasus
lebih dari satu parameter yang tidak diketahui, jika menyatakan vektor
parameter, katakanlah .
2.1.2 Aturan Bayes
Aturan bayes menjadi salah satu dasar lahirnya suatu pendekatan baru
commit to user
9
Teorema 2.4 Probabilitas Total Jika adalah himpunan kejadian saling asing lengkap, maka sebarang kejadian A berlaku
Teorema 2.5 Aturan Bayes Jika adalah himpunan kejadian saling
asing lengkap, maka untuk berlaku
Bukti:
Berdasarkan teorema probabilitas total diperoleh
sehingga
2.1.3 Metode Bayesian
Metode Bayesian merupakan metode untuk mengestimasi dua informasi,
yaitu informasi dari data observasi baru dan informasi yang telah diperoleh
sebelumnya. Ditentukan variabel random adalah sebuah
vektor dari observasi dengan distribusi dan bergantung pada suatu
himpunan parameter maka
commit to user
10
merupakan konstanta distribusi posterior, merupakan distribusi probabilitas
kontinu atau diskrit. Distribusi prior merupakan distribusi awal sebelum diperoleh
data observasi dan dinotasikan . Sedangkan distribusi posterior merupakan
distribusi ketika data observasi telah diketahui dan dinotasikan sebagai
Distribusi posterior adalah fungsi distribusi probabilitas bersyarat dengan nilai
observasi telah diketahui. Distribusi posterior untuk yang diskrit dapat
ditentukan sebagai
Sedangkan distribusi posterior untuk yang kontinu dapat ditentukan sebagai
dengan adalah distribusi prior dan adalah fungsi distribusi data
observasi atau fungsi likelihood (Soejoeti dan Soebanar, 1988).
Dalam metode Bayesian, parameter populasi dipandang sebagai peubah
yang mempunyai distribusi posterior dan distribusi prior.
Distribusi posterior merupakan sebuah distribusi bersyarat
parameter diberikan data observasi .
merupakan distribusi bersama dari dan . Sedangkan merupakan
distribusi marginal . Dengan konsep rumus distribusi bersyarat, diperoleh
, sedangkan distribusi marginal dapat dihitung dengan
sehingga,
dengan
commit to user
11 = distribusi posterior
= distribusi prior
= distribusi data observasi dengan menganggap sebagai
variabel yang telah diketahui nilainya atau disebut dengan fungsi likelihood
yang merupakan fungsi dari parameter .
Distribusi prior merupakan suatu keluarga distribusi dan bertujuan untuk
menyederhanakan perhitungan. Keluarga parametrik dari distribusi
dikatakan dekat dalam sampling dengan keluarga yang berkaitan dari distribusi
jika
untuk kasus ini, dikatakan sebagai keluarga sekawan ke .
Prior informatif digunakan ketika informasi mengenai parameter
diketahui dari model sebelum mengumpulkan data. Prior dikatakan wajar
(proper) jika tidak tergantung pada data dan
Prior tidak wajar jika tidak memenuhi kondisi diatas.
2.1.4 Investasi
Investasi merupakan komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya
lainnya yang dilakukan pada saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah
keuntungan dimasa yang akan datang (Tandelilin,2010). Istilah investasi bisa berkaitan dengan berbagai macam aktivitas. Menginvestasikan sejumlah dana
pada aset real (tanah, emas, mesin, atau bangunan) maupun aset finansial
(deposito, saham, ataupun obligasi) merupakan aktivitas investasi yang umumnya
dilakukan.
Investasi yang akan dibahas kali ini adalah berkaitan dengan pengelolaan
aset finansial terutama sekuritas yang bisa diperdagangkan (marketable
securities). Aset finansial adalah klaim berbentuk surat berharga atas sejumlah
commit to user
12
mudah diperdagangkan (marketable securities) adalah aset aset finansial yang
bisa diperdagangkan dengan mudah dan dengan biaya transaksi yang murah pada
pasar terorganisir.
Pihak pihak yang melakukan kegiatan investasi disebut investor.
Investor pada umumnya bisa digolongkan menjadi dua, yaitu investor individual
(individual/retail investors) dan investor institusional (institutional investors).
2.1.5 Pasar Modal
Pasar modal merupakan pertemuan antara pihak yang memiliki kelebihan
dana dengan pihak yang membutuhkan dana dengan cara memperjualbelikan
sekuritas (Tandelilin, 2010). Sedangkan tempat terjadinya jual beli sekuritas
disebut dengan bursa efek. Di Indonesia terdapat dua bursa efek yaitu Bursa Efek
jakarta (BEJ) dan Bursa Efek Surabaya (BES). Saat ini kedua bursa tersebut sudah
dimerger menjadi Bursa Efek Indonesia (BEI).
Dana yang didapatkan perusahaan melalui penjualan sekuritas (saham) merupakan hasil perdagangan saham saham perusahaan yang dilakukan di pasar
perdana. Di pasar perdana inilah perusahaan untuk pertama kalinya menjual
sekuritasnya dan proses itu disebut Initial Public Offering (IPO) atau penawaran
umum. Setelah sekuritas tersebut dijual di pasar perdana, sekuritas
diperjualbelikan oleh investor investor di pasar sekunder atau pasar reguler.
Transaksi yang dilakukan investor di pasar sekunder tidak akan memberikan dana lagi bagi perusahaan yang menerbitkan sekuritas (emiten).
Perdagangan pasar sekunder sangat penting untuk menentukan likuiditas sekuritas
di pasar perdana.
2.1.6 Proses Go Public
Go public atau penawaran umum merupakan kegiatan yang dilakukan emiten untuk menjual sekuritas kepada masyarakat. Berdasarkan tata cara yang
diatur dalam undang undang dan peraturan pelaksanaannya. Persyaratan go
public melalui Bursa untuk emisi saham adalah
1. perusahaan berbadan hukum Perseroan Terbatas,
commit to user
13
3. mempunyai modal disetor penuh Rp 200.000.000, -
4. dua tahun terakhir memperoleh keuntungan dan laporan keuangan telah
diperiksa oleh akuntan publik,
5. khusus emiten sektor perbankan, selama tiga tahun terakhir harus memenuhi
ketentuan bahwa dua tahun pertama harus tergolong cukup sehat dan tahun
terakhir tergolong sehat.
Alasan perusahaan melakukan go public adalah
1. kebutuhan akan dana untuk melunasi hutang, baik jangka panjang maupun
pendek, sehingga mengurangi beban bunga,
2. meningkatkan modal kerja,
3. membiayai perluasan perusahaan seperti pembangunan pabrik baru,
peningkatan kapasitas produksi, dan sebagainya,
4. memperluas jaringan pemasaran dan distribusi,
5. meningkatkan teknologi produksi,
6. membayar sarana penunjang seperti pabrik, perawatan, kantor, dan sebagainya.
2.1.7 Indeks LQ-45
Indeks LQ-45 terdiri dari 45 saham di BEI dengan likuiditas yang tinggi
dan kapitalisasi pasar yang besar serta lolos seleksi menurut beberapa kriteria
pemilihan (Tandelilin, 2010). Kriteria yang harus dipenuhi, antara lain :
1. saham harus masuk dalam rangking 60 besar dari total transaksi saham di
pasar regular (yang dilihat adalah rata-rata nilai transaksi selama 12 bulan
terakhir),
2. saham juga harus masuk ke dalam jajaran teratas dalam peringkat
berdasarkan kapitalisasi pasar (yang dilihat adalah rata-rata kapitalisasi pasar
selama 12 bulan terakhir),
3. saham harus tercatat di Bursa Efek Indonesia (BEI) selama minimal 3 bulan,
4. keadaan keuangan perusahaan dan prospek pertumbuhan dari perusahaan
pemilik saham harus baik begitu juga frekuensi dan jumlah hari perdagangan
commit to user
14
2.1.8 Return
Return merupakan hasil yang diperoleh dari investasi. Jogianto (1998: 85)
mengemukakan bahwa return sebagai hasil yang diperoleh dari investasi yang
berupa return realisasi dan return ekspektasi.
Return realisasi (realized return) merupakan return yang telah terjadi dan
dihitung berdasarkan data historis. Return realisasi tersebut dapat berfungsi
sebagai salah satu pengukur kinerja perusahaan maupun sebagai dasar penentuan
return ekspektasi dan risiko pada masa yang akan datang. Salah satu jenis
pengukuran return realisasi yang sering digunakan adalah return total, yaitu
return keseluruhan dari suatu investasi dalam suatu periode tertentu.
keterangan:
: return saham pada periode
: harga saham pada periode
: harga saham pada periode
: deviden (kas) pada periode .
Return ekspektasi (expected return) adalah return yang diharapkan akan
diperoleh investor pada masa mendatang. Return ekspektasi dapat dirumuskan sebagai berikut
keterangan :
: ekspektasi suatu sekuritas
: return saham ke-
: probabilitas hasil ke-
jumlah periode waktu observasi.
Return portofolio saham merupakan rata rata tertimbang dari return tiap
tiap saham yang termasuk didalamnya. Oleh karena itu, expected return portofolio merupakan rata rata tertimbang dari expected return saham yang ada
commit to user
Risiko merupakan penyimpangan tingkat keuntungan yang diperoleh dari nilai yang diharapkan oleh seorang investor. Markowitz menyatakan bahwa risiko
yang diharapkan tergantung pada standar deviasi. Hal ini dapat diformulasikan
sebagai berikut
standar deviasi
probabilitas kejadian dari setiap hasil yang diharapkan
kemungkinan tingkat hasil
hasil yang diharapkan.
Menurut Jogiyanto, pada prinsipnya risiko dapat dikelompokkan menjadi
dua bagian yaitu
1. Risiko tidak sistematik (Unsystematic Risk)
Merupakan risiko yang terkait dengan suatu saham tertentu yang umumnya
dapat dihindari atau diperkecil melalui diversifikasi.
2. Risiko sistematik (Systematic Risk)
Merupakan risiko pasar yang bersifat umum dan berlaku bagi semua saham
dalam pasar modal yang bersangkutan. Risiko ini tidak mungkin dapat
dihindari oleh investor melalui diversifikasi sekalipun.
Selain dua bagian risiko tersebut, ternyata sikap investor dalam menghadapi risiko yang muncul dapat dibedakan menjadi tiga yaitu
1. Risk Averse adalah sikap seorang investor yang akan memilih risiko yang
commit to user
16
2. Risk Neutral adalah sikap seorang investor yang akan memilih investasi yang
tingkat return nya sesuai dengan risiko yang dihadapi.
3. Risk Seeker adalah sikap seorang investor yang akan memilih investasi yang
memiliki risiko investasi yang lebih tinggi dengan tingkat return yang
diharapkan sama besar.
2.1.10 Pembentukan Portofolio
Portofolio adalah kombinasi linier dari beberapa aset. Dalam pembentukan
portofolio, setiap aset memiliki kontribusi terhadap modal total sebesar bobot
Komposisi bobot dalam portofolio bisa ditentukan dengan
cara intuisi maupun menggunakan metode komputasi statistik, baik menggunakan
metode sederhana maupun lanjut (Abdurakhman, 2007).
Dimisalkan seorang investor memiliki sebuah portofolio yang terdiri dari k
aset. Dinotasikan adalah harga aset j pada waktu i dan didefinisikan return dari
aset j dalam satu periode waktu (harian, bulanan, tahunan) sebagai berikut
return sahamj pada waktu i
elemennya berisi variansi aset ke dan kovariansi antara aset dan .
Kovariansi digunakan untuk mengukur bagaimana dua peubah acak dalam
hal ini return aset dan bergerak. Nilai kovariansi yang positif menunjukkan
bahwa return kedua aset tersebut cenderung bergerak searah, sedangkan nilai
kovariansi negative menunjukkan bahwa return kedua aset cenderung bergerak
commit to user
17
hubungan anatara kedua aset tersebut. Nilai kovariansi antara aset i dan j dapat
dituliskan sebagai berikut
dengan adalah koefisien korelasi antara return aset i dan j.
Tingkat keuntungan yang diharapkan (mean return) portofolio adalah
harga harapan dari return portofolio . Return portofolio adalah jumlahan
tertimbang dari k aset return-nya yaitu
dengan menunjukkan bobot/komposisi aset aset yang
terbentuk dalam portofolio dan memenuhi jumlah sama dengan 1. Nilai ekspektasi
return portofolio diestimasi dengan . Dalam melakukan investasi dalam efek
atau sekuritas, para investor dihadapkan pada unsur risiko dan ketidakpastian.
Investor tidak mengetahui dengan pasti hasil yang akan didapatkan dari investasi,
hanya dapat memperkirakan berapa keuntungan yang diharapkan dan berapa
besarnya risiko yang ditanggung.
Dalam teori portofolio, risiko dapat dinyatakan sebagai kemungkinan
keuntungan menyimpang dari yang diharapkan. Risiko portofolio dihitung dari
nilai volalitas (risiko) suatu portofolio yaitu variansi dari
dengan adalah matriks varian-kovarian. Variansi portofolio dirumuskan dalam
commit to user
18
Jadi, variansi (risiko) dari portofolio yang terbentuk adalah
Investor dapat menentukan kombinasi dari asset asset yang membentuk
portofolio, baik yang efisien maupun tidak efisien. Suatu portofolio dikatakan
efisien jika portofolio tersebut dibandingkan dengan portofolio lain yang memenuhi kondisi berikut
1. memberikan expected return lebih besar dari risiko yang sama, atau
2. memberikan risiko lebih kecil dari expected return yang sama.
Dalam pembentukan portofolio efisien, asumsi perilaku investor yang
wajar terjadi dalam keputusan investasi adalah investor yang tidak suka terhadap
risiko (risk averse).
Semua portofolio yang berada di permukaan yang efisien (efficient
frontier) merupakan portofolio yang efisien sehingga tidak dapat dikatakan
portofolio mana yang optimal. Permukaan yang efisien (efficient frontier) yaitu
garis yang menunjukkan sejumlah portofolio yang efisien dan semua portofolio
yang berada di bawah garis tersebut dinyatakan tidak efisien. Jika seorang investor memiliki beberapa pilihan portofolio efisien, maka portofolio yang
optimal dapat dibentuk. Portofolio yang optimal adalah portofolio yang dipilih
seorang investor dari sekian banyak pilihan yang ada pada kumpulan portofolio
yang efisien. Portofolio yang dipilih investor adalah portofolio yang sesuai
dengan preferensi investor yang bersangkutan terhadap return maupun risiko yang
commit to user
19
2.1.12 Uji Normalitas
Pada bahasan ini uji normalitas yang digunakan adalah uji
Kolmogorov-Smirnov. Uji tersebut digunakan untuk menguji hipotesis tentang kecocokan
model (goodness of fit) data ordinal pada suatu distribusi. Selain itu uji
Kolmogorov-Smi
fungsi distribusi yang tidak diketahui. Uji kecocokan biasanya melibatkan sampel
acak yang diambil dari suatu populasi yang tidak diketahui fungsi distribusinya.
Hipotesis menyatakan bahwa fungsi distribusi sama dengan fungsi distribusi yang
diketahui atau fungsi yang disebutkan (Praptono, 1986). Langkah langkah dalam
pengujian sebagai berikut
1. H0 : data berdistribusi normal
H1 : data tidak berdistribusi normal
2. Menentukan
3. Daerah Kritis : Ho ditolak apabila nilai p-value <
4. Statistik Uji
Secara manual dapat dinyatakan dengan persamaan
Berdasarkan output software p-value
5. Kesimpulan
2.2 Kerangka Pemikiran
Dalam melakukan investasi selalu mempertimbangkan nilai return dan
risiko yang kemungkinan terjadi di masa yang akan datang. Untuk
memaksimalkan return dan meminimalkan risiko, diperlukan manajemen optimalisasi portofolio yang baik. Pengoptimalan portofolio saham biasa
dilakukan dengan menggunakan data historis, namun seringkali hasil yang
diharapkan kurang optimal. Hal ini dikarenakan ada faktor lain yang diabaikan
yaitu sudut pandang dari seorang investor (views). Model Black-Litterman
digunakan untuk mengatasi masalah optimalisasi saham dengan memperhatikan
commit to user
20
nilai pembobotan portofolio melalui model Black-Litterman adalah metode bayes.
Pada penelitian ini, penulis akan menentukan nilai return maksimal dan risiko
minimal pada saham yang tergabung dalam indeks LQ-45 dengan menerapkan
commit to user
21
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur
dan studi kasus. Adapun studi literatur yaitu mengumpulkan referensi dari
buku-buku, jurnal, artikel maupun tulisan yang dimuat di web. Studi kasus diambil dari data saham yang tergabung dalam indeks LQ-45. Sumber data
yang digunakan dalam penelitian ini berasaldari YahooFinance dan dianalisis
menggunakan software. Langkah langkah analisis yang digunakan adalah
sebagai berikut
Permasalahan optimalisasi portofolio saham
Data historis saham Pandangan investor (views)
commit to user
22
BAB IV
PEMBAHASAN
Pada bab ini, dibahas mengenai penentuan bobot portofolio optimal
dengan metode Black Litterman dan perhitungan return harga penutupan saham
harian yang terdaftar pada indeks LQ-45 serta penerapannya dalam pengoptimalan
portofolio dengan metode Black-Litterman melalui pendekatan bayes (Jay
Walters, 2009).
4.1 Model Black-Litterman
Model Black-Litterman adalah model matematis untuk mengalokasikan
portofolio yang dikembangkan pada tahun 1990 di Goldman Sachs oleh Black dan
Litterman. Model ini digunakan untuk mengatasi masalah yang dijumpai investor
dalam menerapkan teori portofolio modern, dimulai dengan asumsi bahwa
keseimbangan alokasi aset dari broker harus sebanding dengan nilai pasar dari aset yang tersedia, dan kemudian dimodifikasi dengan memperhitungkan 'views'
(yaitu intuisi atau pandangan dari investor tentang dugaan banyaknya
pengembalian aset yang akan didapatkan) dari investor.
Model Black-Litterman mengkrontruksikan portofolio dengan lebih
optimal sehingga dapat mengatasi masalah yang bersifat tidak terduga
(unintuitive), portofolio berkonsentrasi tinggi, memiliki input yang sensitif, dan
kesalahan estimasi maksimal. Ketiganya memiliki kerterkaitan dengan
mean-variance sehingga menjadi alasan untuk tidak menggunakan metode Markowitz
dalam mengoptimalkan portofolio.
Black-Litterman menggunakan pendekatan Bayesian untuk
menggabungkan pandangan (view) subjektif dari investor tentang return yang
diharapkan (expected return) dari satu atau lebih aset dengan vektor ekuilibrium
pasar (distribusi prior). Persamaan baru yang didapatkan digabungkan kembali
commit to user
23
return (distribusi posterior) mengarah pada portofolio yang intuitif dengan bobot portofolio yang pantas (sensible) (Idzorek, 2005).
Optimalisasi portofolio dengan model ini dimulai dengan menentukan
equilibrium return sebagai langkah awal. Nilai untuk menghitung equilibrium
return dapat dituliskan sebagai berikut
dengan
: vektor excess return equilibrium
: koefisien risiko averse
: matriks kovariansi dari excess return
: bobot kapitalisasi pasar dari aset.
Koefisien risiko averse ( merupakan risiko dari return yang diharapkan
(expected risk-return). Nilai untuk perhitungan sebesar 2.5, nilai ini berdasarkan
pada representasi nilai rata rata toleransi dunia terhadap risiko investasi.
Berdasarkan nilai , disubtitusikan nilai yang merupakan vektor dari excess
return suatu aset, sehingga ditentukan bobot portofolio sebagai berikut
Persamaan untuk model Black-Litterman secara umum dapat dituliskan sebagai berikut
Keterangan:
: distribusi posterior kombinasi vektor return (expected return yang baru)
: faktor skalar (parameter yang ditentukan investor)
: matriks varian kovarian
: return equilibrium
P : matriks bobot views (link matriks)
: matriks diagonal kovariansi dari view
Q : vektor view return
Pada model Black-Litterman ini dijelaskan dengan mempertimbangkan
estimasi likelihood gabungan dari pandangan investor yang subjektif (sebagai
commit to user
24
dikombinasikan dengan view dari investor untuk membentuk opini yang baru
(Subekti, 2008).
4.2Metode Black-Litterman melalui Pendekatan Bayes
Pada bagian ini memberikan gambaran dari teori Bayes yang digunakan
dalam menganalisis model Black-Litterman. Dimisalkan terdapat dua kejadian A
dan B. Kejadian A adalah expected return dan B adalah equilibrium return
Christodoulakis, 2002). Aturan Bayes digunakan untuk membentuk likelihood
gabungan A dan B sebagai berikut
Diasumsikan keyakinan prior sebagai yang mempunyai bentuk
kendala linear dari vektor expected return dan ditulis dengan matriks dengan
ukuran
dengan adalah matriks kovariansi .
Dengan demikian menandakan adanya pandangan yang masih belum pasti dan
diasumsikan berdistribusi normal dengan matriks kovariansi diagonal ,
pandangan investor ini independen dari yang lain. Matriks sebagai matriks
diagonal kovariansi dari view dapat dinyatakan
Jika elemen diagonal dari matriks kovariansi adalah nol, artinya investor
dianggap mempunyai opini sangat yakin yang mengakibatkan .
Fungsi densitas dari data equilibrium return dengan syarat informasi prior
commit to user
25
Dengan artinya ada asumsi bahwa mean return equilibrium
sama dengan rata - rata return pasar yang dapat diperoleh melalui CAPM.
Sedangkan scalar adalah suatu angka yang diberikan investor untuk mengukur
matriks kovariansi historis .
Fungsi densitas posterior berdasarkan persamaan (4.5) dan (4.7)
yang diterapkan pada persamaan (4.4) merupakan multivariat normal. Dari asumsi
untuk distribusi dan dapat dinyatakan masing masing bentuk
Berdasarkan aturan bayes pada persamaan (4.4) disubstitusikan densitas
dan sehingga terbentuk densitas posterior
Densitas posterior dapat dinyatakan sebagai
dengan
sehingga
Pada densitas menjadi konstanta dalam distribusi
posterior, sedangkan dapat dijelaskan
commit to user
26
diperoleh mean dan variansi untuk mean posterior adalah
dan .
Distribusi return kombinasi yang baru sebagai distribusi posterior
berdistribusi multivariat normal adalah
Sehingga nilai dapat dibentuk kembali menjadi persamaan
Pada persamaan (4.8) merupakan bentuk baru dari melalui pendekatan
bayes, kemudian untuk mencari nilai bobot portofolio dengan model
Black-Litterman dapat disubstitusikan ke dalam persamaan (4.2). Sehingga untuk
rumusan pembobotan portofolio dengan model Black-Litterman menjadi
commit to user
27
4.3Penerapan Kasus 4.3.1 Deskripsi Data
Dalam penelitian ini data yang digunakan adalah harga penutupan saham
harian pada perusahaan yang terdaftar dalam indeks LQ-45 periode 1 Agustus
2011 sampai 27 Juni 2012. Data saham tersebut merupakan data sekunder yang
diperoleh dari terbitan historical price pada yahoofinance. Tabel 4.1 merupakan
perusahaan yang terdaftar dalam Indeks LQ-45.
Tabel 4.1 Perusahaan yang terdaftar dalam Indeks LQ-45
No Nama Emiten LQ45 Kode No Nama Emiten LQ45 Kode
8 PT Bank Negara Indonesia BBNI 31 PT Kawasan Industri Jababeka KIJA
9 PT Bank Rakyat Indonesia BBRI 32 PT Kalbe Farma KLBF
10 PT Bank Tabungan Negara BBTN 33 PT Krakatau Steel KRAS
11 PT Bank Danamon Indonesia BDMN 34 PT Lippo Karawaci LPKR
12 PT Bank Mandiri BMRI 35 PT PP London Sumatra Indonesia LSIP
13 PT Bakrie & Brothers BNBR 36 PT Perusahaan Gas Negara PGAS
14 PT Borneo Lumbung Energi & Metal BORN 37 PT Tambang Batubara Bukit Asam PTBA
15 PT Bumi Resources BUMI 38 PT Salim Ivomas Pratama SIMP
16 PT Charoen Pokphand Indonesia CPIN 39 PT Semen Gresik SMGR
17 PT Delta Dunia Makmur DOID 40 PT Timah TINS
18 PT Bakrieland Development ELTY 41 PT Telekomunikasi Indonesia TLKM
19 PT Energi Mega Persada ENRG 42 PT Trada Maritime TRAM
Langkah awal dalam menganalisis saham perlu dilakukan uji asumsi
kenormalan data return dari masing masing aset tunggalnya. Nilai return
dihitung berdasarkan persamaan (2.5). Selanjutnya seluruh data dari masing
masing aset yang telah dihitung nilai return dilakukan uji Kolmogorov-Smirnov
untuk mengetahui apakah data return saham berdistribusi normal. Berikut adalah
langkah uji normalitas
commit to user
28 2.
3. Daerah Kritis : Ho ditolak apabila nilai p-value < 0.05
4. Statistik Uji
Hasil uji Kolmogorov-Smirnov ditampilkan dalam tabel 4.2
Tabel 4.2 Hasil Uji Kenormalan dengan Kolmogorov-Smirnov
Perusahaan Jumlah Data
*nilai sig (2-tailed) > 0,05 sehingga return ketiga saham berdistribusi normal.
Hasil uji normalitas untuk keseluruhan aset terdapat pada Lampiran 1.
Untuk mendapatkan portofolio yang optimal diperlukan asumsi bahwa aset
berdistribusi normal dan memiliki standar deviasi terkecil dari keseluruhan saham.
Dipilih 4 perusahaan yang memiliki data saham sesuai dengan criteria, sehingga
hanya AALI, GGRM, SMGR, dan UNVR yang akan dipakai dalam perhitungan
portofolio optimal. Gambar 4.1 memperlihatkan bahwa keempat saham memiliki
pola seimbang pada kurva yang terbentuk, sehingga dikatakan berdistribusi
commit to user
29
Gambar 4.1 Histogram Return Saham Terpilih
Sedangkan Gambar 4.2 memperlihatkan pergerakan return dari saham
perusahaan terpilih. Terlihat bahwa fluktuasi harga saham mengalami pasang
surut. Penyebab ketidakpastian return yang didapatkan dalam jangka waktu
pengujian dipicu oleh reaksi pasar yang berlebihan terhadap informasi informasi
commit to user
30
Gambar 4.2 Plot Pergerakan Harga Saham Terpilih
4.3.3 Penerapan Model Black-Litterman pada Data
Berdasarkan persamaan (4.8) untuk menghitung bobot portofolio pada
masing masing saham perlu diidentifikasi elemen elemen yang ada. Langkah
awal dalam perhitungan bobot portofolio dengan model Black-Litterman adalah
menentukan excess return dari masing masing aset terpilih. Excess return
merupakan besarnya nilai return yang dmutlakkan, kemudian disusun matriks
varian kovarian Melalui bantuan software berikut adalah hasil perhitungan
Tabel 4.3 Varian Kovarian dari Aset Terpilih
AALI GGRM SMGR UNVR
AALI 0.2771 0.0271 0.0610 0.0364
GGRM 0.0271 0.2142 0.0326 0.0438
SMGR 0.0610 0.0326 0.2175 0.0323
UNVR 0.0364 0.0438 0.0323 0.2039
Berdasarkan hasil dari perhitungan (matriks varian kovarian), ditentukan
commit to user
31
sifatnya relatif. Penentuan nilai views untuk saham yang berfluktuasi stabil
(normal) dapat diberikan nilai kisaran views sebesar 0% - 2%, artinya jika
diberikan nilai 0% maka dugaan investor adalah saham pada aset tersebut akan
menghasilkan nilai return yang sama dengan perhitungan berdasarkan data
historisnya saja. Sementara jika investor memberikan pandangan lebih dari 0%
sampai dengan 1% diduga bahwa saham pada aset tersebut akan memberikan
hasil dengan selisih sesuai persentase yang diberikan. Tabel 4.4 merupakan matrix
views yang telah ditentukan
Tabel 4.4 Matrix views dari aset terpilih
Views Q AALI GGRM SMGR UNVR
1 0.001 0 0 0 1
2 0.005 1 0 -1 0
3 0.002 0 -1 0 0
4 0 1 0 0 0
Matriks Q merupakan views relatif yang diasumsikan sebagai dugaan investor, nilai selanjutnya adalah link-matrix yang merupakan matrix konektor
untuk melakukan perhitungan. Diberikan persamaan (4.9) untuk pembobotan
model Black-Litterman,
Nilai koefisien risiko averse ( ) ditentukan sebesar 2.5 sebagai nilai toleransi
dunia terhadap risiko investasi (Mankert, 2006). Sehingga dengan bantuan
software didapatkan besarnya bobot untuk masing masing aset saham yang
terpilih sebagai berikut
Tabel 4.5 Nilai pembobotan Portofolio dengan Black-Litterman
AALI 0.2135
GGRM 0.1484
SMGR 0.4165
UNVR 0.2216
TOTAL 1
Berdasarkan perhitungan didapatkan hasil persentase proporsi portofolio
dari masing masing aset sebagai berikut untuk AALI sebesar 21.35%, GGRM
commit to user
32
Sebagai pembanding hasil perhitungan digunakan nilai pembobotan dari
data historis, dengan bantuan software diperoleh
Tabel 4.6. Nilai Pembobotan Portofolio dengan Data Historis
AALI 0.1849
GGRM 0.2587
SMGR 0.2961
UNVR 0.2603
TOTAL 1
Sebagai ilustrasi, investor memiliki 10000 lembar saham (20 lot) akan
dibandingkan besarnya return yang diperoleh dengan kedua nilai pembobotan
Tabel 4.7. Perbandingan Pembobotan Portofolio
AALI 0.00034326 0.634695 0.732869 GGRM -0.00094374 -2.44148 -1.40052 SMGR -0.00124944 -3.33848 -4.69597 UNVR -0.00192725 -5.01666 -4.27081 -10.1619 -9.63443
Berdasarkan Tabel 5 dapat terlihat bahwa dengan menggunakan model
Black-Litterman besarnya jumlahan dari lebih kecil dibandingkan . Nilai
-9.63443 artinya risiko yang akan ditanggung oleh investor yang memiliki 20 lot
saham sebesar 9.63443% dari total keseluruhan saham. Nilai -10.1619 artinya
commit to user
33
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa
1. Rumusan untuk pembobotan saham dengan model Black-Litterman adalah
dengan
2. Portofolio optimal dari saham yang terdaftar pada indeks LQ-45 terdiri dari 4 perusahaan memiliki presentase masing masing yaitu untuk PT Astra Agro
Lestari sebesar 21.35%, PT Gudang Garam sebesar 14.84%, PT Semen
Gresik sebesar 41.65%, dan PT Unilever Indonesia sebesar 22.16%,
pembobotan dengan model Black-Litterman memberikan hasil portofolio
yang lebih optimal dengan risiko yang lebih kecil dibandingkan dengan
pembobotan melalui perhitungan data historisnya saja.
5.2 Saran
Bagi para pembaca yang tertarik dengan tema pengoptimalan portofolio,
dalam penelitian lebih lanjut dapat menerapkan model Black-Litterman pada
