Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
17
(2005), 347–357
Complexity of Hartman sequences
par
Christian STEINEDER
et
Reinhard WINKLER
R´esum´e. Soit T : x 7→ x+g une translation ergodique sur un
groupe ab´elien compact C et soit M une partie de C dont la fronti`ere est de measure de Haar nulle. La suite binaire infinie
a :Z 7→ {0,1} d´efinie par a(k) = 1 si Tk(0C) ∈M et a(k) = 0
sinon, est dite de Hartman. Notons Pa(n) le nombre de mots
binaires de longueurnqui apparaissent dans la suiteavue comme
un mot bi-infini. Cet article ´etudie la vitesse de croissance de
Pa(n). Celle-ci est toujours sous-exponentielle et ce r´esultat est
optimal. Dans le cas o`uT est une translation ergodiquex7→x+α
(α = (α1, . . . , αs)) sur Ts et M un parall´elotope rectangle pour
lequel la longueur duj-`eme cot´eρj n’est pas dansαjZ+Zpour
toutj= 1, . . . , s, on obtient limnPa(n)/ns= 2sQsj=1ρ s−1
j .
Abstract. LetT : x7→x+g be an ergodic translation on the
compact groupC andM ⊆C a continuity set, i.e. a subset with topological boundary of Haar measure 0. An infinite binary se-quence a : Z 7→ {0,1} defined by a(k) = 1 if Tk(0C) ∈ M and a(k) = 0 otherwise, is called a Hartman sequence. This paper
studies the growth rate ofPa(n), where Pa(n) denotes the
num-ber of binary words of lengthn∈N occurring ina. The growth
rate is always subexponential and this result is optimal. IfT is an ergodic translationx7→x+α(α= (α1, . . . , αs)) onTsandM is
a box with side lengthsρj not equal αjZ+Zfor allj= 1, . . . , s,
we show that limnPa(n)/ns= 2sQsj=1ρsj−1.
ChristianSteineder
Technische Universit¨at Wien
Institut f¨ur Diskrete Mathematik und Geometrie Wiedner Hauptstraße 8-10
1040 Vienne, Autriche
E-mail:[email protected]
ReinhardWinkler
Technische Universit¨at Wien
Institut f¨ur Diskrete Mathematik und Geometrie Wiedner Hauptstraße 8-10
1040 Vienne, Autriche
