Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
18
(2006), 471–476
Small exponent point groups on elliptic curves
par
Florian LUCA, James MCKEE
et
Igor E. SHPARLINSKI
R´esum´e. Soit E une courbe elliptique d´efinie sur Fq, le corps fini `a q ´el´ements. Nous montrons que pour une constante η >0
d´ependant seulement de q, il existe une infinit´e d’entiers
posi-tifs n tels que l’exposant de E(Fqn), le groupe des points Fqn-rationnels sur E, est au plus qnexp
−nη/log logn
. Il s’agit d’un analogue d’un r´esultat de R. Schoof sur l’exposant du groupe E(Fp) des pointsFp-rationnels, lorsqu’une courbe elliptique fix´ee Eest d´efinie surQet le nombre premierptend vers l’infini.
Abstract. LetEbe an elliptic curve defined overFq, the finite field ofqelements. We show that for some constantη >0
depend-ing only on q, there are infinitely many positive integers n such
that the exponent ofE(Fqn), the group ofF
qn-rational points on
E, is at mostqnexp −nη/log logn
. This is an analogue of a result of R. Schoof on the exponent of the groupE(Fp) of Fp-rational points, when a fixed elliptic curve E is defined over Q and the primeptends to infinity.
FlorianLuca
Instituto de Matem´aticas
Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico C.P. 58089, Morelia, Michoac´an, M´exico
E-mail:[email protected]
JamesMcKee
Department of Mathematics
Royal Holloway, University of London Egham, Surrey, TW20 0EX, UK
E-mail:[email protected]
Igor E.Shparlinski
Department of Computing Macquarie University Sydney, NSW 2109, Australia
E-mail:[email protected]
