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Journal de Th´

eorie des Nombres

de Bordeaux

18

_{(2006), 471–476}

Small exponent point groups on elliptic curves

par

Florian LUCA, James MCKEE

et

Igor E. SHPARLINSKI

R´esum´e. Soit E _{une courbe elliptique d´efinie sur Fq, le corps} fini `a q ´el´ements. Nous montrons que pour une constante η >0

d´ependant seulement de q, il existe une infinit´e d’entiers

posi-tifs n tels que l’exposant de E₍Fqn), le groupe des points Fqn-rationnels sur E, est au plus qnexp

−nη/log logn

. Il s’agit d’un analogue d’un r´esultat de R. Schoof sur l’exposant du groupe E₍Fp) des pointsFp-rationnels, lorsqu’une courbe elliptique fix´ee E_{est d´efinie sur}Qet le nombre premierptend vers l’infini.

Abstract. LetE_{be an elliptic curve defined overFq, the finite} field ofqelements. We show that for some constantη >0

depend-ing only on q, there are infinitely many positive integers n such

that the exponent ofE_(Fqn), the group ofF

qn-rational points on

E_{, is at mostq}n_{exp −n}η/log logn

. This is an analogue of a result of R. Schoof on the exponent of the groupE_{(Fp) of Fp-rational} points, when a fixed elliptic curve E _{is defined over Q and the} primeptends to infinity.

FlorianLuca

Instituto de Matem´aticas

Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico C.P. 58089, Morelia, Michoac´an, M´exico

E-mail:fluca@matmor.unam.mx

JamesMcKee

Department of Mathematics

Royal Holloway, University of London Egham, Surrey, TW20 0EX, UK

E-mail_{:james.mckee@rhul.ac.uk}

Igor E.Shparlinski

Department of Computing Macquarie University Sydney, NSW 2109, Australia

E-mail_{:igor@ics.mq.edu.au}