Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
17
(2005), 237–269
On a generalization of the
Selection Theorem of Mahler
par
Gilbert MURAZ
et
Jean-Louis VERGER-GAUGRY
R´esum´e. On montre que l’ensembleU Drdes ensembles de points deRn, n≥1, qui ont la propri´et´e que leur distance interpoint
min-imale est plus grande qu’une constante strictement positiver >0 donn´ee est muni d’une m´etrique pour lequel il est compact et tel que la m´etrique de Hausdorff sur le sous-ensembleU Dr,f ⊂ U Dr
des ensembles de points finis est compatible avec la restriction de cette topologie `a U Dr,f. Nous montrons que ses ensembles
de Delaunay (Delone) de constantes donn´ees dans Rn, n ≥ 1, sont compacts. Trois (classes de) m´etriques, dont l’une de na-ture cristallographique, n´ecessitant un point base dans l’espace ambiant, sont donn´ees avec leurs propri´et´es, pour lesquelles nous montrons qu’elles sont topologiquement ´equivalentes. On prouve que le processus d’enl`evement de points est uniform´ement continu `a l’infini. Nous montrons que ce Th´eor`eme de compacit´e implique le Th´eor`eme classique de S´election de Mahler. Nous discutons la g´en´eralisation de ce r´esultat `a des espaces ambiants autres que Rn. L’espaceU D
r est l’espace des empilements de sph`eres ´egales
de rayonr/2.
Abstract. The set U Dr of point sets ofRn, n ≥1, having the
property that their minimal interpoint distance is greater than a given strictly positive constantr > 0 is shown to be equippable by a metric for which it is a compact topological space and such that the Hausdorff metric on the subsetU Dr,f ⊂ U Drof the finite
point sets is compatible with the restriction of this topology to U Dr,f. We show that its subsets of Delone sets of given constants
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other thanRn. The spaceU D
ris the space of equal sphere
pack-ings of radiusr/2.
GilbertMuraz& Jean-LouisVerger-Gaugry
Institut Fourier - CNRS UMR 5582 Universit´e de Grenoble I
BP 74 - Domaine Universitaire 38402 Saint Martin d’H`eres, France E-mail:[email protected]
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