MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL
ELEKTROKARDIOGRAM DENGAN INTERVAL
DENYUT BERDISTRIBUSI GAMMA
Suryasatriya Trihandaru
Program Studi Fisika (Medis) Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga
ABSTRAK
Model matematika denyut jantung atau elektrokardiogram biasanya berupa berupa sistem (tiga baris) persamaan diferensial biasa orde satu. Dari model tersebut dibuat model yang lebih sederhana, yaitu hanya mengandung sebuah persamaan diferensial orde satu. Model ini diselesaikan dengan metoda numerik, yaitu Runge Kutta. Interval denyut jantung yang berdistribusi gamma dapat dipasang pada model dengan cara mengubah nilai perioda untuk satu perioda gelombang berikutnya. Hasil simulasi dianalisis kembali distribusinya, dan menghasilkan interval denyut jantung dengan distribusi yang mirip. Dengan demikian model dinamika yang hanya berupa sebuah persamaan diferensial orde satu ini bisa merepresentasikan dinamika jantung yang real.
Kata-kata kunci:elektrokardiogram, pemodelan matematika, persamaan diferensial, Runge Kutta
PENDAHULUAN
Sinyal elektrokardiogram (EKG) adalah sinyal yang menggambarkan aliran arus ionik yang menyebabkan jantung berkontraksi dan berelaksasi. Sinyal EKG diperoleh dengan merekam perbedaan potensial antara beberapa elektroda yang diletakkan di kulit manusia. Sebuah perioda normal EKG terdiri dari puncak-puncak yang biasanya dilambangkan dengan huruf P, Q, R, S dan T. Dalam satu perioda ini terdapat peristiwa depolarisasi/repolarisasi dari atrium dan ventrikel.
EKG berkaitan erat dengan dunia kedokteran, karena informasi tentang penyakit yang diderita pasien salah satunya bisa diperlihatkan dari bentuk sinyal EKG. Usaha-usaha yang dikembangkan untuk membantu dokter untuk mendiagnosa pasien melalui EKG tidak hanya menjadi ranah kedokteran, namun juga merambah ke disiplin ilmu lain, misalnya disiplin teknik elektonika dan matematika. Di samping masalah akuisisi data EKG yang biasanya mengandung banyak derau sehingga analisa datanya memerlukan berbagai metoda, pemodelan matematika EKG juga
penting. Salah satu model EKG sintesis yang sangat mendekati bentuk nyata EKG adalah yang diberikan oleh McSharry dkk [1], yang bentuknya berupa sistem tiga persamaan diferensial biasa. Dalam makalah ini bagian atraktor (dua persamaan) ditiadakan, dan diganti suatu fungsi, sehingga dinamikanya hanya dihasilkan dari sebuah persamaan diferensial. Walaupun tidak mengandung atraktor dalam bentuk persamaan diferensial, dinamika model EKG diperkaya dengan cara memperkenalkan perioda yang bergantung waktu secarapiecewise continue, yang variasinya mengikuti distribusi gamma.
TINJAUAN PUSTAKA
Gambar 1. Profil satu siklus EKG. Arti dan batas-batas normal diberikan di makalah.
Dalam bukunya [2], Soetopo menjelaskan arti penting bagian-bagian EKG yang simbolnya dapat dilihat pada Gb 1. Gelombang Pmenggambarkan aktivitas depolarisasi atria. Gelombang Q menggambarkan awal dari fase depolarisasi ventrikel. Gelombang R dan S menggambarkan fase depolarisasi ventrikel, GelombangQ,RdanS secara bersama disebut sebagai kompleks QRS. Gelombang T menggambarkan repolarisasi ventrikel. Selain gelombang P, Q, R, S dan T masih ada gelombang Ta yang menggambarkan
proses repolarisasi atria, namun terlalu kecil dan tertutup oleh kompleks QRS. Gelombang U ada setelahTnamun juga kecil. Beberapa nilai interval untuk manusia normal dalam detik ditampilkan padaTabel 1berikut ini.
Tabel 1. Nilai-nilai normal interval EKG Interval Batas normal
(detik)
Keterangan
PR 0,12-0,20
Tergantung usia dan siklus jantung (RR)
QRS <0,12
SegmenST 0,07-0,14
QT Lihat Tabel 2
Interval QT lebih sering digunakan untuk interpretasi medis dibanding RR [3]. Biasanya yang dijadikan acuan adalah intervalQTterkoreksi QTc yang diberikan oleh rumus Bazzet, yaitu
RR QT
QTc / . Nilai normal untuk QTc
diberikan [3] padaTabel 2.
Tabel 2. NilaiQTcyang direkomendasikan
untuk mendiagnosaQTcpanjang
Katagori 1-15 tahun (detik) Normal < 0,44 < 0,43 < 0,45
Batas 0,44-0,46 0,43-0,45 0,45-0,47
Panjang > 0,46 > 0,45 > 0,47
Ditunjukkan juga pada [3] bahwa hubungan RR dan QT cukup linear. Di makalah [3] tersebut dibedakan antara normal dan tidak abnormal hanya dengan melihatTabel 1. Abnormal jikaQTc
masuk dalam katagori panjang.
Dinamika sinyal EKG sintesis dimodelkan oleh McSharyy dkk [1], yang bentuknya terdiri dari tiga persamaan diferensial biasa, yaitu
, , , , exp 2 ( 0) Kecepatan sudut diberikan oleh ω dan fungsi kurva dasarz0merupakan efek pernafasan dengan
frekuensifyang berbentuk ) membentuk trayektori yang mengitari sebuah atraktor dengan jari-jari x,y. Dalam satu siklus dimodelkan sinyal elektrokardiogram yang berbentuk standar PQRST oleh bagian ketiga (z).
(a)
(b)
(c)
Gambar 2. Simulasi Runge Kutta dari Persamaan (1). (a) adalah bentuk trayektori bagian kesatu dan kedua; (b) adalah kurva (x,y,z); (c) adalah represntasi EKG sintesis.
PEMODELAN MATEMATIKA
Dari bentuk trayektori atraktor yang berupa spiral dan mengarah pada bentuk lingkaran (Gambar 2(a)), maka di sini diasumsikan bentuk atraktor yang sederhana, yaitu lingkaran berjari-jari 1 yang bisa diwakili dengan persamaan lingkaran sebagai berikut maka θberbentuk fungsi gigi gergaji seperti pada Gambar 3.
Gambar 3. Kurva (t,θ) denganθ arctan2(y,x),x
dany diberikan oleh Persamaan (2) dan (3).
Bentuk fungsi gigi gergaji seperti pada Gb 2 dapat ditulis dengan cara lain, di sini ditulis secara
π π ω
θ(t)( t)mod(2 ) (4)
Jadi, dengan atraktor berupa lingkaran dan fungsi gigi gergaji (4) maka diperoleh model persamaan diferensial EKG yang terdiri dari sebuah persamaan diferensial saja, yaitu
Selanjutnya, agar model yang sederhana ini tetap melibatkan atraktor yang dinamis maka diperkenalkan frekuensi sudut yang bervariasi terhadap waktu. Jadi, walaupun atraktor sudah diubah menjadi lingkaran berjari-jari satu, namun
waktu untuk menempuh lingkaran tersebut bisa berubah. Untuk itu diperkenalkan variasi intervalτ yang mempunyai distribusi gamma [4], dan nilainya dibuat kontinyu patah-patah (piecewise continue), tentunya gagasan ini bisa dikembangkan untuk parameter lain. Nilai ω diberikan oleh
τ π
ω 2 (6)
dengan interval τ yang mempunyai distribusi
gamma sebagai berikut
)
Pada tahap implementasi, nilai τ adalah konstan sepanjang satu perioda. Pada perioda berikutnya nilaiτberubah mengikuti distribusi gamma namun konstan sepanjang satu perioda. Demikian seterusnya sampai sampai diperoleh banyak perioda. Setelah beberapa periode diperoleh (dalam simulasi ini adalah 1000) kemudian dihitung intervalRRyang disebut sebagai interval denyut jantung. PerbedaaanτdanRRdapat dilihat padaGambar 2(c).
Metoda solusi Persamaan (5) adalah dengan Runge Kutta orde empat. Pada t=0, diambil nilai awal z=0, pada saat pergantian perioda nilai z dibuat kontinyu.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada simulasi digunakan parameter yang konstan nilainya seperti padaTabel 3.
Tabel 3. Parameter untuk Persamaan (5)
i P Q R S T
ai 10 -40 800 -40 10
bi 0,15 0,06 0,06 0,06 0,18
θi -2,513 -1,257 -0,943 -0,628 1,257
Interval τ mempunyai parameter input gamma (a;b)=(154; 0,006), dan sebarannya dapat dilihat pada histogramGambar 4(a). Hasil simulasi z(t) dapat dilihat pada Gambar 5, yang hanya memperlihatkan 20 perioda dari 1000 perioda yang disimulasikan. Setelah simulasi, intervalRR dihitung dan dicocokkan dengan distribusi gamma
dan ternyata parameternya menjadi (a;b)=(295; 0,003). Amplitudo R juga bervariasi dengan distribusi gamma (a;b)=(148; 0,006), lihat Gambar 6.
Gambar 4. Histogram nilai intervalRR. (a) Data inputRRdengana=154 danb=0.006. (b) SebaranRRsetelah simulasi, dihasilkan
a=295 danb=0,003.
Gambar 5. Hasil simulasi Persamaan (5) denganTabel 3dan parameter gamma
(a;b)=(154; 0,006).
Gambar 6. Sebaran amplitudoRsetelah simulasi, menghasilkan distribusi gamma
dengan (a;b)=(148; 0,006).
KESIMPULAN
Telah dipaparkan pemodelan matematika EKG yang hanya terdiri dari sebuah persamaan diferensial biasa orde satu yang diperkaya dengan memvariasi perioda siklus EKG sesuai dengan distribusi gamma. Juga dipaparkan hasil-hasil numerik berupa sinyal sintesis EKG, sebaran interval RR dan sebaran amplitudo R. Semoga paparan ini berguna untuk pengembangan sains.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Patrick E. McSharry, Gari Clifford, Lionel Tarassenko and Leonard A. Smith. A dynamical model for generating synthetic electrocardiogram signals. IEEE Transaction on Biomedical Engineering,Vol. 50, No. 3. March 2003.
[2] Soetopo Widjaja. 1990.EKG Praktis. Binarupa Aksara, PO BOX 69, Grogol, Jakarta Barat, Indonesia.
[3] Ilan Goldenberg, M.D., Arthur J. Moss, M.D., And Wojciech Zareba, M.D., Ph.D. QT Interval:
How to Measure It and What Is “Normal”.Journal
of Cardiovascular Electrophysiology,Vol.17, No. 3, March 2006.Page 333-356.
MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL
ELEKTROKARDIOGRAM DENGAN INTERVAL
DENYUT BERDISTRIBUSI GAMMA
Suryasatriya Trihandaru
Program Studi Fisika (Medis) Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga
ABSTRAK
Model matematika denyut jantung atau elektrokardiogram biasanya berupa berupa sistem (tiga baris) persamaan diferensial biasa orde satu. Dari model tersebut dibuat model yang lebih sederhana, yaitu hanya mengandung sebuah persamaan diferensial orde satu. Model ini diselesaikan dengan metoda numerik, yaitu Runge Kutta. Interval denyut jantung yang berdistribusi gamma dapat dipasang pada model dengan cara mengubah nilai perioda untuk satu perioda gelombang berikutnya. Hasil simulasi dianalisis kembali distribusinya, dan menghasilkan interval denyut jantung dengan distribusi yang mirip. Dengan demikian model dinamika yang hanya berupa sebuah persamaan diferensial orde satu ini bisa merepresentasikan dinamika jantung yang real.
Kata-kata kunci:elektrokardiogram, pemodelan matematika, persamaan diferensial, Runge Kutta
PENDAHULUAN
Sinyal elektrokardiogram (EKG) adalah sinyal yang menggambarkan aliran arus ionik yang menyebabkan jantung berkontraksi dan berelaksasi. Sinyal EKG diperoleh dengan merekam perbedaan potensial antara beberapa elektroda yang diletakkan di kulit manusia. Sebuah perioda normal EKG terdiri dari puncak-puncak yang biasanya dilambangkan dengan huruf P, Q, R, S dan T. Dalam satu perioda ini terdapat peristiwa depolarisasi/repolarisasi dari atrium dan ventrikel.
EKG berkaitan erat dengan dunia kedokteran, karena informasi tentang penyakit yang diderita pasien salah satunya bisa diperlihatkan dari bentuk sinyal EKG. Usaha-usaha yang dikembangkan untuk membantu dokter untuk mendiagnosa pasien melalui EKG tidak hanya menjadi ranah kedokteran, namun juga merambah ke disiplin ilmu lain, misalnya disiplin teknik elektonika dan matematika. Di samping masalah akuisisi data EKG yang biasanya mengandung banyak derau sehingga analisa datanya memerlukan berbagai metoda, pemodelan matematika EKG juga
penting. Salah satu model EKG sintesis yang sangat mendekati bentuk nyata EKG adalah yang diberikan oleh McSharry dkk [1], yang bentuknya berupa sistem tiga persamaan diferensial biasa. Dalam makalah ini bagian atraktor (dua persamaan) ditiadakan, dan diganti suatu fungsi, sehingga dinamikanya hanya dihasilkan dari sebuah persamaan diferensial. Walaupun tidak mengandung atraktor dalam bentuk persamaan diferensial, dinamika model EKG diperkaya dengan cara memperkenalkan perioda yang bergantung waktu secarapiecewise continue, yang variasinya mengikuti distribusi gamma.
TINJAUAN PUSTAKA
Gambar 1. Profil satu siklus EKG. Arti dan batas-batas normal diberikan di makalah.
Dalam bukunya [2], Soetopo menjelaskan arti penting bagian-bagian EKG yang simbolnya dapat dilihat pada Gb 1. Gelombang Pmenggambarkan aktivitas depolarisasi atria. Gelombang Q menggambarkan awal dari fase depolarisasi ventrikel. Gelombang R dan S menggambarkan fase depolarisasi ventrikel, GelombangQ,RdanS secara bersama disebut sebagai kompleks QRS. Gelombang T menggambarkan repolarisasi ventrikel. Selain gelombang P, Q, R, S dan T masih ada gelombang Ta yang menggambarkan
proses repolarisasi atria, namun terlalu kecil dan tertutup oleh kompleks QRS. Gelombang U ada setelahTnamun juga kecil. Beberapa nilai interval untuk manusia normal dalam detik ditampilkan padaTabel 1berikut ini.
Tabel 1. Nilai-nilai normal interval EKG Interval Batas normal
(detik)
Keterangan
PR 0,12-0,20
Tergantung usia dan siklus jantung (RR)
QRS <0,12
SegmenST 0,07-0,14
QT Lihat Tabel 2
Interval QT lebih sering digunakan untuk interpretasi medis dibanding RR [3]. Biasanya yang dijadikan acuan adalah intervalQTterkoreksi QTc yang diberikan oleh rumus Bazzet, yaitu
RR QT
QTc / . Nilai normal untuk QTc
diberikan [3] padaTabel 2.
Tabel 2. NilaiQTcyang direkomendasikan
untuk mendiagnosaQTcpanjang
Katagori 1-15 tahun (detik) Normal < 0,44 < 0,43 < 0,45
Batas 0,44-0,46 0,43-0,45 0,45-0,47
Panjang > 0,46 > 0,45 > 0,47
Ditunjukkan juga pada [3] bahwa hubungan RR dan QT cukup linear. Di makalah [3] tersebut dibedakan antara normal dan tidak abnormal hanya dengan melihatTabel 1. Abnormal jikaQTc
masuk dalam katagori panjang.
Dinamika sinyal EKG sintesis dimodelkan oleh McSharyy dkk [1], yang bentuknya terdiri dari tiga persamaan diferensial biasa, yaitu
, , , , exp 2 ( 0) Kecepatan sudut diberikan oleh ω dan fungsi kurva dasarz0merupakan efek pernafasan dengan
frekuensifyang berbentuk ) membentuk trayektori yang mengitari sebuah atraktor dengan jari-jari x,y. Dalam satu siklus dimodelkan sinyal elektrokardiogram yang berbentuk standar PQRST oleh bagian ketiga (z).
(a)
(b)
(c)
Gambar 2. Simulasi Runge Kutta dari Persamaan (1). (a) adalah bentuk trayektori bagian kesatu dan kedua; (b) adalah kurva (x,y,z); (c) adalah represntasi EKG sintesis.
PEMODELAN MATEMATIKA
Dari bentuk trayektori atraktor yang berupa spiral dan mengarah pada bentuk lingkaran (Gambar 2(a)), maka di sini diasumsikan bentuk atraktor yang sederhana, yaitu lingkaran berjari-jari 1 yang bisa diwakili dengan persamaan lingkaran sebagai berikut maka θberbentuk fungsi gigi gergaji seperti pada Gambar 3.
Gambar 3. Kurva (t,θ) denganθ arctan2(y,x),x
dany diberikan oleh Persamaan (2) dan (3).
Bentuk fungsi gigi gergaji seperti pada Gb 2 dapat ditulis dengan cara lain, di sini ditulis secara
π π ω
θ(t)( t)mod(2 ) (4)
Jadi, dengan atraktor berupa lingkaran dan fungsi gigi gergaji (4) maka diperoleh model persamaan diferensial EKG yang terdiri dari sebuah persamaan diferensial saja, yaitu
Selanjutnya, agar model yang sederhana ini tetap melibatkan atraktor yang dinamis maka diperkenalkan frekuensi sudut yang bervariasi terhadap waktu. Jadi, walaupun atraktor sudah diubah menjadi lingkaran berjari-jari satu, namun
waktu untuk menempuh lingkaran tersebut bisa berubah. Untuk itu diperkenalkan variasi intervalτ yang mempunyai distribusi gamma [4], dan nilainya dibuat kontinyu patah-patah (piecewise continue), tentunya gagasan ini bisa dikembangkan untuk parameter lain. Nilai ω diberikan oleh
τ π
ω 2 (6)
dengan interval τ yang mempunyai distribusi
gamma sebagai berikut
)
Pada tahap implementasi, nilai τ adalah konstan sepanjang satu perioda. Pada perioda berikutnya nilaiτberubah mengikuti distribusi gamma namun konstan sepanjang satu perioda. Demikian seterusnya sampai sampai diperoleh banyak perioda. Setelah beberapa periode diperoleh (dalam simulasi ini adalah 1000) kemudian dihitung intervalRRyang disebut sebagai interval denyut jantung. PerbedaaanτdanRRdapat dilihat padaGambar 2(c).
Metoda solusi Persamaan (5) adalah dengan Runge Kutta orde empat. Pada t=0, diambil nilai awal z=0, pada saat pergantian perioda nilai z dibuat kontinyu.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada simulasi digunakan parameter yang konstan nilainya seperti padaTabel 3.
Tabel 3. Parameter untuk Persamaan (5)
i P Q R S T
ai 10 -40 800 -40 10
bi 0,15 0,06 0,06 0,06 0,18
θi -2,513 -1,257 -0,943 -0,628 1,257
Interval τ mempunyai parameter input gamma (a;b)=(154; 0,006), dan sebarannya dapat dilihat pada histogramGambar 4(a). Hasil simulasi z(t) dapat dilihat pada Gambar 5, yang hanya memperlihatkan 20 perioda dari 1000 perioda yang disimulasikan. Setelah simulasi, intervalRR dihitung dan dicocokkan dengan distribusi gamma
dan ternyata parameternya menjadi (a;b)=(295; 0,003). Amplitudo R juga bervariasi dengan distribusi gamma (a;b)=(148; 0,006), lihat Gambar 6.
Gambar 4. Histogram nilai intervalRR. (a) Data inputRRdengana=154 danb=0.006. (b) SebaranRRsetelah simulasi, dihasilkan
a=295 danb=0,003.
Gambar 5. Hasil simulasi Persamaan (5) denganTabel 3dan parameter gamma
(a;b)=(154; 0,006).
Gambar 6. Sebaran amplitudoRsetelah simulasi, menghasilkan distribusi gamma
dengan (a;b)=(148; 0,006).
KESIMPULAN
Telah dipaparkan pemodelan matematika EKG yang hanya terdiri dari sebuah persamaan diferensial biasa orde satu yang diperkaya dengan memvariasi perioda siklus EKG sesuai dengan distribusi gamma. Juga dipaparkan hasil-hasil numerik berupa sinyal sintesis EKG, sebaran interval RR dan sebaran amplitudo R. Semoga paparan ini berguna untuk pengembangan sains.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Patrick E. McSharry, Gari Clifford, Lionel Tarassenko and Leonard A. Smith. A dynamical model for generating synthetic electrocardiogram signals. IEEE Transaction on Biomedical Engineering,Vol. 50, No. 3. March 2003.
[2] Soetopo Widjaja. 1990.EKG Praktis. Binarupa Aksara, PO BOX 69, Grogol, Jakarta Barat, Indonesia.
[3] Ilan Goldenberg, M.D., Arthur J. Moss, M.D., And Wojciech Zareba, M.D., Ph.D. QT Interval:
How to Measure It and What Is “Normal”.Journal
of Cardiovascular Electrophysiology,Vol.17, No. 3, March 2006.Page 333-356.
