Mariatul Kiftiah. JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak Jl. A Yani Pontianak ABSTRACT

(1)

23

EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN TITIK TETAP DARI PEMETAAN KANNAN DI RUANG MODULAR

(THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF A FIXED POINT FOR KANNAN MAPPING IN THE MODULAR SPACE)

Mariatul Kiftiah

JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak [email protected], Jl. A Yani Pontianak

ABSTRACT

Modulared space is a linear space 𝑋 that is equipped a modular- 𝜌. Defined a linear space 𝑋_𝜌 = 𝑥 ∈ 𝑋 𝜌 𝜆𝑥 < ∞, 𝑓𝑜𝑟 𝑠𝑜𝑚𝑒 𝜆 > 0 as defined in the metric space. In this paper, that is called a modular space. Next, defined a Kannan Mapping in the Modular Space. In fact, a modular Kannanmapping has a unique fixed point in the modular space if the domain of it is modular closed and modular bounded.

Keywords: fixed point, Kannan mapping, modular space

ABSTRAK

Ruang bermodular merupakan ruang linear 𝑿 yang dilengkapi dengan modular- 𝝆.

Didefinisikan suatu ruang linear𝑿_𝝆 = 𝒙 ∈ 𝑿 𝝆 𝝀𝒙 < ∞, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝜆 > 0 . Dalam artikel ini, ruang linear inidisebutdenganruang modular. Selanjutnya, didefinisikanpemetaan Kannan di Ruang Modular sebagaimana didefinisikan pada Ruang Metrik. Diperolehsyaratcukup yang harusdipenuhi agar pemetaan tersebutmemilikititiktetaptunggal, yaitu domain daripemetaantersebuttertutup modular dan terbatas modular.

Katakunci:titik tetap, pemetaan Kannan, ruang Modular

1. PENDAHULUAN

Lahirnya bermacam-macam teorema titik tetap bergantung pada sifat pemetaan yang didefinisikan dari suatu himpunan ke dirinya sendiri. Salah satu teorema yang terkenal adalah Teorema Titik Banach, yang pertama kali dikenalkan oleh Stefan Banach pada tahun 1922. Teorema tersebut memberikan syarat cukup untuk eksistensi dan ketunggalan titik tetap untuk suatu pemetaan kontraksi yang terdefinisi pada ruang metrik lengkap. Selanjutnya, pada tahun 1968, R. Kannan berhasil menggeneralisasi pemetaan kontraksi Banach, dan dinamakan dengan pemetaan Kannan. Dalam penelitiannya, eksistensi dan ketunggalan titik tetap untuk pemetaan Kanann yang didefinisikan di ruang metrik lengkap dibuktikan keberadaannya. Tidak hanya di ruang metrik, konsep titik tetap dapat juga dikembangkan di ruang modular. Pada artikel ini, didefinisikan pemetaan Kannan di Ruang Modular sebagaimana didefinisikan di ruang metrik.

(2)

24 2. METODE PENELITIAN

Secara khusus, tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.

Penelitian ini dilakukan dengan terlebih dahulu mengkaji konsep ruang modular yang meliputi definisi, barisan konvergen, himpunan tertutup dan terbatas modular. Selanjutnya didefinisikan konsep pemetaan Kannan di ruang modular sebagaimana didefinisikan di ruang metrik, dan diselidiki syarat cukup yang harus dipenuhi oleh pemetaan Kannan untuk menjamin eksistensi dan ketunggalan titik tetap di ruang modular lengkap. Dari syarat cukup tersebut, kemudian diformulasikan teorema titik tetap untuk pemetaan Kannan di ruang modular lengkap.

3. PEMBAHASAN

Definisi 1[1]Diberikan sebarang ruang linear Xatas lapangan ℝ. Suatu pemetaan𝜌 ∶ 𝑋 → [0, ∞] disebut modular pada 𝑋 jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 berlaku

(N1) 𝜌(𝑥) = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝜃 (N2) 𝜌(−𝑥) = 𝜌(𝑥)

(N3) 𝜌(𝛼𝑥 + 𝛽𝑦) ≤ 𝜌 (𝑥) + 𝜌 (𝑦) untuk 𝛼, 𝛽 ∈ [0,1] dengan 𝛼 + 𝛽 = 1

Selanjutnya, ruang linear 𝑋 yang dilengkapi dengan suatu modular 𝜌, disebut ruang bermodular dan dilambangkan dengan (𝑋, 𝜌).

Berikut ini merupakan beberapa sifat dalam ruang bermodular.

Teorema 2[1]Diberikan (𝑋, 𝜌) ruang bermodular.

(i) Jika𝑥₁, 𝑥₂, ⋯ , 𝑥_𝑛 ∈ 𝑋 dan 𝛼₁, 𝛼₂, ⋯ , 𝛼_𝑛 ∈ [0,1] sehingga



 n 

i i 1

 1, maka

𝜌 𝛼𝑖 𝑛

𝑖=1

𝑥𝑖 ≤ 𝜌 𝑥𝑖 𝑛

𝑖=1

(ii) Jika𝛼₁, 𝛼₂∈ ℝ sehingga0 ≤ 𝛼₁≤ 𝛼₂ maka untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 berlaku



₁x







₂x



 

(iii) Jika 𝜌 𝑥 < 𝜀 untuk setiap 𝜀 > 0 maka 𝑥 = 𝜃

Definisi 3[2] Diberikan ruang bermodular



X,



. Ruang linear

𝑋_𝜌 = 𝑥 ∈ 𝑋 𝜌 𝜆𝑥 < ∞, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝜆 > 0 disebut ruang linear yang dibangkitkan oleh modular 𝜌.

Dalam pembahasan selanjutnya, ruang linear ini disebut ruang modular 𝐗_𝛒.

(3)

25

Di bawah inimerupakankonsepbarisankonvergen modular, barisan Cauchy modular, himpunan tertutup modular dan himpunan terbatas modular.

Definisi 4[3]Diberikan ruang modular 𝑋_𝜌.

Barisan

 

x_n X_ dikatakan konvergen modular (konvergen−𝝆)ke xX_, ditulis dengan 



^xn ^^x



^⁰, untuk n, jika untuk setiap  0^adan₀ℕ sehingga untuk setiap nℕ dengannn₀ berlaku 



x_n x



 .

Lemma 5[2]Diberikan ruang modular 𝑋_𝜌. Jika𝑥 ∈ 𝑋_𝜌, 𝛼 > 0 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎𝑑𝑎 𝛽 ∈ ℕ sehingga

𝜌 𝛼𝑥 ≤ 𝛽𝜌 𝑥

Teorema 6[2]Diberikan ruang modular 𝑋_𝜌dan barisan 𝑥_𝑛 ⊂ 𝑋_𝜌. Barisan 𝑥_𝑛 konvergen−𝜌 ke 𝑥 𝜖 𝑋𝜌 jika dan hanya jika untuk setiap 𝛼 ∈ ℝ, barisan 𝛼𝑥𝑛 konvergen−𝜌 ke 𝛼𝑥 𝜖 𝑋_𝜌.

Definisi 7[2]Diberikan ruang modular 𝑋_𝜌. Barisan

 

x_n X_ disebut barisan Cauchy modular (barisan Cauchy- 𝝆), ditulis dengan 𝜌 𝑥_𝑚 − 𝑥_𝑛 → 0 , untuk 𝑚, 𝑛 → ∞, jika untuk setiap  0 ada n₀ℕ sehingga untuk setiap m,nℕ denganm,nn₀ berlaku

 



 x_mx_n  .

Teorema 8[2]Diberikan ruang modular 𝑋_𝜌. 𝑥_𝑛 ⊆ 𝑋_𝜌 barisan Cauchy−𝜌 jika dan hanya jika 𝛼𝑥_𝑛 ⊆ 𝑋_𝜌 barisan Cauchy−𝜌, untuk setiap 𝛼 ∈ ℝ.

Teorema 9[2]Diberikan ruang modular 𝑋𝜌 . Jika barisan 𝑥𝑛 ⊆ 𝑋_𝜌 konvergen−𝜌 maka 𝑥_𝑛 merupakan barisan Cauchy−𝜌.

Definisi 10[4]Ruang modular 𝑋_𝜌 dikatakan lengkap-𝝆 jika setiap barisan Cauchy-𝜌 di dalam ruang modular 𝑋_𝜌 bersifat konvergen-𝜌.

Selanjutnya, ruang modular 𝑋_𝜌 yang lengkap-𝜌 disebut ruang lengkap-𝝆.

Definisi11[4]Diberikan ruang modular 𝑋_𝜌 .

(i) HimpunanB X_disebuttertutup modular (tertutup-𝝆), jikasetiapbarisan

 

x_n B yang konvergen-𝜌kexX, berakibatxB.

(ii) HimpunanB X_ disebut terbatas modular (terbatas-𝝆), jika 𝛿_𝜌 𝐵 = 𝑠𝑢𝑝 𝜌 𝑥 − 𝑦 ; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵 < ∞

dengan_

 

B disebutdiameter-𝝆 dari 𝐵.

Definisi 12Diberikan ruang modular 𝑋_𝜌.Pemetaan𝑓: 𝑋_𝜌 → 𝑋_𝜌 disebut pemetaan Kannan- 𝝆 jika terdapat 𝛼 ∈ 0 , ¹

2 sehingga untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋_𝜌 berlaku

(4)

26

𝜌 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑦 ≤ 𝛼 𝜌 𝑥 − 𝑓(𝑥) + 𝜌 𝑦 − 𝑓(𝑦)

Lemma 13Diberikan himpunan 𝑋_𝜌 dan pemetaan 𝑓: 𝑋_𝜌 → 𝑋_𝜌. Jika 𝑓 memenuhi pemetaan kontraksi Kannan- 𝜌 maka untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋_𝜌, 𝑛 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } berlaku

𝜌 𝑓^𝑛+1 𝑥 − 𝑓^𝑛 𝑥 ≤ 𝛼 1 − 𝛼

𝑛

𝜌 𝑥 − 𝑓(𝑥)

Bukti.

Diambil sebarang 𝑥 ∈ 𝐵. Untuk setiap 𝑛 ∈ {0, 1, 2, ⋯ }didefinisikan barisan fungsi 𝑓^𝑛 𝑥 dengan

1. 𝑓⁰ 𝑥 = 𝑥;

2. 𝑓^𝑛+1 𝑥 = 𝑓 𝑓^𝑛 𝑥

Karena 𝑓 memenuhi pemetaan kontraksi Kannan- 𝜌 maka untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋_𝜌, 𝑛 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } berlaku

𝜌 𝑓^𝑛+1 𝑥 − 𝑓^𝑛 𝑥 ≤ 𝛼 𝜌 𝑓^𝑛 𝑥 − 𝑓^𝑛+1 𝑥 + 𝜌 𝑓^𝑛−1 𝑥 − 𝑓^𝑛 𝑥

≤ 𝛼 𝜌 𝑓^𝑛 𝑥 − 𝑓^𝑛+1 𝑥 + 𝛼 𝜌 𝑓^𝑛−1 𝑥 − 𝑓^𝑛 𝑥

⟺ 1 − 𝛼 𝜌 𝑓^𝑛+1 𝑥 − 𝑓^𝑛 𝑥 ≤ 𝛼 𝑓^𝑛−1 𝑥 − 𝑓^𝑛 𝑥 Berdasarkan ketaksamaan tersebut diperoleh

𝜌 𝑓^𝑛+1 𝑥 − 𝑓^𝑛 𝑥 ≤ 𝛼

1 − 𝛼 𝑓^𝑛−1 𝑥 − 𝑓^𝑛 𝑥

≤ 𝛼 1 − 𝛼

2

𝑓^𝑛−2 𝑥 − 𝑓^𝑛−1 𝑥

≤ 𝛼 1 − 𝛼

3

𝑓^𝑛−3 𝑥 − 𝑓^𝑛−2 𝑥

≤ ⋯

≤ 𝛼 1 − 𝛼

𝑛

𝜌 𝑥 − 𝑓(𝑥)

Teorema 13Diberikan himpunan 𝐵 ⊆ 𝑋_𝜌 dengan 𝑋_𝜌 ruang lengkap- 𝜌. Jika B tertutup-𝜌 dan terbatas-𝜌 serta 𝑓: 𝐵 → 𝐵 merupakan pemetaan kontraksi Kannan- 𝜌 maka 𝑓 mempunyai titik tetap tunggal.

Bukti.

Diambil sebarang 𝑥 ∈ 𝐵. Untuk setiap 𝑛 ∈ {0, 1, 2, ⋯ }didefinisikan 1. 𝑥_𝑛 = 𝑓^𝑛 𝑥

2. 𝑓⁰ 𝑥 = 𝑥; 𝑓^𝑛+1 𝑥 = 𝑓 𝑓^𝑛 𝑥

(5)

27

Akan ditunjukkan 𝑥_𝑛 ⊆ 𝐵 merupakan barisan Cauchy- 𝜌.

Karena 𝑓 memenuhi pemetaan kontraksi Kannan- 𝜌 maka menurut Lemma 12 untuk setiap 𝑛 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } berlaku

𝜌 𝑥_𝑛+1− 𝑥_𝑛 = 𝜌 𝑓^𝑛+1 𝑥 − 𝑓^𝑛 𝑥 ≤ 𝛼 1 − 𝛼

𝑛

𝜌 𝑥 − 𝑓 𝑥

Diambil sebarang 𝑚, 𝑛 ∈ {0, 1, 2, ⋯ }, diasumsikan 𝑚 > 𝑛, maka 𝑚 = 𝑛 + 𝑝, untuk suatu 𝑝 ∈ ℕ. Diperoleh,

𝜌 1

𝑝 𝑥_𝑚− 𝑥_𝑛 = 𝜌 1

𝑝 𝑥_𝑛+𝑝− 𝑥_𝑛

= 𝜌 1

𝑝 𝑥_𝑛+𝑝 − 𝑥_{𝑛+𝑝−1} +1

𝑝 𝑥_{𝑛+𝑝−1}− 𝑥_{𝑛+𝑝−2} + ⋯ +1

𝑝 𝑥_𝑛+1− 𝑥_𝑛

≤ 𝜌 𝑥_𝑛+𝑝 − 𝑥_{𝑛+𝑝−1} + 𝜌 𝑥_{𝑛+𝑝−1}− 𝑥_{𝑛+𝑝−2} + ⋯ + 𝜌 𝑥_𝑛+1− 𝑥_𝑛

= 𝜌 𝑓^𝑛+𝑝 𝑥 − 𝑓^{𝑛+𝑝−1} 𝑥 + 𝜌 𝑓^{𝑛+𝑝−1} 𝑥 − 𝑓^{𝑛+𝑝−2} 𝑥 + ⋯ +𝜌 𝑓^𝑛+1 𝑥 − 𝑓^𝑛 𝑥

≤ 𝛼 1 − 𝛼

𝑛+𝑝−1

+ 𝛼 1 − 𝛼

𝑛+𝑝−2

+ ⋯ + 𝛼 1 − 𝛼

𝑛

𝜌 𝑓 𝑥 − 𝑥

≤ 𝛼 1 − 𝛼

𝑛

1 + ⋯ + 𝛼^𝑝−2+ 𝛼^𝑝−1+ ⋯ 𝜌 𝑓 𝑥 − 𝑥

= 𝛼^𝑛

1 − 𝛼 ^𝑛+1𝜌 𝑓 𝑥 − 𝑥 ≤ 𝛼^𝑛

1 − 𝛼 ^𝑛+1𝛿_𝜌 𝐵

dengan 𝛿_𝜌 𝐵 = sup 𝜌 𝑓 𝑥 − 𝑥 ; 𝑥 ∈ 𝐵 . Karena 𝛼 ∈ (0,¹

2) maka _1−𝛼^𝛼^𝑛_{𝑛 +1}𝜌 𝑓 𝑥 − 𝑥 → 0, untuk 𝑛 → ∞. Hal ini berarti untuk setiap 𝜀 > 0 ada 𝑁 ∈ ℕ sehingga untuk setiap 𝑛 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } dengan 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku

𝛼^𝑛

1 − 𝛼 ^𝑛+1𝜌 𝑓 𝑥 − 𝑥 < 𝜀 Akibatnya

𝜌 1

𝑝 𝑥_𝑚 − 𝑥_𝑛 < 𝜀

(6)

28 Jadi, ¹

𝑝𝑥_𝑛 merupakan barisan Cauchy di dalam di dalam 𝐵 ⊆ 𝑋_𝜌. Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema 8 diperoleh 𝑥_𝑛 barisan Cauchy- 𝜌 di dalam 𝐵 ⊆ 𝑋_𝜌. Karena 𝑋_𝜌 merupakan ruang lengkap- 𝜌 maka ada 𝑢 ∈ 𝑋_𝜌 sehingga 𝑥_𝑛 konvergen−𝜌 ke 𝑢 ∈ 𝑋_𝜌. Karena 𝐵 tertutup-𝜌 maka 𝑢 ∈ 𝐵. Jadi, terdapat 𝑢 ∈ 𝐵 sehingga barisan {𝑥𝑛 } konvergen−𝜌 ke 𝑢 ∈ 𝐵. Artinya untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝑛₀∈ ℕ sehingga untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ dengan 𝑛 ≥ 𝑛0 berlaku 𝜌 𝑥𝑛− 𝑢 < 𝜀 2 .

Akan ditunjukkan bahwa 𝑢 merupakan titik tetap dari pemetaan𝑓.

Karena 𝑓pemetaanKannan−𝜌 maka diperoleh 𝜌 1

2 𝑢 − 𝑓 𝑢 = 𝜌 1

2 𝑢 − 𝑓^𝑛⁰⁺¹ 𝑢 +1

2 𝑓^𝑛⁰⁺¹− 𝑓 𝑢

≤ 𝜌 𝑢 − 𝑓^𝑛⁰⁺¹ 𝑢 + 𝛼 𝜌 𝑓^𝑛⁰ 𝑢 − 𝑓^𝑛⁰⁺¹ 𝑢 + 𝜌 𝑢 − 𝑓 𝑢

≤ 𝜌 𝑢 − 𝑓^𝑛⁰⁺¹ 𝑢 + 𝛼 𝛼 1 − 𝛼

𝑛₀

𝜌 𝑢 − 𝑓 𝑢 + 𝛼𝜌 𝑢 − 𝑓 𝑢

= 𝜌 𝑢 − 𝑓^𝑛⁰⁺¹ 𝑢 + 𝛼 1 + 𝛼 1 − 𝛼

𝑛₀

𝜌 𝑢 − 𝑓 𝑢 Karena 𝜌 ¹

2 𝑢 − 𝑓 𝑢 ≤ 𝜌 𝑢 − 𝑓 𝑢 maka diperoleh 𝜌 1

2 𝑢 − 𝑓 𝑢 ≤ 1 1 − 𝛼 1 + ^𝛼

1−𝛼

𝑛₀ 𝜌 𝑢 − 𝑓^𝑛⁰⁺¹ 𝑢

= 1

1 − 𝛼 1 + ^𝛼

1−𝛼

𝑛₀ 𝜌 𝑢 − 𝑥𝑛₀+1

< 1

1 − 𝛼 1 + ^𝛼

1−𝛼 𝑛₀ 𝜀

< 2 ∙ 𝜀 22 = 𝜀

Selanjutnya, menurut Teorema 2 (iii) diperoleh 1

2 𝑢 − 𝑓 𝑢 = 0 ⇔ 𝑢 − 𝑓 𝑢 = 0 ⇔ 𝑢 = 𝑓 𝑢 Dengan demikian, 𝑢 merupakan titik tetap 𝑓.

Selanjutnya, akanditunjukkantitiktetap𝑓tunggal.

Andaikanada𝑣 ∈ 𝑋_𝜌sehingga𝑓 𝑣 = 𝑣, makadiperoleh

𝜌 𝑢 − 𝑣 = 𝜌 𝑓 𝑢 − 𝑓 𝑣 ≤ 𝛼 𝜌 𝑢 − 𝑓 𝑢 + 𝜌 𝑣 − 𝑓 𝑣 = 𝛼 𝜌 𝑢 − 𝑢 + 𝜌 𝑣 − 𝑣 = 0 Karena0 ≤ 𝜌 𝑢 − 𝑣 maka𝜌 𝑢 − 𝑣 = 0.Akibatnya𝑢 = 𝑣.

(7)

29 4. PENUTUP

Di ruang modular dapat didefinisikan pemetaan Kannan sebagaimana didefinisikan di ruang metrik. Untuk menjamin eksistensi dan ketunggalan titik tetap untuk pemetaan kontraksi Kannan- ρ di ruang modular, maka syarat cukup yang harus dipenuhi adalah domain dari pemetaan tersebut haruslah tertutup modular dan terbatas modular.

5. PUSTAKA

[1].Musielak, J. Orlicz Spaces and Modular Spaces. New York : Springer–Verlag; 1983.

[2]. Kiftiah, M, Supama. Fixed Point Theorems for Contraction Mappings on Modular Spaces.Int. Journal of Mathematica Analysis. 2013; 7 (20) 965-972

[3]. Orlicz, W.Linear Functional Analysis, Series in Real Analysis Volume 4. Singapura :World Scientific; 1992.

[4]. Farajzadeh, A.P, Mohammad, M.B, Noor, M.A. Fixed Point Theorems In Modular Spaces.Mathematical Communications.2011;16, 13-20.