TUGAS MAKALAH PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT GAS FERMI ELEKTRON BEBAS
Disusun Oleh :
1. Resita Astika Jantu (3215096540) 2. Titi Mustikawati (3215096554)
3. Ismail Hamka Muhammad Zaid (3215097886) 4. Putri Ari Zuliyanti (3215097890)
5. Kusuando (3215086794)
Pendidikan Fisika Non-Reguler 2009 Jurusan Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Jakarta
2012
PENDAHULUAN
Telah diketahui banyak sifat fisik yang dimiliki dari logam tidak hanya logam sederhana, namun juga berkaitan dengan model elektron bebas. Menurut model ini, elektron valensi dari suatu unsur atom menjadi elektron konduksi dan bergerak bebas pada keseluruhan volume logam. Bahkan ketika logam memiliki model elektron bebas, distribusi pengisian elektron konduksi menggambarkan kekuatan potensial elektrostatik dari inti ion. Kegunaan dari model elektron bebas pada dasarnya merupakan sifat yang bergantung pada sifat kinetik dari elektron konduksi. Interaksi dari elektron konduksi dengan kisi ion akan dibahas pada bab selanjutnya.
Logam yang paling seberhana adalah logam alkali, misalnya litium, sodium, potassium, cesium dan rubidium. Pada atom bebas elektron valensi dari sodium adalah 3s. Pada logam, elektron ini menjadi elektron konduksi dalam pita konduksi 3s.
Kristal tunggal yang terdiri dari N atom akan memiliki N elektron konduksi dan N inti ion positif. Inti ion Na+ teridiri dari 10 elektron yang menempati kulit 1s, 2s dan 2p pada ion bebas dengan distribusi ruang yang pada dasarnya sama ketika logam dalam ion bebas. Inti ion menempati hanya 15%
volume kristal sodium, seperti pada gambar dibawah. Jari-jari ion bebas Na+ adalah 0.98 Å, sedangkan jarak tetangga terdekat logam adalah 1.83 Å.
Gambar 1. Skema model kristal dari logam sodium
Penjelasan mengenai sifat logam dalam hal ini gerak elektron bebas telah lama dikembangkan sebelum ditemukannya mekanika kuantum. Teori klasik memiliki beberapa keberhasilan, terutama penurunan dari Hukum Ohm dan hubungan antara daya hantar listrik dan panas. Teori klasik tidak dapat menjelaskan kapasitas panas dan kelemahan sifat kemagnetan yang dimiliki elektron konduksi. (Hal ini bukan merupakan kegagalan dari model elektron bebas, tetapi kegagalan pada fungsi distribusi kalsik Maxwell).
Selanjutnya adalah kesulitan dengan model klasik. Dari banyak jenis percobaan mengenai elektron konduksi dari logam yang dapat bergerak secara bebas pada banyak lintasan lurus atom, tubrukan elektron konduksi terjadi satu sama lain atau bahkan tubrukan dengan inti atom. Pada temperatur rendah, lintasan bebas antar atom akan sepanjang 108 (lebih dari 1cm).
Mengapa zat yang terkondensasi secara transparan akan menjadi elektron konduksi? Jawaban pertanyaan tersebut terdiri dari dua: (a) Elektron konduksi tidak membelokkan inti ion yang menyusun kisi periodik karena gelombang zat tersebut dapat menyebar bebas pada susunan periodik. (b) Elektron konduksi tersebar hanya pada frekuensi tertentu antara elektron konduksi laiinya. Sifat inilah yang dibahas pada Asas Pauli. Gas Fermi elektron bebas akan menjelaskan bagaimana elektron bebas pada gas dengan menggunakan Asas Pauli.
A. Tingkat Energi Dalam Satu Dimensi
Gas elektron bebas dalam satu dimensi sesuai dengan perhitungan dari teori kuantum dan asas Pauli. Sebuah elektron yang bermassa m terkurung sepanjang L yang tak terhingga (Gambar 2). Fungsi gelombang (x) pada elektron merupakan solusi persamaan Schrödinger dengan mengabaikan energi potensial maka kita dapatkan dimana p adalah momentum. Dalam teori kuantum p dapat direpresentasikan sebagai – sehingga:
...(1)
dimana adalah energi pada orbital elektron.
Kita dapat menggunakan orbital untuk menunjukan solusi persamaan gelombang hanya untuk sistem satu dimensi. Hal ini menunjukan perbedaan antara persamaan gelombang secara pasti pada keadaan kuantum untuk N elektron yang berinteraksi dan secara perkiraan pada keadaan kuatum yang menyebutkan N elektron menjadi N orbital yang berbeda dimana setiap orbital merupakan solusi persamaan gelombang untuk satu elektron. Model orbital dapat tepat terjadi jika tidak ada interaksi antar elektron.
Dengan batasan ; yang merupakan batasan tak terhingga pada energi potensial. Ini memenuhi fungsi gelombang sinus dengan bilangan integral n dari setengah panjang gelombang antara 0 dan L :
………..……..(2) dimana A, konstan.
Persamaan (2) merupakan solusi dari persamaan (1) karena,
, dimana energi adalah
………..…(3) Jika kita ingin mendapatkan N elektron pada satu persamaan. Menurut Asas Pauli, tidak dapat dua elektron memiliki bilangan kuantum yang sama.
Tiap orbital dapat ditempati lebih dari 1 elektron. Hal ini berlaku untuk elektron pada atom, molekul dan zat padat.
Gambar 2. Tiga tingkat energi pertama dan fungsi gelombang pada elektron bebas dengan massa m yang terkurung garis dengan panjang L
Pada zat padat, bilangan kuantum suatu orbital elektron konduksi adalah n dan , dimana n adalah bilangan bulat positif dan bilangan kuantum magnet menurut orientasi spin. Pasangan orbital ditandai dengan bilangan kuantum n yang didapat dari dua elektron, satu dengan spin up dan satu lagi spin down.
Jika terdapat enam elektron, maka keadaan dasar suatu system aka terisi oleh orbital yang terlihat pada table dibawah:
Elektron yang
dimiliki Elektron yang
dimiliki
1 1 3 1
1 1 3 1
2 1 4 0
2 1 4 0
Lebih dari satu orbital mungkin memiliki energi yang sama. Jumlah orbital dengan energi yang sama disebut degenerasi.
Misalkan merupakan tingkat energi yang terisi paling atas, dimana kita dapat mulai mengisi tingkatan tersebut dari bawah ( n = 1) dan selanjutnya mengisi tingkat paling tinggi dengan elektron sampai semua N elektron terpenuhi. Hal ini baik digunakan untuk N adalah bilangan genap. Keadaan = N menunjukan , nilai n untuk tingkat yang terisi paling atas.
Energi Fermi merupakan definisi dari tingkat energi yang terisi paling atas pada keadaan dasar dari N elektron. Dari persamaan (3) dengan n = , kita dapatkan energi dalam satu dimensi yaitu :
………..…(4)
B. Pengaruh Temperatur Pada Distribusi Fermi Dirac
Keadaan dasar merupakan dimana N elektron berada pada keadaan nol.
Apa yang terjadi jika temperatur meningkat? Ini adalah masalah biasa pada statistik dasar mekanik dan solusi yang diberikan berupa distribusi fungsi Fermi-Dirac.
Energi kinetik pada gas elektron yang meningkat seperti halnya temperatur yang meningkat sehingga beberapa tingkat energi yang ditempati oleh kekosongan berada pada keadaan nol, dan beberapa tingkat merupakan kekosongan yang ditempati pada keadaan nol. Distribusi Fermi-Dirac memberi kemungkinan mengenai orbital pada energi akan menempati elektron gas ideal dalam keseimbangan termal:
Jumlah adalah fungsi dari temperatur, dapat dipilih menjadi masalah utama dengan demikian jumlah total partikel dalam suatu sistem dapat dihitung dengan tepat yaitu sama dengan N. Pada keadaan nol , karena batas T 0 dengan fungsi berubah dari nilai 1 (terisi) menjadi nilai 0 (kosong) pada . Untuk seluruh temperatur sama dengan ketika , maka untuk persamaan (5) akan memiliki nilai 2.
Gambar 3. Fungsi persamaan (5) distribusi Fermi-Dirac pada saat diberi variasi temperatur saat
Jumlah merupakan potensial kimia dan kita dapat mengetahui keadaan nol pada potensial kimia sama dengan energi Fermi, tetapan tesebut sama seperti energi pada orbital terisi paling atas dalam keadaal nol.
Distribusi energi tinggi berada pada fungsi pada persamaan 5, menjadi . Batasan ini disebut sebagai distribusi Maxwell Boltzmann.
C. Gas Elektron Bebas dalam Tiga Dimensi
Persamaan partikel bebas Schrodinger pada 3 dimensi yaitu :
………(1)
Jika elektron-elektron itu diletakkan di dalam sebuah kubus dengan panjang sisi-sisinya sebesar L, maka fungsi gelombangnya adalah gelombang berdiri
……….(2) dimana nx, ny, dan nz adalah bilangan bulat positif
Jika menggunakan sebuah fungsi gelombang yang periodik pada x,y,z dan periodik L, maka
………(3) Fungsi gelombang yang memenuhi persamaan Schordinger dan yang periodik adalah berbentuk gelombang berjalan sebagai berikut:
………..(4) Nilai komponen-komponen k sebagai berikut:
……….(5) begitu juga untuk ky dan kz
Setiap komponen dari k merupakan 2nπ/L yang merupakan bilangan bulat positif atau negatif. Komponen-komponen dari k tersebut adalah merupakan
bilangan kuantum dari partikel tersebut. Disamping itu, bilangan kuantum yang digunakan untuk menandai partikel tersebut yang dalam hal ini elektron adalah bilangan kuantum magnetik ms yang berkaitan dengan spin elektron itu sendiri.
Kita dapat menghitung nilai k sesuai persamaan (3) yaitu
……….(6)
Substitusikan persamaan 4 ke 1 kita akan mendapatkan energi Єk dari orbital dengan vector gelombang k :
………...(7) Besarnya vektor gelombang berhubungan dengan panjang gelombang oleh k = 2π/
Momentum linier P dihasilkan pada mekanika kuantum oleh operator untuk orbital persamaan (4)
……….(8) Maka pada gelombang berjalan merupakan fungsi eigen dari momentum linear dengan nilai eigen . Kecepatan partikel pada orbital k diberikan oleh
Dalam keadaan dasar semua tingkat energi yang terletak di bawah energi Fermi dan energi Fermi itu sendiri akan ditempati elektron. Oleh karena itu, vektor gelombang terbesar adalah vektor gelombang untuk elektron yang berada pada tingkat energi Fermi. Dengan demikian, jika kita misalkan vektor gelombang Fermi dengan huruf kf , maka energi Fermi dapat ditulis sebagai berikut :
………...(9) Dari persamaan (5) kita dapat lihat bahwa ada 1 mengikuti vector gelombang ini berbeda dari bilangan kuantum untuk elemen volume (2 /L)3 dari kulit k. Maka pada volume bola total jumlah orbital adalah :
………(10)
Dimana factor 2 berasal dari 2 mengikuti nilai dari ms, bilangan spin kuantum, untuk masing-masing nilai k yaitu :
…………...………(11)
Yang hanya tergantung pada konsentrasi partikel Menggunakan persamaan (9)
………(12)
Hubungan dari energy Fermi untuk konsentrasi elektron N/V. Elektron memberikan nilai jumlah TF yang didefinisikan sebagai (jumlah TF tidak menentukan temperatur dari elektron gas)
Kita telah menemukan jumlah orbital per unit tingkat energy, D yang disebut densitas. Kita gunakan persamaan 12 untuk jumlah bilangan orbital energy ≤
………(13)
Maka densitas pada gambar disamping yaitu (14)
Persamaan 13 dapat ditulis secara sederhana yaitu
dimana
(15)
Nomor orbital per unit tingkat energy pada energy Fermi adalah total nomor konduksi elektron yang dibagi oleh energy Fermi.
D. Kapasitas Panas dari Gas Elektron
Pada awal perkembangannya, teori elektron dalam logam menemui kesulitan dalam menjelaskan kapasitas panas dari elektron konduksi.
Mekanika statistika klasik meramalkan bahwa sebuah elektron bebas harus memiliki kapasitas panas sebesar (3/2) kB, dimana kB adalah tetapan Boltzmann. Jadi jika kita memiliki N buah elektron bebas, maka menurut mekanika statistika klasik tersebut kapasitas panas elektron itu adalah sebesar (3/2) NkB, untuk ato yang gas monoatomik. Tetapi kenyataannya menunjukan lain, pada temperatur ruangan kapasitas panas elektron konduksi ternyata kurang dari 0.01.
Kesulitan ini akhirnya terjawab setelah penemuan Prinsip Pauli dan fungsi distribusi Fermi-Dirac. Fermi mengatakan menulis kalimat sebagai berikut:
“seseorang memahami bahwa panas jenis menghilang pada suhu nol derajat Kelvin, dan pada suhu yang rendah panas jenis (atau kapasitas panas) itu adalah sebanding dengan suhu mutlaknya”.
Jika kita memanaskan sebuah logam sampel dari suhu nol derajat Kelvin, menurut distribusi Fermi-Dirac tidak semua elektron di dalam logam itu akan memperoleh energi sebesar - kBT. Tetapai hanya sebagian kecil saja dari elektron-elektron itu yang akan memperoleh energi sebesar kBT. Jadi jika kita memiliki N buah elektron bebas, hanya fraksi dari T/Tf dapat dieksitasi panasnya pada suhu T.
Setiap elektron dari N(T/Tf) akan memiliki energi sebesar kBT. Sehingga total energi kinetik termal (U) dari elektron konduksid itu adalah sebesar
……….…….(1) Persamaan untuk kapasitas panas elektron konduksi, yaitu sebagai berikut
……….(2)
Pada temperatur ruangan Cel lebih rendah nilai klasikal 3/2 NkB oleh factor 0.01 atau kurang, dari Tf ~ 5 x 104 K
Kita memperoleh kuantitatif untuk kapasitas panas elektron pada temperatur rendah kBT<<<Ef. Kenaikan pada total energy dari system N buah elektron ketika dipanaskan dari 0 sampai T
………(3)
merupakan fungsi Fermi Dirac dan merupakan jumlah per tingkatan energy. Sehingga
………(4) untuk memperoleh
………(5) Persamaan 5 ke 3
………(6) Kapasitas panas gas elektron ditemukan perbedaan berhubungan dengan T. hanya temperatur mempengaruhi panas pada persamaan 6 yaitu , dimana kita dapat gabungkan panas menjadi
………...(7) Pada temperatur logam / < 0.01, kerapatan pada dapat ditulis dalam integral
……….(8) gambar disamping menunjukan variasi
temperatur dari potensial kimia , untuk elektron bebas gas Fermi pada 1 dan 3 dimensi. Pada umumnya logam / 0.01 pada temperatur ruangan sehingga mendekati .
Sehingga ,
……….(9) Dengan
………..(10)
Sehingga persamaan 8 dan 9
………(11)
Kita dapat mengubah limit - karena faktor pada integral dapat diabaikan jika kita ragu dengan suhu ~ 100 atau lebih, sehingga menjadi
………...(12)
(eksperimen kapasitas panas pada potassium, grafik menunjukan C/T dan T2) Kapasitas panas pada elektron gas yaitu
………(13)
Dari persamaan densitas kita peroleh
………...(14) Untuk gas elektron bebas dengan = maka persamaan 13 menjadi
………(15)
Tf disebut suhu Fermi yang bukan suku sebenarnya teta
1. Eksperimen Kapasitas Panas dari Logam
Pada temperatur di bawah temperatur Debye dan temperatur Fermi , kapasitas panas logam dapat ditulis sebagai kontribusi jumlah elektron dan phonon : , dimana dan A merupakan karakteristik material konstan. Istilah elektronik yang linear pada T yaitu dominan pada temperatur rendah. Untuk lebih mudah persamaannya menjadi :
……….(1)
Perbandingan nilai elektron bebas dari elektronik kapasitas panas yaitu perbandingan dari massa panas efektiv mth untuk massa elektron m , yaitu :
………..(2)
Bentuk ini muncul secara alami karena berbanding terbalik dengan massa elektron, dimana . Hal ini melibatkan 3 efek :
1. Interaksi dari konduksi elektron dengan kecepatan periodic dari kisi Kristal. Massa efektif sebuah elektron pada potensial ini disebut pita massa efektif dan diperlakukan kemudian.
2. Interaksi dari konduksi elektron dengan phonon. Sebuah elektron cenderung untuk mempolarisasikan atau memputarbalikan kisi terdekatnya, sehingga perpindahan elektron menyeret ion terdekat , dengan demikian menaikkan massa efektif elektron
3. Interaksi dari konduksi elektron dengan dirinya sendiri. Perpindahan elektron menyebabkan reaksi di dalam lingkungan gas elektron, sehingga menaikkan massa efektif elektron.
2. Fermion Berat
Beberapa senyawa logam telah ditemukan yang nilai besar, dua atau tiga kali lipat lebih tinggi dari biasanya, dari kapasitas elektronik panas γ konstan.
Senyawa fermion berat termasuk UBe13, CeAl 3, dan CeCu2Si2. Itu telah mengemukakan bahwa f elektron dalam senyawa ini mungkin memiliki massa inersia setinggi 1000 m, karena tumpang tindih lemah dari fungsi gelombang dari elektron pada ion sebelahnya.
Senyawa fermion Berat membentuk tingkat superkonduktor dikenal sebagai "superkonduktor eksotik".
E. Konduktivitas Listrik dan Hukum Ohm
Momentum dari elektron bebas ini berkaitan dengan vector gelombang mv= ħk. Dalam medan listrik E dan medan magnet B gaya F pada sebuah elektron dari muatan-e adalah
, sehingga hukum kedua Newton tentang gerak menjadi
………….………(1)
Dengan tidak adanya tumbukan bola fermi (Gbr. 10) bergerak dalam ruang k pada tingkat sama oleh medan listrik yang konstan.
Kita bisa mengintegrasikan persamaan (1) dengan B = 0 untuk memperoleh
……….………....(2)
Jika gaya F = - e E diterapkan pada waktu t = 0 sampai gas elektron yang mengisi bola Fermi berpusat pada sembarang jarak k kemudian pada waktu t , bola akan dipindahkan ke pusat baru pada
……….………(3)
Perhatikan bahwa bola fermi dipindahkan secara keseluruhan karena setiap elektron digantikan oleh ħk yang sama.
Karena tumbukan elektron dengan( impurities,ketidaksempurnaan kisi) dan fonon ,ruang jarak dapat dipertahankan dalam keadaan stabil dalam medan listrik. Jika waktu tumbukan adalah ,perpindahan dari fermi dalam steady state (3) dengan . Dengan arus listriknya adalah
……...…….(4)
Konduktivitas listrik σ didefinisikan bvJ= = t.E, dari persamaan (4)
Tahanan listrik p didefinisikan sebagai kebalikan dari konduktivitas, sehingga
……….(5)
Nilai konduktivitas listrik dan tahanan dari elemen diberikan dalam Tabel 3. Dalam unitGaussian torsi memiliki dimensi frekuensi
1. Eksperimen Reisistivitas Listrik dari Logam
Tahanan listrik dari logam yang paling didominasi pada suhu (300 K) oleh tumbukan dari elektron konduksi dengan fonon kisi dan pada suhu cair (4K) dengan tumbukan atom pengotor ketidaksempurnaan mekanika dalam kisi (Gbr. 11).
Tingkat tabrakan ini sering terikat pada satu pendekatan yang baik, sehingga jika medan listrik yang dimatikan distribusi momentum akan kembali ke keadaan dasar dengan waktu relaksasi.
Dimana dan saat tumbukan untuk hamburan fonon oleh dan dengan ketidaksempurnaan, masing-masing. Resistivitas bersih diberikan oleh
Gambar 11.
Gambar 11 resistivitas listrik di sebagian besar logam muncul daritabrakan elektron dengan penyimpangan dalam kisi saya seperti dalam (a) dengan fonon dan (b) dengan kotoran kisi kosong.
Dimana adalah resistivitas yang disebabkan oleh foton termal dan ada;ah resistivitas yang disebabkan oleh hamburan gelombang elektron oleh cacat statis yang mengganggu periodisitas. Sering tidak tergantung pada jumlah cacat ketika konsentrasi mereka kecil dan sering tidak bergantung pada suhu.
Bagian suhu tergantung dari tahanan listrik yang sebanding dengan tingkat dimana sebuah elektron bertabrakan dengan fonon normal dan elektron termal. Tingkat tabrakan dengan fonon sebanding dengan konsentrasi fonon termal. Salah satu batas yang sederhana adalah pada
suhu lebih dari suhu Debye (θ): di sini konsentrasi Fonon sebanding dengan suhu T,Sehingga p ∞ T untuk T > θ.
2. Hamburan Umpklapp
Hamburan elektron umklapp oleh phonons menjelaskan sebagian besar tahanan listrik pada logam pada saat suhu rendah. Proses merupakan proses hamburan elektron-phonon dimana timbal balik kisi vector G terlibat, sehingga dalam proses ini mungkin saja terjadi perubahan momentum elektron yang lebih besar dari proses hamburan normal elektron-photon pada suhu rendah (dalam proses umclapp vector gelombang satu partikel dapat terbalik).
Mempertimbangkan bagian tegak lurus melalui dua wilayah brillouin yang bersebelahan pada kalium bcc, dengan bola Fermi setara dengan yang tertera dalam masing-masing. Setengah bagian bawah dari gambar menunjukkan terjadinya tabrakan normal elektron-phonon , sedangkan setengah bagian atas menunjukkan kemungkinan terjadinya proses hamburan melibatkan phonon yang sama dan berakhir di luar wilayah brillouin pertama, pada titik A. Titik ini persis sama dengan titik A’ didalam wilayah asli, dimana AA’ adalah kisi resiprokal vector G.
Hamburan yang terjadi tersebut merupakan proses umklapp, dengan analogi phonon. Tabrakan tersebut merupakan hamburan yang kuat karena sudut hamburan hampir mendekati π, dan tabrakan tunggal dapat mengembalikan elektron ke dasar orbitalnya.
Ketika permukaan Fermi tidak berpotongan dengan batas wilayah, ada beberapa gelombang vector pnonon minimal untuk hamburan umklapp.
Pada suhu yang cukup rendah jumlah phonon yang tersedia untuk hamburan umklapp menurun ketika , dimana adalah suhu karakteristik yang dapat dihitung dari geometri pada permukaan Fermi di dalam wilayah brillouin. Untuk permukaan bola Fermi dengan satu orbital
elektron per atom di dalam wilayah Brilloouin BCC, dapat ditunjukkan dengan geometri .
Data eksperimen untuk kalium memiliki perkiraan eksponensial dengan dibandingkan dengan debye . Pada suhu yang sangat rendah (sekitar di bawah 2 K pada kalium) jumlah proses umklapp diabaikkan dan resistivitas kisi hanya disebabkan oleh hamburan sudut kecil, yang merupakan hamburan normal.
Bloch memperoleh hasil analitik untuk hamburan normal pada suhu yang sangat rendah. Ini merupakan hasil pembatasan klasik. Proses normal ini berkontribusi terhadap resistivitas di semua logam, tetapi belum secara jelas mengisolasi untuk setiap logam karena besarnya efek persaingan ketidaksempurnaan hamburan, hamburan elektron-elektron, dan hamburan umklapp.
F. Pergerakan Dalam Medan Magnetik
Persamaan gerak untuk perpindahan partikel bola Fermi ditindak lanjuti oleh gaya (F) dan oleh gesekan yang diwakili oleh tabrakan.
Istilah percepatan partikel bebas adalah dan efek tabrakan (gesekan) diwakili oleh oleh , dimana τ adalah waktu tabrakan.
Pada gerakan system dalam medan magnet statis B. gaya Lorentz pada sebuah elektron adalah :
(CGS) (SI)
Jika , maka persamaan geraknya : (CGS)
Jika medan magnet statis B dibiarkan terletak disepanjang sumbu Z, maka persamaan geraknya adalah :
(CGS)
Hasil dari SI diperoleh dengan mengganti c dengan 1
Dalam keadaan tetap dalam medan listrik statis turunan waktunya adalah nol, sehingga kecepatannya adalah
Dimana adalah frekuensi siklotron (seperti resonansi siklotron dalam semikonduktor).
1. Efek Hall
Bidang ruang adalah medan listrik yang melintasi dua permukaan konduktor, dalam arah , ketika arus j mengalir melintasi medan magnet B. Mempertimbangkan specimen berbentuk batang didalam bidang listrik longitudinal dan medan magnet transversal. Jika arus tidak dapat mengalir keluar dari batang dalam arah y kita harus memilki . Dari persamaan sebelumnya hanya mungkin terjadi jika ada medan listrik transversal.
(CGS) (SI)
Persamaan di atas disebut koefisien ruang. Untuk mengevaluasi model sederhana , digunakan :
(CGS)
(SI)
Ini adalah elektron bebas, untuk e positif.
Semakin rendah konsentrasi pembawa, semakin besar koefisien bidangnya. Pengukuran RH merupakan cara yang penting untuk mengukur konsentrasi carier. Symbol RH menunjukkan koefisien bidang , tetapi terkadang digunakan dengan makna yang berbeda, bahwa resistansi bidang dalam masalah dua dimensi. Kita justru akan membiarkan
menotasikan resistensi bidang, dimana jx adalah rapatan arus permukaan.
Hasil sederhana mengikuti asumsi bahwa semua waktu relaksasi adalah sama, tergantung pada kecepatan elektron.
Factor numeric kesatuan urutan masuk jika waktu relaksasi merupakan fungsi dari kecepatan. Istilah tersebut menjadi lebih rumit jika kedua elektron dan lubang berkontribusi pada konduktivitas. Teori efek bidang
menjadi sederhana dalam medan magnet tinggi dengan , dimana merupakan frekuensi siklotron dan τ waktu relaksasi.
Pada tabel 4 nilai-nilai yang diamati dari koefisien bidang dibandingkan dengan nilai-nilai yang dihitung dari konsentrasi pembawa.
Yang paling akurat sebagai suatu masalah delam bab 10. Dalam tabel
“conv” berdiri untuk “konvensional”
Nilai-nilai yang akurat untuk natrium dan kalium dalam kesepakatan yang sangat baik dengan nilai-nilai yang dihitung untuk satu elektron konduksi per atom, dengan menggunakan .
Bagaimanapun, nilai-nilai eksperimental untuk element aluminium trivalent dan indium : ini setuju dengan nilai-nilai yang dihitung untuk satu pembawa muatan positif per atom dan tidak setuju dalam jumlah dan tanda dengan nilai-nilai yang dihitung untuk perkiraan ketiga pembawa.
Masalah tanda positif terlihat juga untuk pembawa muatan Be dan As.
Seperti yang terlihat dalam tabel. Anomaly dari tanda itu dijelaskan oleh Peierls (1928). Gerakan pembawa tampak tanda positif, yang kemudian di sebut lubang oleh Heisenberg, tidak dapat dijelaskan oleh gas elektron bebas, tetapi menemukan penjelasan alamiah dalam hal teori pita energy . teori band juga menyumbang terjadinya nilai-nilai yang sangat besar dari koefisien bidang, seperti untuk As, Sb, dan Bi.
G. Konduktivitas Termal Pada Logam
Pada bab 5 kita temukan persamaan untuk konduktivitas thermal pada sebuah partikel, dimana dengan kecepatan = v, kapasitas kalor = C / volume, dengan konstanta . Maka persamaan konduktivitas termal gas,
dengan
Dimana :
n = konsentrasi elektron T = waktu kolisi
Dalam logam murni, kontribusi elektron dominan di segala temperatur.
Dalam logam yang campuran, elektron berarti jalan bebas dikurangi dengan tabrakan dengan campuran, dan kontribusi foton mungkin sebanding dengan kontribusi elektronik.
1. Rasio Termal Terhadap Konduktivitas Listrik
Hukum Wiedermann-Franz menyatakan bahwa logam yang berada pada suhu yang tidak sangat rendah, rasio termal terhadap konduktivitas listriknya sebanding dengan suhu, dengan nilai konstanta yang bergantung pada jenis logam. Hasil ini sangat penting dalam eksperimen mencari nilai
yang ditampilkan pada tabel Landolt-Bornstein.
Tabel Perbandingan Koefisien Hall Dengan Teori Kebebasan Elektron Loga
m Metode
Eksperimental dalam CGS units
Membawa atom (asumsi)
Perhitungan - 1/nec dalam CGS Units
Li Conv -1,89 1 elektron -1,48
Na Helicon Conv
-2,619
-2,3 1 elektron -2,063
K Helicon Conv
-4,946
-4,7 1 elektron -4,944
Rb Conv -5,6 1 elektron -6,04
Cu Conv -0,6 1 elektron -0,82
Ag Conv -1,0 1 elektron -1,19
Au Conv -0,8 1 elektron -1,18
Be Conv +2,7 - -
Mg Conv -0,92 - -
Al Helicon +1,136 1 lubang +1,135
In Helicon +1,774 1 lubang +1,780
As Conv +50 - -
Sb Conv -22 - -
Bi Conv -6000 - -
Tabel Eksperimen Nilai Lorentz L* watt.-ohm/
Logam 0˚C 100˚C
Ag 2,31 2,37
Au 2,35 2,4
Cd 2,42 2,43
Cu 2,23 2,33
Mo 2,61 2,79
Pb 2,47 2,56
Pt 2,51 2,6
Sn 2,52 2,49
W 3,04 3,2
Zn 2,31 2,33
Untuk mencari nilai gaya Lorentz (L) dapat menggunakan rumus:
Nilai eksperimen L pada suhu 0˚C dan 100˚C yang ditmapilkan pada tabel di atas merupakan pendapat yang baik jika dibandingkan dengan nilai L = . Pada suhu yang rendah (T<<<θ) nilai Lorentz akan cenderung berkurang (lihat buku Zyman).
H. Struktur Nano
Struktur materi yang memiliki dimensi yang sangat kecil antara 1nm (10Å) and 10nm (100Å). Struktur ini mungkin dapat berupa partikel, kawat, atau film yang tipis. Tipikal partikel yang baik terdiri dari antara 10 sampai 1000 atom. Teknologi semikonduktor telah memungkinkan untuk membuat polling kecil dari elektron yang disebut dengan berbagai cara: transistor elektron tunggal, titik kuantum, atom buatan, hukum Coulumb , atau kandang kuantum. Sifat fisik dari struktur nano unsual dibandingkan dengan padatan massal yang disebabkan oleh beberapa faktor yang melibatkan sifat dirawat di atas dan dalam bab kemudian:
- Ratio jumlah atom pada permukaan dengan jumlah atom pada bagian dalam, mungkin merupakan suatu kesatuan
- Ratio energi pada bagian permukaan dengan total energi, mungkin merupakan suatu kesatuan
- Konduksi atau elektron valensi berubah menjadi lebih kecil, maka panjang gelombang kuantum pada keadaan elektrostatis terendah dipengaruhi dan akibatnya panjang gelombang minimum menjadi lebih pendek dibanding dengan di zat padat Bulk
- Panjang gelombang atau pemantulan kondisi akan mengubah resapan optikal spektrum
- Penggunaan nanoclusters logam mungkin memiliki kekerasan yang besar dan kekuatan hasil, karena sulit untuk membuat dan memindahkan dislocasions di daerah spasial terbatas
