8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari

8.1 Transformasi Linier Umum

Bukan lagi transformasi R

ⁿ

 R

^m

, tetapi transformasi linier dari

ruang vektor V  vektor W.

Definisi

Jika T: V→W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor W, maka T disebut tranformasi linier dari V ke W jika untuk semua vektor u dan v pada V dan semua skalar c:

 T (u+v) = T (u) + T (v)

 T (cu) = cT (u)

Transformasi Linier

Pada kasus khusus dimana V=W, transformasi linierT:V→V disebut operator linier V.

Transformasi Nol

Pemetaan T:V→W , disebut transformasi nol jika ,

T (u+v) = 0  T (u) = 0, T (v) = 0 dan T (k u) = 0

Dengan demikian,

T (u+v) =T (u) +T (v) dan T (k u) = kT (u)

Operator Identitas

Pemetaan I: V→V yang didefinisikan oleh

I (v) = v disebut operator identitas pada V.

Dilation and Contraction operators

Jika V sebarang vektor dan k sebarang skalar, maka fungsi

T:V  V

yang didefinisikan oleh

T (v) = k v  operator linier pada V

 Dilation/Pelebaran V : k > 1

 Contraction/ Penyempitan V: 0 < k < 1

Proyeksi Orthogonal

Jika W adalah sub ruang berdimensi terhingga dari

suatu ruang hasil kali dalam V, maka proyeksi orthogonal dari V pada W adalah transformasi yang didefinisikan

oleh:

T ( v ) = proj

^w

v

Proyeksi Orthogonal

T (v ) = proj_wv

Jika S = {w₁, w₂, …, w_r}  sebarang basis ortonormal untuk W, maka T (v ) :

T (v ) = proj

_w

v = <v,w

₁

>w

₁

+ <v,w

₂

>w

₂

+…+<v,w

_r

>w

_r

Bukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- sifat hasil kali dalam, sbb”:

T (u+v) = <u+v, w₁>w₁ + <u+v, w₂>w₂ +… +<u+v, w_r> w_r

= <u, w₁>w₁ + <u, w₂>w₂ +… + <u, w_r>w_r + <v, w₁>w₁ + <v, w₂>w₂ +… + <v, w_r>w_r

= T (u) + T (v) Dengan cara yang sama:

T (ku) = kT (u)

Computing an Orthogonal Projection

Anggap V = R³ memiliki hasil kali dalam Euclidean.

Vektor w₁ = (1,0,0) dan w₂ = (0,1,0) membentuk basis ortonormal bidang xy. Jika v = (x,y,z) adalah sebarang vektor R³ , proyeksi ortogonal dari R³ pada bidang xy adalah:

T (v ) = <v, w₁>w₁ + <v, w₂>w₂

= x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0)

= ( x, y, 0 )

Proyeksi Ortogonal R³pada bidang xy

Transformasi Linier Ruang Vektor V to R

ⁿ

Jika S = {w₁ , w₂ , …, w_n } adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V, dan

(v)_s = (k_1, k_2, …_, k_n )

adalah vektor koordinat relatif terhadap S dari suatu vektor v dalam V sehingga;

v = k₁ w + k₂ w₂ + …+ k_n w_n

Definisikan T: V→Rⁿ sebagai fungsi yang memetakan v pada vektor koordinat relatif terhadap S; yaitu,

T (v) = (v)_s = (k_1, k_2, …_, k_n )

Transformasi Linier Ruang Vektor V to R

ⁿ

Fungsi T adalah suatu transformasi linier, dimana:

u = c₁ w₁+ c₂ w₂+ …+ c_n w_n dan v = d₁ w₁+ d₂ w₂+ …+ d_n w_n

Jadi

(u)_s = (c_1, c_2, …_, c_n ) dan (v)_s = (d_1, d_2, …_, d_n ) Tapi;

u+v = (c₁+d₁) w₁+ (c₂+d₂) w₂+…+ (c_n+d_n) w_n k u = (kc₁) w₁ +(kc₂) w₂ +…+ (kc_n) w_n Sehingga;

(u+v)_s = (c₁+d_1, c₂+d₂ …_, c_n+d_n ) (k u)_s = (kc_1, kc_2, …_, kc_n )

Dengan demikian;

(u+v)

_s

= (u)

_s

+ (v)

_s

dan (k u)

_s

= k (u)

_s

Transformasi Linier Ruang Vektor V to R

ⁿ

Dengan demikian;

(u+v)_s = (u)_s + (v)_s dan (k u)_s = k (u)_s

Jika persamaan dalam bentuk T, maka:

T (u+v) = T (u) + T (v) and T (k u) = kT (u)

Yang menunjukkan bahwa T adalah suatu transformasi linier.

REMARK. Penulisan dalam bentuk matriks:

[u+v] = [u]_s +[v]_s and [k u]_s = k [u]_s

Contoh : Transformasi linier p

_n

ke p

_n+1

Jika p = p(x) = C₀ X + C₁X² + …+ C_nX ⁿ⁺¹ adalah polinom dalam P_n , maka fungsi T: P_n → P_n+1 :

T (p) = T (p(x)) = xp(x)= C₀ X + C₁X² + …+ C_nX ⁿ⁺¹ Fungsi T adalah suatu transformasi linier, dimana untuk skalar k dan sebarang polinom p₁ dan p₂ dalam P_n

T (p₁+p₂) = T (p₁(x) + p₂ (x)) = x (p₁(x)+p₂ (x))

= x p₁ (x) + x p₂ (x) = T (p₁) +T (p₂) dan

T (k p) = T (k p(x)) = x (k p(x))= k (x p(x))= k T(p)

Operator Linier dalam P

_n

Jika p = p(x) = c₀ X + c₁X² + …+ c_nX ⁿ⁺¹ adalah polinom dalam P_n , dan anggap a dan b

sebarang skalar. Fungsi T didefinisikan sbb:

T (p) = T(p(x)) = p (ax+b) = c₀ + c₁ (ax+b) + …+ c_n(ax+b) ⁿ adalah suatu operator linier.

Contoh, jika ax+b = 3x – 5, maka T: P₂ → P₂ akan menjadi operator linier sbb:

T (c₀ + c₁x+ c₂ x² ) = c₀ + c₁ (3x-5) + c₂ (3x-5) ²

A Linear Transformation Using an Inner Product

Jika V adalah suatu hasil kali dalam dan v₀ adalah sebarang vektor tetap pada V.

Anggap T:V→R adalah transformasi yang memetakan suatu vektor v ke hasil kali dalamnya dengan v₀ ;

yaitu,

T (v) = <v, v₀>

Dari sifat-sifat suatu hasil kali dalam:

T (u+v) = <u+v, v₀>= <u, v₀> + <v, v₀>

dan T (k u) = <k u, v₀ > = k <u, v₀ > = kT (u) Sehingga T adalah suatu transformasi linear..

Sifat-sifat Transformasi Linear

Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka untuk

sebarang vektor v₁ dan v₂ dalam V dan sebarang skalars c₁ dan c₂ , kita dapatkan:

T (c₁ v₁ + c₂ v₂) = T (c₁ v₁ ) + T (c₂ v₂) = c₁T (v₁ ) + c₂T (v₂) Dan secara lebih umum v₁ , v₂ , …, v_n adalah vektor-vektor pada V dan c₁ , c₂ , …, c_n adalah skalar, maka:

T (c₁ v₁ + c₂ v₂ +…+ c_n v_n ) = c₁T (v₁ ) + c₂T ( v₂ ) +…+ c_nT ( v_n )

 transformasi linear mempertahankan kombinasi linear.

1

)

1

)

Tiga Sifat Dasar Transformasi Linear

Theorem 8.1.1

Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka:

(a) T (0) = 0

(b) T (-v ) = -T (v ) untuk semua v dalam V

(c) T (v-w ) = T (v ) - T (w) untuk semua v dan w dalam V

Proof.

(a) Let v be any vector in V. Since v=0, we have T (0)=T (0v)=0T (v)=0

(b) T (-v) = T ((-1)v) = (-1)T (v)=-T (v) (c) v-w=v+(-1)w; thus,

T (v-w)= T (v + (-1)w) = T (v) + (-1)T (w)

= T (v) -T (w)

Mencari Transformasi Linear dari Bayangan Vektor Basis

Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear dan {v₁ , v₂ , …, v_n } adalah sebarang basis untuk V,

maka bayangan T (v) dari sebarang vektor v pada V dapat dihitung dari bayangan:

T (v₁), T (v₂), …, T (v_n) dari vektor-vektor basis.

Nyatakan v sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis;

v = c₁ v₁+ c₂ v₂+ …+ c_n v_n Gunakan rumus (1) untuk menulis:

T (v) = c₁ T (v₁) + c₂ T (v₂) + … + c_n T (v_n)

 Suatu transformasi linear secara lengkap ditentukan oleh bayangan sebarang vektor-vektor basis.

T (c₁ v₁ + c₂ v₂ +…+ c_n v_n ) = c₁T (v₁ ) + c₂T ( v₂ ) +…+ c_nT ( v_n )

Computing with Images of Basis Vectors

Contoh:

Tinjau basis S = {v₁ , v₂ , v₃ } untuk R³ , dimana v₁ = (1,1,1), v₂ =(1,1,0), dan v₃ = (1,0,0).

Anggap T: R^{3 →}R² adalah transformasi linear sedemikian sehingga:

T (v₁)=(1,0), T (v₂)=(2,-1), T (v₃)=(4,3)

Carilah rumus untuk T (x₁ , x₂ , x₃ ); kemudian gunakan untuk menghitung T (2,-3,5).

Computing with Images of Basis Vectors Jawab:

Nyatakan x = (x₁ , x₂ , x₃ ) sebagai kombinasi linear v₁ =(1,1,1), v₂ =(1,1,0), and v₃ = (1,0,0).

(x₁ , x₂ , x₃ ) = c₁ (1,1,1) + c₂ (1,1,0) + c₃ (1,0,0)

Dengan menyamakan komponen yang bersepadanan:

c₁ + c₂ + c₃ = x₁ c₁ + c₂ = x₂ c1 = x₃



_{c1 = x3 , c2 = x2 - x3 , c3 = x1 - x2}

 c₁ = x₃ , c₂ = x₂ - x₃ , c₃ = x₁ - x₂ , sehingga Kombinasi Liner:

(x₁ , x₂ , x₃ ) = x₃ (1,1,1) + (x₂ - x₃ ) (1,1,0) + (x₁ - x₂ ) (1,0,0)

= x₃ v₁ + (x₂ - x₃ ) v₂ + (x₁ - x₂ ) v₃ Jadi transformasi linear:

T (x₁ , x₂ , x₃ ) = x₃ T (v₁) + (x₂ - x₃ ) T (v₂) + (x₁ - x₂ ) T (v₃)

= x₃ (1,0) + (x₂ - x₃ ) (2,-1) + (x₁ - x₂ ) (4,3)

= (4x₁ -2x₂ -x₃ , 3x₁ - 4x₂ +x₃) Dari rumus ini kita dapatkan

T (2 , -3 , 5 ) =(9,23)

Komposisi T

₂

dengan T

₁

Jika

T

₁

:U

^→

V

dan

T

₂

:V

^→

W

adalah transformasi linear, komposisi T₂ dan T₁ , dinotasikan

T

₂ o

T

₁ (baca“

T

₂ circle

T

₁ ”), adalah fungsi yang didefinisikan oleh rumus

(

T

₂ o

T

₁ )(u) = T₂ (T₁ (u)) (2) dimana u adalah vektor dalam

U

Theorem 8.1.2

Jika T₁ :U→V dan T₂ :V→W adalah transformasi linear maka (T₂ o T₁ ):U→W juga merupakan transformasi linear.

Proof. If u and v are vectors in U and c is a scalar, then it follows from (2) and the linearity of T₁ andT₂that (T₂oT₁ )(u+v) = T₂(T₁(u+v)) = T₂ (T₁(u)+T₁ (v))

= T₂(T₁(u)) + T₂ (T₁(v))

= (T₂ oT₁ )(u) + (T₂ oT₁ )(v) and

(T₂oT₁ )(c u) = T₂ (T₁ (c u)) = T₂ (cT₁(u))

= cT₂ (T₁ (u)) = c (T₂ oT₁ )(u)

Thus, T₂ oT₁ satisfies the two requirements of a linear transformation.

Composition with the Identify Operator

Jika

T:V

^→

V

adalah sebarang operator linear dan jika

I:V

^→

V

adalah operator identitas, maka untuk semua vektor v pada

V

kita dapatkan:

(

T o I

)(v) =

T

(

I

(v)) =

T

(v) (

I oT

)(v) =

I

(

T

(v)) =

T

(v)

Kita dapatkan bahwa

T o I

dan

I oT

sama dengan

T

;

 T o I

=

T

and

I oT

=

T

(3)

Contoh

Dapat disimpulkan bahwa komposisi bisa didefinisikan untuk lebih dari dua transformasi linear. Misalnya:

T

₁

: U

^→

V

and

T

₂

: V

^→

W

,dan

T

₃

: W

^→

Y

adalah transformasi linear, maka komposisi

T

₃

o T

₂

oT

₁

didefinisikan oleh:

(4)

T

₃

o T

₂

oT

₁

Contoh

Anggap T₁ : P₁ → P₁ dan T₂ : P₂ → P₂ adalah transformasi linear yang diberikan oleh rumus

T₁(p(x)) = xp(x) dan T₂ (p(x)) = p (2x+4) Komposisi (T₂ 。T₁ ): P₁ → P₂ diberikan oleh rumus:

(T₂ 。T₁ )(p(x)) = (T₂)(T₁(p(x))) = T₂ (xp(x)) = (2x+4)p (2x+4)

8.2 Kernel And Range

Definisi

 ker(T ): the kernel of T

Jika T:V W adalah suatu transformasi linear, maka himpunan vektor pada V yang dipetakan T ke 0

disebut kernel dari T

 R (T ): the range of T

Jika T:V W adalah suatu transformasi linear maka

himpunan semua vektor pada W yang merupakan

bayangan dibawah T yang paling tidak merupakan satu

vektor pada V disebut daerah hasil dari T

dinyatakan R(T).

Kernel and Range of a Matrix Transformation

Jika T

_A

:R

ⁿ

→ R

^m

adalah perkalian matriks A, m×n, maka

• the kernel of T

_A

 nullspace of A

• the range of T

_A

 column space of A

Kernel and Range of the Zero Transformation

Anggap T:V ^→ W adalah transformasi nol. Karena T memetakan setiap vektor pada V ke 0 ^ ker(T ) = V.

Apabila 0 adalah satu-satunya bayangan di bawah T dari

vektor-vektor pada V, ^ R (T ) = {0}.

Kernel and Range of the Identity Operator

Jika I:V ^→ V adalah operator identitas.

Dimana I (v) = v untuk semua vektor pada V , setiap vektor pada V adalah bayangan dari suatu vektor, yaitu vektor itu sendiri,

 R ( I ) = V .

Karena satu-satunya vektor yang dipetakan I ke 0 adalah 0,

 ker( I ) = {0}.

Theorem 8.2.1

Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear , maka (a) The kernel of T is a subspace of V.

(b) The range of T is a subspace of W.

Proof (a).

Let v₁ and v₂be vectors in ker(T ), and let k be any scalar. Then

T (v₁ + v₂) = T (v₁) + T (v₂) = 0+0 = 0 so that v₁+ v₂ is in ker(T ).

Also,

T (k v₁) = kT (v₁) = k 0 = 0 so that k v₁ is in ker(T ).

Proof (b).

Let w₁ and w₂ be vectors in the range of T , and let k be any scalar. There are vectors a₁ and a₂ in V such that T (a₁) = w₁ and T(a₂) = w₂ . Let a = a₁ + a₂and b = k a₁ .

Then

T (a) = T (a₁ + a₂) = T (a₁) + T (a₂) = w₁ + w₂ and

T (b) = T (k a₁) = kT (a₁) = k w₁

Peringkat dan Kekosongan Transformasi Linear

• rank (T): peringkat T

Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka dimensi daerah hasil dari T disebut

 peringkat dari T  rank(T).

• nullity (T): the nullity of T

Dimensi kernel disebut kekosongan dari T

 nullity (T).

Theorem 8.2.2

Jika A adalah suatu matriks mxn dan T

_A

:R

ⁿ

→ R

^m

adalah perkalian dengan A, maka

• nullity (T

_A

) = nullity (A )

• rank (T

_A

) = rank (A )

Teorema Dimensi untuk Transformasi Linear

• Theorem 8.2.3

Jika T:V ^→ W adalah suatu transformasi linear dari suatu ruang vektor V berdimensi n ke suatu ruang vektor W, maka

rank (T ) + nullity (T ) = n

 Transformasi linear peringkat ditambah kekosongan

sama dengan dimensi daerah asal.

Contoh

Jika T

_A

: R

⁶

^→ R

⁴

dikalikan oleh

A=

Cari peringkat dan kekosongan T

_A

7 4

4 2

9 4

1 6

4 2

5 2

4 1

0 2

7 3

3 5

4 0

2

1

Bentuk baris-eselon tereduksi A:

Ada 2 baris tak-nol atau ada dua utama 1, maka;

Ruang baris dan ruang kolom berdimensi 2, sehingga

rank(A) = 2 Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:

Untuk mencari kekosongan dari A, cari dimensi ruang penyelesaian dari sistem liner homogen Ax = 0

Ruang Null

Empat vektor membentuk suatu basis untuk ruang penyelesaian, sehingga;

kekosongan(A) = 4

rank(A) = 2  rank(T

_A

) =2

kekosongan(A) = 4  kekosongan (T

_A

) = 4

• rank (T): peringkat T

Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka dimensi daerah hasil dari T disebut

 peringkat dari T  rank(T).

• nullity (T): the nullity of T

Dimensi kernel disebut kekosongan dari T

 nullity (T).

Jika A adakah suatu matriks mxn dan T

_A

:R

ⁿ

→ R

^m

adalah perkalian dengan A, maka

• nullity (T

_A

) = nullity (A )  Kernel T

_A

• rank (T

_A

) = rank (A )  rank T

_A