KONTROL OPTIMUM PENYEBARAN PENYAKIT SARS BERDASARKAN
SUBSISTEM MODEL KOMPARTEMEN
VIVI ARLINA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
ABSTRAK
VIVI ARLINA. Kontrol Optimum Penyebaran Penyakit SARS Berdasarkan Subsistem Model Kompartemen. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan JAHARUDDIN.
SARS merupakan jenis penyakit pernapasan akut berat yang disebabkan oleh coronavirus. Penyakit SARS disebarkan melalui kontak langsung dengan penderita. Seperti diketahui bahwa penyakit SARS memiliki sifat yang menular maka akan ada kemungkinan penambahan penyebaran penyakit SARS. Oleh karena itu dilakukan pengendalian penyebaran penyakit SARS dengan melakukan penanganan karantina terhadap individu yang menjadi sumber utama penyebaran penyakit SARS. Model penyebaran penyakit SARS yang digunakan adalah model kompartemen transmisi penyakit SARS yang terbagi atas blok bebas dan blok terisolasi. Subsistem model kompartemen ini mencakup dua kelas yaitu kelas terekspos dan kelas terinfeksi yang berada dalam blok bebas. Kedua kelas ini menjadi sumber utama dalam penyebaran penyakit SARS. Pengendalian penyebaran penyakit SARS adalah melakukan penanganan karantina terhadap individu yang terekspos dan terinfeksi. Masalah minimisasi waktu dari subsistem model kompartemen dirumuskan dengan masalah kontrol optimum dan diselesaikan dengan menggunakan prinsip minimum Pontryagin. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa semakin besar kontrol karantina yang diberikan dapat mengurangi individu yang terekspos dan terinfeksi dalam waktu yang minimum sehingga dapat mengurangi penyebaran penyakit SARS.
ABSTRACT
VIVI ARLINA. Optimal control of SARS spread based on subsystem compartmental model. Supervised by TONI BAKHTIAR and JAHARUDDIN.
SARS is a type of acute respiratory disease caused by coronavirus. The SARS disease spreads through direct contact with patients. As it is well known that the SARS disease has the infectious nature then there will be a possibility of the addition SARS transmission.Therefore, it is necessary to control the epidemic of SARS disease by quarantining the main source of SARS spread. In this work, we model the SARS spread dynamic in the form of a compartmental model, which divided into free and isolated blocks. In particular, we consider a subsystem of compartmental model which includes only exposed and infected classes in the free block as the main sources of transmission, where we regard quarantine rates as control variables. Problem of completion time minimization is then formulated in term of optimal control problem and solved by using Pontryagin minimum principle. Numerical simulations for a number of different control efforts exhibit that larger effort control is equivalent to the fewer time in reducing the number of exposed and infected individuals, so as diminishing the spread of SARS disease.
KONTROL OPTIMUM PENYEBARAN PENYAKIT SARS BERDASARKAN
SUBSISTEM MODEL KOMPARTEMEN
VIVI ARLINA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul : Kontrol Optimum Penyebaran Penyakit SARS Berdasarkan Subsistem
Model Kompartemen
Nama : Vivi Arlina
NIM : G54080013
Menyetujui,
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc.
Dr. Jaharuddin, M.S.
NIP. 19720627 199702 1 002
NIP. 19651102 199302 1 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP. 19650505 198903 2 004
PRAKATA
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Tema yang penulis pilih adalah Riset Operasi dengan judul Kontrol Optimum Penyebaran Penyakit SARS Berdasarkan Subsistem Model Kompartemen. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1. Keluargaku tercinta: Mama (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan, dan kasih sayang, motivasi dan segalanya), Papa (terima kasih atas doa, dukungan dan kasih sayang), serta kakakku (terima kasih atas doa, kasih sayang, dan motivasinya),
2. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc dan Dr. Jaharuddin, MS selaku dosen pembimbing atas segala kesabaran, ilmu dan masukkannya selama membimbing penulis,
3. Drs. Ali Kusnanto M.Si selaku dosen penguji, Dr. Ir. I wayan Mangku, M.Sc selaku dosen pembimbing akademik, dan seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB,
4. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Mas Heri, Mas Deni, Bu Ade, Bu Susi, Pak Bono, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya),
5. Teman-teman satu bimbingan: Wulan, Chastro, dan Nurhadi yang selalu saling mengingatkan dan memberi motivasi dalam penyusunan skripsi ini,
6. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45: Isna, Santi, Rischa, Wulan, Fenny, Aci, Gita, Bolo, Mega, Dina, Putri, Nurul, Yunda, Fitryah, Anggun, Finata, Dewi, Mya, Rini, Dono, Prama, Chastro, izzudin, Fuka, Ade, Tiwi, Fikri, Haryanto, Irwan, Ari, Herlan, Arbi, Dimas, Beni, Ito, Rianiko, Risman, Wahidi, Ridwan, Nurhadi, Hendri, Ryan, Agustina, Haya, Nova, Dini, Heru, Aisyah, Bram, Anisa, Kunedi, Khafidz, Irma dan semua atas doa, dukungan semangatnya serta kebersamaannya selama 3 tahun di Math’45,
7. Kakak-kakak Matematika angkatan 44: Kak Ruhiyat, Kak Indin, Kak Maryam, Kak Ririh, Kak yuyun, Kak imam, Kak Ali, Kak Rofi, Kak Mutia, Kak Ima, Kak Deva, Kak Nurus, Kak Ayum, Kak Istiti, Kak Aswin, dkk yang telah memberi bantuan serta dukungannya,
8. Sahabat terbaik SMA: Dwi Meylinda, Fawzan Azzima, Odi Sodry, Rohana, Nurul Fitria, Kurniawati, Kak Aqil, Kak putri atas motivasi, dukungannya serta kebersamaan yang penuh warna,
9. Yandhi Prahadian S.Pt atas kasih sayangnya, doa, bantuan, motivasi, serta dukungannya dalam menyusun skripsi,
10. Adik-adik Matematika angkatan 46 dan 47: Fenny, Ivon, Melisa, Windi, Putri, Yoyok, Andri, amel, Reni, Dayat, dkk yang telah memberi dukungan, doa, dan dukungannya, 11. Teman-teman TPB dan Asrama Putri A1 lorong 8 atas rasa kekeluargaan yang telah
diberikan,
12. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil,
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat kekurangan, oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua pihak. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.
Bogor, Mei 2012
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Jakarta pada tanggal 19 Oktober 1990 sebagai anak kedua dari dua bersaudara, anak dari pasangan Bapak Etmon dan Ibu Ismiyanti. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) pada tahun 2002 di SDN 09 Johar Baru, dilanjutkan pendidikan menengah pertama (SMP) diselesaikan pada tahun 2005 di SMPN 77 Jakarta dan pendidikan lanjutan menengah atas (SMA) diselesaikan pada tahun 2008 di SMAN 27 Jakarta. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2009, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai staf Departemen Pengembangan Sumber Daya Manusia periode 2009/2010. Berbagai kegiatan kepanitian penulis ikuti selama menjadi mahasiswi seperti Liga gumatika 2010 sebagai staf Divisi Medis, Math Expo 2010 sebagai Koordinator Acara, MPD 2010 sebagai Sekretaris, Matematika Ria 2010 sebagai staf Divisi Humas, MPD 2011 sebagai Koordianator Acara, dan Matematika Ria 2011 sebagai staf Tim Khusus.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ……… viii
DAFTAR LAMPIRAN .……… viii
i I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ……… 1 1.2 Tujuan ………. 1 1.3 Sistematika Penulisan ……… 1 I II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial ……… 2
2.2 Titik Tetap ………. 2
2.3 Titik Tetap Stabil ………. 2
2.4 Titik Tetap Takstabil ….………... 2
2.5 Pelinearan ..……… 2
2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen .…..……….... 2
2.7 Analisis Kestabilan Titik Tetap .…..…………..……… 2
2.8 Bilangan Reproduksi Dasar ..………... 3
2.9 Kontrol Optimum ………... 4
2.9.1 Prinsip Minimum Pontryagin ………... 4
2.9.2 Kontrol Optimum Linear ……….. 5
i III PEMBAHASAN 3.1 Model Kompartemen ……… 6
3.2 Subsistem Model Kompartemen Transmisi SARS .……… 8
3.3 Kontrol Optimum pada Penyebaran SARS berdasarkan Dua Model Kompartemen ……… 9 3.4 Titik Tetap Dua Model Kompartemen .……… 10
3.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap . .……… 10
3.6 Dinamika Populasi Kelas Terekspos dan Terinfeksi ………. 10
3.6.1 Dinamika Populasi saat β=0 ……….. 11
3.6.2 Dinamika Populasi saat β>0 ……….. 12
I IV SIMPULAN Simpulan ………..…. 13 DAFTAR PUSTAKA ………...… 13 LAMPIRAN ……….….. 14
vii
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1 Diagram trasmisi penyakit SARS yang melibatkan 2 blok dan 7 kompartemen … 6
2 Laju kasus baru pada blok F terhadap waktu ……… 10
3 Dinamika populasi E terhadap waktu pada saat ………. 11
4 Dinamika populasi I terhadap waktu pada saat ………. 11
5 Dinamika populasi E terhadap waktu pada saat ………. 12
6 Dinamika populasi I terhadap waktu pada saat ………. 12
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Bukti kondisi Routh-Hurwitz untuk ……… 152 Bukti kondisi Routh-Hurwitz untuk ……….. 15
3 Bukti Teorema 1 (Prinsip Minimum Pontryagin) ………. 16
4 Penurunan persamaan (3.18) ………. 18
5 Penurunan persamaan (3.19) ………... 19
6 Penentuan nilai variabel dan ………. 20
7 Bukti kontrol optimum adalah ………... 21
8 Pencarian titik tetap dari persamaan (3.32) dan (3.33)……….. 23
9 Program Mapple 12 untuk Gambar 3 ………... 24
10 Program Mapple 12 untuk Gambar 4 ………... 24
11 Program Mapple 12 untuk Gambar 5………. 25
12 Program Mapple 12 untuk Gambar 6 ………... 27
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu ancaman yang berarti di bidang penyakit, sosial, bahkan ekonomi masyarakat adalah penyebaran infeksi virus. Sebagai contoh, penyebaran infeksi penyakit yang berpotensi pandemik adalah penyebaran influenza pada tahun 1918, flu burung yang
merupakan penyakit pernapasan yang
disebabkan oleh virus influenza tipe H5N1,
dan SARS (Severe Acute Respiratory
Syndrome) di akhir tahun 2002-2003. SARS merupakan jenis penyakit pneumonia yang disebabkan oleh coronavirus.
SARS diduga berasal dari Propinsi Guangdong di Cina daratan. Muncul dan menyerang manusia sekitar bulan November 2002. Pada bulan Juli 2003 kejadian luar biasa terjadi di enam wilayah yaitu: Kanada, Cina daratan (yang berasal dari Guangdong), Taiwan, Hongkong, Singapura dan Vietnam. Setelah itu SARS diketahui menyebar ke lebih dari 20 tempat lain di dunia mengikuti rute penerbangan. Sejak pertama kali dilaporkan sampai tanggal 2 Juli 2003, WHO telah mencatat 8442 kasus di 30 negara dengan kematian pada 812 kasus (WHO 2003).
Gejala SARS pada awalnya mungkin hanya dianggap influenza biasa, namun sesudah beberapa hari akan memberat dengan tanda-tanda demam (di atas 38°C), batuk tanpa dahak, suara parau, napas pendek, kesulitan bernapas, nyeri dada, dan nyeri kepala. Gejala lainnya adalah otot terasa kaku, dan timbul bintik-bintik merah. Ini semua adalah gejala yang kasat mata bisa dirasakan langsung oleh orang yang diduga menderita SARS. Sebagian besar kasus SARS hingga saat ini telah terjadi pada orang dewasa dan muda. SARS tampaknya paling sering disebarkan melalui kontak langsung dengan penderita. Sebagai contoh, penyakit ini dapat menyebar dari seseorang yang menderita SARS kepada petugas kesehatan yang mengobati mereka atau kepada keluarganya. Dan memungkinkan pula SARS dapat menyebar dengan mudah dengan cara kontak biasa dalam lingkungan sekelompok orang (Depkes 2003)
Dengan tidak adanya obat dan vaksin yang tepat dalam penanganan penyakit SARS serta mengingat sifat menular dari penyakit ini, akan ada kemungkinan bertambah banyak kasus SARS. Metode yang digunakan untuk mengontrol penyebaran infeksi penyakit SARS antara lain dengan mengkarantina
penderita yang menjadi sumber utama dalam penyebaran virus SARS yakni populasi yang terinfeksi dan terekspos oleh virus SARS (Jiang 2005).
Beberapa model matematika penyebaran penyakit SARS telah dipelajari di beberapa negara, misalnya di Beijing dan Toronto. Namun dalam karya ilmiah ini model yang
digunakan adalah model kompartemen
transmisi penyakit SARS yang diperkenalkan oleh Zhang (Zhang et al. 2005).
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas mengenai strategi kontrol optimal berdasarkan subsistem model kompartemen yang terbagi atas dua blok yaitu blok bebas dan blok terisolasi. Blok bebas adalah blok yang berisi individu- individu yang dapat beraktivitas secara bebas dan dapat berinteraksi satu sama lain tanpa adanya pembatasan, sedangkan blok terisolasi adalah blok yang berisi individu-individu yang aktivitasnya dibatasi, individu-individu di kelas ini terisolasi dari masyarakat. Strategi
kontrol optimal dilakukan untuk
meminimumkan jumlah populasi yang
terinfeksi dan terekspos sehingga dapat meminimalisir penyebaran penyakit endemik SARS.
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Memelajari model kompartemen
transmisi penyakit SARS pada dua blok yang berbeda yakni blok bebas dan blok terisolasi.
2. Menganalisis model kompartemen
transmisi penyakit SARS sehingga dapat meminimumkan jumlah populasi yang terinfeksi dan terekspos.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi beberapa istilah dan konsep dari kontrol optimum linear (solusi bang-bang) beserta analisis kestabilan. Bab ketiga berisi penjelasan model kompartemen, kontrol optimum dari subsistem model kompartemen, serta analisis kestabilan. Dalam bab ini juga disajikan simulasi dari dinamika populasi yang menjadi sumber utama virus SARS. Bab keempat pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan.
II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial (SPD) Sistem persamaan diferensial orde satu dengan persamaan dan buah fungsi yang
tak diketahui dapat ditulis
sebagai berikut:
dengan
Jika linear maka SPD di atas disebut linear, sebaliknya jika tidak linear maka SPD di atas disebut taklinear. Jika tidak bergantung secara eksplisit pada , yaitu
, maka SPD di atas disebut sistem persamaan diferensial mandiri.
SPD linear mandiri dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
dengan adalah matriks koefisien berukuran
dan adalah vektor koefisien berukuran . Jika maka SPD di atas disebut homogen.
Solusi dari SPD linear mandiri homogen berbentuk:
.
disebut dengan solusi trivial. Jika tidak demikian disebut solusi nontrivial.
2.2 Titik Tetap
Misalkan diberikan SPD linear mandiri sebagai berikut:
(2.1) Suatu titik yang memenuhi
disebut titik keseimbangan atau titik tetap dari sistem (2.1).
(Tu 1994) 2.3 Titik Tetap Stabil
Misalkan titik adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan adalah solusi yang
memenuhi kondisi awal dengan
. Titik dikatakan titik tetap stabil
jika dengan ,
maka .
(Verhulst 1990) 2.4 Titik Tetap Takstabil
Misalkan titik adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan adalah solusi yang
memenuhi kondisi awal dengan
. Titik dikatakan titik tetap takstabil
jika dengan ,
maka .
(Verhulst 1990)
2.5 Pelinearan
Untuk suatu SPD taklinear, analisis kestabilannya dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai berikut:
(2.2) Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap , maka persamaan (2.2) dapat ditulis sebagai berikut:
(2.3) Persamaan tersebut merupakan SPD taklinear dengan matriks Jacobi,
dan suku berorde tinggi yang bersifat
. Selanjutnya pada
persamaan (2.3) disebut pelinearan dari sistem taklinear persamaan (2.3) yang dituliskan dalam bentuk
(Tu 1994)
2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan adalah matriks , maka suatu vektor taknol di dalam disebut vektor eigen dari , jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari , berlaku:
(2.4)
Vektor disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang
berukuran , maka persamaan (2.4) dapat
dituliskan sebagai berikut
, (2.5) dengan matriks identitas. Persamaan (2.5) memunyai solusi taknol jika dan hanya jika
. (2.6)
Persamaan (2.6) disebut persamaan
karakteristik.
(Leon 1998) 2.7 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misalkan diberikan SPD linear dengan
.
Persamaan karakteristik SPD di atas, yaitu , dapat ditulis menjadi (2.7) dengan
3
Dari persamaan karakteristik (2.7) diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut:
(2.8)
Analisis kestabilan dilakukan untuk setiap nilai eigen yang diperoleh pada persamaan (2.8), sehingga terdapat tiga kasus yang
bergantung pada nilai .
Kasus I
Nilai eigen yang diperoleh real dan
berbeda dengan solusi yang dapat
dituliskan kembali sebagai berikut:
(2.9)
dengan dan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen dan . Pada kasus ini kestabilan titik tetap memunyai tiga sifat, yaitu
i. Jika nilai eigen negatif dan
dengan dan , maka
dari persamaan (2.9) diperoleh
, sehingga titik tetapnya bersifat simpul stabil.
ii. Jika nilai eigen positif dan
dengan dan , maka
dari persamaan (2.9) diperoleh
, sehingga titik tetapnya bersifat simpul takstabil.
iii. Jika nilai eigen positif dan negatif
dan dengan ,
, dan , maka persamaan (2.9)
diperoleh untuk
atau sebaliknya, akan menuju nol
sepanjang dan menuju takhingga
sepanjang atau sebaliknya sehingga membentuk asimtot pada bidang dan
. Titik tetap ini adalah titik sadel. Kasus II
Nilai eigen yang diperoleh real dan sama dengan solusi yang dapat dituliskan kembali sebagai berikut:
(2.10)
dengan dan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen dan . Pada kasus ini kestabilan titik tetap memunyai dua sifat, yaitu
i. Jika nilai eigen negatif dan
maka dari persamaan (2.10)
diperoleh , sehingga titik
tetapnya bersifat stabil.
ii. Jika nilai eigen positif dan
maka dari persamaan (2.10)
diperoleh , sehingga
titik tetapnya bersifat takstabil.
Kasus III
Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen kompleks. Misalkan nilai eigen yang
diperoleh adalah . Solusi sistem
yang didapat sebagai berikut:
Pada kasus ini kestabilan titik tetap memunyai tiga sifat, yaitu
i. Jika (bagian realnya positif) maka titik tetap bersifat spiral takstabil.
ii. Jika (bagian realnya negatif) maka titik tetap bersifat spiral stabil.
iii. Jika nilai eigen merupakan
imajiner murni, maka titik tetap bersifat center yang selalu stabil.
(Strogatz 1994) Selain menggunakan cara di atas, analisis kestabilan titik tetap dapat di kaji berdasarkan kondisi Rout-Hurwitz .
Misalkan adalah
bilangan-bilangan real dengan jika
. Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik
memunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks untuk
setiap
adalah positif.
(Fisher,1990) Menurut kondisi Routh-Hurwitz, untuk
berlaku bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika,
.
(Tu 1994)
Bukti untuk kasus dan lihat
Lampiran 1 dan 2
2.8 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar adalah rata-rata banyaknya individu yang rentan terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang telah terinfeksi bila individu yang telah terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Bilangan reproduksi dasar dilambangkan dengan .
4
Beberapa kondisi yang akan timbul, yaitu
1. Jika , maka penyakit akan
menghilang.
2. Jika , maka penyakit akan
menetap.
3. Jika , maka penyakit akan
meningkat menjadi wabah.
(Giescecke 1994) 2.9 Kontrol Optimum
Alat yang paling penting dari
pengoptimuman dinamis adalah teori kontrol optimum. Teori kontrol optimum berkembang secara pesat pada akhir tahun 1950 sejak diperkenalkan oleh Pontryagin [Tu,1994]. Masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol di antara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal pada waktu kepada state terminal pada waktu terminal , sedemikian rupa sehingga memberikan nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsional objektif.
Pada masalah ekonomi yang berkembang menurut waktu , sistem berada dalam keadaan atau kondisi (state) tertentu, yang dapat diungkapkan dengan peubah keadaan
(state variable) atau
dalam bentuk vektor . Dengan nilai
yang berbeda, vektor menempati posisi yang berbeda di ruang sehingga dapat dikatakan bahwa sistem bergerak sepanjang kurva di .
Dalam tulisan ini, individu-individu yang terjangkit virus SARS adalah peubah keadaan (state variable) yang dapat dikontrol atau dikendalikan. Artinya ada fungsi atau peubah kontrol yaitu laju karantina terhadap individu tersebut yang memengaruhi proses.
Sistem dinamika dapat dinyatakan secara matematik melalui persamaan diferensial:
(2.11) Misalkan diketahui keadaan sistem pada
waktu yaitu . Jika dipilih
peubah kontrol yang terdefinisi
untuk maka diperoleh persamaan
diferensial orde satu dengan peubah taktentu . Karena diberikan, maka persamaan (2.11) memunyai solusi tunggal.
Solusi yang diperoleh merupakan respon
terhadap yang dilambangkan dengan .
Dengan memiliki fungsi kontrol yang sesuai, berbagai solusi dapat diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya untuk setiap kontrol
dan responnya state dihubungkan dengan fungsi
dengan fungsi yang diberikan. tidak harus fixed (ditentukan) dan memunyai kondisi tertentu.
Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan salah satu
sehingga menjadi maksimum. Kontrol
bersifat demikian disebut kontrol optimum.
Permasalahan kontrol optimum dapat
dinyatakan sebagai masalah meminimumkan suatu fungsional dengan kendala:
sehingga dapat dilihat bahwa dengan
mengganti peubah dengan pada
fungsional , maka permasalahan kalkulus variasi sama dengan permasalahan kontrol optimum.
(Tu 1993) 2.9.1 Prinsip Minimum Pontryagin
Syarat perlu untuk meminimumkan suatu besaran dalam masalah kontrol optimum
adalah terpenuhinya prinsip minimum
Pontryagin.
Misalkan terdapat masalah memilih
suatu vektor kontrol
dari himpunan semua fungsi yang kontinu bagian demi bagian. Kontrol optimum dipilih untuk membawa sistem dinamik
dari keadaan awal ke keadaan akhir . Jadi masalah kontrol optimum adalah meminimumkan
dengan adalah peubah keadaan dan
didefinisikan sebagai fungsi scrap.
Fungsi scrap adalah fungsi yang
menggambarkan keadaan sistem di akhir periode. Prinsip Minimum Pontryagin dapat diringkas dalam teorema berikut:
Teorema 1 (Prinsip Minimum Pontryagin)
Misalkan sebagai kontrol
admissible yang membawa state awal kepada target state terminal , dengan dan secara umum tidak ditentukan. Misalkan merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan
5
. Supaya kontrol merupakan
kontrol optimum maka perlu terdapat fungsi
vektor sedemikian sehingga
1. dan merupakan solusi dari
sistem kanonik
dengan fungsi hamilton diberikan oleh . 2.
3. Semua syarat batas terpenuhi. Bukti: [Lihat Lampiran 3]
(Tu 1993) 2.9.2 Kontrol Optimum Linear
Pada kasus tertentu, peubah kontrol dapat berada dalam fungsi hamilton secara linear. Masalah kasus di atas disebut masalah kontrol optimum linear. Fungsi hamilton dari masalah kontrol optimum linear dituliskan sebagai berikut:
dengan ialah kelompok semua
koefisien dari yang mengandung peubah
kontrol , sedangkan ialah
kelompok koefisien lain dari yang tidak mengandung . Secara umum, tidak akan terjadi ekstremum kecuali peubah kontrol dibatasi, di mana nilai ekstremum terjadi pada batas dari daerah admissible.
Misalkan vektor kontrol
dari himpunan semua fungsi yang kontinu bagian demi bagian.
misalkan , maka untuk setiap
dengan merupakan nilai minimum yang dapat dicapai oleh serta merupakan nilai maksimum yang dapat dicapai oleh . Karena fungsi hamilton linear terhadap peubah kontrol maka minimisasi terjadi di batas
, yaitu
. Perhatikan sistem berikut
(2.13) dengan adalah vektor berdimensi n, vektor berdimensi m, A adalah matriks
dan adalah matriks , ,
( ). Kontrol harus dipilih sehingga
mentransfer sistem dari posisi awal ke
posisi akhir , di mana .
Misalkan tujuan dari masalah kontrol
optimum adalah meminimumkan waktu ,
maka ditulis dengan kendala (2.15) (2.16) dengan . (2.17) dan
Fungsi hamilton untuk sistem (2.14-2.17) adalah sebagai berikut
(2.18) Berdasarkan Teorema 1 sebelumnya mengenai prinsip minimum Pontryagin didapat
(2.19) Misalkan matriks dinyatakan sebagai berikut:
dengan menyatakan
kolom ke- dari matriks . Jika koefisien kontrol dari komponen dari setiap kolom ke- pada persamaan (2.18) adalah
maka diperoleh
.
(2.20)
Asumsikan bahwa komponen kontrol
saling bebas. Meminimumkan
dengan
dan pada persamaan (2.18) diperoleh kontrol berikut:
dengan . (2.21)
III PEMBAHASAN
3.1 Model Kompartemen
Dalam penulisan karya ilmiah ini, model
yang akan dibahas adalah model
kompartemen transmisi penyakit SARS. Total populasi dalam model ini dibagi menjadi dua blok yaitu blok F dan blok Q. Blok F berisi individu-individu yang dapat beraktivitas secara bebas dan dapat berinteraksi satu sama lain tanpa adanya pembatasan. Sedangkan blok Q berisi individu-individu yang aktivitasnya dibatasi. Individu terkena virus SARS di blok Q tidak mampu mentransmisi penyakit SARS ke blok F.
Blok F terdiri atas empat kelas individu yang berbeda yaitu:
1. Kelas rentan (suscepted), yaitu kelas yang berisi individu-individu yang sehat namun rentan (tidak kebal) terhadap virus SARS. Banyaknya individu dalam kelas ini pada saat dinotasikan dengan . 2. Kelas terekspos (exposed), yaitu kelas
yang berisi individu-individu yang terjangkit virus SARS namun belum tampak tanda penyakitnya. Banyaknya individu dalam kelas ini pada saat
dinotasikan dengan .
3. Kelas terinfeksi (infectious), yaitu kelas yang berisi individu-individu yang
terkena virus SARS dan dapat
menularkan penyakitnya
(individu-individu dalam kelas ini menjadi sumber
utama penyebaran wabah SARS).
Banyaknya individu dalam kelas ini pada saat dinotasikan dengan .
4. Kelas sembuh (recovered), yaitu kelas yang berisi individu-individu yang kebal (sembuh) setelah terinfeksi virus SARS.
Banyaknya individu dalam kelas ini pada saat dinotasikan dengan .
Blok Q terdiri atas tiga kelas individu yang berbeda pada waktu yaitu:
1. Kelas yang dicurigai (suspected), yaitu kelas yang berisi individu-individu yang dicurigai membawa virus SARS (tetapi belum didiagnosis) atau individu-individu yang bukan terjangkit virus SARS (tetapi ada kemungkinan salah diagnosis bahwa ternyata individu tersebut terjangkit virus SARS). Banyaknya individu dalam kelas ini pada saat dinotasikan dengan . 2. Kelas terdiagnosis (diagnosed), yaitu
kelas yang berisi individu-individu yang ditetapkan sebagai pembawa virus SARS. Individu ini telah dikarantina dan didiagnosis (individu di kelas ini sepenuhnya terisolasi bahkan individu ini juga akan meninggal atau sembuh dengan kekebalan yang diperoleh). Banyaknya individu dalam kelas ini pada saat
dinotasikan dengan .
3. Kelas perawat kesehatan, yaitu kelas yang berisi individu-individu yang bekerja sebagai perawat kesehatan di
rumah sakit yang dicurigai atau
terdiagnosis virus SARS karena
berhadapan langsung oleh individu yang terkena SARS. Banyaknya individu dalam kelas ini pada saat dinotasikan
dengan .
Dengan demikian penyebaran penyakit SARS mengikuti model kompartemen yang terdiri atas dua blok. Model ini dapat digambarkan dalam bentuk bagan yang diperlihatkan pada Gambar 1.
7
Seperti yang terlihat pada Gambar 1, ketika ada kontak antara seorang individu yang rentan dan seorang individu yang terinfeksi, individu yang rentan menjadi terinfeksi dan masuk ke dalam kelas terekspos. Individu ini tidak memiliki gejala namun memunyai infektivitas rendah atau tidak ada.
Namun apabila memiliki gejala maka sebagian individu yang rentan akan diisolasi dan masuk ke dalam kelas yang dicurigai untuk dilakukan tindakan isolasi secara ketat. Sebagian lainnya yang tidak terisolasi masuk ke dalam kelas terinfeksi. Individu terinfeksi dan sebagian individu di kelas yang dicurigai akan dimasukkan ke dalam kelas diagnosis apabila telah menunjukkan gejala SARS dan telah didiagnosis bahwa individu tersebut terjangkit virus SARS. Setelah itu individu kelas diagnosis akan masuk ke dalam kelas pemulihan agar memperoleh kekebalan.
Dalam model ini, banyaknya individu yang rentan lebih besar dibandingkan dengan jumlah individu yang terinfeksi. Akibatnya, individu kelas rentan menuju kelas terekspos tidak harus proporsional dengan jumlah
individu yang rentan. Kelas perawat
kesehatan, kelas yang dicurigai dan kelas terdiagnosis SARS secara ketat diisolasi dari kontak dengan blok F. Namun masih ada hal yang perlu diperhatikan, bahwa apabila pekerja kesehatan tersebut melakukan kontak dengan individu dari kelas yang dicurigai atau kelas terdiagnosis, maka sekali terinfeksi pekerja kesehatan tersebut akan masuk ke kelas terdiagnosis.
Dari semua penjelasan di atas dapat
dituliskan dalam bentuk
persamaan-persamaan berikut untuk model kompartemen (Gambar 1)
dengan
: laju masuknya individu pada kelas rentan ( ; orang/hari),
: laju masuknya individu pada kelas
terekspos ; orang/hari),
: laju masuknya individu pada kelas terinfeksi ; orang/hari), : laju masuknya individu pada kelas
perawat kesehatan ; orang/hari),
: tingkat kesalahan mendiagnosis individu dari kelas rentan menuju kelas
yang dicurigai ),
: laju keluarnya individu dari kelas yang dicurigai menuju kelas rentan
; orang/hari),
: laju perpindahan individu dari kelas terekspos ke kelas terinfeksi ( ; orang/hari),
: laju perpindahan individu dari kelas terekspos ke kelas yang dicurigai ( ; orang/hari),
: laju perpindahan individu dari kelas terinfeksi ke kelas terdiagnosis
( ; orang/hari),
: laju perpindahan individu dari kelas yang dicurigai ke kelas terdiagnosis
( ; orang/hari),
: laju kematian yang disebabkan oleh
virus SARS ( ; orang/hari),
: tingkat pemulihan (kesembuhan)
( ).
Besaran merupakan laju
perpindahan individu pada kelas rentan menuju kelas terekspos yang dapat dinyatakan oleh persamaan berikut:
dengan
: peluang penularan dari kelas terekspos, : peluang penularan dari kelas terinfeksi,
: laju kontak dari kelas terekspos, : laju kontak dari kelas terinfeksi.
Besaran merupakan laju
perpindahan individu pada kelas perawat kesehatan menuju kelas terdiagnosis yang dapat dinyatakan oleh persamaan berikut:
8
dengan
: peluang penularan dari kelas yang dicurigai,
: peluang penularan dari kelas
terdiagnosis,
: laju kontak dari kelas yang dicurigai, : laju kontak dari kelas terdiagnosis. Banyaknya kasus baru per satuan waktu
Kasus baru per satuan waktu merupakan kasus di mana terjadi kontak antara individu pembawa virus SARS (carrier) dengan individu yang rentan (untuk blok F) atau individu yang bekerja sebagai perawat kesehatan (untuk blok Q).
Banyaknya kasus baru per unit waktu pada blok F dinyatakan pada persamaan berikut:
Sedangkan kasus baru per unit waktu pada blok Q dinyatakan pada persamaan berikut:
Rasio Penularan
Rasio penularan merupakan
perbandingan peluang penularan dengan laju kontak/sentuh antara dua kelas individu yang berbeda. Nilai rasio penularan ini dinotasikan oleh . Rasio penularan ini terdiri dari dua yaitu rasio penularan pada blok F dan blok Q.
Rasio penularan pada blok F, yaitu rasio penularan antara individu-individu di kelas terekspos dan terinfeksi, dapat ditulis sebagai berikut:
Sedangkan rasio penularan pada blok Q, yaitu rasio penularan antara individu-individu di kelas yang dicurigai dan terdiagnosis, dapat ditulis sebagai berikut
3.2 Subsistem model kompartemen transmisi SARS
Pada pembahasan selanjutnya model kompartemen transmisi penyakit SARS yang telah dijelaskan sebelumnya (Gambar 1) akan direduksi menjadi empat komponen kelas yang menjadi faktor utama dalam penyebaran virus SARS yakni kelas terekspos, kelas
terinfeksi, kelas yang dicurigai, dan kelas terdiagnosis. Diasumsikan bahwa individu pada kelas terekspos dan terinfeksi berasal dari kelas rentan mengakibatkan nilai variabel dan bernilai nol artinya tidak ada laju masuknya individu ke dalam kelas tersebut. Dari persamaan (3.1) sampai (3.7) diperoleh subsistem model transmisi penyakit SARS sebagai berikut:
Persamaan (3.14) dapat disederhanakan dengan menggunakan persamaan (3.8), (3.10), dan (3.12) sehingga dapat ditulis sebagai berikut:
Persamaan (3.17) dapat disederhanakan dengan menggunakan persamaan (3.9), (3.11) dan (3.13) sehingga dapat ditulis sebagai berikut:
Penurunan persamaan (3.18) dan (3.19) dapat dilihat pada Lampiran 4 dan 5.
Dengan demikian subsistem model
transmisi SARS yang baru diperoleh sebagai berikut:
Pada persamaan subsistem model
transmisi SARS di atas dapat diubah dalam bentuk matriks sebagai berikut:
9
Individu di dalam kelas dan bukan menjadi sumber utama SARS yang tersebar di masyarakat, melainkan dampak penyebaran SARS di masyarakat. Jika individu di kelas dan di blok Q secara ketat dikarantina dari blok F, mereka tidak dapat menginfeksi individu lain di masyarakat. Kenyataannya, kelas terekspos ( dan kelas terinfeksi ( ) adalah sumber utama dari epidemik SARS yang menyebar di masyarakat. Mereka juga menjadi sumber utama dari kelas yang dicurigai ( ) dan kelas terdiagnosis ( ). Individu dari kelas yang dicurigai dan kelas terdiagnosis keduanya datang dari kelas terekspos dan kelas terinfeksi.
Oleh karena itu untuk mengendalikan penyebaran penyakit SARS, akan dilakukan pengontrolan terhadap kelas terekspos dan kelas terinfeksi. Dari subsistem (3.24) akan direduksi menjadi subsistem berikut ini:
(3.25) Subsistem (3.25) di atas merupakan dua model kompartemen yang akan diminimalkan jumlah individu yang berada dalam kedua kelas tersebut.
3.3 Kontrol optimum pada penyebaran SARS berdasarkan dua model kompartemen
Berdasarkan subsistem dua model
kompartemen yang telah dijelaskan
sebelumnya, didefinisikan vektor state dan vektor kontrol sebagai berikut:
, .
Selanjutnya dengan memisalkan
, ,
maka subsistem (25) dapat ditulis menjadi:
Dari pembahasan sebelumnya, adalah laju perpindahan individu dari kelas terekspos ke kelas yang dicurigai, sedangkan adalah laju perpindahaan individu dari kelas terinfeksi ke kelas terdiagnosis. Namun pada
kenyataannya bahwa merupakan laju
karantina dari kelas terekspos ke kelas yang
dicurigai dan merupakan laju karantina dari kelas terinfeksi ke kelas terdiagnosis.
Oleh karena itu akan menjadi
vektor kontrol. Interval nilai dari dan
adalah dan .
Selanjutnya akan dibahas mengenai penyelesaian dua model kompartemen (3.26) dengan memberikan nilai awal dan nilai akhir pada vektor state sebagai berikut:
, .
Masalah kontrol yang dihadapi adalah mencari kontrol optimum pada kelas utama yaitu kelas terekspos (eksposed) dan kelas terinfeksi (infectious) dengan tujuan
meminimumkan waktu yaitu:
dengan kendala: di mana , dan , , .
Dari masalah kontrol optimum (3.27) didapatkan fungsi hamilton sebagai berikut:
, (3.28)
dengan . Karena linear
terhadap peubah kontrol dan , maka diperoleh kontrol optimum sebagai berikut:
(3.29)
. (3.30)
Nilai dari variabel dan adalah atau 0 untuk semua nilai di manaDalam sistem ini kontrol optimal dari kedua variabel tersebut adalah . Jadi nilai dari
dan sehingga penyebaran
SARS pada nilai awal
akan mencapai target dalam
10
Bukti bahwa kontrol optimum adalah dapat dilihat pada lampiran 7.
Karena peubah kontrol dan
bernilai maka diperoleh subsistem baru sebagai berikut:
(3.31) 3.4 Titik tetap dua model kompartemen
Analisis titik tetap pada SPD sering digunakan untuk menentukan suatu solusi konstan. Pada subsistem (31) telah diperoleh dua model kompartemen baru yaitu:
Titik tetap dari persamaan (3.32) dan (3.33) diperoleh dari persamaan-persamaan berikut:
,
Solusi dari kedua persamaan tersebut adalah , yang merupakan titik tetap dari persamaan (3.32) dan (3.33).
3.5 Analisis kestabilan titik tetap
Dari persamaan (3.32) dan (3.33) didefinisikan:
Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, di sekitar titik tetap , maka diperoleh matriks Jacobi:
Nilai eigen matriks diperoleh dengan
menyelesaikan persamaan karakteristik
berikut: dengan
.
Jika , maka . Dengan demikian
berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, titik stabil, jika . Berikut akan didefinisikan bilangan reproduksi dasar dari
blok F berdasarkan variabel .
, atau atau atau Dengan mendefinisikan
Jadi sistem stabil asimtotik jika
dan sadel jika .
merupakan kondisi di mana penyakit SARS tidak dapat bertahan dalam populasi.
Sebaliknya, merupakan kondisi di
mana penyakit SARS dapat bertahan dan meningkat dalam populasi.
3.6 Dinamika populasi kelas terekspos dan kelas terinfeksi.
Untuk mengetahui pengaruh laju
karantina dari kelas terekspos ke kelas yang dicurigai ( dan laju karantina dari kelas terinfeksi ke kelas terdiagnosis ( maka diperlukan kurva yaitu kurva laju kasus baru pada blok F di mana terdapat kontak
antara individu pembawa virus SARS
(carrier) dengan individu pada kelas rentan. Data kurva disajikan dalam tulisan Zhang et al. (2005) yang diperoleh dari kasus di Cina. Berikut ini grafik dari kurva tersebut.
Gambar 2 laju kasus baru pada blok F terhadap waktu .
Kurva di atas menunjukan data dari laju kasus baru di mana terjadi kontak antara individu pembawa virus SARS dengan individu pada kelas rentan per satuan waktu. Dari kurva tersebut dengan menggunakan regresi eksponensial, diperoleh persamaan sebagai berikut:
0.242 .
Persamaan di atas merupakan laju kasus baru per satuan waktu yang akan digunakan untuk melihat dinamika populasi kelas terekspos dan terinfeksi dengan adanya
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
11
kontrol yang merupakan laju karantina dari kelas terekspos dan terinfeksi. Pada proses penggambarannya nilai awal jumlah individu pada kelas terekspos sebesar 5325 jiwa dan jumlah individu kelas terinfeksi sebesar 213 jiwa. Dengan rasio penularan antara kelas terekspos dan kelas terinfeksi sebesar 0.1. Sedangkan laju perpindahan individu kelas terekspos menuju kelas terinfeksi sebesar 0.04, serta laju kematian pada kelas terinfeksi sebesar 0.0046. Dengan menyubstitusikan seluruh parameter yang telah ditentukan ke dalam dua model kompartemen yang menjadi sumber utama penyakit SARS diperoleh:
Dalam karya ilmiah ini dianalisis pada
dua situasi yaitu dan . Situasi
pertama menggambarkan tidak adanya usaha untuk mengendalikan laju penularan. Situasi
kedua menunjukan adanya usaha dari
pemerintah atau pihak-pihak terkait untuk
mengendalikan laju penularan melalui
peningkatan proses karantina. 3.6.1 Dinamika populasi saat
Proses penggambarannya dengan
menggunakan Mapple 12 dievaluasi ketika
, , , dan
dengan nilai awal
dan .
Dengan mensubtitusikan seluruh nilai parameter ke dalam bilangan reproduksi dasar (3.34) diperoleh:
. Terlihat bahwa nilai dari dipengaruhi oleh
waktu . Ketika , Nilai jika
dan hanya jika dan jika
dan hanya jika . Artinya saat kontrol laju karantina dari kelas terekspos maupun kelas terinfeksi bernilai nol dinamika populasi dalam waktu kurang dari 36 hari akan
bertahan bahkan meningkat sehingga
penyebaran penyakit SARS semakin
meningkat. Namun dalam kurun waktu lebih dari 36 hari penyebaran penyakit virus SARS akan mulai berkurang dikarenakan individu meninggal atau sembuh dengan sendirinya.
Berikut akan ditampilkan gambar dinamika populasi kedua kelas berdasarkan kontrol laju karantina saat bernilai nol.
Gambar 3 Dinamika populasi terhadap
waktu pada saat .
Pada Gambar 3 dapat dilihat bahwa ketika bernilai nol, kurva pada awalnya hanya sedikit mengalami penurunan namun setelah itu meningkat dan dalam kurun waktu kurang dari 25 hari bertahan pada populasi yang jumlahnya lebih dari 5000 jiwa. Namun dalam kurun waktu lebih dari 25 hari jumlah individu dalam kelas terekspos akan stabil
turun menuju kestabilan .
Gambar 4 Dinamika populasi terhadap
waktu pada saat .
Pada Gambar 4 dapat dilihat bahwa ketika bernilai nol, dinamika populasi kelas terinfeksi meningkat hingga lebih dari 8000 jiwa sampai kurun waktu kurang dari 80 hari. Namun butuh waktu yang sangat lama jumlah populasi kelas terinfeksi akan menuju
kestabilan . Terlihat dalam grafik
bahwa dalam kurun waktu 1500 hari jumlah individu kelas terinfeksi mencapai nol jiwa. Penurunan jumlah individu kelas terinfeksi
12
dalam jangka panjang ini disebabkan karena individu tersebut meninggal atau sembuh dengan sendirinya.
3.6.2 Dinamika populasi saat
Proses penggambarannya dengan
menggunakan Mapple 12 dievaluasi ketika
; ; , , ,
dan
dengan nilai awal dan
.
Ketika nilai
mengakibatkan nilai untuk setiap
yang mengakibatkan titik tetap stabil asimtotik. Artinya penyakit SARS akan berkurang dalam populasi sehingga dapat meminimumkan penyebaran penyakit SARS.
Berikut akan ditampilkan gambar secara keseluruhan dinamika populasi kedua kelas berdasarkan kontrol laju karantina saat dinaikkan setengah, satu, dan dua kali lipat.
Gambar 5 dinamika populasi terhadap
waktu pada saat .
Pada Gambar 5 terlihat bahwa, ketika kurva tersebut dibandingkan berdasarkan nilai
yaitu , , dan .
Semakin besar nilai , kurva terlihat semakin signifikan stabil turun sebelum menuju
kestabilan . Banyaknya individu
yang terekspos ketika dalam kurun
waktu 11 hari jumlah individu dalam kelas terekspos mencapai nol jiwa, sedangkan
ketika memerlukan waktu 6 hari
sampai jumlah populasinya menuju nol jiwa.
Namun ketika nilai dalam kurun waktu
3 hari jumlah individu terekspos sudah mencapai nol jiwa. Ini menunjukan bahwa semakin cepat laju karantina terhadap individu terekspos akan mempercepat mengurangi banyaknya individu dalam kelas terekspos, sehingga dapat meminimalisir penyebaran penyakit SARS.
Gambar 6 Dinamika populasi terhadap
waktu pada saat .
Pada Gambar 6 terlihat bahwa, ketika kurva tersebut dibandingkan berdasarkan nilai
yaitu , , dan .
Semakin besar nilai , kurva terlihat semakin cepat signifikan stabil turun sebelum menuju
kestabilan . Banyaknya individu
yang terinfeksi ketika dalam kurun waktu 16 hari jumlah individu dalam kelas terinfeksi mencapai nol jiwa, sedangkan
ketika memerlukan waktu 7 hari
sampai jumlah populasinya menuju nol jiwa.
Namun ketika nilai dalam kurun waktu
3 hari jumlah individu terinfeksi sudah mencapai nol jiwa. Ini menunjukan bahwa semakin cepat laju karantina terhadap individu terinfeksi akan mempercepat mengurangi banyaknya individu dalam kelas terinfeksi, sehingga dapat meminimalisir penyebaran penyakit SARS.
:
: ::
: :15
IV SIMPULAN
Dalam model kompartemen transmisipenyakit SARS, dapat diketahui ada dua kelas yang menjadi sumber utama penyebaran penyakit SARS yakni kelas terekspos dan terinfeksi. Peminimuman jumlah populasi yang terekspos dan terinfeksi dapat dilakukan dengan penanganan karantina terhadap kedua kelas tersebut. Kontrol optimal yang didapat dalam subsistem model kompartemen ini adalah besaran laju karantina dari kelas terekspos ke kelas yang dicurigai dan laju karantina dari kelas terinfeksi ke kelas terdiagnosis di mana nilai dari kedua besaran laju tersebut sama.
Titik tetap pada subsistem model
kompartemen adalah nol. Perubahan
kestabilan titik tetap ini dipengaruhi bilangan reproduksi dasar. Dinamika populasi ketika bilangan reproduksi dasar virus kurang dari satu, maka sistem lebih cepat menuju kestabilan. Sebaliknya, jika bilangan reproduksi dasar lebih besar dari satu maka sistem tidak stabil. Jika bilangan reproduksi dasar mendekati nol maka jumlah individu dalam kelas terekspos dan terinfeksi semakin cepat menurun dan akhirnya habis.
Dalam penelitian ini, jika laju karantina pada kelas terekspos dan terinfeksi bernilai nol maka jumlah individu dalam kelas terekspos dan terinfeksi semakin meningkat serta membutuhkan waktu yang sangat lama agar jumlah individu dalam kedua kelas tersebut minimum. Ketika laju karantina bernilai satu dibutuhkan waktu kurang lebih tujuh hari agar jumlah individu terinfeksi dan terekspos minimum dan ketika laju karantina diturunkan dua kali lipat, yaitu
dibutuhkan waktu kurang dari 18 hari sehingga individu di dalam kedua kelas tersebut minimum. Namun ketika kontrol karantina dinaikkan dua kali lipat, yaitu mengakibatkan jumlah individu dalam kelas terekspos dan terinfeksi minimum hanya dalam kurun waktu kurang dari tiga hari. Semakin besar laju karantina terhadap kelas
terinfeksi dan terekspos akan cepat
mengurangi jumlah individu kelas terekspos dan terinfeksi sehingga akan meminimumkan penyebaran penyakit SARS.
DAFTAR PUSTAKA
[Depkes] Departemen Kesehatan.2003. SARS. http://www.mediacastore.com/Severe _Acute_Respiratory_Syndrome_SAR S
.
[25 Januari 2012]Fisher SD. 1990. Complex Variables Second
Edition. Wadsworth & Brooks/Cole Books & Software. Pasific Grove California.
Gieseacke J. 1994. Modern Infectious
Diasease Epidemilogy. Oxford Universty Pres, New York.
Jiang C. 2007. Optimal Control of SARS Epidemic based on Cybernetics. International Journal of System Science, 38: 451-457.
Leon SJ. 1998. Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi ke-5. Terjemahan Alit Bondan. Erlangga
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and
Chaos with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Perseus Books, New York.
TU PNV. 1994. Dynamical System, An
Introduction with Application in Economics and Biology. Second
Revised and Enlarged Edition.
Spriger Verlag, Berlin.
Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential
Equation and Dynamical System. Spriger Verlag, Germany.
[WHO] World Health Organization. 2003. SARS.
http://www.wikipedia.org/wiki. SARS. [25 Januari 2012].
Zhang J, Lou J, Ma Z, Wu J. 2005. A Compartement Model for Analysis of Transmission Patterns and Outbreak Control Measures in China. Applied Mathematics and Computation, 162: 904-924.
1
15
Lampiran 1 Bukti Kondisi Routh-Hurwitz untuk
Misalkan dan bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan
karakteristik adalah negatif jika dan hanya jika dan bernilai positif.
Bukti:
Dari persamaan , maka , , dan dan jika
selainnya. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka bagian real dari setiap akar polinomial adalah negatif jika dan hanya jika dan positif, di mana:
(1) (2) Dari (1) diperoleh
Dari (2) diperoleh .
Dengan demikian diperoleh bahwa bagian real dari setiap akar polinomial
adalah negatif jika dan hanya jika dan .
Lampiran 2 Bukti Kondisi Routh-Hurwitz untuk
Misalkan , , dan bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan
karakteristik adalah negatif jika dan hanya jika , bernilai
positif dan Bukti:
Dari persamaan , maka , , , dan
jika selainnya. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka bagian real dari setiap akar
polinomial adalah negatif jika dan hanya jika , ,
positif dimana: (1) (2) (3) Dari (1) diperoleh Dari (2) diperoleh
Dari (3) diperoleh yang dapat diubah dalam bentuk , sehingga dari
(2) diperoleh nilai .
Dengan demikian diperoleh bahwa bagian real dari setiap akar polinomial
16
Lampiran 3 Bukti Teorema 1 (Prinsip Minimum Pontryagin) Misalkan akan diminimumkan
dengan kendala : (2)
Misalkan , sedangkan dan keduanya tidak ditentukan. Fungsi “Scrap”
dapat didefinisikan sebagai
sehingga persamaan (1) menjadi
dengan
,
, , dan secara sederhana dapat dituliskan sebagaidan . Untuk meminimumkan pada persamaan (4) tidak dipengaruhi oleh pada saat tetapi ditentukan oleh bentuk integral pada suku kedua oleh persamaan (4).
Selanjutnya didefinisikan fungsional objektif yang diperbesar sebagai berikut:
dengan
Bentuk disebut Hamiltonian
.
Syarat perlu agar fungsional (5) memiliki nilai ekstrim adalah
.
Berdasarkan kalkulus variasi maka diperoleh17
Agar persamaan (7) dipenuhi, maka persamaan Euler harus dipenuhi, yaitu
sehingga
dan berakibat
(9)
Variasi dan memberikan sifat saling bebas sehingga koefisiennya bernilai nol, yaitu
dan
.
Persamaan (6) memberikan dan,
sehingga
Selanjutnya syarat batas diberikan oleh suku terakhir persamaan (7), yaitu
(12)
Karena
maka persamaan (12) menjadi
(13) persamaan ini dikenal sebagai transversality condition atau syarat batas.
Apabila dan belum ditentukan, maka syarat batas menjadi
18
Lampiran 4 Penurunan persamaan (3.18)
Diketahui persamaan (3.8), (3.10),(3.12), dan (3.14) sebagai berikut
Persamaan (3.8) akan diuraikan menjadi:
Kemudian subtitusi persamaann (3.8), (3.10), dan (3.12) ke persamaan (3.14) sehingga diperoleh persamaan (3.18).
atau
19
Lampiran 5 Penurunan persamaan (3.19)
Diketahui persamaan (3.9), (3.11),(3.13), dan (3.17) sebagai berikut
Persamaan (3.9) akan diuraikan menjadi:
Kemudian subtitusi persamaann (3.9), (3.11), dan (3.13) ke persamaan (3.17) sehingga diperoleh persamaan (3.19).
atau
20
Lampiran 6 Penentuan nilai variabel dan Fungsi objektif nya adalah:
Dengan kendala:
,
, Fungsi Hamilton
Fungsi hamilton yang berpadanan dengan masalah di atas adalah:
]
Karena merupakan fungsi linear dari dan dengan nilai interval kedua variabel
21
Lampiran 7 Bukti kontrol optimum adalah
Pada masalah kontrol optimum linear pada pembahasan maka diperoleh kontrol
Diketahuisubsistem (3.25)
Akan dianalisis nilai eigen pada dua nilai variabel yang berbeda yakni
Jika
dan
Jika dan
1. Jika dan maka subsistem (3.25) menjadi
Misalkan ,
kemudian dicari nilai eigen dari subsistem (3.25) menggunakan persamaan karakteristik .
Sehingga diperoleh nilai eigennya adalah
2. Jika dan maka subsistem (3.25) menjadi
Misalkan ,
kemudian dicari nilai eigen dari subsistem (3.25) menggunakan persamaan karakteristik .
22
Sehingga diperoleh nilai eigennya adalah
Dari keempat nilai eigen yang diperoleh pada kondisi satu dan dua diperoleh bahwa :
Karena nilai eigen pada kondisi kedua lebih kecil dari pada kondisi pertama maka subsistem
23
Lampiran 8 Pencarian titik tetap dari persamaan (3.32) dan (3.33) Titik tetap akan diperoleh dengan menetapkan
(i)
(ii)
Dari persamaan (ii) dapat disederhanakan sehingga diperoleh nilai
Dengan mensubtitusikan ke dalam persamaan (i) akan diperoleh nilai
atau
atau
atau
atau
24
Lampiran 9 Program Mapple 12 untuk Gambar 3
>
>
Lampiran 10 Program Mapple 12 untuk Gambar 4
>
25
Lampiran 11 Program Mapple 12 untuk Gambar 5
>
>
26
>
>
27
Lampiran 12 Program Mapple 12 untuk Gambar 6
