Kemampuan Terhubung. i r i m a n s u r a t, p e n. a n. k u t a n. Lintasan

g i r i m a n s u r a t , p e n g a n g k u t a n s

Kemampuan Terhubung

Banyak persoalan dapat dimodelkan dengan lintasan yang dibentuk oleh perjalanan sepanjang sisi-sisi dari graf. Masalah rencana rute yang efisien untuk pengiriman surat, pengangkutan sampah, diagnosa jaringan komputer dan sebagainya adalah beberapa contoh masalah yang diselesaikan menggunakan model yang melibatkan lintasan pada graf.

Lintasan

Secara tidak formal, suatu lintasan adalah barisan sisi yang dimulai dari suatu simpul dari

suatu graf dan berjalan dari simpul ke simpul sepanjang sisi-sisi dari graf. Definisi formal dari

lintasan diberikan sebagai berikut :

DEFINISI 1

Misal 𝑛 bilangan bulat non negatif dan 𝐺 graf tak berarah. Suatu lintasan dengan panjang 𝑛 dari 𝑢 ke 𝑣 adalah barisan 𝑛 sisi-sisi 𝑒

₁

, 𝑒

₂

, … , 𝑒

_𝑛

dari 𝐺 di mana terdapat barisan simpul-simpul 𝑢 = 𝑥

₀

, 𝑥

₁

, 𝑥

₂

, …, 𝑥

_𝑛

= 𝑣 sedemikian sehingga setiap 𝑒

_𝑖

, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 memiliki titik ujung-titik ujung 𝑥

_𝑖−1

dan 𝑥

_𝑖

Jika 𝐺 graf sederhana, kita menyatakan lintasan dengan barisan simpul 𝑥

₀

, 𝑥

₁

, 𝑥

₂

, …, 𝑥

_𝑛

( karena mendaftar simpul-simpul ini menentukan lintasan secara unik ).

Suatu lintasan adalah sirkuit jika dimulai dan diakhiri dengan simpul yang sama, yakni 𝑢 = 𝑣 dan panjang lintasannya lebih dari 0

Lintasan atau sirkuit dikatakan melalui simpul-simpul 𝑥

₀

, 𝑥

₁

, 𝑥

₂

, …, 𝑥

_𝑛−1

atau dilewati sisi-sisi 𝑒

₁

, 𝑒

₂

, … , 𝑒

_𝑛

Lintasan atau sirkuit adalah sederhana jika tidak memuat sisi yang sama lebih dari satu

kali

Pada graf tak berarah ganda , jika tidak perlu membedakan diantara sisi-sisi ganda, kita akan menyatakan lintasan 𝑒

₁

, 𝑒

₂

, … . , 𝑒

_𝑛

, dimana 𝑒

_𝑖

dikaitkan dengan 𝑥

_𝑖−1

, 𝑥

_𝑖

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 oleh simpul-simpul 𝑥

₁

, 𝑥

₂

, … . , 𝑥

_𝑛

. Notasi ini mengidentifikasi lintasan berdasarkan simpul- simpul yang dilalui. Akibatnya notasi ini tidak menentukan secara tunggal lintasan jika ada lebih dari satu lintasan melalui barisan simpul pada daftar.

Disepakati bahwa lintasan dengan panjang nol terdiri dari satu simpul.

Di beberapa buku istilah jalan digunakan daripada lintasan, jika suatu jalan didefinsikan sebagai barisan simpul dan sisi dari graf secara bergantian 𝑣

₀

, 𝑒

₁

, 𝑣

₁

, … , 𝑣

_𝑛−1

, 𝑒

_𝑛

, 𝑣

_𝑛

dimana 𝑣

_𝑖−1

dan 𝑣

_𝑖

adalah ujung-unjung dari 𝑒

_𝑖

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Jika terminologi ini digunakan, istilah jalan tertutup digunakan daripada sirkuit untuk megidentifikasi jalan yang dimulai dan diakhiri pada simpul yang sama dan istilah jejak digunakan untuk menunjukkan jalan dengan tidak ada perulangan sisi ( sebagai pengganti istilah lintasan sederhana ). Jika terminologi ini digunakan lintasan sering digunakan untuk jejak dengan tanpa perulangan simpul.

Karena variasi terminologi ini, kita harus meyakini himpunan definisi yang mana yang

digunakan.

Contoh :

Dalam graf sederhana yang di atas 𝑎, 𝑑, 𝑐, 𝑓, 𝑒 adalah lintasan sederhana dengan panjang 4 , karena 𝑎, 𝑑 , 𝑑, 𝑐 , 𝑐, 𝑓 dan 𝑓, 𝑒 adalah sisi-sisi.

𝑑, 𝑒, 𝑐, 𝑎 bukan lintasan karena 𝑒, 𝑐 bukan sisi

Catat bahwa b, 𝑐, 𝑓, 𝑒, 𝑏 adalah sirkuit dengan panjang 4 karena 𝑏, 𝑐 , 𝑐, 𝑓 , 𝑓, 𝑒 dan 𝑒, 𝑏 adalah sisi dan lintasan ini dimulai dan diakhiri pada 𝑏.

Lintasan a, 𝑏, 𝑒, 𝑑, 𝑎, 𝑏 adalah lintasan dengan panjang 5 , lintasan ini bukan lintasan

sederhana karena memuat sisi 𝑎, 𝑏 dua kali

DEFINISI 2

Misal 𝑛 bilangan bulat non negatif dan 𝐺 graf berarah. Suatu lintasan dengan panjang 𝑛 dari 𝑢 ke 𝑣 adalah barisan 𝑛 sisi-sisi 𝑒

₁

, 𝑒

₂

, … , 𝑒

_𝑛

dari 𝐺 di mana setiap 𝑒

_𝑖

, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 berkaitan secara berturut-turut dengan ( 𝑥

_𝑖−1

, 𝑥

_𝑖

) dengan 𝑥

₀

= 𝑢 dan 𝑥

_𝑛

= 𝑣.

Jika tidak ada sisi ganda pada graf berarah, lintasan dinyatakan dengan simpul 𝑥

₀

, 𝑥

₁

, 𝑥

₂

, …, 𝑥

_𝑛

. Lintasan dengan panjang lebih dari 0 yang dimulai dan diakhiri dengann simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus.

Lintasan atau sirkuit dikatakan sederhana jika tidak memuat sisi yang sama lebih dari

satu kali

Pada graf berarah ganda , jika tidak perlu membedakan diantara sisi-sisi ganda,

kita akan menyatakan lintasan 𝑒

₁

, 𝑒

₂

, … . , 𝑒

_𝑛

, dimana 𝑒

_𝑖

dikaitkan dengan

𝑥

_𝑖−1

, 𝑥

_𝑖

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 oleh simpul-simpul 𝑥

₁

, 𝑥

₂

, … . , 𝑥

_𝑛

. Notasi ini

mengidentifikasi lintasan berdasarkan simpul-simpul yang dilalui. Akibatnya

notasi ini tidak menentukan secara tunggal lintasan jika ada lebih dari satu

lintasan melalui barisan simpul pada daftar.

Keterhubungan pada Graf Tak Berarah

Kapan suatu jaringan komputer memiliki sifat bahwa setiap pasang komputer dapat membagi informasi, jika pesan dapat dikirim melalui satu atau atau lebih komputer antara ? Jika graf digunakan untuk merepresentasikan komputer-komputer dan sisi merepresentasikan komunikasi antar komputer pertanyaan tersebut menjadi apakah selalu ada lintasan diantara dua simpul pada graf ?

Sebarang dua komputer dalam suatu jaringan dapat berkomunikasi jika graf dari

dari jaringan tersebut terhubung

DEFINISI 3

Suatu graf tak berarah disebut terhubung jika terdapat lintasan diantara setiap pasang dari simpul yang berbeda. Suatu graf tak berarah yang tidak terhubung disebut takterhubung.

Kita membuat graf menjadi takterhubung dengan membuang simpul atau sisi atau

keduanya untuk menghasilkan suatu graf bagian yang tak terhubung

Contoh :

Manakah diantara kedua graf 𝐺

₁

dan 𝐺

₂

yang terhubung ? Mengapa ?

TEOREMA 1

Terdapat lintasan sederhana diantara setiap pasang simpul yang berbeda pada suatu graf tak berarah yang terhubung

Bukti :

Komponen Terhubung

Komponen terhubung dari suatu graf 𝐺 adalah suatu graf bagian terhubung dari 𝐺 yang bukan graf bagian sejati dari graf bagian terhubung lainnya dari 𝐺. Komponen terhubung dari suatu graf 𝐺 adalah graf bagian terhubung maksimal dari 𝐺. Suatu graf 𝐺 yang tidak terhubung memiliki dua atau lebih komponen terhubung yang saling lepas ( tidak beririsan ) dan memiliki 𝐺 sebagai gabungannya

Contoh :

Misal suatu graf merepresentasikan suatu jaringan komputer. Jika graf tersebut terhubung maka sebarang dua komputer pada jaringan tersebut dapat berkomunikasi.

Misal kita ingin melihat seberapa reliabel jaringan tersebut. Misalnya, apakah masih mungkin semua komputer berkomunikasi jika suatu rute link komunikasi terputus ? Untuk menjawab hal ini kita membangun beberapa konsep baru.

Terkadang membuang dari suatu graf suatu simpul dan semua sisi yang bersisian dengannya menghasilkan graf bagian dengan dengan komponen terhubung. Simpul yang demikian disebut simpul potong ( titik artikulasi ). Membuang suatu simpul potong dari suatu graf terhubung menghasilkan graf bagian yang tidak terhubung.

Analog dengan itu, suatu sisi yang jika dibuang menghasilkan graf dengan lebih banyak komponen terhubung daripada graf aslinya di sebut sisi potong atau jembatan.

Seberapa Terhubung suatu Graf ?

Contoh :

Cari simpul potong dan sisi potong pada graf 𝐺

₁

di atas

Kemampuan terhubung Simpul

Tidak semua graf memiliki simpul potong. Sebagai contoh, graf lengkap 𝐾

_𝑛

dengan 𝑛 ≥ 3 tidak memiliki simpul potong. Jika suatu simpul dan semua sisi yang bersisian dengannya dibuang dari 𝐾

_𝑛

tetap akan menghasilkan graf lengkap, yakni graf 𝐾

_𝑛−1

, yang masih terhubung

Graf terhubung tanpa simpul potong disebut graf yang tidak dapat dipisahkan dan

dapat dipikirkan sebagai lebih terhubung. Kita dapat memperluas istilah ini dengan

mendefinisikan ukuran yang lebih halus untuk menunjukkan keterhubungan graf

berdasarkan minimum banyaknya simpul yang harus dibuang agar diperoleh graf tak

terhubung

Himpunan bagian 𝑉′ dari himpunan simpul 𝑉 dari graf 𝐺 = 𝑉, 𝐸 adalah potongan simpul atau himpunan pemisah jika 𝐺 − 𝑉

^′

takterhubung.

Contoh :

Tentukan potongan simpul atau himpunan pemisah dari graf di atas.

Catatan :

Setiap graf terhubung kecuali graf lengkap memiliki potongan simpul

Kita mendefinisikan kemampuan terhubung simpul dari graf tak lengkap, dinotasikan

dengan 𝜅(𝐺), adalah minimum dari banyak simpul dalam potongan simpul

Jika 𝐺 adalah graf lengkap, maka 𝐺 tidak memiliki potongan simpul, karena membuang sebarang himpunan bagian dari himpunan simpul dan semua sisi yang bersisian dengannya masih menyisakan graf lengkap. Akibatnya, kita tidak mendefinisikan 𝜅(𝐺) jika 𝐺 graf lengkap. Sebagai gantinya kita menetapkan 𝜅 𝐾

_𝑛

= 𝑛 − 1 banyaknya simpul yang harus dibuang untuk menghasilkan graf dengan simpul tunggal.

Konsekuensinya, untuk setiap graf 𝐺, 𝜅(𝐺) adalah minimum banyaknya simpul yang

dapat dibuang dari 𝐺 untuk membuat 𝐺 jadi takterhubung atau menghasilkan graf

dengan simpul tunggal. Kita punyai 0 ≤ 𝜅 𝐺 ≤ 𝑛 − 1 jika 𝐺 memiliki 𝑛 simpul dengan

𝜅 𝐺 = 0 jika 𝐺 takterhubung atau 𝐺 = 𝐾

₁

dan 𝜅 𝐺 = 𝑛 − 1 jika 𝐺 graf lengkap

Semakin besar 𝜅(𝐺) , kita anggap semakin terhubung 𝐺. Graf tak terhubung dan 𝐾

₁

memiliki 𝜅 𝐺 = 0, graf terhubung dengan simpul potong dan 𝐾

₂

memiliki 𝜅 𝐺 = 1 , graf terhubung tanpa simpul potong yang dapat menjadi tak terhubung dengan membuang dua simpul dan 𝐾

₃

memiliki 𝜅 𝐺 = 2 dan seterusnya.

Kita katakan suatu graf adalah terhubung-𝒌 (terhubung simpul−𝒌 ) jika 𝜅 𝐺 ≥ 𝑘 .

Graf 𝐺 adalah terhubung-1 jika terhubung dan bukan graf yang memuat simpul

tunggal ; terhubung-2 jika tidak dapat dipisahkan dan memiliki paling tidak

3 simpul. Catat bahwa jika 𝐺 adalah terhubung-𝑘 maka 𝐺 adalah terhubung-𝑗 untuk

semua 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘

Contoh :

Cari kemampuan terhubung simpul dari semua graf berikut

Kemampuan terhubung Sisi

Kita juga dapat mengukur kemampuan terhubung dari suatu graf 𝐺 = 𝑉, 𝐸 dalam istilah minimum banyaknya sisi yang dapat dibuang untuk menjadikan 𝐺 takterhubung.

Jika suatu graf memiliki sisi potong, maka kita hanya membutuhkan membuangnya untuk menjadikan 𝐺 takterhubung.

Jika 𝐺 tidak memiliki sisi potong kita mencari himpunan terkecil dari sisi yang dapat

dibuang untuk menjadikan 𝐺 takterhubung. Himpunan sisi 𝐸′ disebut potongan sisi dari

𝐸 jika graf bagian 𝐺 − 𝐸′ tak terhubung. Kemampuan terhubung sisi dari suatu graf 𝐺,

dinyatakan dengan 𝜆(𝐺) adalah minimum banyak sisi dalam suatu potongan sisi dari 𝐺

𝜆(𝐺) didefinisikan pada semua graf terhubung dengan lebih dari satu sisi karena selalu mungkin untuk membuat suatu graf menjadi tak terhubung dengan membuang sisi yang bersisian dengan suatu simpul.

Catat bahwa 𝜆 𝐺 = 0 jika 𝐺 takterhubung atau jika 𝐺 adalah graf yang terdiri dari simpul tunggal. Jika 𝐺 adalah graf dengan 𝑛 simpul, maka 0 ≤ 𝜆 𝐺 ≤ 𝑛 − 1.

𝜆 𝐺 = 𝑛 − 1 jika 𝐺 = 𝐾

_𝑛

, pernyataan tersebut ekivalen dengan 𝜆 𝐺 ≤ 𝑛 − 2 jika 𝐺

bukan graf lengkap

Contoh :

Cari kemampuan terhubung sisi dari semua graf berikut

Ketaksamaan untuk Kemampuan Terhubung Simpul dan Kemampuan terhubung Sisi

Jika graf 𝐺 = 𝑉, 𝐸 adalah graf terhubung tak lengkap dengan paling kurang tiga simpul, minimum derajat simpul dari 𝐺 adalah batas atas dari 𝜅(𝐺) dan 𝜆 𝐺 , yakni 𝜅(𝐺) ≤ min

_𝑣∈𝑉

deg(𝑣) dan λ(𝐺) ≤ min

_𝑣∈𝑉

deg(𝑣). Untuk melihat hal ini perhatikan bahwa penghapusan semua lingkungan dari suatu simpul dengan derajat minimum akan membuat 𝐺 menjadi graf tak terhubung dan penghapusan semua sisi yang memiliki simpul dengan derajat minimum sebagai titik ujung akan membuat 𝐺 menjadi graf takterhubung . Dapat ditunjukkan bahwa 𝜅(𝐺) ≤ 𝜆(𝐺) jika 𝐺 graf terhubung tak lengkap. Catat bahwa 𝜅 𝐾

_𝑛

= 𝜆 𝐾

_𝑛

= min

_𝑣∈𝑉

deg 𝑣 = n − 1 jika 𝑛 bilangan bulat positif dan 𝜅 𝐺 = 𝜆 𝐺 = 0 jika 𝐺 graf takterhubung.

Dari semua yang dikemukakan di atas , maka diperoleh bahwa untuk semua graf

terhubung 𝐺 berlaku 𝜅(𝐺) ≤ 𝜆(𝐺) ≤ min

_𝑣∈𝑉

deg(𝑣).

Proposisi 1:

Jika 𝐺 graf terhubung tak lengkap, maka dapat dibuang simpul-simpul untuk membuat

𝐺 menjadi takterhubung

Proposisi 2 :

jika 𝐺 graf terhubung dengan 𝑛 simpul, maka

a) 𝜅 𝐺 = 𝑛 − 1 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝐾

_𝑛

b) 𝜆 𝐺 = 𝑛 − 1 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝐾

_𝑛

Proposisi 3:

Jika 𝐺 graf , maka 𝜅(𝐺) ≤ 𝜆(𝐺