TRANSFER RADIATIF. -Interaksi Foton dengan Materi-

TRANSFER RADIATIF

-Interaksi Foton dengan Materi-

Proas I, 5, 7 Oktober 2021

Bahan: Carroll-Ostlie Bab 9, [Erika_Böhm-

Vitense]_Introduction_to_Stellar_Astr_vol2 Bab 4 & Rybicki

Transfer radiatif

◦ Dalam kuliah sebelumnya disebutkan,

intensitas radiasi konstan jika tidak ada emisi dan absorpsi/hamburan sepanjang jalan

yang ditempuh radiasi hingga ke pengamat

◦ Kita akan meninjau radiasi yang melewati

materi yang dapat menyerap, mengemisikan dan/atau menghamburkan radiasi keluar

atau masuk kedalam berkas yang ditinjau.

◦ Akan diturunkan persamaan yang mengatur evolusi intensitas.

Transfer radiatif

◦ Dalam hal ini radiasi dianggap menjalar sebagai partikel, sehingga sifat-sifat

gelombang dari cahaya (refleksi, refraksi, difraksi) diabaikan.

Emisi

Semua proses yang menambah foton ke dalam berkas cahaya disebut emisi.

◦ Koefisien emisi j_ adalah energi yang

dipancarkan per satuan waktu per satuan sudut ruang per satuan volume pada

rentang frekuensi antara  dan  + d, sehingga :

dE = j_ dV d dt d

Absorpsi

Semua proses yang menghilangkan foton dari berkas cahaya disebut absorpsi.

◦ Koefisien absorpsi  diukur dari pengurangan intensitas radiasi setelah melalui medium,

yang bergantung juga pada intensitas mula- mula, dan jarak yang ditempuh berkas

cahaya

dI_ = -



_ I_ ds

Absorpsi

◦ Untuk dua medium yang terdiri dari materi yang sama tetapi dengan kerapatan berbeda, pengurangan

intensitas berbeda juga, sehingga



bisa diurai menjadi dua komponen :



_ =



_





adalah koefisien absorpsi yang tidak bergantung pada kerapatan, hanya pada jenis medium.

Persamaan Transfer Radiasi

◦ Tinjau elemen volume seperti gambar di bawah ini:

◦ radiasi dengan intensitas I_ν masuk ke elemen volume itu, proses absorpsi mengurangi

intensitasnya sebesar

◦ Sedangkan proses emisi menambah intensitasnya dengan j_ν ds

◦ Maka perubahan intensitasnya:

→ pers. transfer radiasi

ds I_



ds j

ds I

dI_ = −_{ } + _

Persamaan Transfer Radiasi

◦ Bagaimana I jika tidak ada absorpsi?

◦ Bagaimana I jika tidak ada emisi?

Kedalaman/tebal optis

◦ Pers transf radiasi lebih sederhana jika didefinisikan kedalaman/tebal optis (optical depth) τ_ν sebagai :

◦ Tebal optis diukur sepanjang arah yang berlawanan dengan arah lintasan foton.

◦ 𝜏_𝜈 = 0 di permukaan, sehingga jika pers di atas diintegrasikan akan memberikan:

0 − 𝜏_𝜈 = − ׬₀^𝑠 𝛼_𝜈 𝑑𝑠 𝜏_𝜈 = ׬₀^𝑠 𝜅_𝜈 𝜌𝑑𝑠

ds ds

d 

_

= − 

_

= − 

_



Kedalaman/tebal optis

Pers. Transfer radiasi:

◦ Tinjau kasus dengan absorpsi saja, ^𝑑𝐼𝜈

𝐼_𝜈 = −𝛼_𝜈𝑑𝑠

lalu integrasikan dari 𝑠 = 0 saat 𝐼 = 𝐼_0,𝜈 hingga 𝑠 saat 𝐼 = 𝐼_𝜈

න

0

𝑠 𝑑𝐼_𝜈

𝐼_𝜈 = න

0 𝑠

−𝛼_𝜈𝑑𝑠 = −𝜏_𝜈 𝐼_𝜈 = 𝐼_𝜈,0𝑒^−𝜏𝜈

◦ Jika 𝜏_𝜈 = 1, maka 𝐼_𝜈 = 0.37𝐼_𝜈,0

◦ Pada umumnya kita hanya dapat melihat menembus objek hingga 𝜏_𝜈 ≈ 1 (akan ditunjukkan di belakang

bahwa tebal optis rata-rata adalah 1)

◦ Gas dengan 𝜏_𝜈 ≫ 1 disebut tebal secara optik (optically thick), sedangkan gas dengan 𝜏_𝜈 ≪ 1 disebut tipis

secara optik (optically thin)

ds j

ds I

dI_ = −_{ } + _

Mean Free Path

◦ Cara pandang lain untuk memahami

koefisien absorpsi adalah melalui mean free path(jalan bebas rata-rata)

◦ Mean Free Path (l_): jarak rata-rata yang dapat ditempuh oleh foton sebelum

diserap.

◦ Probabilitas sebuah foton untuk menjalar paling sedikit sejauh



_ adalah 𝑒^−𝜏𝜈

karena ^𝐼𝜈

𝐼_𝜈,0 = 𝑒^−𝜏𝜈

Mean Free Path

◦ Kedalaman optis rata-rata yang dapat ditempuh foton adalah 1 (buktikan!)

1

0

0

=

=

 



 −

 −

 

 









 





d e

d e

= 1

=

 

_



_

l

_







_{ }



1 = 1

l =

Persamaan Transfer Radiasi

◦ Ingat persamaan transfer radiasi

◦ Dengan definisi τ_ν

maka persamaan transfer radiasi dapat ditulis : 𝐼_𝜈

𝑑𝜏_𝜈 = 𝐼_𝜈 − 𝑗_𝜈 𝛼_𝜈

◦ Definisikan fungsi sumber 𝑆_𝜈 = ^𝑗𝜈

𝛼_𝜈

◦ Maka ^𝐼𝜈

𝑑𝜏_𝜈 = 𝐼_𝜈 − 𝑆_𝜈

ds j

ds I

dI_ = −_{ } + _

ds d_ = −_

Arti Fungsi Sumber

◦ Fungsi sumber S_ν dari suatu medium

merupakan ukuran kemampuan medium itu untuk berperan sebagai sumber cahaya

◦ Fungsi sumber menggambarkan bagaimana foton-foton yang awalnya bergerak di dalam berkas dihapuskan (karena diserap atau

dihamburkan ke arah lain) dan digantikan oleh foton-foton dari gas di sekitar di sepanjang

jalan yang dilalui berkas

◦ Satuan fungsi sumber seperti intensitas, Wm^-3sr^-1

Fungsi Sumber

◦ Untuk benda hitam dalam keadaan kesetimbangan termodinamik, fungsi sumber sama dengan fungsi Planck

1 1

2

/ 2

3

= −

= _{h kT}

e c

B h

S_{ }  _

Persamaan Transfer Radiasi

Persamaan transfer radiasi:







 ^{I S}

d

dI = −

Dengan : ^d_ = −_ ^ds = −_  ^ds



 

S = j → Fungsi sumber

Dengan mengalikan dengan faktor integrasi 𝑒^−𝜏𝜈 pers diferensial di atas dapat diintegrasikan,

hasilnya adalah solusi formal persamaan transfer radiasi

Persamaan Transfer Radiasi

Integrasikan dari 𝜏_𝜈 saat 𝐼 = 𝐼_0,𝜈 hingga 𝜏_𝜈= 0 saat 𝐼 = 𝐼_𝜈

diperoleh solusi formal persamaan transfer radiasi:



⁻

− =

− _ ^{ } _ ^ _





, e 0 S e d

I

I _o



⁻

− +

= _ ^{ } _ ^ _





, 0

0 e S e d

I I

𝑑 𝐼_𝜈𝑒^−𝜏𝜈

𝑑𝜏_𝜈 = −𝑆_𝜈𝑒^−𝜏𝜈

න

𝜏_𝜈 0

𝑑 𝐼_𝜈𝑒^−𝜏𝜈 = − න

𝜏_𝜈 0

𝑆_𝜈𝑒^−𝜏𝜈𝑑𝜏_𝜈

Persamaan Transfer Radiasi



⁻

− +

= _ ^{ } _ ^ _





, 0

0 e S e d

I I

Kasus I : Jika medium tidak mampu menghasilkan emisi pada frekuensi 𝜈, maka S_ = 0





 = I e⁻ I _0,

Ini adalah sisa intensitas radiasi yang sampai ke pengamat, setelah mengalami absorpsi

Persamaan Transfer Radiasi

Kasus II : Jika S tidak bergantung pada kedalaman, atau S = konstan, maka :

) 1

, (

0



 

 



 = I e⁻ + S − e⁻ I

Suku pertama dari sisi kanan adalah sisa radiasi awal yang masih bisa sampai ke pengamat

setelah mengalami absorpsi.

Suku kedua adalah cahaya yang tercipta di dalam medium dan terpancar sampai ke

pengamat

Persamaan Transfer Radiasi

Kasus III : Jika S tidak bergantung pada kedalaman, dan I_0= 0, maka :

) 1

( ^



 = S − e⁻ I

Rumus itu adalah emisi dari gas yang berpendar.

Untuk kasus optis tipis, _ << 1, uraikan suku

eksponensial di atas dalam deret Taylor dan ambil dua suku pertama, maka diperoleh :









S

I =

Persamaan Transfer Radiasi

Dari definisi

Jika _ << 1 dan κ_ besar, maka ρs kecil.

κ_ besar di dalam garis absorpsi, jika sumber

cahaya tidak kelihatan dan gas berkerapatan rendah itu memancarkan cahaya, maka pada panjang gelombang yang biasanya terjadi

absorpsi (misalnya λ=6563Ǻ), akan terjadi emisi yang kuat.

 s





_

=

_

Jika _ >> 1, dan gas bersifat sebagai benda hitam, maka

Tidak bergantung pada κ_ dan I_0





 S B

I = =

garis emisi Gas Prisma

Spektrum kontinu Slit

5000 K 6000 K

Cermin

Hukum Kirchhoff

Lihat pembahasan di Erika Böhm Vitense Bab 4

Persamaan Transfer Radiasi

Pada spektrum bintang umumnya kita melihat adanya garis absorpsi.

Hal itu dapat diinterpretasikan bahwa bagian dalam bintang yang beroptis tebal adalah

sumber cahaya yang menghasilkan I_0,. Bagian luar bintang (atmosfir bintang) adalah bagian yang lebih dingin dan lebih renggang, yang

pada  tertentu yang koefisien absorbsinya besar menghasilkan garis serapan.

Garis serapan menjadi petunjuk bahwa semakin dalam ke dalam bintang temperatur makin

tinggi.

Persamaan Transfer Radiasi pada atmosfir bintang - plane parallel atmosphere

θ

“surface”

n

Perubahan medan radiasi dalam arah θ di dalam elemen volum = absorpsi + emisi





   

j ds I

dI ( ) = − ( )+

ds

Pada dasarnya 𝑑𝑠 diukur sesuai lintasan cahaya dan 𝑑𝜏 diukur

berlawanan lintasan cahaya, sehingga tidak menyatakan ketebalan geometrik tertentu di atmosfir bintang (karena bergantung ). Untuk mendefinisikan ukuran yang lebih mencerminkan ketebalan geometris, digunakan tebal optis vertikal (arah tegak lurus permukaan), dengan menganggap lapisan atmosfir tipis sehingga pendekatan plane parallel bisa dilakukan.

𝑑𝐼_𝜈(𝜃)

𝑑𝜏_𝜈,𝑠 = 𝐼_𝜈 − 𝑆_𝜈

𝜏_𝜈,𝑠 : tebal optis sepanjang s

Persamaan Transfer Radiasi

Persamaan transfer radiasi ^{𝑑𝐼𝜈(𝜃)}

𝑑𝜏_𝜈,𝑠 = 𝐼_𝜈(𝜃) − 𝑆_𝜈 ^menjadi:

dengan adalah tebal optis vertikal



 

S = j → Fungsi sumber

Dengan mengalikan dengan faktor integrasi 𝑒^{−𝜏𝜈sec 𝜃} pers diferensial diatas dapat diintegrasikan

Kedalaman optis dalam arah vertikal:

𝜏_𝜈 = 𝜏_𝜈,𝑠 cos 𝜃

cos 𝜃 𝑑𝐼_𝜈(𝜃)

𝑑𝜏_𝜈 = 𝐼_𝜈(𝜃) − 𝑆_𝜈 𝑑𝜏_𝜈 = −𝛼_𝜈𝑑𝑠 cos 𝜃

Intensitas di Permukaan

) sec (

e )

, 0

(

0

sec

 



_ ^{ } _



S

^

d

I ⁼ 

^{ −}

Solusi numerik dari intensitas di permukaan bisa diperoleh kalau kita tahu bentuk fungsi S_ yang bergantung pada kedalaman optis _.

Untuk kasus Local Temperature Equilibrium (LTE), S_ =B_ (fungsi Planck)

Misalnya S_ merupakan fungsi linier dari kedalaman optis











 a b 

S ( ) = +

Masukkan ke dalam persamaan diatas, dapat diperoleh :





_{ }

 (0, ) a b cos

I = +

Interpretasi

To observer n

θ

Dari observer, θ menjadi indikator posisi titik sumber cahaya dari pusat piringan bintang.

sin θ = ρ/r → perbandingan antara jarak titik dari pusat lingkaran bintang dan radius piringan bintang.

θ r

ρ

Interpretasi

◦ Dari hasil





_{ }

 (0, ) a b cos

I = +

Semakin besar θ, posisi semakin ke tepi, semakin kecil I_  penggelapan tepi

(limb darkening)

Dengan membandingkan S_ dan I_

dapat disimpulkan bahwa di pusat piringan ( = 0) kita melihat ke kedalaman optis _ = 1 di tepi ( =

/2) kita melihat ke kedalaman _ = 0











 a b 

S ( ) = +

I_ (0,



) = a_ + b_ cos



Limb darkening

Sumber : NASA

Fluks

◦ Jumlah energi yang diterima pengamat berhubungan dengan fluks

 Ω adalah sudut ruang, 𝑑Ω = sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙

 sehingga



−

=

¹

2

1

)

( 

_



_

 



I d

F

Dengan μ = cos θ

𝐹_𝜈 𝜏_𝜈 = න 𝐼_𝜈 cos 𝜃 𝑑Ω

Fluks

 Untuk radiasi isotropik, I sama ke semua arah, jadi I tidak bergantung pada θ.



−

=

¹

2

1

)

( 

_



_

 



I d

F

 Integral diatas hasilnya adalah nol

 Artinya fluks ada kalau radiasi tidak isotropik di tempat pengukuran dilakukan.

 Berbeda dengan intensitas rata-rata, jika isotropik, J_ν = I_ν

Fluks Permukaan

◦ Anggap tidak ada radiasi masuk dari luar permukaan ke dalam bintang,

2 / untuk

0  

 = 

I



maka F

_

( 0 ) ⁼ 2  

0¹

I

_

 d 

 Jika dimasukkan ke

rumus untuk fluks, diperoleh:





_{ }

 (0, ) a b cos

I = +

(

_{ }

)



 a b

F ( 0 ) = +

₃²

Interpretasi

Artinya fluks di permukaan sama dengan fungsi sumber pada kedalaman _ = ²/₃

3

, 2

) 0

( =

₌





 S



F

Ini adalah Eddington-Barbier relation

Untuk kasus LTE:

) ( )

0 (

3

, 2

T B

F =

₌



















 a b 

S ( ) = +

Bandingkan dengan rumus pendekatan fungsi sumber:

Catatan: seringkali astrofisikawan mendefinisikan 𝑎𝑠𝑡𝑟𝑜𝑝ℎ𝑦𝑠𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑥 = 𝐹/𝜋 , sehingga satuan

astrophysical fluks = satuan intensitas

Interpretasi

4 4

3 2 3

2

) 0

( ⁼ = ₌











=  ^  _

 

 T T

F

 Temperatur efektif bintang didefinisikan sebagai

temperatur yang membuat fluks seperti yang diamati keluar dari permukaan bintang :

4

Teff

F =



Artinya temperatur efektif adalah temperatur pada kedalaman  = ²/₃. Pada “tebal optis ini pula fotosfer bintang didefinisikan, yaitu lapisan di mana cahaya tampak bintang berasal dan menghasilkan spektrum kontinu. Fotosfer dianggap sebagai “permukaan”

bintang.

Jika diintegrasikan untuk seluruh frekuensi, dapat diperoleh: