MATEMATIKA DISKRIT
1
Logika
Jika anda mahasiswa IT-Del maka anda tidak sulit belajar Matematika. Jika anda tidak suka disiplin maka anda bukan mahasiswa IT-Del . Tetapi, anda sulit belajar Matematika dan anda tidak suka disiplin. Jadi, anda bukan mahasiswa IT-Del .
Apakah argumen di atas valid? Hal yang dapat membantu kita untuk dapat memahami argumen tersebut adalah logika.
•
Logika merupakan dasar dari semua penalaran
(
reasoning
).
•
Dalam KBBI, penalaran adalah cara berpikir
dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan
akal budi dan bukan dengan berdasarkan atau
pengalaman.
Proposisi
•
Di dalam matematika, tidak semua kalimat
berhubungan dengan logika. Hanya kalimat
yang bernilai benar atau salah saja yang
digunakan dalam penalaran.
Proposisi
Proposisi
•
Kalimat deklaratif berikut merupakan
proposisi :
1. Danau Toba terletak di Sumatera Utara
2. 1+1=2
•
Selanjutnya, perhatikan kalimat berikut ini
1. Jam berapa ini?
2. Jangan membuang sampah sembarangan.
3.
+ =
4.
+ =
Perhatikan kalimat 1 dan 2 bukan proposisi karena
bukan merupakan kalimat deklaratif. Kalimat 3 dan
4 akan menjadi proposisi tergantung nilai yang
kita pilih. Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai
Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:
(a) 13 adalah bilangan ganjil
Contoh
Semua pernyataan di bawah ini
bukan
proposisi
(a) x-1=0
(b) Tutup pintu itu!
(c) Apakah kamu masih memperhatikan kuliah ini?
Menggabungkan proposisi
•
Satu atau lebih proposisi dapat digabung
membentuk sebuah proposisi majemuk (
compound
proposition
).
•
Proposisi disimbolkan dengan menggunakan alfabet
seperti p, q, r, s, dan dengan memperkenalkan
Operator Logika
• Negasi (NOT) : Tidak p Notasi: p
• Konjungsi - Conjunction (AND) : p dan q Notasi p q
• Disjungsi - Disjunction (OR) Notasi p q
p dan q disebut proposisi atomik
Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk
12
Tabel Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Negasi
p q p q p q p q p q
T T T T T T T F
T F F T F T F T
F T F F T T
Contoh.
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan.
q : Hari ini dingin.
p q : Hari ini hujan dan dingin
p q : Hari ini hujan atau hari ini dingin p : Tidak benar hari ini hujan
(atau: Hari ini tidak hujan)
Contoh
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan
Nyatakan dalam bentuk simbolik:
• Pemuda itu tinggi dan tampan
• Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
• Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
• Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
• Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
•
Penyelesaian:
•
p
q
•
p
q
•
p
q
•
(
p
q
)
•
p
(
p
q
)
Contoh
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Kampus Del itu indah
q : Kampus Del itu sejuk
Nyatakan dalam bentuk simbolik: 1. Kampus Del itu indah dan sejuk
2. Kampus Del itu indah tetapi tidak sejuk 3. Kampus Del itu tidak indah maupun sejuk
4. Tidak benar bahwa kampus Del itu tidak sejuk tetapi indah 5. Kampus Del tidak indah tetapi tidak sejuk
Contoh
Misalkan
•
p
: 2 adalah bilangan prima (benar).
•
q
: bilangan prima selalu ganjil (salah).
•
p
q
: 3 adalah bilangan prima dan bilangan
prima selalu ganjil (salah).
•
p
q :
2 adalah bilangan prima atau bilangan
prima selalu ganjil (benar).
•
Eksklusif Or (XOR)
•
Notasi p
q
•
Implikasi (JIKA
–
MAKA)
20
Disjungsi Eksklusif
Kata atau (or) dalam operasi logika digunakan dalam salah satu dari dua cara:
21
Operator logika disjungsi eksklusif: xor
Notasi:
Tabel kebenaran:
p q p q
Implikasi
•
Bentuk proposisi: jika
p
, maka
q
•
Notasi:
p
q
•
Proposisi
p
disebut
hipotesis,
antesenden,
premis, atau
kondisi
•
Proposisi
q
disebut konklusi (atau konsekuen).
•
Contoh :
•
Jika saya melanggar peraturan, maka saya akan
dikenakan sanksi.
•
Jika kamu tertawa, maka dunia akan ikut tertawa
bersamamu. :D
Tabel kebenaran implikasi
p
q
p
q
24
Cara-cara mengekspresikan implikasi
p
q
:
•
Jika
p
, maka
q
syarat cukup
(
sufficient condition
)
)
•
q
syarat perlu untuk
p
(konklusi menyatakan
syarat perlu
(
necessary condition
) )
25
Contoh
Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi
dalam berbagai bentuk:
1. Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. 2. Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.
3. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.
4. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.
5. Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. 6. Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan
api dari rokok.
7. Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan.
8. Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.
27
p q p q p q q p (p q) (q p)
T T T T T T
T F F F T F
F T F T F F
F F T T T T
Dengan kata lain, pernyataan “
p
jika dan hanya jika
q
”
28
Contoh
Proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi:
(a)
1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4.
(b)
Jika anda orang kaya maka anda mempunyai
banyak uang, dan sebaliknya.
Konversi, Kontrapositif, & Invers
29
Konvers (kebalikan):
q
p
Invers
: ~
p
~
q
Kontraposisi
: ~
q
~
p
Tabel kebenaran implikasi, konvers, invers, kontraposisi.
Contoh .
p: Andi mahasiswa IT-Del
q : Andi tinggal di asrama IT-Del
• Implikasi : Jika Andi mahasiswa IT-Del, maka ia tinggal di asrama mahasiswa IT-Del.
• Konvers : Jika Andi tinggal di asrama mahasiswa IT-Del, maka ia mahasiswa IT-Del.
• Invers : Jika Andi bukan mahasiswa IT-Del, maka ia tidak tinggal di asrama mahasiswa IT-Del.
• Kontraposisi : Jika Andi tidak tinggal di asrama mahaiswa IT-Del, maka ia bukan mahasiswa IT-Del.
•
Tautologi adalah pernyataan yang selalu
benar.
•
Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu
salah.
31
32
Contoh :
p
~(
p
q
) adalah sebuah tautologi
p
q
p
q
~(
p
q
)
p
~(
p
q
)
T
T
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
T
33
Contoh
(
p
q
)
~(
p
q
) adalah sebuah kontradiksi
p
q
p
q
p
q
~(
p
q
)
(
p
q
)
~(
p
q
)
T
T
T F
F
F
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
T
F
Hukum-hukum Logika
34
Disebut juga hukum-hukum aljabar proposisi.
1. Hukum identitas:
p F p
4. Hukum idempoten:
p p p p p p
5. Hukum involusi (negasi ganda):
~(~p) p
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
35
7. Hukum komutatif:
p q q p p q q p
8. Hukum asosiatif:
p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r
9. Hukum distributif:
p (q r) (p q) (p r)
p (q r) (p q) (p r)
10. Hukum De Morgan:
Contoh . p (p q) p
p (p q) (p F) (p q) (Hukum Identitas) p (F q) (Hukum distributif) p F (Hukum Null)
p (Hukum Identitas)
36
•
Contoh. Dua pedagang barang kelontong
mengeluarkan moto jitu untuk menarik
pembeli. Pedagang pertama mengumbar
moto Barang bagus tidak murah
sedangkan
pedagang kedua mempunyai moto Barang
murah tidak bagus
.
Apakah kedua moto
Solusi:
Misalkan : p : Barang itu bagus
q : Barang itu murah.
Moto pedagang pertama: “Jika barang itu bagus maka barang itu tidak murah” atau p ~ q
Moto pedagang kedua: “Jika barang itu murah maka barang itu tidak bagus”
atau q ~ p.
40
Pengantar
• Pernyataan > punya 2 bagian, yakni sebagai subjek dan adalah lebih besar sebagai predikat P.
• Kita dpt simbolkan pernyataan > dengan P(x). Sehingga kita dapat mengevaluasi nilai kebenaran dari P(4) dan P(1).
41
•
P(x) untuk semua nilai x dalam domain pembicaraan
ditulis
Apa nilai kebenaran dari P(10)?
Apa nilai kebenaran untuk
x P(x), dengan x bilangan
bulat?
Kuantifikasi Universal
menunjukkan / mencari satu nilai x dalam domain
sehingga P(x) salah.
Contoh
Asumsikan x adalah bilanga bulat.
•
Apakah nilai kebenaran dari
x P(x) dimana
P(x) adalah x
2≥ ?
•
Apakah nilai kebenaran dari
x P(x) dimana
P(x) adalah x+1 >x?
44
Kuantifikasi Eksistensi
• Ada nilai x dalam domain pembicaraan sehingga P(x) ditulis
x P(x).
• x P(x) dibaca terdapat x sehingga P(x)
• Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari x P(x) bila P(x) menyatakan 2
Contoh
•
Misalkan domain adalah R. Apa nilai
kebenaran dari pernyataan
x P(x) dimana x >
5?
•
Misalkan domain adalah [-2,4]. Apa nilai
Kuantifier
Pernyataan
Kapan Benar?
Kapan Salah?
47
Negasi
Setiap mahasiswa dalam kelas ini telah mengambil Matematika Dasar I [x P(x)]
Apakah negasi dari pernyataan ini….? Jawab :
Tidak semua mahasiswa dalam kelas ini telah mengambil Matematika Dasar I.
Atau,
Ada seorang mahasiswa di dalam kelas ini yang belum mengambil mata kuliah matematika Dasar 1.
Negasi
Negasi
Pernyataan Yg
Ekivalen
~
x P(x)
x ~ P(x)
49
Contoh
Tentukan negasi dari pernyataan berikut :
• x(x2>x)
• x(x2=2)
• bilangan prima x, x adalah bilangan ganjil.
50
Kuantifier Bersusun
(Nested Quantifier)
x y (x+y = y+x)
berarti x+y = y+x berlaku untuk semua bilangan real x dan y.
x y (x+y = 0)
berarti untuk setiap x ada nilai y sehingga x+y = 0.
x y z (x+(y+z) = (x+y)+z)
