SKALA, PERBANDINGAN SENILAI, DAN PERBANDINGAN BERBALIK NILAI
Disusun untuk Memenuhi Tugas dalam Pembelajaran Matematika Sekolah I
Semester 3 Tahun 2011
Oleh Kelompok 1 :
1. Afarit Romadhan (083174237) 2. Muhammad Parikas M.(083174228)
3. Siska Dyah P. (103174211) 4. Nindya Vega P. (103174218) 5. Wijhatuz Zaahirah (103174229) 6. Eviana Budiarti (103174232)
Pendidikan Matematika 2010(E)
Universitas Negeri Surabaya
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Matematika
Skala, Perbandingan Senilai, dan Perbandingan Berbalik Nilai
A. PERBANDINGAN
1. Pengertian Perbandingan
Dalam kehidupan sehari-hari, terdapat banyak hal yang berkaitan dengan perbandingan, misalnya:
a. Berat badan Qilmi lebih dari berat badan Ganang b. Uang Vina jumlahnya dua kali uang Ayu
c. Umur Puput kurang dari umur Mayang
Selanjutnya, perhatikan contoh berikut!
Pak Satria mempunyai dua orang anak, yaitu Hani dan Angga. Umur Hani 14 tahun dan umur Angga 10 tahun.
Kedua besaran di atas dapat dibandingkan dengan dua cara berikut. 1) Umur Hani lebih tua 4 tahun dari umur Angga, atau
Umur Angga lebih muda 4 tahun dari umur Hani
Dalam hal ini, perbandingan umur kedua anak itu dilakukan dengan cara menghitung selisihnya, yaitu 14 – 10 = 4.
2) Umur Hani : umur Angga = 14 : 10 = 7 : 5
Dalam hal ini, perbandingan umur kedua anak itu dilakukan dengan cara menghitung hasil bagi.
Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:
Ada dua cara dalam membandingkan dua besaran, yaitu: Dengan menghitung selisih
2. Hubungan Perbandingan dengan Pecahan Perhatikan uraian berikut!
Seorang anak mendapat bagian kue. Ini berarti kue dibagi menjadi 4 bagian
yang sama besar dan anak itu mendapat satu bagian. Jadi, anak menerima bagian dari keseluruhan kue. Hal seperti ini disebut sebagai perbandingan.
Pada perbandingan, tidak selalu membandingkan suatu bagian dengan bagian keseluruhan, tapi juga membandingkan suatu bagian dengan bagian yang lain.
Perhatikan gambar berikut!
Persegi di samping dibagi menjadi 8 bagian yang sama
besar, dan luas daerah yang diarsir adalah atau dari luas seluruhnya.
Jika A : B = C : D, maka bentuk tersebut dapat ditulis menjadi .
Misalnya A : B = 2 : 3 maka atau
Maka, dapat disimpulkan bahwa:
3. Perbandingan Dua Besaran Sejenis
Dalam membandingkan dua besaran, besaran-besaran tersebut harus merupakan besaran yang sejenis, artinya harus mempunyai satuan yang sama. Jika satuannya belum sama, maka satuan itu harus diubah terlebih dahulu supaya menjadi sama.
Perhatikan contoh berikut!
1) Sebuah meja berukuran 150 cm dan lebar 100 cm. Perbandingan panjang dan lebar meja tersebut dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan menghitung selisihnya, 150 cm – 100 cm = 50 cm, atau dapat juga dengan menghitung hasil baginya, yaitu 150 : 100 = 3 : 2.
2) Tinggi Amir 170 cm, sedangkan berat badannya 49 kg. Kedua besaran tersebut tidak bisa diperbandingkan, karena satuan ukuran yang dipakai tidak sama dan tidak bisa disamakan.
Hasil bagi kedua besaran merupakan suatu bilangan dalam bentuk paling
sederhana, yaitu bentuk atau (dibaca ), dengan
merupakan bilangan bulat positif. Dapat ditulis sebagai berikut.
Untuk menyederhanakan suatu perbandingan, digunakan cara yang sama untuk menyederhanakan pecahan. Suatu perbandingan dikatakan dalam bentuk yang sederhana jika masing-masing besaran atau bilangan yang dibandingkan tidak mempunyai faktor persekutuan.
4. Sifat-sifat Perbandingan
Perhatikan perbandingan berikut! 36 : 4 = 72 : 8
Bentuk perbandingan tersebut dapat ditulis sebagai
Dengan disebut suku perbandingan pertama
disebut suku perbandingan kedua
Sifat utama I dari perbandingan adalah perkalian suku tepi sama dengan perkalian suku tengah.
Jika maka
Untuk membuktikannya, caranya adalah kedua ruas perbandingan dikali dengan
Sifat utama II adalah kebalikan dari sifat utama I. Jika ad = cb maka a:b = c:d. Untuk membuktikannya, caranya adalah kedua ruas dibagi dengan
masing-masing ruas dikalikan
Dari bentuk dapat dilihat bahwa dan adalah perkalian dari
pembilang dan penyebut dari pecahan-pecahan itu dan sering disebut sebagai perkalian silang.
B. SKALA
1. Pengertian Skala
Seandainya kita hendak menggambar sebuah benda, misalkan rumah, tentu kita tidak dapat melakukannya dengan menggunakan ukuran rumah yang sebenarnya. Seperti yang kita ketahui bahwa media gambar yaitu kertas gambar yang akan kita gunakan mempunyai ukuran lebih kecil dari ukuran rumah sebenarnya. Untuk mengatasi hal tersebut, maka kita memerlukan cara untuk memperkecil ukuran rumah itu, tetapi tetap mewakili ukuran rumah sebenarnya.
Agar ukuran rumah yang digambar sesuai dan sebangun dengan ukuran rumah sebenarnya, maka gambar itu dibuat dengan perbandingan tertentu. Perbandingan antara ukuran pada gambar dengan ukuran sebenarnya disebut skala.
sebenarnya
ukuran
gambar
pada
Perhatikan peta berikut!
Pada peta di atas tertera skala 1 ; 1.350.000, artinya tiap 1 cm pada peta (gambar) mewakili 1.350.000 cm jarak sebenarnya.
Menentukan jarak pada peta atau jarak sebenarnya dengan menggunakan skala
Contoh:
a. Dua buah kota x dan y berjarak 120 km. Jika kedua kota itu digambar pada peta dengan skala 1 : 600.000, maka pada gabar jarak ke dua kota tersebut digambar dengan ukuran berapa?
Jawab:
Skala = 1 : 600.000
Jarak kota x dan y yang sebenarnya = 120 km = 12.000.000 cm
Maka jarak kota x dan y pada peta = x12.000.000 600.000
1
= 20 cm
b. Skala suatu model pesawat udara adalah 1 : 300. Panjang badan pesawat udara pada model adalah 16 cm dan lebar sayapnya 10 cm. Tentukan panjang badan dan lebar sayap pesawat pada ukuran sebenarnya.
Jawab:
Skala = 1 : 300
Panjang badan pesawat udara pada model = 16 cm Lebar sayap pesawat udara pada model = 10 cm
Panjang badan pesawat udara sebenarnya = 16 x 300
= 4800 cm = 48 m
Lebar sayap pesawat udara sebenarnya = 10 x 300
= 3000 cm = 30 m
2. Menghitung Faktor pada Gambar Berskala
Jika kita memperhatikan foto sebuah lukisan, maka kita akan melihat ada kesamaan bentuk antara foto dan lukisan asli. Namun, ukuran lukisan diperkecil menjadi ukuran foto dengan perbandingan panjang atau lebar yang sama.
Contoh:
1. Sebuah gedung tampak pada layar televisi dengan lebar 18 cm dan tinggi 32 cm. Jika tinggi gedung yang sebenarnya adalah 75 kali tinggi gedung yang tampak di layar televisi, maka berapakah lebar gedung yang sebenarnya?
Lebar gedung di TV = 18 cm Tinggi gedung di TV = 32 cm
Tinggi gedung yang sebenarnya = 75 x 32 = 2.400 Lebar gedung sebenarnya = l
sebenarnya
Jadi lebar gedung sebenarnya adalah 1.350 cm Foto dan Model Berskala
Foto ukuran 2 x 3 mempunyai bentuk yang sama dengan foto ukuran 4 x 6 dengan semua bagian diperbesar/diperkecil dengan perbandingan yang sama.
Jadi bagian-bagian yang bersesuaian dari kedua foto mempunyai perbandingan yang sama.
Pada gambar berskala selalu berlaku hal berikut: a. Mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. b. Ukuran dapat diperbesar atau diperkecil
Panjang model dengan panjang sebenarnya, lebar model dengan lebar sebenarnya, tinggi model dan tinggi sebenarnya mempunyai
Contoh:
Sebuah foto berukuran lebar 8 cm dan tinggi 12 cm akan dibuat bingkai dengan lebar 16 cm. Tentukan tinggi bingkai foto tersebut!
Ukuran-ukuran pada foto bersesuaian dengan ukuran pada bingkainya,
Jadi tinggi bingkai foto adalah 24 cm.
C. PERBANDINGAN SENILAI
1. Pengertian Perbandingan Senilai. Ilustrasi pertama:
Ketika kita membeli premium di suatu pompa bensin, coba kita amati meteran pada pompa tersebut. Pada meteran itu terdapat angka-angka yang menunjukkan banyak premium yang dikeluarkan dan angka-angka yang menunjukkan harga premium yang harus dibayar untuk sebanyak premium yang dikeluarkan. Untuk 1 liter premium harganya adalah Rp. 4.000,00 dan untuk 2 liter premium harganya adalah Rp. 8.000,00. Berapa yang harus kita bayarkan untuk membeli premium sebanyak:
a. 15 Liter, b. 50 Liter?
Untuk menjawab pertanyaan ini perhatikan tabel berikut.
Banyak premium (liter) Harga Premium (rupiah)
Baris ke-5 membuat perbandingan antara banyak premium dan perbandingan harga premium pada dua baris tertentu, seperti dalam tabel berikut:
Baris yang dibandingkan Perbandingan
banyak premium harga premium Baris ke-1 : baris ke-2 1 : 2 4000 : 8.000 = 1 : 2 Baris ke-3 : baris ke-5 3 : 10 12.000 : 40.000 = 3 : 10 Baris ke-5 : baris ke-8 10 : 50 = 1 : 5 40.000 : 200.000 = 1 : 5
Dari Tabel di atas, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa perbandingan banyak premium dengan perbandingan harga premium pada dua baris tertentu adalah sama.
Ilustrasi kedua:
Pernahkah kalian membeli buku di toko buku?
Jika harga 1 buah buku Rp2.500,00 maka berapa harga 5 buah buku ?? Harga 5 buku = 5 × Rp2.500,00 = Rp12.500,00.
Makin banyak buku yang dibeli, makin banyak pula harga yang harus dibayar.
bertambah, maka nilai satuannya juga bertambah. Sebaliknya, jika besar ukuran berkurang, maka nilai satuannya juga berkurang.
2. Menghitung perbandingan senilai
Berdasarkan nilai satuan
Jika harga a barang adalah b rupiah, maka kita dapat menghitung harga p barang dengan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Carilah harga setiap satu satuan barang. Harga satu satuan barang = ab rupiah.
2. Carilah p satuan barang.
Harga p satuan barang = ab x p rupiah.
Contoh :
1. Harga 3 kue adalah Rp. 7.500,00. Tentukanlah harga: a. 1 kue
b. 8 kue
Jawab:
Harga 3 kue = Rp. 7.500,00
a. Harga 1 kue = 7.5003 = 2.500
Harga 1 kue Rp 2.500,00
Harga 8 kue Rp. 20.000,00
2. Sewa tempat penginapan selama 3 hari adalah Rp. 270.000,00. Berapa biaya sewa untuk 10 hari?
Jawab:
Biaya sewa selama 3 hari = 270.000
Biaya sewa selama 1 hari = 2703.000
= 90.000 Biaya sewa selama 10 hari = 10 x 90.000
= 900.000
Jadi, biaya sewa 10 hari adalah Rp. 900.000,00
3. Sebuah mobil memerlukan 3 liter bensin untuk menempuh jarak 24 km. Berapa jarak yang ditempuh mobil itu jika menghabiskan 45 liter bensin? Jawab:
3 liter bensin menempuh jarak 24 km, sehingga 1 liter bensin menempuh jarak:
8 3 24
Jarak yang dapat ditempuh dengan 45 liter bensin = 45 × 8 = 360 km.
Berdasarkan perbandingan
Contoh 1, 2, dan 3 diatas juga bisa diselesaikan dengan menggunakan perbandingan.
1. Harga 3 kue adalah Rp. 7.500,00. Tentukanlah harga: a. 1 kue
b. 8 kue Jawab:
3 8
7.500
3
8 x 7.500 = 20.000
Banyak kue Harga kue
3 8
7500 p 8 x 7500 = 3 x p
60000 = 3 p
p =
p = 20000 Jadi, harga 8 kue adalah Rp 20.000,00.
2. Sewa tempat penginapan selama 3 hari adalah Rp. 270.000,00.
Berapa biaya sewa untuk 10 hari?
Lama sewa (hari) Biaya sewa (rupiah)
3
10
270.000
3
10x 270.000 = 900.000
3 10
270.000 x 10 x 270.000 = 3 x
2.700.000 = 3 p
x =
x = 900.000
Jadi, biaya sewa selama 10 hari adalah Rp. 900.000,00.
3. Sebuah mobil memerlukan 3 liter bensin untuk menempuh jarak 24 km. Berapa jarak yang ditempuh mobil itu jika menghabiskan 45 liter bensin?
Jawab:
Banyak Bensin Jarak yang Ditempuh
3 liter 24 km 45 liter x
3 : 45 = 24 : x
3x = 45 x 24 x = 360
Jadi, jarak yang dapat ditempuh dengan 45 liter bensin adalah 360 km.
D. Perbandingan Berbalik Nilai 1. Pengertian Berbalik Nilai
Banyak ternak Banyak hari Keterangan 6
8 10 12 15 A
20 15 12 10 8 b
Baris ke-1 Baris ke-2 Baris ke-3 Baris ke-4 Baris ke-5 Baris ke-6
Tabel diatas menunjukkan korespondensi satu-satu antara banyak ternak dengan banyak hari untuk menghabiskan persediaan makanan dalam jumlah yang sama. Hasil kali antara banyak ternak dengan banyak hari selalu sama dalam setiap baris, yaitu:
Selanjutnya akan ditentukan perbandingan antara banyak ternak dan perbandingan antara banyak hari pada dua baris tertentu.
Perhatikan baris ke-1 dan ke-2
merupakan kebalikan dari
merupakan kebalikan dari
Dari contoh-contoh diatas, ternyata perbandingan banyak ternak dan perbandingan banyak hari untuk menghabiskan persediaan makanan yang sama banyak saling berkebalikan nilainya.
Periksalah bahwa untuk perbandingan pada baris-baris yang lain, akan di dapat perbandingan yang saling berkebalikan nilainya juga.
Jika banyak ternak dikalikan , maka banyak hari yang diperlukan untuk
menghabiskan persediaan makanan dikalikan . Dalam hal ini dikatakan bahwa
Perbandingan banyak ternak dan perbandingan banyak hari merupakan perbandingan berbalik nilai atau berbalik harga.
2. Perhitungan dalam Perbandingan Berbalik Nilai (Berbalik Harga)
Untuk menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan perbandingan berbalik nilai dapat dilakukan dengan 2 cara berikut:
a. Perhitungan berdasarkan hasil kali Contoh:
1) Untuk menempuh jarak dari kota A ke kota B dengan mengendarai mobil diperlukan waktu 4 jam dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Berapakah waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak itu, jika kecepatan rata-ratanya 80km/jam?
Pada perbandingan berbalik nilai (berbalik harga):
Jika banyak hewan bertambah, maka banyak hari untuk menghabiskan makanan berkurang.
Jika banyak hewan berkurang, maka banyak hari untuk menghabiskan makanan bertambah.
Pada perbandingan berbalik nilai (berbalik harga):
Jika banyak hewan bertambah, maka banyak hari untuk menghabiskan makanan berkurang.
Jawab:
Jika kecepatan bertambah, maka waktu harus berkurang. Soal diatas merupakan persoalan perbandingan berbalik nilai.
Waktu yang diperlukan
Kecepatan rata-rata
4 jam t jam
60km/jam 80km/jam
Jadi, waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak kedua kota tersebut dengan kecepatan rata-rata 80km/jam adalah 3 jam.
2) Sekaleng kelereng dibagikan kepada 45 anak, masing-masing mendapatkan 8 kelereng. Jika kelereng dibagikan kepada 30 anak, berapa banyak kelereng yang didapat masing-masing anak?
Jawab:
Banyak Anak Banyak Kelereng
45 30
Jadi, masing-masing anak mendapatkan 12 buah kelereng.
b. Perhitunganberdasarkan perbandingan Contoh:
1) Seorang petani mempunyai makanan yang cukup untuk 75 ekor sapi selama 20 hari. Kapankah persediaan makanan itu akan habis, jika banyak sapi 60 ekor? Jawab:
Jadi, untuk 60 ekor sapi, persediaan makanan akan habis selama 25 hari.
2) Ketua asrama memperkirakan bahwa persediaan makanan cukup untuk 30 anak selama 10 hari. Jika penghuni asrama bertambah 30 anak lagi, berapa harikah persediaan makanan itu akan habis?
Jawab:
Banyak Sapi Banyak Hari
75 60
20 s
Banyak Anak Banyak Hari
30 (30+30)
Jadi, makanan akan habis dalam waktu 5 hari.
DAFTAR PUSTAKA
Adinawan, Cholik, Susijono. 2006. Matematika Untuk SMP /MTs Kelas VII KTSP. Jakarta: Erlangga
Kusrini, dkk. 2004. Buku Siswa Matematika Kelas VII Sekolah Menengah Pertama. Surabaya: Departemen Pendidikan Nasional
Syamsul Junaidi, Eko Siswono. 2006. Matematika SMP Untuk Kelas VII. Surabaya: Gelora Aksara Pratama
Winarti, Atik dkk. 2005. Mari Belajar Matematika Untuk SMP dan MTs Kelas VII. Surabaya: SIC
