Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton

Barisan

Barisan Tak Hingga

Kekonvergenan barisan tak hingga

Barisan Tak Hingga

Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan

−bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.

Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam bentuk a₁,a₂,…,a_n. a₁ menyatakan suku ke–1, a₂ menyatakan suku ke–2 dan a_n menyatakan suku ke–n.

Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah

 

 1 n n

Barisan Tak Hingga

Contoh

−

contoh barisan

Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus

Penentuan a_n tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba

...

,

8

,

6

,

4

,

2

 

 1 n

n

2

... , 6 4 , 5 3 , 4 2 , 3 1



















n

n1

Kekonvergenan barisan

tak hingga

Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila

atau

{ untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara dan L akan kurang epsilon}

L

a

lim

_n

n























0

N

0

n

N

,

a

_n

L

n

Kekonvergenan barisan

tak hingga

Contoh 1

Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

Jawaban

Karena

maka divergen



















n1 2

1

n

n











_n

₁

n

lim

2

n

















2

1

n

Kekonvergenan barisan

tak hingga

Contoh 2

Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

Jawaban

Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk menyelesaikannya digunakan teorema berikut :

Misal ,bila maka untuk x  R.

















1 n n 2

e

n







  n

2

n

e

n

lim

 

n

f

a

_n



lim

f



x

L

Kekonvergenan barisan

tak hingga

Jawaban (lanjutan)

Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka

Berdasarkan teorema maka . Karena nilai limitnya menuju 0, maka

Kekonvergenan barisan

tak hingga

Contoh 3

Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

Jawaban

Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda akibat dari nilai cos n, untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai –1 dan maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk n nilai , akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.

















1 n

n

cos

n

1

_



n

cos

lim

n

0

n

1

lim

n





n

cos

.

Sifat

–

sifat barisan

Misal {a_n} dan {b_n} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka

Barisan Monoton

Kemonotonan barisan {a

_n

} dapat dikelompokkan

menjadi 4 macam :

1. Monoton naik bila 2. Monoton turun bila

3. Monoton tidak turun bila 4. Monoton tidak naik bila

1 n n

a

a



_

1 n n

a

a



_

1 n n

a

a



_

1 n n

a

Deret Tak Hingga

Deret tak hingga merupakan jumlahan dari yaitu a₁+a₂+…+a_n . Notasi deret tak hingga adalah .

Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana :

 

 1 n n

a



1 n

a

n

n nlim S

1 1

a

S



3 2

1

3

a

a

a

S









n 3

2 1

n

a

a

a

...

a

S











2 1

2

a

a

S





Deret Tak Hingga

Contoh

Selidiki apakah deret konvergen ?

Jawaban

Karena , maka adalah deret konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.

   

 

 





 k 1

1 k

1

1 k

1

n

n

1

n

1

1

S

_n











1

1

n

n

lim

S

lim

n n

n









k 1

1 k

1

1

k  





Deret Suku Positif

Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan :

1. Deret geometri 2. Deret harmonis 3. Deret-p

Deret Suku Positif

Deret geometri

Bentuk umum :

Proses menentukan rumusan S_n adalah sebagai berikut :

Deret Suku Positif

Deret geometri(lanjutan)

Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret geometri :

–Bila r = 1, maka S_n= na sehingga , sehingga deret divergen

–Bila | r |<1, maka , sehingga deret konvergen ke

–Bila | r | >1, maka , sehingga deret divergen









na

lim

n

0 lim 

 

n n r

r

a



1





 

n

n

Deret Suku Positif

Deret harmonis

Bentuk umum :

Deret Suku Positif

Deret harmonis (lanjutan)

Kedivergenan

Deret Tak Hingga

Bila deret konvergen, maka .

kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah

Bila ,maka deret akan divergen.

Bila dalam perhitungan limit

a

_n

–

nya diperoleh nol,

maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu

dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.





1

n n

a

_lim

_a

₀

n n



 

0

a

lim

_n

n







1

n n

Kedivergenan

Deret Tak Hingga

Contoh

Periksa apakah konvergen ?

Jawaban

Jadi divergen

n

1

2

1

lim

n





 







1

n

2

n

1

n

1

n

2

n

lim

a

lim

n n

n





  









1

n

2

n

1

n

0

2

1

_

Uji Deret Positif

1. Uji integral

2. Uji Banding

3. Uji Banding limit

4. Uji Rasio

Uji Deret Positif

Uji integral

Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun, dimana , maka integral tak wajar dari f(x)

adalah .

Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak ada, maka deret divergen.

Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret konvergen.





1 n

n

a



_

fn nB a_n



xdxlimf



xdx f

b

1 b

1





_



Deret Suku Positif

Contoh 1: Uji Integral Deret

–

p

Bentuk umum :

Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu

Misal maka .

Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1 sampai .





1

n

n

p

1

 

_p n

n

1

n

f

a





 

_p

x

1

x

Deret Suku Positif

Deret

–

p (lanjutan)

Integral tak wajar dari f(x) adalah

Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen.

dx

x

1

lim

b

1 p b





dx

x

1

1 p



 b

1 p 1

b

1

p

x

lim



















1

p

1

p

1

b

lim

p 1

b











Deret Suku Positif

Deret

–

p (lanjutan)

Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut :

– Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen

– Bila 0 p<1, maka ,sehingga deret divergen

– Bila p>1, maka ,

sehingga deret konvergen.

 

p1 b

_p

₁

_b

1

1

p

1

lim

_





























1

p

1

p

1

b

lim

p 1

b

p

1

1

p

1

b

lim

p 1

b













p

1

1

Uji Deret Positif

Contoh 2

Tentukan kekonvergenan deret

Jawaban

Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji integral yaitu :

Misal , maka Perhitungan integral tak wajar :

dx

1

lim

b







 2

n nlnn

1



n ln n

1 n

f

a_n 

x ln x

1 )

x (

f 

dx

1





 









b

2

Uji Deret Positif

Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral

tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga

divergen.



 2

n nlnn

Uji Deret Positif

Uji Banding

Bila untuk n  N, berlaku b_n  a_n maka

a. Bila konvergen, maka juga konvergen b. Bila divergen, maka juga divergen

Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret pembandingnya adalah yang bersifat konvergen.

Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret





1 n

n

b





1 n

n

a





1 n

n

a





1 n

n

Uji Deret Positif

Contoh 1

Uji kekonvergenan

Jawaban

Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.

Dapat dipilh sebagai deret pembanding.

Karena dan merupakan deret

p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen





1 

n n 2

1



 1

n

3

n

1





1

n 3 n

1

n

3

1

2

n

1

Uji Deret Positif

Contoh 2

Uji kekonvergenan

Jawaban

Dengan uji banding, digunakan deret pembanding , dimana . Karena merupakan deret

konvergen, maka juga konvergen.





1 

n n2 5

3





1 n n2

3

2 2

n 3 5

n

3 _







1 n n2

3





1 

n n2 5

Uji Deret Positif

Contoh 3

Uji kekonvergenan

Jawaban

Karena untuk , maka deret pembanding yang digunakan adalah .Karena dan

merupakan deret konvergen, maka juga konvergen









1

2 1

n n

n tg

2 , 1 





 

n tg n





1 n 2

2

n 

2 2 2

1

n n

n tg 









1 n 2

2

n 









1

2 1

n

n

Uji Deret Positif

Uji Banding Limit

Misal dan , merupakan deret suku positif dan , berlaku

– Bila 0 < L <



, maka kedua deret bersama-sama konvergen atau bersama-sama divergen

– Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka . juga konvergen

– Bila L =  dan adalah deret divergen maka .





1 n

n

a





1 n

n

b

n n

n b

a lim L

 







1 n

n

b





1 n

n

a



 b



Uji Deret Positif

Contoh 1

Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Uji Deret Positif

Contoh 2

Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Deret pembanding yang digunakan adalah dan diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).

Karena . dan deret pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama divergen .





1 

i n2 5

1







 





1 n 1

n 2 n

1 n

1

1 1 n

n lim 5

n n lim L

2 2

n 2

2

n

  

 

  

Uji Deret Positif

Uji Rasio

Misal merupakan deret suku positif dan maka berlaku

– Bila <1, maka deret konvergen

– Bila >1, maka deret divergen

– Bila =1, maka uji gagal





1 n

n

a

n 1 n

n a

a lim

 



Uji Deret Positif

Contoh

Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Dengan uji rasio diperoleh

Uji Deret Positif

Uji Akar

Misal merupakan deret suku positif dan , maka berlaku

– Bila r < 1, maka deret konvergen

– Bila r > 1, maka deret divergen

– Bila r = 1, maka uji gagal





1 n

n

a n _n

n

a lim r

 







1 n

n

a





1 n

n

Uji Deret Positif

Contoh

Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Dengan uji akar diperoleh

Karena , maka konvergen.





1

2

i

n n

e

e 2 e

2 lim r n

n n

n

 

 



 n

1

i n

n

e 2

Uji Deret Positif

Panduan Pemilihan uji deret

Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka dapat dipilih uji banding atau uji banding limit

Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n

Deret Ganti Tanda

Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk . dengan a_n> 0 untuk semua n dilakukan uji tersendiri.

Notasi deret ganti tanda adalah . atau . Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila

a. (monoton tak naik)











1

1

)

1

(

i

n n

a









1

)

1

(

i

n n

a

n 1

n a

a

0 _



...

a

a

a

Deret Ganti Tanda

Contoh

Tentukan kekonvergenan deret

Jawaban

merupakan deret ganti tanda dengan rumus suku ke–nnya adalah .

Deret Ganti Tanda

a.

Karena jadi {a_n} adalah monoton tak naik.

b.

Konvergen Mutlak dan

Konvergen Bersyarat

Deret dikatakan konvergen mutlak, bila deret mutlak konvergen (suku a_n bisa berupa suku positif atau tidak).

Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila divergen, maka . juga divergen.

Kovergen bersyarat terjadi bila konvergen tetapi divergen.

 

 







1 1 2 3

n

naaa

a

|

|

₃

2 1

1

a

a

a

a

n

n

















1 n

n

a





1 n

n

a





1 n

n

a





1 n

n

Konvergen Mutlak dan

Konvergen Bersyarat

Contoh 1

Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji banding, dimana deret pembandingnya adalah maka diperoleh bahwa untuk semua nilai n.

Karena merupakan deret konvergen, maka juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.





1

n

n

3

n

cos







1

n

n

3

n

cos







1 n n3

1

3 3

n 1 n

n

cos



_





1 n n3

1





1

n

n

3

n

cos







1

n

n

3

Konvergen Mutlak dan

Konvergen Bersyarat

Contoh 2

Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Konvergen Mutlak dan

Konvergen Bersyarat

Contoh 3

Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen. Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda

a. (monoton tak naik)

Diperoleh bahwa benar

b. Jadi deret ganti tandanya konvergen. Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret

 



 1  n

n

n 1 1



 1 n n

1

n 1

n a

a

0 _

n 1 1 n

1 0 

 

0 1 lim a

lim_n  

 

Uji rasio untuk

kekonvergenan mutlak

Misal deret dengan suku tak nol dan , tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :

• Bila r<1, maka konvergen mutlak

• Bila r>1, maka divergen

• Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan) Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .





1 n

n

a

n 1 n

n _a

a lim r 

 







1 n

n

a





1 n

n

Konvergen Mutlak dan

Konvergen Bersyarat

Contoh 1

Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen?

Jawaban

Dengan uji rasio mutlak diperoleh :

Konvergen Mutlak dan

Konvergen Bersyarat

Contoh 2

Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen?

Jawaban

Dengan uji rasio mutlak diperoleh :

Deret Pangkat

Bentuk umum :

Contoh deret pangkat

Deret Pangkat

Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel, yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan

nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak, yaitu pada saat r < 1.

Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret maupun disebut interval kekonvergenan.

Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing – masing deret.

n

0 n

nx

a











n

0 n

n x b

a 





Deret Pangkat

Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah : Selang konvergensi untuk deret

• Deret konvergen hanya di x = 0

• Deret konvergen mutlak di x  R

• Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

Selang konvergensi untuk deret

• Deret konvergen hanya di x = b

• Deret konvergen mutlak di x  R

• Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)

n

0 n

nx

a











n 0

n

n x b

a 





Deret Pangkat

Contoh 1

Tentukan interval kekonvergenan deret

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

Deret akan konvergen untuk semua nilai x Atau x R

0 1 n

x lim

n

  

 





0 n

n

! n x

 

n

1 n

n _x

! n ! 1 n

x lim r



 

Deret Pangkat

Contoh 2

Tentukan interval kekonvergenan deret

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0

1 n x lim

n

 

 





0 n

n

x ! n

 

n 1

n

n _x

! 1 n !

n x lim

r 



Deret Pangkat

Contoh 3

Tentukan interval kekonvergenan deret

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah –3 < x < 3.

Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.

Deret Pangkat

Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai berikut :

• Saat x = -3  deretnya menjadi  Deret ini diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .

• Saat x = 3  deretnya menjadi  dengan uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen. Jadi interval kekonvergenan deret adalah





0 

n n 1

1

 





 



0 n

n

1 n

1 1

 

 





 



0

n n

n n

1 n 3

x 1

3

x

3





Deret Pangkat

Contoh 4

Tentukan interval kekonvergenan deret

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah 4 < x < 6.

Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.

1 n 2 n

n 5

x lim

2

2

n  

 

 

 









1 n

2 n

n 5 x

 

   

n 2

2 1 n

n _x5

n 1

n 5 x lim r

 



 



Deret Pangkat

Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai berikut :

• Saat x = 4  deretnya menjadi  karena . konvergen maka deret ganti tandanya juga

konvergen. .

• Saat x = 6  deretnya menjadi yang merupakan deret-p yang diketahui konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret adalah

 









1 n

2 n

n 1 1





0 n

n

2

1





1 n

2

n 1













1 n

2 n

n 5 x

6

x

Operasi-operasi

deret pangkat

1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan substitusi

2. Turunan deret :

3. Integral deret :









 

















1

1 0 n

n n n

n n

x

a

x

na

x

D

C

x

1

n

a

dx

x

a

dx

x

a

n1

0 n

n n

0

n n0n

n

n

















 

 





Deret Pangkat

Deret geometri adalah contoh deret pangkat x dengan a_n = 1 .

Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri, maka diperoleh

Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi yang memuat x.





1 n

n

x

...

x

x

x

1

x

1

1

_

_

_

₂

_

₃

_



x



1

1

_{2 3}









Deret Pangkat

Contoh 1

Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

Dengan menggunakan deret geometri

x 1

1



 

x 1

1 x

1 1

   

 

x

1

1

x

1

1









1

x

x

x

...

3 2

_

_







1

x

x







Deret Pangkat

Contoh 2

Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

Dengan menggunakan jawaban sebelumnya

x 1

x





x



x



1xxx...



xxxx... 1

x x

1

x _{23234}

Deret Pangkat

Contoh 3

Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

Deret Pangkat

Contoh 4

Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

adalah turunan dari sehingga





2

x 1

1







2

x 1

1

 1 x

1

 





dx



1

2

x

3

x

4

x

...

...

x

x

x

1

d

dx

x

1

1

d

x

1

1

23 ₂₃

2







































Deret Taylor dan Maclaurin

Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,

dimana nilai-nilai a₀,a₁,a₂,… diperoleh dari penurunan f(x) di

x = b sampai turunan ke-n, yaitu



x

 

a₀a₁xb



a₂



xb



2a₃xb



3

f

 

 

 

 

! 2

b f a

b f a

b f a

n ''

2

' 1

0

 



Deret Taylor dan Maclaurin

Atau f(x) bisa dituliskan sebagai

Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor, dinamakan deret taylor.

Deret Taylor dan Maclaurin

Contoh 1

Perderetkan ke dalam deret maclaurin

Jawaban

Sehingga



x



e f



0



1 f x



x



e f



0



1 f' x' 



x



e f



0



1 f'' x'' 



x



e f



0



1 f''' x''' 





x



e f



0



1 fnxn

  

 

 

1xxx

_

x,x e

n 3

2

x _

 

x

e

x

Deret Taylor dan Maclaurin

Contoh 2

Perderetkan ke dalam deret Maclaurin / Taylor

Jawaban

Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa

Dengan mengganti x dengan 2x–1 maka diperoleh perderetannya adalah





2x1

e

x

f





















_





n

!

,

x

x

!

3

x

!

2

x

x

1

e

0 n

n 3

2

x

_

 





  

















2

x

1

2

x

1

1

x

2

1

e

3 2

Deret Taylor dan Maclaurin

Deret Taylor dan Maclaurin

Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat

seperti pada bagian sebelumnya, misal :

Soal Latihan

A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen

Soal Latihan

A (Lanjutan)

Soal Latihan

A (Lanjutan)

13. 14.

B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?

Soal Latihan

B. (lanjutan)

5. 6.

7. 8.

9. 10.







1 n

n

! n 60









1 n

n

! n

n 2 5





1 n e2n

n ln



 1

n n e

1





1

n n3

n cos



 









1 

n

n 2

! 2 n 2

2 !

Soal Latihan

B. (lanjutan)

Soal Latihan

B. (lanjutan)

Soal Latihan

B. (lanjutan)

23. 24.

C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen

Soal Latihan

D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut

Soal Latihan

D. (Lanjutan)

7. 8.

9. 10.

E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat

Soal Latihan

E. (Lanjutan)

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.



 

x

e x x

f 

 

₂ x 4 1

1 x

f

 



2

x sin x

f 

 

13x

e x

f 

 

x 1

1 x

f

 



xxln

 

1x f  

 

x 3 1

x x

f

2

 