STK 203 TEORI STATISTIKA I

(1)

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 1

TEORI STATISTIKA I

V. SEBARAN FUNGSI

PEUBAH ACAK

Sebaran Fungsi Peubah Acak

Dalam banyak kasus untuk melakukan inferensi

terhadap suatu parameter kita lebih banyak

menggunakan fungsi dari peubah acak.

Sebagai ilustrasi, pada saat kita akan melakukan

pengujian hipotesis terhadap nilai tengah

µ

dari

peubah acak X yang menyebar normal, statistik yang

digunakan adalah

Kenapa menggunakan statistik tsb ?

x

s

x

t

₌

µ

0

(2)

Sebaran Fungsi Peubah Acak

Untuk menentukan sebaran fungsi peubah acak tersebut,

kita akan membahas tiga metode utama yaitu :

(1) Metode Fungsi Sebaran

(2) Metode Transformasi

(3) Metode Fungsi Pembangkit Momen

(1) Metode Fungsi Sebaran

Perhatikan Y adalah peubah acak kontinu dengan

fungsi sebaran F

_Y

(y).

Jika U = g(Y) dan F

_U

(u) adalah fungsi sebaran

peubah acak U, secara umum kita bisa mencari

f

_U

(u) yang merupakan turunan pertama dari

F

_U

(u).

Sedangkan

(3)

Dengan demikian f_U(u) kita

peroleh dari turunan pertama

F_U(u), sbb.

karena 0 < y < 1 maka u = - log(y) > 0 sehingga diperoleh

u lainnya

Bisa diperlihatkan bahwa U ~ Eksponensial (1)

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 6 u lainnya

Dengan metode fungsi sebaran

kita peroleh : Dengan demikian kita bisa _{memperoleh f}

U(u) dengan

menentukan turunan pertama

dari F_U(u) sbb.

(4)

(2) Metode Transformasi

Perhatikan peubah acak kontinu Y dengan fungsi sebarannya F_Y(y)

dan U = g(Y) adalah fungsi satu-ke-satu dari Y.

Ada beberapa sifat dari fungsi satu-ke-satu yang akan kita gunakan, yaitu :

(1) g akan memetakan R ke R dengan sifat monoton naik atau monoton turun

(2) g akan memiliki fungsi kebalikan yang unik, g-1

(2)

Perhatikan jika g(y) adalah fungsi satu-ke-satu yang monoton naik,

maka u = g(y) ⇔g-1_{(u) = y, dan}

Dengan menurunkan F_U(u) akan diperoleh

(5)

Sekarang perhatikan jika g monoton naik, demikian pula dengan g-1_,

sehingga .

Jika g monoton turun, demikian pula dengan g-1_{, sehingga}

akan tetapi f_Y(g-1_{(u)) < 0 sehingga bernilai positif.}

Untuk mengatasi kedua kasus tersebut, kita bisa menggunakan fungsi harga mutlak, sehingga fkp bagi U adalah

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 10 untuk (?)

(2)

Ilustrasi 5.3.

Diketahui Y ~ Eksponensial (β). Tentukan fkp

Pertama-tama, kita harus meyakinkan bahwa g adalah fungsi

satu-ke-satu pada daerah fungsi R_Y. Mudah untuk ditunjukkan bahwa g(y)

adalah fungsi yang monoton naik dan bersifat satu-ke-satu pada

R_Y= {y|0 < y < ∞}.

Selanjutnya kita tentukan turunan dari g-1_{(u), sehingga diperoleh}

dan

dan berdasarkan formulasi sebelumnya, maka diperoleh

(6)

(2)

Ilustrasi 5.4.

Diketahui fkp peubah acak Y sbb.

Mudah untuk menunjukkan g(y) adalah fungsi yang monoton turun

dan bersifat satu-ke-satu pada R_Y= {y|0 < y < 1}.

Selanjutnya kita tentukan turunan dari g-1_{(u), sehingga diperoleh}

Tentukan fkp dari U = g(Y) = 1 - Y y lainnya

dan

dan berdasarkan formulasi sebelumnya, maka diperoleh

untuk

(2)

Pertanyaan berikutnya adalah

BAGAIMANA KALAU g(Y) BUKAN FUNGSI SATU-KE-SATU ?

Dalam kondisi g yang bukan fungsi satu-ke-satu kita masih bisa

menggunakan metode transformasi asalkan kita dapat mempartisi R_Y

(7)

Teorema 5.1.:

Perhatikan Y peubah acak kontinu dengan fkp f_Y(y) dan U = g(Y)

adalah suatu fungsi yang tidak bersifat satu-ke-satu pada R_Ytetapi

kontinu. Misalkan kita dapat mempartisi R_Y menjadi beberapa

himpunan yang terhingga banyaknya, katakan A₁, A₂, …, A_k dengan

(i) P(Y_i ∈ A_i) > 0 untuk setiap i dan

(ii) f_Y(y) bersifat kontinu pada setiap A_i

Jika fungsi g₁(y), g₂(y), …, g_k(y) ada sedemikian sehingga g_i(y)

(2)

Ilustrasi 5.5.

Diketahui Y ~ N(0, 1). Tentukan fkp peubah acak U = Y2

Pertama-tama, kita lihat bahwa U = Y2 _{bukan fungsi satu-ke-satu pada}

R_Y = {y |-∞ < y < ∞} tetapi bersifat satu-ke-satu pada A₁ = (-∞, 0) dan

A₂ = [0, ∞). g(y) = y2 _{bersifat monoton turun pada A}

1 dan monoton

naik pada A₂ dan juga berlaku R_Y = A₁∪ A₂.

Kemudian bisa kita peroleh ringkasan berikut partisi R_Ytransformasi invers transformasi

(8)

(2)

Ilustrasi 5.5.

perhatikan u = y2 _{> 0, sehingga R}

U = {u|u > 0}.

Berdasarkan teorema 5.1. maka fkp bagi U adalah

u lainnya

; karena

Dengan demikian U ~ Gamma (1/2, 2) atau U ~

χ

2

(1)

(3) Metode Fungsi Pembangkit Momen

Teorema 5.2.

Perhatikan X dan Y yang masing-masing memiliki fungsi pembangkit

momen m_X(t) dan m_Y(t). Jika m_X(t) = m_Y(t) untuk semua nilai t maka

X dan Y memiliki fkp/fmp yang sama. (sifat unik fungsi pembangkit momen).

Bagaimana menentukan fkp/fmp melalui fpm?

Jika kita memiliki suatu fungsi U = g(Y) dan kemudian dapat

ditentukan m_U(t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak U,

(9)

Ilustrasi 5.6.

Jika Y ~ Gamma(α, β), perlihatkan bahwa U = g(Y) = 2Y/β ~

χ

2

(2α).

Kita tahu bahwa fpm Y adalah

sehingga

Jelas U ~

χ

2

(2α)

(3)

Teorema 5.3.

Perhatikan Y₁, Y₂, …, Y_n adalah contoh acak dimana Yi memiliki fpm

m_Yi(t) untuk i = 1, 2, …, n. Jika U = Y₁ + Y₂ + … + Y_n maka

(10)

(3)

Ilustrasi 5.7.

Jika Y₁, Y₂, …, Y_n ~ Bernoulli (p). Tentukan fkp U = Y₁ + Y₂ + … + Y_n.

m_U(t) dapat dihitung sbb.

kali

m_U(t) adalah fpm Binomial (n, p).

Jadi U ~ Binomial (n, p)

(4) Transpormasi Peubah Acak Ganda

Dalam pembahasan topik ini kita akan fokus pada transformasi ganda

dua yaitu jika kita memiliki U₁ = g₁(Y₁, Y₂) dan U₂ = g₂(Y₁, Y₂).

Perhatikan jika (Y₁, Y₂) adalah peubah acak ganda kontinu dengan fkp

bersama f_Y1,Y2(y₁, y₂). Jika g : R2 Æ _R2 _{yang memetakan satu-ke-satu}

dari R_Y1Y2 ke R_U1U2 dimana U₁ = g₁(Y₁, Y₂) dan U₂ = g₂(Y₁, Y₂) serta g₁-1

dan g₂-1 _{dapat diturunkan secara parsial dan diperoleh}

maka

(11)

Ilustrasi 5.8.

Diketahui Y₁ ~ Γ(α,1), Y₂ ~ Γ(β, 1) dengan Y₁ dan Y₂ saling bebas.

Jika didefinisikan :

Tentukan :

(a) f_U1U2(u₁, u₂), fkp bersama dari U₁ dan U₂

(b) f_U1(u₁), fkp marginal U₁

(c) f_U2(u₂), fkp marginal U₂

(12)

(4)

Ilustrasi 5.8.

(a) f_U1U2(u₁, u₂), fkp bersama dari U₁dan U₂ dengan demikian diperoleh

dan dapat ditulis

(u₁, u₂) lainnya

(4)

Ilustrasi 5.8.

(b) f_U1(u₁), fkp marginal U₁

kita akan integralkan fkp bersama (U₁, U₂) untuk setiap nilai u₂

maka kita peroleh

(13)

Ilustrasi 5.8.

(c) f_U2(u₂), fkp marginal U₂

kita akan integralkan fkp bersama (U₁, U₂) untuk setiap nilai u₁

maka kita peroleh

u₂lainnya

(5) Statistik Tataan

Perhatikan Y₁, Y₂, …, Y_n adalah contoh acak dari Y ~ f_Y(y|θ) dengan

fungsi sebaran F_Y(y).

Didefinisikan Y₍₁₎ ≤ Y₍₂₎ ≤ … ≤ Y_(n) adalah statistik tataan (order

statistics) dengan Y₍₁₎ adalah nilai terkecil, Y₍₂₎ nilai terkecil

berikutnya, demikian seterusnya sehingga Y_(n) adalah nilai terbesar.

Karena Y_i saling benas, maka fkp bersamanya adalah Π_∀if_Y(y_i|θ).

Menurut aturan pencacahan, akan ada n! cara yang berbeda untuk

menyusun Y₁, Y₂, …, Y_n sehingga diperoleh Y₍₁₎ ≤ Y₍₂₎ ≤ … ≤ Y_(n),

dengan demikian fkp bersama dari statistik tataan adalah

f_{Y(1),Y(2), … ,Y(n)}(y₁, y₂, …, y_n) = n! Π_∀if_Y(y_i|θ)

(14)

(5)

(a) fkp statistik minimum, Y₍₁₎

dan dan dan

sehingga dapat diperoreh

(5)

(b) fkp statistik maksimum, Y_(n)

sehingga dapat diperoreh

(15)

(c) fkp statistik tataan ke-k, Y_(k)

Untuk mencari f_Y(k)(y) coba didekati dengan model peluang

multinomial. Suatu barisan {Y_(i)} kita bagi dalam 3 kelas, yaitu

n - k

Karena Y_i saling bebas, maka dengan pendekatan model

multinomial kita peroleh

dengan menginterpretasikan F_Y(y) = P(Y_i < y), f_Y(y) = P(Y_i = y) dan

1- F_Y(y) = P(Y_i > y), maka fkp bagi statistik tataan ke-k adalah