STK 203 TEORI STATISTIKA I

(1)

III. Peubah Acak Kontinu 1

STK 203

TEORI STATISTIKA I

III. PEUBAH ACAK KONTINU

PEUBAH ACAK KONTINU

Ingat definisi peubah acak !

Definisi :

(2)

Peubah Acak Kontinu

Definisi 3.1. (Peubah Acak Kontinu):

Jika Y adalah suatu peubah acak dengan ruang contoh S yang terdiri dari suatu selang (interval_{) atau gabungan}

dari beberapa selang, serta f(y) adalah fungsi non negatif sedemikian sehingga

∫

_S f(y) dy = 1 dan jika ada fungsi P(A), A ⊂ S dapat dinyatakan sebagai

P(A) = P(Y ∈ A) =

∫

_A f(y) dy , maka Y disebut peubah acak kontinu dan f(y) disebut fungsi kepekatan peluang (fkp) dari Y.

Jika f(y) adalah fkp peubah acak Y dan A = {y|a < y < b} maka P(A) = P(Y ∈ A) dapat ditulis sbb

P(a < Y < b) =

∫

_ab

_{f(y) dy}

Jika A = {a}, maka

P(A) = P(Y ∈ A) = P(Y = a) =

∫

_aa _{f(y) dy = 0,}

(3)

Jika F_Y(y) adalah fungsi sebaran (kumulatif) suatu peubah acak kontinu Y dimana F_Y(y) =

∫

_-_∞y _{f(t) dt , maka berlaku :}

1. 0 ≤ F_Y(y) ≤ 1

2. F_Y(y) merupakan fungsi tidak turun 3. lim_y_Æ_-_∞ F_Y(y) = 0 dan Lim_y_Æ_∞ F_Y(y) = 1 4. F_Y(y) merupakan fungsi kontinu kanan,

lim_y_Æ_a+ F_Y(y) = F_Y(a)

≤

Sifat Fungsi Sebaran Peubah Acak Kontinu

Ilustrasi 3.1.

Pada suatu percobaan, dipilih satu titik secara acak dari selang [a, b] dimana a < b. Misalkan Y adalah fungsi

identitas yang terdefinisi pada selang [a, b], dengan demikian ruang contoh S_Y = [a, b]. Anggap jika suatu interval A adalah anak gugus dari S_Y, maka peluang

kejadian A sebanding terhadap panjang A. Jika A = [a, y], y ≤ b maka P(A) = P(Y ∈ A) = P(a ≤ Y ≤ y) = c (y - a),

dimana c konstanta keproporsionalan.

(4)

Ilustrasi (cont_):

Dengan demikian kita akan mempunyai suatu model peluang jika fungsi sebaran Y, yaitu F_Y(y) didefinisikan :

Sehingga f_Y(y)=F’_Y(y)dapat dituliskan sbb:



Jika Y peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran F_Y(y), maka fungsi kepekatan peluang (fkp) bagi Y, dinotasikan f_Y(y) adalah

asalkan turunan pertama dari F_Y(y) terdefinisi. Dengan demikian berdasarkan kaidah kalkulus maka juga dapat ditulis

Sifat dari f_Y(y):

(5)

III. Peubah Acak Kontinu 9 Ilustrasi 3.2.

Jika diketahui Y memiliki fkp f_Y(y) sbb.

y lainnya

Untuk menentukan F_Y(y) kita perlu menghitung P(Y ≤ y) untuk semua kemungkinan nilai y.

• Untuk y ≤ 0, kita peroleh

• Untuk 0 < y < 2, kita peroleh

• Untuk y ≥ 2, kita peroleh

• Jadi F_Y(y) yang dimaksud adalah

Sifat fkp

Jika Y peubah acak kontinu dengan fkp f_Y(y), maka

(i)

(ii)

(6)

Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu

Nilai harapan suatu peubah acak kontinu Y adalah :

Ilustrasi 3.3. Jika diketahui

y lainnya

Sehingga

Jika Y adalah suatu peubah acak kontinu dengan fkp f_Y(y) dan g(Y) adalah suatu fungsi dari peubah acak Y, maka…

y lainnya

Ilustrasi 3.4. Jika diketahui

• Jika g(Y) = ln Y, maka E(ln Y) :

(7)

Bentuk-bentuk khusus nilai harapan

Jika Y peubah acak diskret dengan fmp f(y) dan y terdefinisi pada a₁, a₂, a₃, … maka akan berlaku

E(Y) = a₁ f(a₁) + a₂ f(a₂) + a₃ f(a₃) + … yang tidak lain adalah rataan terboboti atau disebut juga rataan aritmetik atau nilai tengah suatu peubah acak.

Dengan demikian nilai tengah

µ

_Y dari suatu peubah acak Y, jika ada, adalah

µ

_Y = E(Y) berlaku untuk Y diskret atau kontinu.

Bentuk khusus nilai harapan

Æ

ragam

Perhatikan untuk g(Y) = (Y -

µ

_Y)2

E[g(Y)] =

∫

_y g(y) f_Y(y) dy

=

∫

_y (y -

µ

_Y)2 _f

Y(y) dy

(8)

Bentuk khusus nilai harapan

Æ

fungsi pembangkit momen

Perhatikan untuk g(Y) = etY

E[g(Y)] =

∫

_y etY _f

Y(y) dy

adalah fungsi pembangkit momen peubah acak Y dan dinotasikan dengan m_Y(t).

Jika dua buah peubah acak memiliki fungsi pembangkit momen yang sama, maka keduanya juga memiliki

sebaran yang sama. Fungsi pembangkit momen bersifat unik dan menentukan sebaran peubah acak.

Dengan demikian kita bisa menyatakan suatu peubah acak Y secara unik dalam tiga bentuk :

1. Fungsi sebaran, F_Y(y)

(9)

Momen suatu peubah acak

Jika M_Y(t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak Y dan M(i)

(10)

Menentukan nilai tengah dan ragam melalui fpm

Ilustrasi 3.5.

Perhatikan peubah acak Y dengan fkp sbb.

y lainnya

Fungsi pembangkit momen serta nilai harapan dan ragamnya adalah :

(11)

Sifat nilai harapan

Perhatikan peubah acak kontinu Y dengan fkp f_Y(y) dan g₁, g₂, …, g_k adalah fungsi dari Y serta c adalah suatu konstanta, maka :

Y ~ Seragam (θ

₁

, θ

₂

)

(1) fkp peubah acak Y :

y lainnya

(2) Fungsi pembangkit momen :

(12)

y lainnya

Y ~ Normal (

µ

,

σ

2

₎

Akan diperlihatkan bahwa f_Y(y) adalah fkp. Misal dan

I > 0 dan jika f_Y(y) fkp, maka I = 1 sehingga I2_{= 1}

Y ~ Normal (

µ

,

σ

2

₎

Misal x = r cos θ, y = r sin θsehingga x2_{+ y}2_{= r}2 _{dan dxdy = r drd}θ_{, maka I}2

(13)

Y ~ Normal (

µ

,

σ

2

₎

Misal , sehingga

dengan

Y ~ Normal (

µ

,

σ

2

₎

Dengan demikian m_Y_{(t) =}

(14)

~ N (0, 1) Ilustrasi 3.6.

Perlihatkan bahawa yika Y ~ N (

µ

,

σ

2

) maka

Bukti :

⇒ adalah fpm N(0, 1)

y lainnya

Y ~ Gamma (

α

,

β

)

Akan diperlihatkan bahwa f_Y(y) adalah fkp. Misal dan maka :

(15)

Y ~ Gamma (

α

,

β

)

(2) fpm peubah acak Y :

dengan maka suku sebelah kanan dapat ditulis sbb.

fkp

dengan demikian fpm peubah acak Y adalah

Y ~ Eksponensial (

β

)

y lainnya

(2) fpm peubah acak Y :

(16)

Latihan :

Jika Y ~ Gamma (α, β).

(1) Untuk α = 1, maka Y ~ Eksponensial (β)