Statistika Farmasi

613.123.15 Statistika Farmasi

Bab 3: Distribusi Data

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

Pendahuluan

Teori dalam statistika berkaitan dengan peluang

Konsep dasar peluang tersebut berkaitan dengan peluang distribusi, yaitu fungsi matematika yang menentukan peluang kemunculan pada domain dari distribusi tersebut

Peluang distribusi yang akan dibahas adalah

1 Distribusi Binomial

2 Distribusi Normal

Ruang Sampel dan Kejadian

Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Biasanya dinotasikan dengan huruf S . Contoh: dari pelemparan sebuah dadu diperoleh keluaran S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Biasa dinotasikan dengan huruf kapital. Contoh: munculnya bilangan genap dari pelemparan sebuah dadu: A = {2, 4, 6}.

Gabungan Kejadian

A ∪ B = {a ∈ S : a ∈ A atau a ∈ B}

Irisan Kejadian

A ∩ B = {a ∈ S : a ∈ A dan a ∈ B}

Kejadian A dan B bersifat ’mutually exclusive (saling asing)’ jika A ∩ B = φ.

Komplemen

A^c = ¯A = {a ∈ S : a /∈ A}

Partisi Ruang Sampel

Sebuah himpunan kejadian {A₁, A₂, . . .} merupakan partisi dari ruang sampel S jika

1 Kejadian-kejadian tersebut bersifat ’mutually exclusive’, Ai∩ Aj = φ jika i 6= j .

2 ∪iAi = S

Peluang

Peluang kejadian A adalah

P(A) = n(A) n(S ) di mana

n(A) : banyaknya keluaran A

n(S ) : banyaknya anggota ruang sampel S

Sifat-sifat peluang

1 0 ≤ P(A) ≤ 1

2 P(S ) = 1 P(∅) = 0

3 Untuk himpunan kejadian A₁, A₂, . . . yang ’mutually exclusive,

P

∞

[

n=1

An

!

=

∞

X

n=1

P(An)

4 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

5 P(A^c) = 1 − P(A)

6 Jika A ⊆ B maka P(A) ≤ P(B)

Peubah Acak

Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota ruang sampel S ke bilangan real. Contoh:

Misalkan dua buah koin dilemparkan. Misalkan X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul, maka X adalah peubah acak yang bernilai 0, 1, dan 2 dengan peluang munculnya

P(X = 0) = P(BB) = 1 4 P(X = 1) = P(MB, BM) = 1

2 P(X = 2) = P(MM) = 1

4

Dua bola diambil secara acak tanpa pengembalian dari suatu wadah yang terdiri atas 4 bola merah dan 3 bola hitam.

Misalkan peubah acak Y menyatakan banyaknya bola merah yang terambil, maka ruang sampel dan nilai untuk Y adalah

S = {RR, RB, BR, BB}

Y = {2, 1, 1, 0}

dan

P(Y = 0) =1 4 P(Y = 1) =1 2 P(Y = 2) =1 4

Peubah Acak Diskrit

Peubah acak diskrit merupakan peubah acak yang terdefinisi pada barisan terhitung dari bilangan {xi, i = 1, 2, . . .}

sedemikian sehingga

P [

i

{X = x_i}

!

=X

i

P(X = x_i) = 1

Fungsi peluang

p(x ) = P(X = x ) =

(p_i, jika x = x_i 0, lainnya .

Fungsi distribusi

F_X(x ) =X

i

p(x_i)

Distribusi Binomial

Misalkan sebuah percobaan yang keluarannya berupa sebuah sukses atau sebuah gagal. Misalkan X = 1 jika hasilnya sukses dan X = 0 jika gagal, maka fungsi peluangnya

p(0) = P(X = 0) = 1 − p p(1) = P(X = 1) = p

di mana p merupakan peluang sukses dan 0 ≤ p ≤ 1.

Maka X merupakan peubah acak Bernoulli.

Jika terdapat n percobaan independen dengan keluaran berupa sukses dan gagal dan X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh, maka X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, p) dan fungsi peluangnya

p(x ) =n x



p^x(1 − p)^n−x, x = 0, 1, 2, . . .

Mean, E (X ) = np

Variansi, Var (X ) = npq = np(1 − p)

Contoh:

Kemungkinan hasil dari seorang pasien yang mengikuti suatu treatment adalah sembuh dengan peluang 0.75 atau tidak sembuh dengan peluang 0.25. Misalkan X = 1 jika hasilnya sembuh dan X = 0 jika hasilnya tidak sembuh, maka peluang distribusinya adalah

p(0) = 0.25 p(1) = 0.75

Beberapa contoh lain dari data yang berdistribusi Binomial pada riset farmasi adalah sebagai berikut

Misalkan sebuah antibiotik diberikan kepada 4 pasien dengan peluang sembuh sebesar p = 0.74. Misalkan X menyatakan banyaknya pasien yang sembuh, maka

X = {0, 1, 2, 3, 4}

Peluang bahwa tiga dari empat pasien akan sembuh dapat dihitung sbb

p(3) =4 3



(0.75)³(1 − 0.75)⁴⁻³

= 4!

3!1!(0.75)³(0.25)¹

= 4 · 3 · 2 · 1

3 · 2 · 1 · 1(0.42188)(0.25) = 0.42188

Jika peluangnya dihitung satu-satu maka akan diperoleh hasil Banyaknya pasien sembuh Peluang

0 0.00391

1 0.04688

2 0.21094

3 0.42188

4 0.31641

Peubah Acak Kontinu

X merupakan peubah acak kontinu jika terdapat fungsi nonnegatif f (x ), terdefinisi untuk semua bilangan real x ∈ (−∞, ∞) sehingga

F (x ) =

x

Z

−∞

f (t)dt

atau

f_X(x ) = d dxF_X(x )

Distribusi Normal

X merupakan peubah acak Normal dengan parameter µ dan σ² jika fungsi peluang X diberikan

f (x ) = 1 σ√

2πe⁻¹²(^{x −µ}_σ )², ∞ < x < ∞

Distribusi Normal merupakan distribusi data yang paling dikenal sebagai distribusi yang simetris dan berbentuk lonceng. Daerah di bawah kurva merupakan nilai peluangnya.

Ketika µ dan σ diberikan, maka kurva normal dapat ditentukan.

Misalkan, jika µ = 50 dan σ = 5, maka nilai f (x ) dapat ditentukan untuk berbagai nilai x . Berikut adalah beberapa contoh kurva normal dengan spesifikasi masing-masing.

Dua kurva normal dengan standar deviasi yang sama tapi mean yang berbeda

Dua kurva normal dengan mean yang sama tapi standar deviasi yang berbeda

Dua kurva normal dengan mean dan standar deviasi yang berbeda

Contoh:

Misalkan sekelompok tablet dikategorikan berdasarkan beratnya dan ditunjukkan oleh histogram berikut

Daerah di Bawah Kurva Normal

Maka, berdasarkan kurva di atas

P(x1 < X < x2) =

x2

Z 1

σ√

2πe⁻¹²(^{x −µ}_σ )²dx

Untuk memudahkan perhitungan integral di atas, kita dapat mentransformasikan semua nilai observasi dari peubah acak X menjadi suatu himpunan observasi baru dari suatu peubah acak Z yang berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi 1 (normal standar). Transformasi tersebut adalah

Z = Z − µ σ Sehingga

P(x1 < X < x2) =

x2

Z

x1

1 σ√

2πe⁻¹²(^{x −µ}σ )²dx

= 1

√ 2π

z2

Z

z

e^−12z2dz

Berikut adalah kurva normal dan kurva normal standar

Contoh:

Misalkan suatu peubah acak X berdistribusi normal dengan µ = 50 dan σ = 10, tentukan peluang X yang berada di antara 45 dan 62.

Solusi:

Nilai z yang berkaitan dengan x₁= 45 dan x₂ = 62 adalah z1= 45 − 50

10 = −0.5 dan z2 = 62 − 50 10 = 1.2

Maka,

P(45 < X < 62) = P(−0.5 < Z < 1.2)

= P(Z < 1.2) − P(Z < −0.5)

= 0.8849 − 0.3085 = 0.5764

Latihan

1. Determine the probability that three of six mice will live after dosing if the probability of a fail is 0.4.

2. A research scientist reports that mice will live an average of 40 months when their diets are sharply restricted and then enriched with vitamins and proteins. Assuming that the lifetimes of such mice are normally distributed with standard deviation of 6.3 months, find the probability that a given mouse will live

a. more than 32 months b. less than 28 months c. between 37 and 49 months