2.5 Maximum Likelihood Estimation Definisi 10 Fungsi Likelihood
Misalkan X X1, 2,...,Xn adalah peubah acak i.i.d dengan fungsi massa peluang
( )
;p xθ , dengan θ diasumsikan skalar dan tidak diketahui, maka prosedur fungsi likelihood dapat dituliskan sebagai berikut :
( )
(
)
1 ; ; n i i L θ x p x θ = =∏
, θ ∈ Ω, dengan(
1, 2,..., n)
X= X X X . (Hogg et al. 2005) Definisi 11 Pendugaan ParameterMisalkan fungsi likelihood adalah
( )
(
)
1 ; ; n i i L θ x p x θ ==
∏
, maka fungsi log dari( )
L θ , dapat dinotasikan dengan :
( )
( )
(
)
1 log log ; n i i l θ L θ p x θ = = =∑
, θ ∈ Ω.Pendugaan parameter dengan metode
maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari:
( )
0 l θ θ ∂ = ∂ . (Hogg et al. 2005) 2.6 Metode Newton-RaphsonDefinisi 12 (Metode Newton-Raphson)
Metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode numerik yang paling populer untuk menghitung hampiran akar-akar persamaan non-linear. Misalkan f x
( )
suatu fungsi diferensiabel pada[ ]
a b, maka f x( )
mempunyai kemiringan tertentu dan garis singgung tunggal pada setiap titik di dalam( )
a b, . Garis singgung di titik(
x f x0,( )
0)
merupakan pendekatan grafik f x( ) di dekat titik(
x f x0,( )
0)
.Misalkan x0 adalah absis titik awal yang diberikan, gradien garis singgung kurva
( )
y= f x di titik
(
x f x0,( )
0)
adalah f x′( )0 , sehingga persamaan garis singgungnya adalah( )
0 ( )(0 1 0)y−f x = f x x x′ − ⋅
Jika y=0 maka persamaannya menjadi :
( )
( )0 1 0 0 f x x x f x − = − ′( )
( ) 0 1 0 0 f x x x f x ⋅ = − ′Dengan cara yang sama akhirnya diperoleh persamaan umum sebagai berikut :
( )
( ) 1 n n n n f x x x f x + = − ′ n=0,1, 2,...Persamaan di atas disebut juga dengan iterasi Newton-Raphson.
(Sahid 2005)
III MODEL
3.1 Model Linear UmumModel linear umum (Generalized Linear
Model) merupakan perluasan dari model linear klasik. Misalkan Y adalah peubah acak dengan nilai rata-rata μ, pada model linear klasik peubah acak Y menggunakan asumsi kenormalan, sedangkan pada model linear umum peubah acak Y harus berasal dari family eksponen. Selanjutnya akan dipaparkan tentang family eksponen.
3.1.1 Family Eksponen
Misalkan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak Y adalah f yY
(
; ,θ φ)
yang mempunyai parameter φ dan θ maka(
; ,)
Y
f yθ φ dapat dianggap sebagai family eksponen jika dapat dibentuk sebagai berikut:
(
)
( )
( )
(
)
; , exp , Y y b f y c y a θ θ θ φ φ φ ⎧ ⎫ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨⎪ + ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭.3.1.2 Nilai Harapan dan Ragam Family Eksponen
Diketahui bahwa fungsi kepekatan peluang dari family eksponen adalah
(
; ,)
exp{
( ) ( )
(
,)
}
Yf y θ φ = ⎡⎣yθ−b θ⎦⎤ a φ +c yφ
maka persamaan log likelihood dapat dibentuk sebagai berikut:
( )
( )
(
,)
y b c y a θ θ φ φ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = + A sehingga( )
( )
y b a θ θ φ ′ − ⎡ ⎤ ∂ =⎣ ⎦ ∂A dan( )
( )
( )
2 2 b a θ φ θ ′′ − ∂ = ∂ A .Nilai harapan dan ragam family eksponen dapat didefinisikan sebagai berikut :
( )
( )
E Y =b′θ (1) dan( )
( ) ( )
ar V Y =b′′ θ a φ . (2) Bukti persamaan 1 :Akan dibuktikan bahwa : E Y
( )
=b′( )
θ . Diketahui :( ) ( )
Y b θ a φ θ ∂ ⎡ ′ ⎤ =⎣ − ⎦ ⋅ ∂ ADengan menggunakan persamaan berikut: 0 E θ ⎛∂ ⎟⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠∂ A sehingga
( ) ( )
(
)
0 E Y⎡⎣ −b′ θ⎤⎦ a φ =( )
(
( )
)
1 0 E Y b a φ ⎡⎢⎣ − ′ θ ⎤⎥⎦= ⋅Karena a
( )
φ ≠0 maka diperoleh :( )
( )
0E Y −b′ θ = E Y
( )
=b′( )
θ .Dengan demikian, terbukti bahwa
( )
( )
E Y =b′ θ . Bukti persamaan 2 :
Akan dibuktikan bahwa
( )
( ) ( )
ar
V Y =b′′ θ a φ .
Dengan menggunakan persamaan identitas Bartlett (McCullagh 1989) berikut ini:
( )
2 2 2 0 E E θ θ ⎛ ∂ ⎞⎟ ⎛∂ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝∂ ⎠ ⎜ ∂ ⎝ ⎠ A A , maka :( )
( )
( )
( )
2 0 y b b E E a a θ θ φ φ ⎛ ⎞ ⎛⎡⎣ ⎤⎦⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ′ − ′′ − + =( )
( )
(
( )
)
(
( )
)
2 1 0 2 b E y b a a θ θ φ φ ′′ ′ − +⎡
⎣
−⎤
⎦
=( )
( )
(
( )
)
(
( )
)
2 1 0 2 b E y E Y a a θ φ φ ′′ − + − =( )
( )
(
( )
( )
)
0 2 b Var Y a a θ φ φ ′′ − + =( )
( )
(
)
( )
( )
2 Var Y b a a θ φ φ ′′ =( ) ( )
( ) ( )
(
)
2 Var Y a φ =b′′ θ a φ( )
b( ) ( )
(
( )
a)
2 Var Y a θ φ φ ′′ =( )
( ) ( )
Var Y =b′′ θ a φ .Maka terbukti bahwa Var Y
( )
=b′′( ) ( )
θ a φ . Teorema 2Sebaran normal termasuk ke dalam family eksponen.
Bukti:
Misalkan Y peubah acak yang menyebar normal, maka fungsi kepekatan peluangnya dapat dituliskan sebagai berikut:
(
)
2(
2)
2 1 ; , exp 2 2 Y y f yθ φ μ σ πσ ⎡− − ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦.Fungsi kepekatan peluang tersebut dapat ditulis dalam bentuk:
(
)
(
)
2(
)
1 2 2 2 ; , exp ln 2 2 Y y f yθ φ μ πσ σ ⎧ − ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨− − ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭(
2 2)
2(
)
2 2 2 1 exp ln 2 2 2 y μy μ πσ σ ⎧ − − ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨− − ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭(
)
2 2 2 2 2 2 1 exp ln 2 2 yμ μ y πσ σ σ ⎧ − ⎡ ⎤⎫ ⎪ ⎪ = ⎨⎪ − ⎢ − ⎥⎬⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭. Dengan θ=μ,( )
2 2 b θ =μ , a( )
φ =σ2, dan(
)
2(
2)
2 1 , ln 2 2 y c yφ πσ σ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦.Dengan demikian terbukti bahwa sebaran normal termasuk ke dalam family eksponen, sehingga dapat ditunjukkan bahwa menurut persamaan (1) dan (2) didapatkan nilai harapan dan ragam sebaran normal sebagai berikut:
( )
( )
E Y =b′ θ =μ dan( )
( ) ( )
2 2 1 Var Y =b′′ θ ⋅a φ = ⋅σ =σ . Teorema 3Sebaran Poisson termasuk ke dalam family eksponen.
Bukti:
Misalkan Y peubah acak yang menyebar Poisson, maka fungsi massa peluangnya dapat dituliskan sebagai berikut:
(
; ,)
exp[ ]
! y P y y μ θ φ = −μ ,maka fungsi massa peluang tersebut dapat ditulis dalam bentuk:
(
; ,)
exp[
ln ln !]
P yθ φ = − +μ y μ− y .Dengan θ=lnμ, b
( )
θ =μ,( )
1a φ = ,c y
(
,φ)
=ln !y .Dengan demikian terbukti bahwa sebaran Poisson termasuk ke dalam family eksponen, sehingga dapat ditunjukkan bahwa menurut persamaan (1) dan (2) didapatkan nilai harapan dan ragam sebaran Poisson sebagai berikut:
( )
( )
exp( )
E Y =b′ θ = θ =μ dan( )
( ) ( )
1 Var Y =b′′θ ⋅a φ = ⋅ =μ μ. 3.1.3 Link FunctionLink function merupakan fungsi yang menghubungkan antara η dengan nilai harapan μ. Pada family eksponen persamaan
link function, dapat dituliskan sebagai θ=η, dengan η dapat dituliskan sebagai berikut η=g
( )
μ dan selanjutnya g( )
μ dapat disebut dengan link function.Untuk sebaran normal dapat dilihat dari Teorema 2 bahwa θ μ= , sehingga link
function untuk sebaran normal adalah η μ= . Sedangkan untuk sebaran Poisson yang dapat dilihat dari Teorema 3 bahwa θ =lnμ, sehingga link function untuk sebaran Poisson adalah η=lnμ.
3.1.4 Model Regresi Linear Klasik
Misalkan pada suatu pengamatan peubah acak Y yang menyebar normal dengan rata-rata μ, maka dalam model linear klasik terdapat tiga bentuk komponen yang berhubungan dengan nilai μ yaitu sebagai berikut :
1. Komponen acak : Y menyebar normal dengan ragam konstan σ2
dan E Y
( )
=μ. 2. Komponen sistematis : misalkan terdapatcovariat x x1, 2,...,xp yang menghasilkan prediktor linear η yang diberikan dengan persamaan : 1 p j j j x η β = =
∑
.3. Hubungan (link) antara komponen acak dan komponen sistematis : μ=η.
Sehingga nilai μdapat dituliskan sebagai berikut : 1 p j j j x μ β = =
∑
dengan β merupakan parameter yang nilainya tidak diketahui. Jika i indeks
pengamatan maka model dapat dituliskan sebagai berikut :
( )
1 p i i j ij j E Y μ β x = = =∑
i=1,...,N dengan xij adalah nilai pengamatan ke-i untuk peubah ke-j. Dalam matriks model μ dapat dituliskan sebagai berikut :X
μ= β
dengan μ matriks berukuran n×1, X matriks berukuran n p× dan β matriks yang berukuran p×1.
3.1.5 Model Regresi Linear Umum
Pada model linear umum terdapat dua perluasan dari model regresi linear klasik tentang nilai μ yaitu:
1. Komponen acak : Y harus berasal dari
family eksponen.
2. Komponen sistematis : misalkan terdapat
covariat x x1, 2,...,xp yang menghasilkan
prediktor linear η yang diberikan dengan persamaan: 1 p j j j x η β = =
∑
.3. Hubungan (link) antara komponen acak dan komponen sistematis : μ= f
( )
η , dengan( )
f η merupakan fungsi dari η yang monoton dan terturunkan.
3.1.6 Pendugaan Parameter
Secara umum pendugaan parameter dilakukan dengan metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood
Estimation/MLE).
Misalkan bentuk fungsi kepekatan peluang
family eksponen dituliskan sebagai berikut:
(
; ,)
exp{
( ) ( )
(
,)
}
Yf yθ φ = ⎡⎣yθ−b θ⎦⎤ a φ +c yφ ⋅ Maka bentuk dari log likelihood dapat ditulis dengan:
( )
( )
(
,)
y b c y a θ θ φ φ ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ = + A . Dari persamaan (1), diketahui E Y( )= =μ b′( )
θ , maka( )
( )
[
]
( )
y b y a a θ μ θ φ φ ⎡ − ′ ⎤ − ∂ ⎣ ⎦ = = ∂ A , sehingga θ μ θ μ ∂ ∂ ∂ = ⋅ ∂ ∂ ∂ A A
[
]
( )
( )
1 y a b μ φ θ − = ⋅ ′′ . Karena( )
( )
1 b b μ θ θ θ μ θ ∂ ′′ ∂ = ⇒ = ′′ ∂ ∂ .Menurut persamaan (2) maka :
( )
( ) ( )
( )
( )
V Var Y V b a b a θ φ θ φ ′′ ′′ = = ⇒ = . Sehingga d d μ θ θ μ ∂ =∂ ∂ ∂ A A( )
( )
y b a μ θ φ − ′′ =( )
( )
y V a a μ φ φ − =( )
a( )
y a V φ μ φ − = ⋅[
y]
V μ − = . Karena 1 n xi i i η= ∑ β = maka i xi η β ∂ = ∂ sehingga[
y]
V μ μ μ η μ η η − ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ A A[
]
i i y xi V μ η μ β η β η − ∂ = ∂ ⋅∂ = ⋅∂ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ A A . Maka fungsi kemungkinan maksimum untuki
β diberikan dalam persamaan berikut :
[
]
[
]
0 1 1 n y n xi w y xi V i i μ μ η μ η μ − ∂ ∂ ⋅ ⋅ = − = ∑ ∑ ∂ ∂ = = . Karena 2 2 1 1 w V V w η η μ μ − =⎛⎜∂ ⎞⎟⎟ ⇒ =⎛⎜∂ ⎞⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ⎜∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 w V η μ ⎛∂ ⎟⎞ ⎜ ⎟ ⇒ = ⎜⎜⎜∂ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ,jika dinyatakan dalam bentuk matriks, maka persamaan di atas menjadi:
[
]
[
]
1 n w y xi X W y i η η μ μ μ μ ∂ ′ ∂ − = − ∑ ∂ ∂ = . (3)Akan ditentukan nilai harapan untuk fungsi A yang diturunkan terhadap parameter βi dan
j
β yaitu sebagai berikut :
[ ] 2 1 i i j j E E y μV μx β β β η ⎛ ∂ ⎞⎟ ⎛ ∂ ⎡ ∂ ⎤⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢ − ⎥⎟ ⎜ ⎟= ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜∂ ⎟ ⎜∂ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣
∑
⎦⎠ A(
)
1 i j E y μ V μx β η ⎛ ∂ ⎡ ∂ ⎤⎞⎟ ⎜ ⎢ − ⎥⎟ ⎜ = ⎜⎜∑ − ⎢ ⎥⎟⎟+ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎣ ⎦⎠[
]
1 i j E y μV μx β η ⎛ ∂ ∂ ⎞⎟ ⎜ − ⎟ ⎜∑ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ 1 i j E μV μx β η ⎛ ⎡∂ ∂ ⎤⎞⎟ ⎜ ⎢ − ⎥⎟ ⎜ = ⎜⎜⎜⎝−∑⎢∂ ∂ ⎥⎟⎟⎟ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 i j E μ η V μx η β η ⎛ ⎡∂ ∂ ∂ ⎤⎞⎟ ⎜ ⎢ − ⎥⎟ ⎜ = −∑⎜ ⎢⎜ ⋅ ⎥⎟⎟ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎜⎝ ⎢⎣ ⎥⎦⎠ 1 j i x V x μ μ η η ∂ − ∂ = −∑ ∂ ∂ 2 1 i j V μ x x η ⎛∂ ⎞ − ⎜ ⎟⎟ = −∑ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ∂ ⎝ ⎠ = −∑wx xi j dengan 2 1 w V μ η ∂ ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ merupakan bobot untuk metode kuadrat terkecil, sehingga dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai berikut : 2 ' i j E X WX β β ⎛ ∂ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − ⎜ ⎟ ⎜∂ ⎟ ⎝ ⎠ A .Dengan menggunakan iterasi Newton-Raphson, persamaan pendugaan parameter dengan menggunakan metode IWLS regresi dapat dituliskan sebagai berikut :
( )r ( )r-1 I( ) ( )-1r-1 r-1
β =β + z
(4) dengan β( )r dan β( )r -1 adalah vektor untuk
β, I( )r-1 merupakan informasi negatif dari nilai harapan turunan kedua log likelihood dan
( )r-1
Z yaitu vektor yang mengandung turunan pertama log likelihood.
Persamaan (3) merupakan turunan pertama dari log likelihood, sehingga dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai berikut :
X W′ =
z k
dengan
k= −⎡⎣y μ μ⎤⎦∂∂η.
Negatif dari nilai harapan pada turunan kedua log likelihood yaitu sebagai berikut :
2 i j i j E wx x β β ⎛ ∂ ⎞ − ⎜⎜ ⎟⎟= ∑ ∂ ⎝ ⎠ A . (5)
Selanjutnya informasi matriks I yang mengandung negatif dari nilai harapan turunan kedua log likelihood pada persamaan (5) dapat dituliskan sebagai berikut :
I=X WX′ ⋅
Pada akhirnya persamaan iterasi pada persamaan (4) dapat dituliskan sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 X Wr X X Wr r r r − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ′ ⎠ ⎝ ′ ⎠ = − + − − − β β k
Dengan demikian persamaan di atas mirip dengan metode kuadrat terkecil terboboti.
3.2. Model Regresi Poisson
Misalkan Y peubah acak yang menyebar Poisson maka tiga komponen yang berhubungan dengan nilai μ adalah sebagai berikut:
1. Komponen acak : Y harus berasal dari
family eksponen.
2. Komponen sistematis : misalkan terdapat
covariat x x1, 2,...,xp yang menghasilkan prediktor linear η yang diberikan dengan persamaan: 1 p j j j x η β = =
∑
.3. Hubungan (link) antara komponen acak dan komponen sistematis : η=lnμ.
Jika diasumsikan nilai ( | ) exp
(
T)
i i i i i
E Y x =μ =e x β , dengan ei adalah suatu konstanta exposure yang tidak berpengaruh terhadap model μi, xi adalah vektor yang berukuran p×1 yang menjelaskan peubah penjelas dan β adalah vektor yang berukuran p×1 yang merupakan parameter regresi, maka fungsi massa peluang regresi Poisson adalah sebagai berikut:
(
, ,)
(
exp(
)
)
exp exp(
)
! y T i i T i i e p y e y θ φ = x β ⎡⎢⎣− x β ⎤⎥⎦⋅ Akan dibuktikan bahwa p y(
, ,θ φ)
termasuk ke dalam family eksponen. Fungsi massa peluang tersebut dapat ditulis dalam bentuk:(
, ,)
exp[ iexp(
iT)
ln iexp(
Ti)
ln !]p yθ φ = −e x β +y e x β − y dengan θ=lneiexp
(
xTi β)
,( )
iexp(
Ti)
b θ =e x β , a( )
φ =1,(
,)
ln ! c yφ = y . (6) Dengan demikian terbukti bahwa fungsi massa peluang yang menyebar menurut sebaran regresi Poisson termasuk ke dalamfamily eksponen.
Selanjutnya akan dibuktikan
( )
exp( )
i iexp(
iT)
E Y = θ =μ =e x β dan( )
i iexp(
Ti)
Var Y =μ =e x β ⋅ Bukti :Dari persamaan (6), maka dapat ditunjukkan bahwa :
( )
( )
exp( )
i iexp(
Ti)
E Y =b′ θ = θ =μ =e x β( )
( ) ( )
i 1 i iexp(
iT)
Var Y =b′′ θ a φ = ⋅ =μ μ =e x β ⋅ Untuk persamaan likelihood dari fungsi massa peluang regresi Poisson dapat dituliskan sebagai berikut:
(
)
( ) iln i i ln i! i y μ μ y =∑
− − A β(7) (bukti lihat Lampiran 1)
dengan
(
i i)
ij 0 i j y x β μ ∂ = − = ∂∑
A ; j=1, 2,...,p(8)
(bukti lihat Lampiran 2) dan
( )
2 i ij is i j s x x β β μ ∂ = − ∂ ∂∑
A β ; ,j s=1, 2,...,p(9)
(bukti lihat Lampiran 3).
Dengan cara yang sama pada pendugaan parameter family eksponen di sub bab 3.1.6, maka pendugaan parameter untuk regresi Poisson menggunakan iterasi Newton-Raphson. Persamaan iterasi untuk pendugaan parameter dengan menggunakan IWLS regresi dapat dituliskan sebagai berikut:
( )
r( )
r 1 I( ) ( )
r11 r 1−
− − −
= +
β β z
(10)
dengan β( )r dan β( )r -1 adalah vektor untuk
β,
( )
1
r
I − mengandung informasi negatif dari nilai harapan turunan kedua log likelihood dan z( )r-1 merupakan vektor yang mengandung turunan pertama log likelihood .
Turunan pertama dari log likelihood dapat ditunjukkan oleh persamaan (8) sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:
X W′ = z k dengan wi=μi dan i i ii y k = μ−μ ⋅
Sedangkan negatif dari nilai harapan turunan kedua pada persamaan (9) dapat dituliskan dengan persamaan berikut :
2( ) i ij is i j s E⎛⎜∂ ⎞⎟ μx x ⎜∂ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ − A =
∑
β β β ; j s, =1, 2,...,p. Selanjutnya informasi matriks I yang mengandung negatif dari nilai harapan turunan kedua tersebut dapat dituliskan dalam matriks sebagai berikut:I=X WX′ .
Pada akhirnya persamaan iterasi pada persamaan (10) dapat dituliskan:
(
( 1)) (
( 1) ( 1))
1
( )r = (r−1)+ X W′ r− X − X W′ r− r− ⋅
β β k
Dengan demikian persamaan di atas mirip dengan metode kuadrat terkecil terboboti. 3.3. Overdispersion
Overdispersion adalah situasi dimana ragam lebih besar daripada rata-rata. Pada sub bab ini dipaparkan bahwa dalam model Poisson dapat terjadi permasalahan
overdispersion. Misalkan dalam pengamatan
Y pada proses Poisson yang memiliki panjang interval sebagai berikut :
1 2 ... N
Y=Z +Z + +Z , dengan Z adalah peubah acak i.i.d dan N menyebar Poisson, maka nilai harapan dan ragam dapat dituliskan sebagai berikut :
( )
( ) ( )
E Y =E N E Z
dan
( ) ( ) ( ) ( )
{
( )
}
2Var Y =E N Var Z +Var N E Z
( )
( )
2 E N E Z ⋅ = Bukti: 1. Akan dibuktikan E Y( )=E N E Z( ) ( ) . Diketahui Y=Z1+Z2+ +... ZN dengan Z menyebar i.i.d dan N menyebar Poisson, maka :( )
(
(
|)
)
E Y =E E Y N(
)
1 | N i i E E Z N = ⎡ ⎤ = ⎢ ∑ ⎥ ⎣ ⎦(
)
(
)
0 1 | N i n E i Z N n P N n ∞ = = =∑ ∑ = =( )
(
)
0 1 n i n E i Z P N n ∞ = = =∑ ∑ =( )
(
)
(
)
0 1 n i n i E Z P N n ∞ = = =∑ ∑ =( ) (
)
0 n nE Z P N n ∞ = =∑ =( )
(
)
0 n E Z ∞ nP N n = = ∑ =( ) ( )
E N E Z ⋅ = 2. Akan dibuktikan( )
( )
( )
( ) ( )
{
}
2Var Y =E N Var Z +Var N E Z
( )
( )
2 E N E Z = . Bukti :( )
( )
2(
( )
)
2 Var Y =E Y − E Y( )
2(
(
2)
)
| E Y =E E Y N( )
(
)
2(
)
0 1 | n i n i E E Z N n P N n ∞ = = ⎛ ⎞ =∑ ⎜ ∑ = ⎟ = ⎝ ⎠( )
2 ( )( )
( ) 0 1 1 n n n i i j n i E Z i i jE Z E Z P N n ∞ = = = ≠ ⎛ ⎞ =∑ ∑⎜⎝ +∑ ∑ ⎟⎠ =( ) (
)
(
( )
)
(
2 2 2)
(
)
0 i i n nE Z n n E Z P N n ∞ = =∑ + − =( )
2(
)
0 n E Z ∞ nP N n = = ∑ =( )
(
)
2(
2)
(
)
0 n E Z ∞ n n P N n = + ∑ − =( )
2( )
(
( )
)
2{
( )
2( )
}
E Z E N E Z E N E N = + −( )
( )
2(
( )
)
2 Var Y =E Y − E Y( )
2( )
(
( )
)
2{
( )
2( )
}
E Z E N E Z E N E N = + − −{
E Z E N( ) ( )
}
2( )
2( )
(
( )
)
2{
( )
2( )
}
E Z E N E Z E N E N = + − −(
E Z( )
)
2(
E N( )
)
2( )
2( )
(
( )
)
2 E Z E N E Z = +{
E N( )
2−E N( )
−(
E N( )
)
2}
( )
2( )
(
( )
)
2 E Z E N E Z = +{
E N( )
2−(
E N( )
)
2−E N( )
}
( )
2( )
(
( )
)
2{
( )
( )
}
E Z E N E Z Var N E N = + −( )
2 ( ) ( ( ))2 ( ) ( ( ))2 ( ) E Z E N E Z Var N E Z E N = + −( )
{
( )
2(
( )
)
2}
(
( )
)
2( )
E N E Z E Z E Z Var N = − +( )
( )
( ) ( )
(
)
2 E N Var Z Var N E Z ⋅ = +Karena N menyebar Poisson maka ( ) ( )
Var N =E N sehingga persamaan di atas menjadi :
( )
(
)
{
2 2}
(
( )
)
2 ( ) ( ) ( ) E N E Z E Z E N E Z = − +( )
(
)
2(
( )
)
2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) E N E Z E N E Z E N E Z = − + 2 ( ) ( ) E N E Z = ⋅Jadi persamaan di atas dapat menunjukkan
( )
( )
Var Y >E Y jika E Z
( )
2 >E Z( )
, yaitu persamaan yang mengindikasikan bahwa dalam model Poisson dapat terjadi permasalahan overdispersion, sehingga pada bab selanjutnya dibahas tentang modelgeneralized Poisson untuk menangani perrnasalahan overdispersion.
