Bab II ini berisi tentang pembahasan teori-teori tentang Kriptografi algoritma One Time Pad dan Rabin Cryptosystem
2.1. Kriptografi
Kata Cryptography berasal dari bahasa Yunani yang artinya secret writing. Kriptografi adalah suatu praktek dan ilmu dari teknik untuk komunikasi yang aman
dimana adanya kehadiran dari pihak ketiga. Menurut Terminologinya, kriptografi
adalah ilmu dan seni untuk menjaga keamanan pesan ketika pesan akan dikirim dari
suatu tempat ke tempat yang lain (Ariyus, 2008).
Kriptografi adalah ilmu mengenai teknik enkripsi dimana data diacak
menggunakan suatu kunci enkripsi menjadi sesuatu yang sulit dibaca oleh seseorang
yang tidak memiliki kunci dekripsi (Kromodimoeljo, 2010).
2.1.1 Terminologi
Ketika seorang pengirim ingin mengirimkan suatu pesan kepada si penerima. Dimana
si pengirim ingin pesan yang disampaikannya tidak dapat dibaca oleh orang lain yang
ingin melakukan penyadapan. Proses menyamarkan pesan sedemikian rupa untuk
menyembunyikan substansinya disebut enkripsi. Sebuah pesan yang dienkripsi disebut
ciphertext. Proses untuk mengubah ciphertext kembali ke plaintext adalah dekripsi. Pada standar ISO 7498-2 menggunakan istilah encipher untuk proses enkripsi dan decipher untuk proses dekripsi. Skema rangkaian proses enkripsi dan dekripsi ditunjukkan secara umum pada Gambar 2.1. (Schneier, 1996).
Seni dan ilmu untuk menjaga keamanan pesan disebut kriptografi dan
pelakunya adalah kriptografer. Kriptanalis adalah yang melakukan kriptanalisis, yaitu
seni dan ilmu untuk memecahkan pesan tersembunyi (ciphertext). Cabang matematika
yang meliputi kriptografi dan kriptanalisis adalah kriptologi dan praktisinya disebut
kriptologis (Schneier, 1996). Skema proses enkripsi dan dekripsi dapat dilihat pada
Gambar 2.1. Skema ProsesEnkripsi dan Dekripsi(Schneier, 1996)
2.1.2. Komponen Kriptografi
Dalam kriptografi terdapat beberapa istilah penting antara lain :
1) Pesan, Plainteks, dan Cipherteks
Pesan merupakan data atau informasi yang dapat dibaca dan dimengerti
maknanya. Nama lain untuk pesan adalah plainteks (plaintext). Pesan dapat berupa
data atau informasi yang dikirim atau yang disimpan dalam media penyimpanan.
Pesan yang tersimpan bisa berbentuk teks, citra (image), suara/bunyi (audio) dan
video. Agar pesan tidak dapat dimengerti maknanya oleh pihak lain maka, pesan dapat disandikan ke bentuk lain yang tidak dapat dipahami. Bentuk pesan yang
tersandi disebut cipherteks (ciphertext).
2) Pengirim dan Penerima
Komunikasi data melibatkan pertukaran pesan antara dua entitas. Pengirim
(sender) adalah entitas yang mengirim pesan kepada entitasnya yang lain.
Penerima (receiver) adalah entitas yang menerima pesan.Entitas di sini dapat
berupa orang, mesin (komputer), kartu kredit, dan sebagainya.
3) Enkripsi dan Dekripsi
Proses menyandikan pesan asli (plainteks) menjadi pesan tersandi (cipherteks)
disebut enkripsi (encryption) sedangkan proses untuk mengembalikan pesan
tersandi (cipherteks) menjadi plainteks semula dinamakan dekripsi (decryption).
4) Cipher dan Kunci
Algoritma kriptografi disebut juga cipher yaitu aturan untuk enchipering dan dechipering, atau fungsi matematika yang digunakan untuk enkripsi dan dekripsi. Keamanan algoritma kriptografi sering diukur dari banyaknya kerja (work) yang
dibutuhkan untuk memecahkan cipherteks menjadi plainteks tanpa mengetahui kunci yang digunakan. Kunci (key) merupakan parameter yang digunakan untuk
Enkripsi Dekripsi
transformasi enciphering dan deciphering. Kunci biasanya berupa string atau deretan bilangan.
5) Sistem Kriptografi
Kriptografi membentuk sebuah sistem yang dinamakan sistem kriptografi.Sistem
kriptografi (cryptosystem) terdiri dari algoritma kriptografi, semua plainteks dan cipherteks yang mungkin dan kunci.
6) Penyadap (eavesdropper)
Penyadap merupakan orang yang mencoba menangkap pesan selama
ditransmisikan.Tujuan penyadap adalah untuk mendapatkan informasi
sebanyak-banyaknya mengenai sistem kriptogafi yang digunakan untuk berkomunikasi
dengan maksud untuk memecahkan cipherteks. Nama lain penyadap adalah enemy, adversary, intruder, interceptor, bad guy.
7) Kriptanalisis
Kriptografi berkembang sedemikian rupa sehingga melahirkan bidang yang
berlawanan yaitu kriptanalisis.Menurut (Schneier,1996) mengatakan bahwa
kriptanalisis (crytanalysis) adalah ilmu dan seni untuk memecahkan cipherteks menjadi plainteks tanpa mengetahui kunci yang digunakan. Pelakunya disebut kriptanalis.
2.2. Tujuan Kriptografi
Kriptografi bertujuan untuk memberikan layanan keamanan(Paar & Pelzl,
2010)sebagai berikut:
1) Kerahasian (Confidentiality)
Informasi dirahasiakan dari semua pihak yang tidak berwenang.
2) Keutuhan Data (Integrity)
Pesan tidak berubah dalam proses pengiriman hingga pesan diterima oleh
3) Autentikasi (Anthentication)
Kepastian terhadap identitas setiap entitas yang terlibat dan keaslian sumber data.
4) Nirpenyangkalan(Nonrepudiation)
Setiap entitas yang berkomunikasi tidak dapat menolak atau menyangkal atas data
yang telah dikirim atau diterima.
.
2.3. Jenis-Jenis Algoritma Kriptografi
Algoritma Kriptografi dibagi tiga berdasarkan kunci yang dipakai, yaitu algoritma
simetri (menggunakan satu kunci untuk proses enkripsi dan dekripsi), algoritma
asimetri (menggunakan kunci yang berbeda untuk proses enkripsi dan dekripsi), dan
fungsi hash (Sadikin, 2012).
Karakteristik kriptografi dibagi dua berdasarkan tipe operasi yang dipakai
untuk enkripsi dan dekripsi (teknik substitusi dan teknik permutasi) serta berdasarkan
tipe pengolahan pesan (block cipher dan stream cipher)(Ariyus, 2008).
2.3.1 Algoritma Simetris
Algoritma simetris adalah algoritma yang menggunakan kunci enkripsi yang sama
dengan kunci dekripsinya (Wandani, 2012). Algoritma simetris sering juga disebut
sebagai algoritma kunci rahasia, algoritma kunci tunggal atau algoritma satu kunci.
Bila mengirim pesan dengan algoritma ini, si penerima pesan harus diberitahu kunci
dari pesan tersebut agar bisa mendekripsikan pesan yang dikirim. Keamanan dari
pesan yang menggunakan algoritma ini tergantung pada kunci.
Jika kunci tersebut diketahui oleh orang lain maka orang tersebut dapat
melakukan enkripsi dan dekripsi pada pesan (Sadikin, 2012). Yang termasuk
Gambar2.2. Skema Kriptografi Simetris (Fauzana, 2013)
2.3.2 Algoritma Asimetris
Algoritma asimetris disebut juga dengan kriptografi kunci publik karena algortima ini
memiliki kunci yang berbeda untuk enkripsi dan dekripsi, dimana enkripsi
menggunakan public key dan untuk dekripsinya menggunakan private key. Public key
dan private key harus saling berpasangan secara matematis. Dengan memberikan public key, pembuat kunci berhak memberikan dan mendapatkan public key agar pesan aman dan hanya bisa dibaca oleh si pembuat kunci. Dalam kriptografi kunci
asimetri, hampir semua algoritma kriptografinya menggunakan konsep kunci publik,
seperti Rivest-Shamir-Adleman (RSA), El-Gamal, Rabin dan sebagainya (Harahap,
2014). Kecuali algoritma Pohlig˗Hellman karena kunci enkripsi maupun kunci
dekripsinya bersifat rahasia. Skema kriptografi asimetris dapat dilihat pada Gambar
2.3.
Kunci Kunci
Publik Rahasia
Gambar 2.3. Kriptografi Asimetris (Wandani, 2012). Algoritma
Enkripsi
Algoritma Dekripsi
Kunci Rahasia
Teks Asli Ciphertext Teks Asli
Enkripsi Dekripsi
2.3.3 Algoritma Kunci Publik
Algoritma kunci publik termasuk juga kedalam algoritma asimetris, dan cara kerja
dari algoritma ini hampir sama dengan gembok. Misalnya terdapat sebuah pesan di
dalam peti lalu peti tersebut dikunci dengan gembok dan gembok ini dapat dimiliki
oleh semua orang (gembok bekerja seperti public key). Peti terkunci tersebut kemudian dikirim ke tujuan atau penerima yang memiliki kunci untuk membuka
gembok. Penerima dapat membuka gembok tersebut apabila sipenerima memiliki
pasangan kunci dari gembok tersebut. Kunci yang dipegang oleh penerima bekerja
seperti private key (Sadikin, 2012).
Algoritma kriptografi kunci publik memiliki dua kunci yang berbeda untuk
proses enkripsi dan dekripsi. Untuk melakukan proses enkripsi kunci publik(KPublik)
bersifat tidak rahasia sehingga dapat didistribusikan melalui saluran tidak aman.
Sedangkan untuk kunci dekripsi disebut juga kunci privat � ���� bersifat rahasia
dan harus dijaga kerahasiaannya oleh pemegang kunci. Berikut ini adalah algoritma
sistem kriptografi kunci publik (Sadikin, 2012).
• Sebelum A melakukan enkripsi, B membangkitkan sepasang kunci yaitu kunci privat dan kunci publik milik B dengan memanggil fungsi
PembangkitKunci().
(KPublik, KPrivat) PembangkitKunci()
B memublikasikan kunci publik (KPublik) dan menjaga kerahasiaan kunci
privat (KPrivat).
• A melakukan enkripsi sebuah teks asli (P) dengan kunci publik B (KPublik) menghasilkan sebuah teks sandi (C) dengan memanggil fungsi enkripsi
(E).
CE(KPublik, P)
A mengirim teks sandi (C) ke B melalui saluran tidak aman.
• B mendekripsi teks sandi (C) dengan kunci privat B (KPrivat) untuk mendapatkan teks asli (P) dengan fungsi dekripsi (D).
B mendapatkan P jika teks sandi (C) dienkripsi dengan kunci publik B yang sesuai.
Jadi dalam kriptografi kunci publik, kunci publik dapat disebar-luaskan kepada
umum dan sebaiknya disebar luaskan. Sebaliknya, kunci privat harus dirahasiakan
oleh pemiliknya. Perlu untuk diingat, biasanya algoritma tidak dirahasiakan, bahkan
enkripsi yang mengandalkan kerahasiaan algoritma dianggap sesuatu yang tidak baik
(Kromodimoeljo, 2010). Hal ini sesuai dengan prinsip Kerckhoff yaitu semua
algoritma kriptografi harus publik, hanya kunci yang rahasia (Munir, 2006).
2.4. Kode Vigenere
Kode Vigenere termasuk kode abjad-majemuk (polyalphabetic substitution cipher). Dipublikasikan oleh diplomat Perancis, Blaise de Vigenere pada Abad 16, tahun 1586.
Pada teknik subsitisusi Vigenere setiap teks-kode bisa memiliki banyak kemungkinan
teks-asli. Teknik dari substitusi Vigenere bias dilakukan dengan dua cara, yaitu angka
dan huruf (Ariyus, 2008).
2.4.1. Angka
Teknik subsitusi Vigenere dengan menggunakan angka dilakukan dengan menukarkan huruf dengan angka, hampir sama dengan kode geser. Daftar Vigenere Angka dapat dilihat pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1. Vigenere Angka (Ariyus, 2008)
A B C D E F G H I J K L M N
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O P Q R S T U V W X Y Z
Kunci dengan 6 huruf jika ditukar dengan angka akan menjadi K=(2,8,15,7,4,17), dan
teks-aslinya “This is Cryptosystem is Not Secure”. Contoh Viginere Ciphertext dapat
dilihat padada Tabel 2.2.
Tabel 2.2. Vigenere CipherText (Ariyus, 2008)
T H I S C R Y P T O S Y S T
19 7 8 18 2 17 24 15 19 14 18 24 18 19
2 8 15 7 4 17 2 8 15 7 4 17 2 8
21 15 23 25 6 8 0 23 8 21 22 15 20 1
E M I S N O T S E C U R E
4 12 8 18 13 14 19 18 4 2 20 17 4
15 7 4 17 2 8 15 7 4 17 2 8 15
19 19 12 9 15 22 8 25 8 19 22 25 19
Teks-asli : This cryptosystem is not secure
Kunci : (2,8,15,7,4,17)
Teks-Kode : VPXZGIAXIVWPUBTTMJPWIZITWZT
Untuk melakukan dekripsi juga dapat menggunakan kunci yang sama dengan modulo
26.
2.4.2. Huruf
Ide dasarnya adalah dengan menggunakan kode Kaisar, tetapi jumlah pergeseran
hurufnya berbeda-beda untuk setiap periode beberapa huruf tertentu.Untuk
mengenkripsi pesan dengan kode Vigenere digunakan tabula recta (disebut juga
menggunakan kunci yang sudah ditentukan.Jika panjang kunci lebih pendek daripada
panjang teks-asli maka penggunaan kunci diulang. Secara matematis enkripsi dengan
kode Vigenere bias dinyatakan sebagai berikut:
E(pi)=V(pi , k(I mod m))
Dengan :
Pi = huruf ke- I dalam teks asli
Kn = huruf ke-n dalam kunci
m = panjang kunci, dan
V(x,y) = huruf yang tersimpan pada baris x dan kolom y pada tabula
recta.
Contoh kode Vigenere adalah sebagai berikut:
Teks-asli : “KEAMANAN DATA MENGGUNAKAN CIPHER
VIGINERE”
Kunci : “KRIPTOGRAFI”
Dengan menggunakan algoritma kode Vigenere maka akan didapat teks-kode sebagai
berikut :
UVIBTBGE DFBK WVVVZCTRKFV FZOTGSXHE HQZYMP
(Ariyus, 2008).
2.5. Algoritma One Time Pad
Algoritma ini ditemukan pada tahun 1917 oleh Mayor Joseph Mauborgne dan Gilbert
Vernam. Cipher ini termasuk ke dalam kelompok algoritma kriptografi simetri (Prameswara, 2013). One Time Pad berisi deretan karakter kunci yang dibangkitkan secara acak dan setiap kunci hanya bisa dipakai sekali pakai.
Pemilihan kunci harus secara acak agar tidak bisa diproduksi ulang dan
membuat lawan tidak mudah memecahkannya(Ariyus, 2008).Panjang stream karakter
kunci sama dengan panjang pesan. One Time Pad (pad = kertas bloknot) berisi barisan
karakter-karakter kunci yang dibangkitkan secara acak. Satu pad hanya digunakan sekali (one time) saja untuk mengenkripsi pesan, setelah itu pad yang telah digunakan
Aturan enkripsi yang digunakan persis sama seperti pada kode Vigenere.
Bila diketahui teks –asli: “ONETIMEPAD” Dengan kunci: “TBFRGFARM”
Diasumsikan A= 0, B = 1, . . . , Z=25.
Maka akan didapat teks-kode : “IPKLPSFHGQ” yang mana diperoleh sebagai berikut:
(O + T ) mod 26 = I
(N + B ) mod 26 = P
(E + F ) mod 26 = K
( T + R ) mod 26 = L
( I + G ) mod 26 = P
( M + F ) mod 26 = S
( E + A ) mod 26 = F
( P + R ) mod 26 = H
( A + F ) mod 26 = G
( D + M ) mod 26 = Q
Sistem One Time Pad tidak dapat dipecahkan karena beberapa alasan:
1) Barisan kunci acak + teks asli yang tidak acak = teks kode yang seluruhnya
acak.
2) Mendekripsi teks kode dengan beberapa kunci berbeda dapat menghasilkan
teks asli yang bermakna sehingga kriptanalis tidak punya cara untuk
menentukan teks asli mana yang benar.
Algoritma ini memiliki beberapa kelemahan.Yaitu kunci yang dipakai haruslah
benar-benar acak. Menggunakan pseudorandom generator tidak dihitung, karena algoritma ini memiliki bagian yang tidak acak. Panjang kunci juga harus sama dengan panjang
pesan, sehingga hanya cocok untuk pesan berukuran kecil. Selain itu, karena kunci dibangkitkan secara acak, maka ‘tidak mungkin’ pengirim dan penerima membangkitkan kunci yang sama secara simultan. Dan karena kerahasiaan kunci
harus dijamin, maka perlu ada perlindungan selama pengiriman kunci.Oleh karena itu,
algoritma ini hanya dapat digunakan jika tersedia saluran komunikasi kedua yang
2.6. Greatest Common Divisor (GCD)
Faktor persekutuan terbesar adalah elemen terbesar pada himpunan divisor dua bilangan integer. Dua bilangan dapat saja memiliki beberapa elemen divisor yang sama namun hanya satu yang terbesar (Sadikin, 2012). Misalnya, divisor 15 = { 1, 3,
5, 15 } dan divisor45 = { 1, 3, 5, 9, 15, 45 }, maka himpunan divisor kedua bilangan
tersebut ialah { 1, 3, 5, 15 } dan yang terbesar ialah 15. Dengan kata lain, faktor
persekutuan terbesar 15 dan 45 dapat dinotasikan sebagai GCD(15, 45) = 15 (Fauzana,
2013).
Dalam notasi matematika, faktor persekutuan terbesar d dari dua bilangan integer a dan b, di mana keduanya tidak sama dengan nol, didefinisikan sebagai berikut (Welschenbach, 2005):
d = GCD(a,b) jika d> 0, maka d | a, d | b ... (2.1) (d | a dibaca d habis membagi a) dan jika terdapat bilangan d’,
di manad’ | a dan d’ | b, maka d’ | d ... (2.2) Sebagai contoh, telah diketahui GCD(15, 45) = 15. Pembuktian dari
persamaan (2.1) dapat dilihat dari 15/15 = 1 dan 45/15 = 3. Hal ini dikarenakan 15
merupakan salah satu divisor dari 15 dan 45.
Berikut ini beberapa aturan yang berlaku dalam faktor persekutuan
terbesar(Welschenbach, 2005).
1. GCD(a,b) = GCD(b,a) ... (2.3)
2. GCD(a,0) = |a| ... (2.4)
3. GCD(a,b,c) = GCD(a, GCD(b,c))... (2.5)
4. GCD(a,b) = GCD(-a,b) ... (2.6)
2.7. Aritmatika Modulo
Aritmatika modulo merupakan sisa hasil pembagian dua bilangan. Operator yang
adibagi dengan bilangan integer yang lebih besar dari nol(b> 0), maka akan menghasilkan sisa bagi r (remainder) dengan hasil bagi s (quotient). Sehingga dapat dinotasikan sebagai berikut (Lipschutz & Lipson, 2007).
amod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 ≤ r < m………..(2.7)
Contoh :
23 mod 8 = 7, dimana 23 = (8*2) + 7
Jika a negatif, maka bagi |a| dengan b mendapatkan sisa bagi r’ (Munir, 2006).
Sehingga didapatkan:
a mod b = b – r’, dimana r’ ≠ 0 dan a< 0……….(2.8) Sebagai contoh, jika |-41| mod 9 = 5, maka -41 mod 9 = 9 – 5 = 4.
Cormen, at al. (2009) menuliskan di dalam bukunya, untuk setiap bilangan bulat a dan
setiap bilangan bulat positif b, nilai a mod b adalah sisa (residu) dari hasil bagi a / b:
a mod b = a – b (a/b), dimana 0 ≤a mod b<a……….(2.9) Contohnya adalah 23 mod 4 = 23 – 4(23/4) = 23 – 4(5) = 23 – 20 = 3.
2.8. Relatif Prima
Bilangan bulat positif i (i> 1) disebut bilangan prima jika pembaginya 1 dan i (Cormen, at al. 2009).Seluruh bilangan prima adalah ganjil kecuali 2. Cara sederhana
untuk menguji apakah i merupakan bilangan prima atau komposit adalah dengan membagi i dengan sejumlah bilangan prima, mulai dari 2 hingga bilangan prima yang
lebih kecil atau sama dengan akar kuadrat dari i (2 ≤x≤ ). Jika i habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka i adalah bilangan komposit dan jika tidak, maka i adalah prima (Munir, 2006).
Terdapat metode lain yang dapat digunakan untuk menguji keprimaan suatu bilangan bulat, beberapa diantaranya adalah Teori Fermat (dibaca “Fair-ma”) (Munir, 2006) dan Miller-Rabin.
Dua bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika GCD(a,b) = 1. Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga
Bilangan-bilangan a1, a2, a3, …, an adalah relatif prima berpasangan (pairwise relatively prime) jika GCD(a1, a2, a3, …, an) = 1 (Cormen, et al. 2012). Contoh bilangan yang relatif prima adalah 11 dan 23.
2.9. Persamaan Diophantine linier
Jika terdapat bilangan bulat a, b, c, x, y dalam bentuk persamaan:
ax + by = c,
dengan nilai a,b dan c yang diketahui, maka persamaan ini disebut sebagai persamaan
Diophantine Linier (Mollin, 2008).
Jika nilai c pada persamaan Diophantine linier berikut ini,
ax + by = c,
adalah merupakan nilai faktor persekutuan terbesar dari a dan b atau dengan kata lain
c = GCD(a,b), maka persamaan tersebut disebut sebagai persamaan Diophantine linier dengan identitas Bézout (Rosen, 2012).
2.10. Extended Euclidean
Algoritma Euclid dapat dikembangkan (disebut dengan algoritma Extended Euclid) agar dapat menemukan dua integer x dan y yang unik selain nilai GCD(a,b) sehingga
memenuhi relasi yang ditunjukkan oleh persamaan (2.11) (Lipschutz & Lipson, 2007).
a × x + b × y = GCD(a,b)………..(2.11)
2.11. Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif a, dimana a ≥ 2 hanya dapat dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri.Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil,
kecuali 2 yang merupakan bilangan genap. Contoh bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, ….
Ada dua jenis algoritma pengujian bilangan prima, yaitu bersifat deterministik dan
(pasti) dan yang bersifat probabilistik(Sadikin, 2012).
n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka n bukan bilangan prima, tetapi jika n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan prima(Wandani, 2012).
Metode lain yang bisa digunakan untuk melakukan pengujian bilangan prima
adalah Teorema Fermat. Berikut pernyataan dari Teorema Fermat:
Jika p adalah sebuah bilangan prima dan a adalah bilangan integer positif yang
tidak habis dibagi p maka(Sadikin, 2012):
� − ≡ 1 mod p...(2.12)
Kelemahan dari teorema fermat ini yaitu terdapat bilangan bulat yang bukan disebut
bilangan prima semu (pseudoprimes). Bilangan bulat a yang menyebabkan ap–1 ≡ 1 (mod p), dimana p adalah bilangan prima semu disebut dengan bilangan Carmichael atau Fermat’s liar. Akan tetapi, bilangan prima semu relatif jarang ditemukan(Schneier, 1996).
Apakah p = 23 adalah bilangan prima?
1. Pilihlah sembarang bilangan bulat positif a dengan syarat 1<a<p.
2. Hitung� − mod p sebanyak dua kali untuk menghindari ditemukan bilangan prima semu. Jika salah satu hasil perhitungan tidak sama dengan 1, maka bilangan bulat p bukan bilangan prima.
322 mod 23 = 1
622 mod 23 = 1
Karena� − mod p ≠ 1, maka bilangan bulat p = 23 merupakan kemungkinan bilangan prima.
2.12. Chinese Remainder Theorem
Chinese Remainder Theorem (CRT) ditemukan oleh seorang matematikawan Cina bernama Sun-Tsu (juga disebut Sun Tse) sekitar 100 A.D (anno domini) atau 100 M
(Stallings, 2011).Chinese Remainder Theorem (teorema sisa Cina), dinamai setelah
masalah peninggalan Cina yang melibatkan sistem persamaan atau kekongruenan
berpasangan relatif prima, ada solusi unik dari sistem modulo produk dari modulus.
Berikut ini adalah pertanyaan atau teka-teki Sun-Tsu (Rosen, 2012).
“Ada beberapa hal yang bilangannnya tidak diketahui. Bila dibagi dengan 3, sisanya adalah 2, ketika dibagi oleh 5, sisanya adalah 3, dan ketika dibagi 7, sisanya adalah 2 Berapakah bilangan itu?”
Teka-teki tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
Apa solusi dari sistem kekongruenan berikut ini:
x ≡ 2 (mod 3) x ≡ 3 (mod 5) x ≡ 2 (mod 7)
Sebelum menyelesaikan teka-teki tersebut, berikut ini adalah teorema sisa Cina
(Chinese Remainder Theorem) (Rosen, 2012).
Misalkan m1, m2, …,mn adalah bilangan bulat positif yang relatif prima berpasangan (pairwise relatively prime) yang lebih besar dari 1 dan a1, a2, …, an merupakan bilangan bulat sembarang. Maka sistem kekongruenan linear
x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), x ≡ an (mod mn)
memiliki sebuah solusi unik modulo m = m1m2…mn. (Terdapat solusi x dengan 0 ≤x<m, dan semua solusi lainnya adalah kongruen modulo m untuk solusi ini).
Solusi dari penyelesaian teka-teki Sun-Tsu tersebut adalah sebagai berikut (Wandani,
2012).
Hitung hasil perkalian dari keseluruhan modulus.
M = m1m2…mn M = 3 × 5 × 7 = 105
1) Buat himpunan penyelesaian untuk masing-masing persamaan dari bilangan
terkecil hingga hasil perkalian modulus (M).
x1 = {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, 59, 62, 65, 68, 71, 74, 77, 80, 83, 86, 89, 92, 95, 98, 101, 104}
x2 = {3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83, 88, 93, 98, 103}
2) X merupakan irisan dari keseluruhan himpunan penyelesaian tersebut. X = x1∩ x2∩ … ∩ xn
X = x1∩ x2∩ x3 = 23
3) Agar tercapai seluruh bilangan yang memenuhi x, maka dihitung kelipatan persekutuan terkecil (Least Common Multiple) dari ketiga modulus (interval
yang memenuhi x).
Berikut ini merupakan rumus untuk mencari LCM dari dua bilangan bulat positif
(Rosen, 2012).
ab = GCD(a,b) . LCM(a, b)……….(2.13)
Dari persamaan 2.13 di atas dapat disimpulkan:
GCD(3,5,7) = 1 dan LCM(3,5,7) = 105………..(2.14)
Sehingga x memenuhi akan bilangan dalam interval 105 dimulai dari 23, yaitu x = 23
± (k × 105). Atau interval ini dapat dituliskan:
x X ± (k × LCM(m1,m2, …,mn))
Cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan teka-teki Sun-Tsu menurut
Rosen (2012) adalah sebagai berikut.
1. Hitung hasil perkalian dari keseluruhan modulus.
M = m1m2…mn M = 3 × 5 × 7 = 105
2. Hitung hasil bagi dari M dengan tiap-tiap modulus.
Mn = M/mn M1 = 105/3 = 35 M2 = 105/5 = 21 M3 = 105/7 = 15
3. Hitung invers modulo (yn) dari (Mn mod mn). Maka diperoleh:
4. Diperoleh solusi x dari teka-teki dengan menghitung rumus berikut ini.
x ≡ a1M1y1 + a2M2y2+ … + anMnyn………(2.15) x ≡ a1M1y1 + a2M2y2 + a3M3y3≡ (2.35.2) + (3.21.1) + (2.15.1) x ≡ 233 ≡ 23 (mod 105).
2.13. Algoritma Rabin
Algoritma Rabin Public Key adalah salah satu algoritma kriptografi asimetris yang menggunakan kunci publik dan kunci privat. Algoritma ini pertama kali diperkenal
kan oleh Michael O. Rabin pada tahun 1979. Fungsi dasar dari algoritma ini hampir
sama dengan algoritmaRivest Shamir Adleman(RSA). Hanya saja komputasinya lebih
sederhana dibandingkan dengan RSA. Inilah yang membuat serangan terhadap
algoritma ini menjadi lebih banyak, antara lain:
1) Chosen Ciphertext Attack
Penyerang menentukan ciphertext untuk didekripsikan, sehingga mengetahui bentuk plaintext hasil dekripsi.
2) Chosen – Plaintext Attack
Kriptanalis dapat menentukan plaintext untuk dienkripsikan, yaitu plaintext - plaintext yang lebih mengarahkan ke penemuan kunci(Wandani, 2012).
2.13.1. Pembangkit Kunci
Langkah yang pertama yang harus dilakukan didalam algoritma Rabin Public Key
adalah pembangkitan kunci.
Berikut ini algoritma untuk proses pembangkitan kunci pada algoritma Rabin Public
Key(Schneier, 1996).
• Pilih dua bilangan prima, p dan q, dimana keduanya kongruen terhadap 3 mod 4. Atau dengan kata lain, jika p dan q dimodulokan 4 akan menghasilkan 3.
p ≡ q ≡ 3 (mod 4)...(2.17) Misalkan p = 11 dan q = 23. Kedua bilangan ini (p dan q) merupakan private key. • Hitung nilai n yang merupakan public key dengan rumus perkalian antara p dan q (Rădulescu, 2008).
Dimana:
n=kunci publik pq=kunci rahasia
Simpan dan rahasiakan nilai p dan q, sedangkan nilai n dapat disebarkan seluas-luasnya.
2.13.2 . Proses Enkripsi
Proses enkripsi pada algoritma Rabin Public Key menggunakan kunci publik n. Untuk
melakukan enkripsi pesan (P), P harus lebih kecil dari n. Berikut adalah rumus untuk
melakukan enkripsi pada algoritma Rabin Public Key (Schneier, 1996).
C = P2mod n...(2.19) Dimana:
C=ciphertext P=plaintext n=kunci publik
Berikut ini adalah contoh dan algoritma dalam melakukan enkripsi pesan (Rădulescu, 2008).
Terima kunci publik, n = 253.
Ekspresikan pesan P = “A” = 65 (kode ASCII) sebagai bilangan, P∈ dan P<n.
Hitung C = 652 mod 253 = 177 dengan rumus C= � mod n Kirim C = 177 = “±” ke pemilik kunci publik.
2.13.3. Proses Dekripsi
Proses dekripsi pada algoritma Rabin Public Key menggunakan kunci privat p dan q.
Selama penerima pesan mengetahui p dan q, penerima pesan dapat menyelesaikan dua
kekongruenan menggunakan Chinese Remainder Theorem (Schneier, 1996). Pada dekripsi, masalah yang dihadapi adalah menghitung (Galbraith, 2012). Berikut ini
1. Tentukan nilai Yp dan Yq yang merupakan pembagi GCD (Greatest Common Divisor) dari p dan q dengan menggunakan Algoritma Extended Euclidean. Karena GCD bilangan prima adalah 1, maka dapat ditulis sebagai berikut
Yp*p + Yq * q = 1...(2.20) 2. Hitunglah nilai akar kuadrat dari ciphertext terhadap p dan q dengan rumus:
� = c ( +
4 mod p...(2.21)
� = c +
4 mod q...(2.22)
denganmp adalah akar kuadrat dari ciphertext terhadap p dan mq adalah akar kuadrat dari ciphertext terhadap q.
3. Hitung nilai r, s, t dan u dengan menggunakan Chinese Remainder Theorem, dengan persamaan berikut :
r = (Yp*p*� + Yq * q*� ) mod n...(2.23) s = (Yp*p*� - Yq * q* � ) mod n...(2.24) t = ( -Yp*p*� + Yq * q* � ) mod n ...(2.25) u = ( -Yp*p*� - Yq * q* � ) mod n...(2.26)
4. Tambahkan r,s,t,udengan kongruen nilai desimal hasil penggandaan plainteks k yang dikalikan dengan kunci publik n.
R = (k*n)+r ...(2.27) S = (k*n)+s ...(2.28) T = (k*n)+t ...(2.29) U = (k*n)+u...(2.30)
5. Ubahlah nilai desimal R,S,T,Uke dalam bentuk biner. Kemudian nilai biner R,S,T,Udibagi menjadi 2 (dua) bagian. Bandingkan kedua bagian tersebut. Jika kedua bagian tersebut menghasilkan bentuk biner yang sama, maka didapatlah
hasil dekripsi ciphertext c dengan mengubah bentuk biner salah satu bagian yang
2.14. Penelitian yang Relevan
1. Firman Saragih(2008), membuat penelitian yang berjudul Penggunaan
Kriptografi One Time Pad (Algoritma Vernam) dalam Pengamanan Informasi. Hasil penelitian yang diperoleh adalah One-time pad merupakan algoritma pengenkripsian datadan informasi yang relative
sederhana dan mudah digunakan namun cukup aman dalam menjamin
kerahasiaan informasi atau data yang ingin dikirimkan oleh pengirim pesan
kepada penerima pesan tanpa dapat diketahui oleh pihak lain(Saragih,
2008).
2. Henny Wandani(20012), membuat penelitian yang berjudul Implementasi
Sistem Keamanan Data dengan Menggunakan Tekhnik Steganografi End of File (EOF) dan Rabin Public Key Cryptosystem, dimana penelitian ini menggabungkan algoritma kriptografi Rabin Public Key dengan tekhnik Steganografi dalam pengamanan data dan kerahasian sebuah data rahasia
dengan algoritma Rabin sebagai pembangkit kunci(Wandani, 2012).
3. Gustaf Prameswara(2012), membuat penelitian yang berjudul
