Vektor, Diferensial Vektor dan Integral Vektor mempunyai peranan yang sangat penting bagi para fisikawan dan rekayasawan untuk membantu menyelesaikan permasalahannya. Oleh sebab itu mahasiswa teknik perlu mendapat pengetahuan tentang materi ini, sebagai salah satu bagian dasar untuk melatih kemampuan rekayasa mereka.
Buku ajar yang berjudul Analisis Vektor ini disusun untuk membantu mahasiswa dalam memahami pokok bahasan di atas, sehingga proses belajar mengajar mata kuliah yang dimaksud bisa berjalan dengan lebih baik.
Penyajian dan pembahasan materi dalam Buku Ajar ini diharapkan dapat dengan mudah diikuti dan dipahami oleh semua mahasiswa. Untuk itu, dalam setiap pokok bahasan, penyusun berusaha memberikan beberapa contoh soal yang dapat diselesaikan mahasiswa sebagai latihan. Di bagian akhir dari diktat ini diberikan daftar pustaka untuk membantu bagi yang ingin mempelajari lebih lanjut, agar mendapatkan pemahaman yang lebih mendalam.
Buku Ajar ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu penyusun sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pemakai Buku Ajar ini untuk lebih menyempurnakan penyajian selanjutnya. Akhirnya, penyusun berharap agar Buku Ajar ini dapat benar-benar bermanfaat.
Malang, Agustus 2003
K
K
A
A
T
T
A
A
P
P
E
E
N
N
G
G
A
A
N
N
T
T
A
A
R
R
i
i
D
D
A
A
F
F
T
T
A
A
R
R
I
I
S
S
I
I
i
i
i
i
B
B
A
A
B
B
I
I
:
:
V
V
E
E
K
K
T
T
O
O
R
R
K
K
O
O
N
N
S
S
T
T
A
A
N
N
1
1
1.1 Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor 1 1.2 Aljabar Vektor 2
1.3 Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang 4 1.4 Perkalian Antar Vektor 10
1.5 Penggunaan Vektor Dalam Geometri 20
B
B
A
A
B
B
I
I
I
I
:
:
F
F
U
U
N
N
G
G
S
S
I
I
V
V
E
E
K
K
T
T
O
O
R
R
2
2
8
8
2.1 Fungsi Vektor 28 2.2 Kurva Vektor 29B
B
A
A
B
B
I
I
I
I
I
I
:
:
D
D
I
I
F
F
E
E
R
R
E
E
N
N
S
S
I
I
A
A
L
L
V
V
E
E
K
K
T
T
O
O
R
R
3
3
4
4
3.1 Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor 34 3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor 35
3.3 Gradien, Difergensi dan Curl 38
3.4 Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl 41
B
B
A
A
B
B
I
I
V
V
:
:
I
I
N
N
T
T
E
E
G
G
R
R
A
A
L
L
V
V
E
E
K
K
T
T
O
O
R
R
5
5
6
6
4.1 Integral Garis 564.2 Teorema Green 69
4.3 Medan Gaya Konservatif 76 4.4 Integral Luasan 84
4.5 Teorema Divergensi Gauss 100 4.6 Teorema Stokes 106
D
Program Semi Que 1 BAB I
V
V
E
E
K
K
T
T
O
O
R
R
K
K
O
O
N
N
S
S
T
T
A
A
N
N
1.1. Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor
Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunyai besar (magnitude) dan arah (direction), sebagai contoh misalnya lintasan dan kecepatan sebuah obyek yang bergerak, gaya yang bekerja pada suatu benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain sebagainya. Besaran yang mempunyai besar dan arah disebut dengan vektor (vector). Sementara besaran yang hanya mempunyai besar (magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan skalar (scalar). Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan analisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan aplikasinya baik dalam bidang (dimensi dua = R2) maupun ruang (dimensi
tiga = R3).Dalam penyajiannya sebuah vektor biasa digambarkan sebagai
segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :
v
=AB
=
AB
=
AB
A = titik pangkal (initial point) B = titik ujung (terminal point)
Panjang vektor
v
=v
=A
B
: menyatakan besarnya vektor ataupanjangnya vektor v dan tanda panah dalam
AB
menyatakan arah vektor.A
B
v
POKOK BAHASAN :
! Pengertian tentang vektor dan notasi vektor ! Aljabar vektor
! Vektor posisi dalam bidang dan ruang ! Perkalian antar vektor
Program Semi Que 2 Ada 3 jenis vektor :
a. Vektor Bebas (free vector) : vektor yang boleh digeser sejajar dirinya dengan panjang dan arah tetap.
b. Vektor meluncur (sliding vector) : vektor yang boleh digeser sepanjang garis kerjanya, misalnya gaya yang bekerja sepanjang garis lurus.
c. Vektor terikat (binding vector) : vektor yang terikat pada sistem koordinat yang menunjukkan posisi tertentu.
Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak atau posisi, pada umumnya orang bekerja dengan vektor bebas.
1.2. Aljabar Vektor Vektor nol (null vector)
Ditulis
0
adalah vektor yang panjangnya nol sehingga arahnya tak tentu (karena ujung dan pangkalnya berimpit)Kesamaan 2 vektor
Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yang sama.
Kesejajaran 2 vektor
Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar, arahnya bisa sama atau berlawanan.
Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel. Penjumlahan vektor
Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran genjang atau aturan segi banyak (poligon)
Misalnya: a.
C
B
A
+
=
atauA
B
A
B
C
A
C
B
Program Semi Que 3
b. ⇒
E
=
A
+
B
+
C
+
D
c.
A
+
B
+
C
+
D
+
E
=
0
Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.
Penggandaan vektor dengan skalar Jika m = besaran skalar
dan
A
= vektor yang panjangnya |A
|maka :
m
A
= vektor yang panjangnya m kali panjangnyaA
dan arahnyasama dengan vektor
A
jika m positif, atau berlawanandengan arah vektor
A
jika m negatifPengurangan vektor
Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari vektor yang mengurangi
D
A
C
B
A
C
B
DE
E
A
B
C
DProgram Semi Que 4 Jadi:
A
−
B
=
A
+
(
−
B
)
⇒
⇒
C
=
A
−
B
Jika
A
=B
makaA
−
B
=
0
Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor Jika
A
,
B
,
C
adalah vektor dan m, n adalah skalar maka1.
A
+
B
=B
+
A
(komutatif terhadap jumlahan) 2.A
+
(
B
+
C
)
=(
A
+
B
)
+
C
(asosiatif terhadap jumlahan)3. Terdapat vektor
0
sehingga:A
+
0
=
0
+
A
=
A
(ada elemen netral) 4. Terdapat vektor−
A
sehingga:A
+
(
−
A
)
=
0
(ada elemen invers) 5. (mn)A
=n
(
m
A
)
(asosiatif terhadap perkalian)6.
m
(
A
+
B
)
=m
A
+
m
B
(distributif terhadap perkalian) 7. (m + n)A
=m
A
+
n
A
(distributif terhadap perkalian) 8.1
(
A
)
=A
(ada invers dalam perkalian) 2.3. Vektor Posisi dalam Bidang dan RuangTeorema Dasar Dalam Vektor :
Setiap vektor
C
pada bidang dapat ditulis secara tunggal sebagai kombinasi linier sembarang 2 vektorA
danB
yang tidak paralel dan bukan vektor nol.Atau:
C
=m
A
+
n
B
dengan m, n adalah skalar yang tunggalA
B
A
B
−
−
B
A
Program Semi Que 5 Bukti : 2 1
OP
OP
OP
C
=
=
+
1OP
paralel denganA
sehinggaOP
1=m
A
C
=m
A
+n
B
2
OP
paralel denganB
sehinggaOP
2 =m
B
Dalam hal ini m, n adalah skalar yang tunggal. Karena jika tidak tunggal maka
C
akan bisa ditulis sebagai berikut :
C
= m1A
+ n1B
=C
= m2A
+ n2B
(m1 - m2)
A
+ (n1 - n2 )B
= 0Karena
A
danB
bukan vektor nol dan tidak paralel maka,m1 - m2 = 0

→
m1 = m2n1 - n2 = 0

→
n1 = n2Teorema dasar ini juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang (R3),
sehingga untuk sembarang vektor
D
dapat ditulis :
D
= m1A
+ m2B
+ m3C
dengan
A
,B
danC
adalah vektor-vektor yang tidak paralel, bukan vektornol dan tidak sebidang.
Dua vektor
A
danB
dikatakan saling bergantung secara linier (dependentlinear) jika terdapat skalar m dan n yang tidak nol dan m
A
+ nB
= 0Kejadian ini akan terjadi jika :
1.
A
danB
merupakan vektor nol atau2.
A
danB
paralel (sejajar)A
1P
P
2P
OB
C
Program Semi Que 6 Contoh :
Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi sebuah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan 1/2 dari panjang sisi ketiga tersebut.
M titik tengah
AC
N titik tengahCB
CB
AC
AB
=
+
)
CB
AC
(
CB
AC
CN
MC
MN
21 2 1 2 1+
=
+
=
+
=
=12AB
sehingga
MN
//
AB
dan panjangMN
= ½ panjangAB
Vektor satuan (unit vector)
Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1 satuan panjang.
A
A
=
a
= vektor satuan dariA
dan
A
=A
a
Vektor basis satuan
Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam R2 dan pilih 2 vektor satuan i
dan j sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x dan y positif dan berpangkal di O.
y
j
O i x
maka vektor i dan j disebut dengan vektor-vektor basis di R2
Di R3 : sebagai vektor basis yang sejajar dan searah dengan sumbu z
dinyatakan dengan vektor k. C
N M
Program Semi Que 7 z k i j y x Vektor posisi
a. Vektor Posisi dalam R2
Jika
i
danj
adalah vektor-vektor basis di R2 yaitu vektor satuan yangmasing-masing sejajar dan searah dengan sumbu X dan sumbu Y dan berpangkal di titik 0 dalam R2.
Maka sembarang vektor
r
dari titik 0 ke titik P(x,y) dalam bidang XOYselalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor basis
i
danj
.y ry j = y j P(X,Y)
r
j O i rx i = x i x Sehingga :r
= rx i + ry j = x i + y jrx
i
= x i ; ryj
= y j disebut vektor-vektor komponenrx = x

→
komponen vektorr
pada sumbu X (proyeksir
ke sumbu X)ry = y

→
komponen vektorr
pada sumbu Y (proyeksir
ke sumbuX)
Vektor
r
= x i + y j disebut vektor posisi titik P , karenakomponen-komponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P. Panjang dari
r
= |r
| =x
2+
y
2Program Semi Que 8 b. Vektor Posisi dalam R3 :
Vektor-vektor basis dalam R3 adalah vektor-vektor satuan i , j dan k yang
masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu X, Y dan Z positif dan berpangkal di titik 0.
. z P(x,y,z)
r
k j y i O xr
= x i + y j + z k merupakan vektor posisi dari titik P(x,y,z)x = proyeksi
OP
ke sumbu Xy = proyeksi
OP
ke sumbu Yz = proyeksi
OP
ke sumbu ZPanjang dari
r
= |r
| =x
2+
y
2+
z
2Secara umum untuk sembarang vektor
A
= Ax i + Ay j + Az k dalam R3 ,berlaku : Panjang 2 z 2 y 2 x
A
A
A
A
A
=
=
+
+
Vektor satuan 2 z 2 y 2 xA
A
A
A
a
+
+
=
z k Az i j Ay y x i Ax α β γProgram Semi Que 9 Dengan :
" Ax, Ay; Az disebut bilangan arah vektor
A
" Sudut-sudut
α
;
β
;
γ
yang dibentuk vektorA
terhadap sumbu x, y, z positif disebut arah vektorA
" Cosinus sudut-sudut tersebut disebut cosinus arah. dengan:
A
A
A
A
A
A
α
cos
x 2 z 2 y 2 x x=
+
+
=
A
A
A
A
A
A
β
cos
y 2 z 2 y 2 x y=
+
+
=
cos
2α
+
cos
2β
+
cos
2γ
=
1
A
A
A
A
A
A
γ
cos
z 2 z 2 y 2 x z=
+
+
=
Menyatakan Suatu Vektor Dalam Koordinat Tegak
1
OP
= x1i + y1j +z1k 2OP
= x2i + y2j + z2k 2 1 2 1P
OP
OP
P
=
−
= (x2i + y2j z2k) – (x1i + y1j z1k) = (x2 – x1)i (y2 – y1)j + (z2 – z1)kSembarang vektor
P
1P
2 dalam sistem koordinat bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis dengan komponen-komponennya adalah komponen vektor posisi titik ujung dikurangi komponen vektor titik pangkalnya.z
)
z
,
y
,
(x
P
1 1 1 1)
z
,
y
,
(x
P
2 2 2 2 Oy
x
Program Semi Que 10
)
z
(z
)
y
(y
)
x
(x
P
P
2 2 1 2 1 1 2 2 1=
−
+
−
+
−
= panjang vektorP
1P
2 SOAL-SOAL1. Tentukan vektor satuan yang sejajar dengan jumlah (resultan) dari vektor-vektor
1
r
= 2i + 4j – 5k2
r
= i + 2j + 3k2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor :
A
= 3i + 2j + kB
= i + 3j + 5kC
= 2i + j – 4kakan membentuk sebuah segitiga 3. Ambil sembarang segi 4 ABCD
Titik-titik P, Q, R, S adalah titik-titik tengah sisi AB; BC; CD dan DA Buktikan bahwa PQRS menyusun suatu jajaran genjang.
(Cukup dengan membuktikan bahwa
PQ
=RS
atauQR
=PS
)1.4. Perkalian Antar Vektor
a. Hasil Kali Skalar (Dot product / Scalar Product)
Ditulis:
A
!
B
=
A
B
cos
θ
; θ = sudut antara vektor A dan B"
"
-∠∠! ! B Q C R D S O PProgram Semi Que 11 Proyeksi
A
padaB
ProyeksiB
padaA
• Sifat Hasil Kali Skalar : 1.
A
!
B
=
B
!
A
2.A
!
A
=
A
2cos
0
=
A
2 3.A
!
(B
+
C)
=
A
!
B
+
A
!
C
4.(A
+
B)
!
C
=
A
!
C
+
B
!
C
Dalam R3 :1
k
k
j
j
i
i
!
=
!
=
!
=
(krn //)0
i
k
k
j
j
i
!
=
!
=
!
=
(krn ⊥) Karena :1
0
cos
i
i
i
i
!
=
=
0
90
cos
j
i
j
i
!
=
°
=
Jika: A = Axi + Ay j + Azk B = Bxi + By j + Bzkk)
B
j
B
i
B
(
)
k
A
j
A
i
A
(
B
A
!
=
x+
y+
z!
x+
y+
z z z y y x xB
A
B
A
B
A
B
A
!
=
+
+
• Sudut Antar 2 Vektor : Karena
A
!
B
=
A
B
cos
θ
A
B
θ
cos
A
θθ
cos
B
B
A
θz
k
i
j
y
x
Program Semi Que 12 cos θ =
B
A
B
A !
==> Contoh : A = 3i + 6j + 9kB
A !
= 3(-2) + (6)(3) + (9(1) = 21 B = -2i + 3j + kA
=
3
2+
6
2+
9
2=
3
14
B
=
2
2+
3
2+
1
2=
14
2
1
42
21
14
.
14
3
21
B
A
B
A
θ
cos
=
!
=
=
=
• Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel
□ Vektor-vektor yang tegak lurus (yaitu cos θ = 0) ––>
A !
B
atau A ⊥ B Atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0□ Dua vektor paralel jika komponen-komponennya sebanding atau jika : z z y y x x
B
A
B
A
B
A
=
=
• Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha
Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan Jika gaya dan jarak perpindahan tidak sejajar
θ.d
cos
F
W
=
=F !
d
Contoh : Diketahui :F
= 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang bergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2)Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya
F
θ = arc cos
B
A
B
A
!
θ
cos
F
F
d
θd
d
=
Program Semi Que 13 Jawab:
d
F
W
=
!
d
= (2–1)i + (4–0)j + 2(2–1)k = 2i + 4j + kW = (2i + 2j – 4k)
!
(2i + 4j + k) = 4 + 8 – 4 = 8 satuan usaha b. Hasil Kali vektor (Cross Product / Vector ProductDitulis:
A
×
B
=
C
hasilnya berupa vektor DenganA
×
B
=
A
B
sin
θ
Arah dari
A
×
B
ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan.Sifat hasil kali vektor: " A × B ≠B × A A × B = –(B × A) anti komutatif " (kA) × B = k(A × B) = A (kB) " A × (B + C) = (A × B) + (A × C) (A + B) × C = (A × C) + (B × C) Dalam R3
θ
sin
i
i
i
i
×
=
dengan cara yang sama i × i = j × j = k × k = 0
1
90
sin
j
i
j
i
×
=
°
=
C
A
θC
A
B
θB
B
A
B
A
×
A
B
×
z
k
i
j
y
x
Program Semi Que 14 sehingga: i × j = k ; j × k = i; k × i = j j × i = -k ; k × j = -i ; i × k = -j Jika :
A
= Ax i + Ay j + Az kB
= Bx i + By j + Bz kA
×
B
= (Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk) = (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k atau:A
×
B
= z y x z y xB
B
B
A
A
A
k
j
i
danA
×
B
=
A
B
sin
θ
=
( )( ) ( )
A
!
A
B
!
B
−
A
!
B
2 Contoh :A
= 2i – j + kB
= i – 3j + 4kA
A !
= 22 + 32 + 42 = 6B
B !
= 2 + 3 + 4 = 9k
5
j
7
i
)
1
6
(
k
)
1
j(8
3)
4
(
i
4
3
-1
1
1
-2
k
j
i
B
A
=
−
−
+
−
+
−
−
+
−
=
=
×
75
25
49
1
5
7
1
B
A
×
=
2+
2+
2=
+
+
=
Aplikasi dari Hasil Kali Vektor " Menghitung Torsi/Momen
Dalam mekanika momen/torsi dari gaya
F
terhadap titik Q didefinisikan sebagai:Program Semi Que 15
d
F
m
=
F
dengan
d = jarak (dalam arah ⊥)
antara titik Q ke garis gaya
F
Jika:
r
= adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik sembarang pada garis gayaF
Maka d =
r
sin
θ
; θ = sudut antarar
denganF
dan
r
F
θ
sin
r
F
m
=
=
×
Jikam
=
M
, makaM
=F
×
r
= vektor momen dari gayaF
terhadap titik QContoh :
Tentukan vektor momen dari gaya F terhadap titik O Jawab:
F
= (4 – 2) i + (–2 –1) j + 0k = 2i – 3j + 0kr
= (2 – 0) i + (1 – 0) j + 0k = 2i + j + 0k'
y
r
F
'
'
'
x
0(2,1)
(4,-2)
dQ
dQ
F
L
r
θθ
Program Semi Que 16
8k
6)
k(2
j(0)
i(0)
0
1
2
0
3
-2
k
j
i
M
=
=
−
+
+
=
8
64
M
=
=
c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product) Jika:
A
= Ax i + Ay j + Az kB
= Bx i + By j + Bz kC
= Cx i + Cy j + Cz kk
B
B
A
A
j
B
B
A
A
i
B
B
A
A
C
A
y x y x z x z x z y z y−
+
=
×
z y x y x y z x z x x z y z yC
B
B
A
A
C
B
B
A
A
C
B
B
A
A
C
B
A
×
!
=
−
+
= z y x z y x z y xC
C
C
B
B
B
A
A
A
→ disebut hasil kali skalar triple, karena hasilnya merupakan skalar. Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat:
1.
A
×
B
!
C
=
( )
B
×
C
!
A
=
( )
C
×
A
!
B
sehingga:
( )
A
×
B
!
C
=
A
!
( )
B
×
C
Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya letak tanda
×
dan!
nya tidak mempengaruhi hasilnya.Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah. Sehingga:
C
A
B
C
A
B
C
B
A
×
!
=
−
×
!
=
−
!
×
2. Hasil kali skalar tripel:
A
×
B
!
C
=
0
bila dan hanya bilaA
,
B
dan
C
Program Semi Que 17 Bukti:
a.
A
×
B
!
C
=
0
⇒A
,
B
dan
C
sebidangJika
A
×
B
!
C
=
0
makaA
×
B
⊥
C
atausalah satu dari
A
,
B
atau
C
vektor nol Berarti:i. Apabila salah satu dari
A
,
B
atau
C
vektor nol, maka pastiC
dan
B
,
A
sebidangii. Apabila
A
×
B
⊥
C
makaC
bisa diletakkan sebidang denganB
dan
A
sehinggaA
,
B
dan
C
sebidangb. Jika
A
,
B
dan
C
sebidang ⇒A
×
B
!
C
=
0
Jika
A
,
B
dan
C
sebidang, makaA
×
B
⊥
C
sehinggaA
×
B
!
C
=
0
• Arti Geometris Dari
A
×
B
!
C
Diberikan vektor
A
,
B
dan
C
A
=OA
B
=OB
C
=OC
C B O AB
A
P
=
×
B
A
×
= luas jajaran genjang OADBC
B
Program Semi Que 18
θ
cos
C
= tinggiC
di atas bidang OADBJadi
A
×
B
!
C
= volume bidang 6 (paralel epipedum) OADB – CEFG yang disusun olehA
,
B
dan
C
Catatan:
Luas jajaran genjang OABC =
'
AA
OB
=OB
OA
sin
θ
=OB
×
OA
Contoh : Buktikan bahwa( ) ( ) ( )
A
+
B
!
A
+
C
×
A
+
B
=
0
Bukti: MisalkanA
+
B
=
u
v
C
A
+
=
Maka :
u
!
v
×
u
= volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga vektor tersebut sebidang sehingga :u
!
v
×
u
= 0d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product) Hasil kali vektor tripel adalah :
( )
A
×
B
×
C
( )
B
C
A
×
×
Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak kurangnya ditukar. Misalkan : (i × i) × j = 0 × j = 0 i × (i × j) = i × k = –j
A'
B
C
A
0 θ)
Program Semi Que 19 Sifat Hasil Kali Vektor Triple :
1.
A
×
( )
B
×
C
â‰( )
A
×
B
×
C
2.A
×
( )
B
×
C
=( )
A !
C
B
–( )
A !
B
C
( )
A
×
B
×
C
=( ) ( )
A
!
C
B
−
B
!
C
A
Contoh : 1. Jika:A
= 2i + 2j – kB
= i + j + kC
= 3i + j – 2k Hitung :( )
A
×
B
×
C
;A
×
( )
B
×
C
Jawab: a.k
j
i
k
j
i
k
j
i
B
x
A
4
3
)
2
2
(
)
1
2
(
)
1
2
(
1
1
1
2
2
2
−
−
=
−
−
+
+
−
−
=
−
=
k
j
i
k
j
i
k
j
i
C
x
B
x
A
10
10
10
)
9
1
(
)
12
2
(
)
4
6
(
2
1
3
4
3
1
)
(
+
−
=
+
+
+
−
−
+
=
−
−
−
=
b.k
j
i
k
j
i
k
j
i
C
B
4
5
)
3
1
(
)
3
2
(
)
1
2
(
2
1
3
1
1
1
+
+
=
+
+
−
−
−
−
=
−
−
=
×
k
j
i
k
j
i
k
j
i
C
B
A
8
9
13
)
2
10
(
)
1
8
(
)
5
8
(
4
5
1
1
2
2
+
−
=
−
+
+
−
+
=
−
=
×
!
2. Buktikan :A
×
[
A
×
(
A
×
B
)]
=
(
A
!
A
)(
B
×
A
)
Bukti : MisalkanA
×
B
=
C
MakaA
×
( )
B
×
C
=( ) ( )
A
!
C
A
−
A
!
A
C
=(
A
!
C
×
B
) ( )( )
A
−
A
!
A
A
×
B
Program Semi Que 20
=
0
( ) ( )( )
A
−
A
!
A
A
×
B
=
−
( )( )
A
!
A
A
×
B
=
( )( )
A
!
A
B
×
A
1.5. Penggunaan Vektor Dalam Geometri a. Persamaan Garis
Dalam R3:
Andaikan l sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan
sebuah vektor
v
= Ai + Bj + Ck. Maka l merupakan tempat kedudukan semua titik P(x,y,z) sedemikian hinggaP
1P
sejajar denganv
Jadi titik P (x,y,z) terletak pada garis l bila dan hanya bila
P
1P
=t
v
dengan t adalah suatu skalar. Atau: (x – x1)i + (y – y1) j + (z – z1) k = t (Ai + Bj + Ck) = t Ai + tBj + tCk Ini berarti :




=
−
=
−
=
−
tC
z
z
tB
y
y
tA
x
x
1 1 1Persamaan parameter garis yang melalui titik (x1,y1,z1) dan paralel
dengan vektor
v
.tC
z
z
tB
y
y
tA
x
x
+
=
+
=
+
=
1 1 1 ")
,
,
(
x
y
z
P
)
,
,
(
x
1y
1z
1P
Ck
Bj
Ai
V
=
+
+
Program Semi Que 21 Atau:
Persamaan standard garis yang melalui titik (x1, y1, z1) dan paralel
dengan
v
=
Ai
+
Bj
+
Ck
Dalam hal ini
v
= Ai + Bj + Ck disebut vektor arah garis l dan A, B, C merupakan bilangan arah garis.Jika salah satu dari A, B dan C nol Mis. A = 0 maka x – x1 = 0
x = x1
Persamaan standardnya ditulis :
C
z
z
B
y
y
−
1=
−
1 ; dan x = x 1 Contoh :Tentukan persamaan garis melalui A ( 5,4,1) dan B (3, 1, 6)
⇒
Vektor arah garis
v
=AB
= –2i – 3j + 5kMisalkan titik sembarang pada garis adalah P(x1,y1,z1) dan titik tertentu
yang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) maka Persamaan standard garis:
5
1
z
3
4
y
2
5
x
=
−
−
−
=
−
−
Atau:3
4
y
2
5
x
−
−
=
−
−
⇒ 3x – 2y – 7 = 0 ∴Persamaan standard garis:
5
1
z
3
4
y
=
−
−
−
⇒ 5y – 3z – 17 = 00
17
3
5
0
7
2
3
=
−
−
=
−
−
z
y
y
x
Persamaan parameter garis:
t
z
t
y
t
x
5
1
3
4
2
5
+
=
−
=
−
=
t =C
x
x
B
x
x
A
x
x
−
1=
−
2=
−
3Program Semi Que 22 Dalam R2 :
Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m maka vektor arah garis : l = i + mj
b. Persamaan Bidang
Vektor
N
⊥ bidang W sehinggaN
disebut Vektor Normal dari bidang w Jika
N
= Ai + Bj + CkPQ
= (x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k →PQ
terletak pada bidang WSehingga
PQ
⊥N
⇒N
!
PQ
=
0
Atau:
→ Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang
N
=Ai + Bj + Ck Contoh :
1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3,2,1) ; Q(4,1,5) ; R(2,4,3).
⇒
vektor
PQ
dan
PR
terletak
pada
bidang
k
2
j
2
i
PR
k
4
j
i
PQ




+
+
−
=
+
−
=
k
j
6
i
10
2
2
1
4
1
1
k
j
i
PR
PQ
N
=
−
+
+
−
−
=
×
=
∴ Persamaan bidang: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 –10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0 –10x – 6y + z + 41 = 0 A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0)
,
,
(
x
1y
1z
1P
)
,
,
(
x
y
z
Q
N
W)
Program Semi Que 23 " Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai:
dengan
N
= Ai + Bj + Ck2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2); tegak lurus pada bidang
u
= 2x + 3y + z = 8 dantegak lurus pada bidang
v
= x – y + 3z = 0 ⇒u
= 2x + 3y + z = 8 →N
U= 2i + 3 j + kv
= x – y + 3z = 0 →N
V = i – j + 3kDicari bidang w yang ⊥ bidang
u
danv
, berartiN
w ⊥N
udanN
VAtau
k
5
j
5
i
10
3
1
1
1
3
2
k
j
i
v
N
N
N
w u=
+
+
−
=
×
=
Persamaan bidang w: 10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0 10x – 5y – 5z – 45 = 0 2x – y – z = 9c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang
Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan V = Ax + By + Cz + D = 0 → Normal bidang
N
v= Ai + Bj + Ck Jika A ≠0 ⇒ Titik



ï£
−
;
0
,
0
A
D
Q
terletak pada bidang tersebut.tk
sj
i
A
D
r
QP
k

+
+



ï£
 +
=
=
Ax + By + Cz + D = 0Program Semi Que 24 P(r,s,t)
N
θk
d Q(-D/A,0,0)θ = sudut antara
N
dank
sehingga
d
=
k
cos
θ
N
k
N
d
d
N
k
N
k
N
!
=
cos
θ
=
⇒
=
!
sehingga: 2 2 2B
C
A
Ct
Bs
A
D
r
A
d
+
+
+
+




ï£
 +
=
atauJarak titik P(r,s,t) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0
Contoh :
Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2) B = (6,4,3) C = (0,5,1) ⇒
AC
= -2i + j + kAB
= 4i + k Normal bidangN
=
AB
×
AC
k
4
j
2
1
1
1
2
1
0
4
k
j
i
=
−
+
+
−
−
=
∴ Persamaan bidang ABC 2 2 2
B
C
A
D
Ct
Bs
Ar
d
+
+
+
+
+
=
Program Semi Que 25 –(x – 0) + 2 (y – 5) + 4 (z – 1) = 0
–x + 2y + 4z – 14 = 0
Jarak titik P(5,5,4) ke bidang –x + 2y + 4z – 14 = 0
21
14
6
!
10
5
16
4
1
14
)
4
(
4
)
5
(
2
)
5
(
1
d
d
=
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
=
=
=21
7
d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang Diberikan bidang v dengan normal
N
vDiberikan bidang w dengan normal
N
w(w
v)
N
v"
N
wJika bidang v dan w berpotongan pada satu garis maka vektor arah garis tersebut akan ⊥ dengan
N
v maupunN
wSehingga jika vektor arah garis tersebut
"
maka"
=
N
v
×
N
w
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang 2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7
⇒
v = 2x + y – 2z =5 → Nv = 2i + j – k w = 3x + 6y – 2z =5 → Nw = 3i + 6j – 2k Vektor arah garis:
k
15
j
2
i
14
2
6
3
2
1
2
k
j
i
w
N
v
N
L
=
−
−
−
−
−
−
=
×
=
Program Semi Que 26 Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang. (i) 2x + y + 2z = 5 (ii) 3x – 6y – 2z =7 –––––––––––– – –x + 7y = –2 Misalkan diambil : y = 0 → –x = –2 x = 2 (i). 2(2) + 0 – 2z = 5 –2z = 5 – 4 z = – ½
Titik (2,0,-½ ) terletak pada garis potong 2 bidang.
Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :
15
z
z
0
y
14
2
x
12−
−
=
−
−
=
−
−
e. Sudut Antara Garis dan Bidang Jika:
"
"
=
ai
+
bj
+
ck
→
vektor
arah
garis
0
D
Ck
By
Ax
v
bidang
normal
Ck
Bj
Ai
N
=
+
+
→
=
+
+
+
=
"
N
v) θφ
)
c
b
a
)(
C
B
A
(
Cc
Bb
Aa
N
N
θ
cos
2 2 2 2 2 2+
+
+
+
+
+
=
=
"
"
!
sin φ = sin (90 – θ)Program Semi Que 27 =
)
c
b
a
)(
C
B
A
(
Cc
Bb
Aa
θ
cos
2 2 2 2 2 2+
+
+
+
+
+
=
Sehingga sudut antara garis
"
dengan vektor arah"
=
ai
+
bj
+
ck
dengan bidang v dengan normal bidangN
v=
Ai
+
Bj
+
Ck
adalah)
c
b
a
)(
C
B
A
(
Cc
Bb
Aa
arcsin
2 2 2 2 2 2+
+
+
+
+
+
=
φ
Program Semi Que 28 BAB II
F
F
U
U
N
N
G
G
S
S
I
I
V
V
E
E
K
K
T
T
O
O
R
R
2.1 Fungsi Vektor
Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.
Dalam R2, fungsi vektor A (t) biasa ditulis dengan,
A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j
Dalam R3, fungsi vektor A(t) ditulis dengan,
A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3 (t) k
Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3
dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut:
A(x,y,z) = A1(x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3 (x,y,z) k
Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu partikel dalam ruang.
Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3) dikaitkan dengan suatu vektor,
maka ruang tersebut disebut medan vektor. Contoh medan vektor, misalnya aliran fluida (gas, panas, air dan sebagainya) dalam suatu ruangan.
Sembarang fungsi yang tidak dikaitkan dengan vektor disebut fungsi skalar, dan suatu ruang yang setiap titiknya tidak dikaitkan dengan suatu vektor disebut medan skalar.
Contoh medan skalar, misalnya temperatur sembarang titik dalam suatu ruang atau batang besi, pada suatu saat.
POKOK BAHASAN : ! Fungsi Vektor ! Kurva Vektor
Program Semi Que 29
2.2 Kurva Vektor
Sebuah kurva berarah C dalam sistem koordinat kartesius, bisa disajikan dalam bentuk fungsi vektor:
r(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t)i + y(t)j + z(t)k
Pengambilan nilai t = to akan menunjuk suatu titik pada kurva yang
posisinya ditentukan oleh vektor r(to), dengan koordinat x(to), y(to) dan
z(to).
Bentuk penyajian kurva vektor seperti di atas disebut dengan penyajian parametric dari kurva C, dengan t sebagai parameternya. Dalam mekanika, parameter t ini biasanya menyatakan waktu dalam satuan detik.
CONTOH: – Penyajian kurva berarah sebagai fungsi vektor a. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Garis Lurus
Dengan persamaan parameter garis lurus
Sembarang garis lurus l yang melalui titik A(a1, a2, a3) dalam ruang bisa
disajikan dalam bentuk fungsi vektor:
" r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ; untuk t = 0 → t = t
dan 3 3 2 2 1 1
tb
a
)
t
(
y
tb
a
)
t
(
y
tb
a
)
t
(
x
+
=
+
=
+
=
dengana = a1 i + a2 j + a3k → vektor posisi titik A(a1, a2, a3)
yang terletak pada garis l. b = b1 i + b2 j + b3k → vektor arah garis l
Jadi, persamaan di atas menyatakan persamaan suatu garis yang melalui titik A dengan vektor posisi r = a dan arahnya sesuai dengan arah vektor b. Jika vektor b adalah vektor satuan, maka komponen-komponennya akan merupakan cosinus arah dari arah l. Dalam hal ini, | t | merupakan jarak setiap titik pada garis l terhadap titik A.
Program Semi Que 30 Contoh:
1. Kurva vektor yang berupa suatu garis lurus dalam bidang, yang melalui titik A(3,2) dengan gradien 1,
⇒ a = 3i + 2j b = i + j (garidien 1) sehingga: x(t) = 3 + t y(t) = 2 + t dan r(t) = x(t) I + y (t)j = (3+t)i + (2 + t)j
Atau bisa juga ditentukan sebagai berikut:
Persamaan garis yang melalui titik (3,2) dengan gradien 1 adalah :
y – 2 = 1(x – 3) → y = x – 1 Jika, x(t) = t
untuk t = 2 → t = t y(t) = t – 1
Maka r(t) = x(t)I + y(t)j = ti + (t – 1)j
2. Kurva yang berupa garis lurus melalui titik A(1,0,2) menuju titik B(3,-4,1)
⇒
Titik awal (1,0,3) ––→ a = i + 0j + 2j
Vektor arah garis b = (3 – 1)I + (– 4 – 0)j + (1 – 2)k = 2i – 4j – k x(t) = 1 + 2t y(t) = 0 – 4t z(t) = z – t r(t) = (1 + 2t) i – 4tj + (2 – t)k t = 0 → t = 1 b. Parabola (1). Parabola y = x2 ; -2 ≤ x ≤ 2
Program Semi Que 31 -2 2 y x 2
x
y
=
x(t) = t (x = t) y(t) = t2 (karena y = x2) Sehingga : r(t) = ti + t2j , dengan t = -2 → t = 2 (2). Parabola : y = x2 , z = 2 ; 0 ≤ x ≤ 2 ; di R3 x(t) = t ; t = 0 → t = 2 y(t) = t2 z(t) = 2 r(t) = ti + t2j + 2k c. Ellips/LingkaranPersamaan umum Ellips dalam koordinat kartesius:
c
z
,
1
b
y
a
x
2 2 2 2=
=
+
di R3 2 zProgram Semi Que 32 z y x 1 1
dibawa ke bentuk parameter, dengan : x (t) = a cos t
y (t) = b sin t z (t) = c
sehingga bentuk fungsi vektornya menjadi: r(t) = a cos t i + b sin j + c k
Jika a = b = r, persamaan ellips diatas menjadi persamaan lingkaran:
1
r
y
r
x
2 2 2 2=
+
atau x2 + y2 = r2 ; z=c di R3dan persamaan fungsi vektornya : r(t) = r cos t i + r sin t j + c k
d. Helix Putar
Helix putar adalah suatu kurva yang berbentuk seperti spiral yang terletak pada silinder. Persamaan helix putar yang terletak pada silinder x2 + y2 = a2, dalam bentuk fungsi vektor adalah:
r(t) = cos i + a sin t j + ct k (c ≠0) Jika c > 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kanan Jika c < 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kiri Misalnya:
Persamaan helix r(t) = cos t i + sin t j + t k adalah persamaan dari helix putar kanan yang terletak pada silinder x2 + y2 = 1 dan berjarak
Program Semi Que 33 dengan sumbu z) maka jarak dua titik pada helix akan merupakan kelipatan 2Ï€.
Z
Y
X
a. Helix putar kanan b. Helix putar kiri
Z
Y
Program Semi Que 34 Bab III
D
DI
I
FE
F
ER
RE
EN
NS
SI
I
AL
A
L
VE
V
EK
KT
TO
OR
R
3.1 Derivatif Atau Turunan Aljabar Dari Fungsi Vektor
Fungsi vektor A(t) dikatakan diferensiabel di titik t jika nilai limit berikut:
(t)
A'
dt
d
Δt
A(t)
Δt)
A(t
0
Δt
lim→
+
−
=
=
adaDalam hal ini, vektor A’(t) disebut derivatif (turunan) dari vektor A(t) Jadi, jika A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3(t)k,
Maka
k
j
i
k
j
i
(t)
A'
(t)
A'
(t)
A'
dt
dA
dt
dA
dt
dA
(t)
A'
3 2 1 3 2 1+
+
=
+
+
=
Rumus-rumus untuk derivatif Fungsi Vektor:
skalar
atau
konstanta
(c
cA'
(cA)'
=
=
)B'
A'
B)'
(A
+
=
+
B'
A
B
A'
B)'
(A
!
=
!
+
!
B'
A
B
A'
B)'
(A
×
=
×
+
×
)
C'
B
(A
C)
B'
A
(
C)
B
(A'
C)'
B
(A
=
+
+
Derivatif Parsial Fungsi Vektor
Untuk fungsi vektor yang komponen-komponennya terdiri dari dua variabel atau lebih, misalnya:
A(x,y,z) = A1(x,y,z)i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)k
maka, bisa ditentukan derivatif parsial dari A(x,y,z) terhadap x, y atau z sebagai berikut:
k
j
i
x
A
x
A
x
A
x
A
1 2 3∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
k
j
i
y
A
y
A
y
A
y
A
1 2 3∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
POKOK BAHASAN :! Derivatif atau turunan dari fungsi vektor ! Interpretasi dari derifatif vektor
! Gradien, divergendi dan curl
Program Semi Que 35
k
j
i
z
A
z
A
z
A
z
A
1 2 3∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
CONTOH:Diberikan fungsi vektor:
φ (x,y) = a cos x i + a sin x j + y k
⇒
x
∂
∂φ
= a sin x i + a cos x jy
∂
∂φ
= k• Jika φ = fungsi skalar
A, B = fungsi vektor ; maka:
a.
A
dt
d
dt
dA
)
A
(
dt
d
φ
=
φ
+
φ
(A dan φ merupakan fungsi t) b.B
x
A
x
B
A
)
B
A
(
t
!
!
∂
!
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
(A dan B merupakan fungsi x,y dan z) c.
B
x
A
x
B
A
)
B
A
(
x
∂
×
∂
+
∂
∂
×
=
×
∂
∂
(A dan B merupakan fungsi x,y, dan z) 3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor
a. Interpretasi geometris
Jika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, maka:
1. Derivatif dari kurva C di P, atau
k
j
i
dt
z(t)
d
dt
y(t)
d
dt
x(t)
d
dt
r(t)
d
(t)
r'
=
=
=
+
merupakan vektor singgung (tangent vector) dari kurva C di P. 2. u =
r'
r'
………..Program Semi Que 36
)
(
'
t
0r
)
(
:
r
t
C
P
0t
t
====
3.=
∫
b ar'!
r'
dt
i
→ panjang kurva C, ≤ t ≤ b (length of acurve) 4.
=
∫
ta
r'
r'
dt
s(t)
!
→ panjang busur a ≤ t (arc length of a curve)CONTOH:
Diberikan fungsi vektor dari kurva yang berbentuk lingkaran sebagai berikut: r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j 0 ≤ t 2 , maka:
a) vektor singgung dari kurva di t =
2
Ï€
adalah2
Ï€
t
t
cos
2
sin t
-2
(t)
r'
=
i
+
j
=
= -2i b)i
i
i
i
−
=
=
−
=
2
2
-2
2
-u
c) Panjang busur lingkaran (keliling lingkaran):
∫
∫
=
2Ï€+
o 2 2Ï€ odt
4cost
t
sin
dt
r'
r'!
=∫
=
∫
2Ï€ o 2Ï€ odt
4
dt
4
Program Semi Que 37 =
2t
2Ï€4Ï€
o
=
b. Interpretasi dalam mekanika
Jika C adalah lintasan suatu benda yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor maka: "
dt
t
dr
r
v
=
'
=
(
)
→ merupakan vektor kecepatan di suatutitik t. "
dt
ds
r'
r'
v
=
!
=
→ laju (speed) atau besarnya kecepatan di sautu titik t." a(t) = v'(t) = r''(t) → vektor percepatan CONTOH :
1. Gerak Rotasi
Jika C : r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j
⇒ persamaan gerak sebuah partikel P yang bergerak melingkar berlawanan dengan arah jarum jam.
• Vektor kecepatan di sembarang titik pada lintasan tersebut. v(t) = r'(t) = Rω sin ωt i + Rω cos ωt j
• Kecepatan sudut (kecepatan angular)
ω
R
Rω
ωt
cos
ω
R
ωt
sin
ω
R
R
v
2 2 2 2 2 2=
=
+
+
=
• Vektor percepatan = a = v' = –R ω2t i – R ω2 sin ωt j = - 2 r(t) Jadi,| a | = | -ω r(t)| = ω2 R → percepatan centripetal (dengan arah
menuju pusat lingkaran)
2. Tentukan persamaan lintasan partikel yang bergerak dengan vektor percepatan a = 2 i – 2 k, jika posisi awalnya dititik (-1,1,2) dan vektor kecepatan awalnya v(0) = j