Bab 3 Analisis Ralat. x2 x2 x. y=x 1 + x 2 (3.1) 3.1. Menaksir Ralat

Bab 3

Analisis Ralat

3.1. Menaksir Ralat

Misalnya suatu besaran y dihitung dari besaran terukur x1, x2, ..., xn. Jika dalam pengukuran x1, x2, ..., xn menghasilan ralat sebesar x1, x2, ..., x3, maka nilai y yang diperoleh akan membawa ketidakpastian/ralat sebesar y. Bagaimana menaksir nilai y tersebut? Menaksir ralat biasanya dilakukan

pada hasil perhitungan eksperimen pendahuluan, guna memperkirakan ralat dari masing-masing variabel atau besaram fisis yang terlibat dalam eksperimen. Hal ini diperlukan dalam upaya menyusun strategi eksperimen, seperti dalam memilih besaran mana yang perlu mendapat perhatian lebih serius atau perlu diukur lebih teliti. Berikut itu akan diberikan contoh perumusan taksiran ralat untuk hubungan penjumlahan, perkalian, dan pembagian.

Hubungan penjumlahan. Misalkan besaran x1, x2,dan y terhubung oleh persamaan:

y=x

1

+ x

2 (3.1)

kemudian dari hasil pengukuran diperoleh:

x

₁



x

₁

 

x

₁ (3.2)

x

₂



x

₂

 

x

₂ (3.3)

Nilai terbaik dari besaran y diambil dari nilai rata-rata x1, x2 dengan persamaan:

y



x

₁



x

₂ (3.4)

Untuk menaksir ralat besaran y, kita perlu menaksir nilai maksimum

y

_mak dan nilai minimum

y

_min yang mungkin, yaitu:

y

_min



(

x

₁





x

₁

) (



x

₂





x

₂

)

 

y

(



x

₁





x

₂

)

(3.5)

y

_mak



(

x

₁





x

₁

) (



x

₂





x

₂

)

 

y

(



x

₁





x

₂

)

(3.6) Ralat pada besaran y yaitu



y

yang diperoleh sebagai akibat dari perambatan ralat besaran x1, x2 melalui hubungan penjumlahan adalah:



y



y

mak



y

min



[

y



(



x





x

)] [

 

y

(



x





x

)]

2

2

1 2 1 2

(3.7)

Dengan melakukan penyederhanaan terhadap persamaan (3.7), maka diperoleh perumusan untuk nilai taksiran ralat



y

sebagai berikut:



y





x

₁





x

₂ (3.8)

y



x

₁



x

₂ (3.9) dengan hasil pengukuran besaran x seperti persamaan (3.2) dan (3.3), maka nilai ukur terbaik untuk besaran y adalah:

y

 

x

₁

x

₂ (3.10)

Nilai taksiran minimum dan maksimum untuk besaran y adalah:

y

_min



(

x

₁





x

₁

)(

x

₂





x

₂

)



x x

_{1 2}



x

₁



x

₂





x x

_{1 2}



 

x

₁

x

₂ (3.11)

y

_mak



(

x

₁





x

₁

)(

x

₂





x

₂

)



x x

_{1 2}



x

₁



x

₂





x x

_{1 2}



 

x

₁

x

₂ (3.12) Ralat pada besaran y yaitu



y

, untuk hubungan perkalian adalah sebagai berikut:



y



y

mak



y

min



x x







x x

2

2

2

2

1 2 1 2 (3.13)



y





y

x

x

x

x



1



1 2 2 (3.14)

Hubungan Pembagian. Untuk besaran terukur yang terhubung secara pembagian, yaitu :

y

x

x



1

2

(3.15) dengan taksiran nilai ukur terbaiknya:

y

x

x



1 2

(3.16) maka nilai taksiran maksimum

y

_mak dan minimum

y

_min yang mungkin, untuk besaran y adalah:

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

min





































1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

1

1























 













y

x

x

x

x

1

1

1

1 2 2





(3.17)

y

y

x

x

x

x

x

x

x

x

_diabaikan min

































1

2 2 1 1 1 1 2 2





 































y

x

x

x

x

1

2 2 1 1





(3.18)

y

y

y

x

x

x

x

min

 

















₂



2 1 1 (3.19)

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

mak





































1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

1

1























 













y

x

x

x

x

1

1

1

1 2 2





(3.20)

y

y

x

x

x

x

x

x

x

x

mak diabaikan

































1

2 2 1 1 1 1 2 2





 































y

x

x

x

x

1

2 2 1 1





(3.21)

y

y

y

x

x

x

x

mak

 

















₂



2 1 1 (3.22)



y

y

y

y



x



x

x

x

mak





















min

2

1 1 2 2 (3.23)



y





y

x

x

x

x



1



1 2 2 (3.24)

3.2. Analisis Perambatan Ralat

Misalkan suatu rumus teoritik besaran V dihitung dari dua besaran terukur x dan y, V=f(x,y). Sebagai akibat ketidakpastian pengukuran x dan y sebesar x dan y, maka V mempunyai ketidakpastian

sebesar V. Jika ketidakpastian x tidak mempunyai hubungan dengan ketidakpastian y, maka kedua

ketidakpastian itu dikatakan independen. Sebaliknya, jika kedua ketidakpastian itu berhubungan dikatakan non-independen. Bagaimana hubungan antara V, x, dan y ditentukan berdasarkan kedua

keadaan hubungan antar ketidakpastian tersebut merupakan bagian dari analisis ketidakpastian.

Perambatan Ralat Aktual Diketahui. Misalkan V hanya tergantung pada satu variabel, yaitu

V=V(x), dan diketahui nilai kesalahan aktual dari x. Dengan bantuan gambar 1, ralat V ditentukan

sebagai berikut V

x

V V 

x



x

x

_o

V

_o

Berdasarkan gambar di atas dapat ditunjukkan bahwa:

V

_max



V x

(

₀

)





V



V x

(

₀





x

)

(3.25)

atau,



V



V x

(

₀





x

)



V x

(

₀

)

(3.26)

Untuk x << xo maka dapat diperoleh persamaan perambatan ralat untuk satu variabel sebagai berikut ini (yang merupakan suku pertama dalam deret Taylor):



V



x

V

dx





(3.27)

Sedangkan persamaan perambatan ralat untuk dua variabel adalah:



V



x

V



x

y

V

y













(3.28)

Persamaan (3.27) dapat diturunkan dari deret Taylor untuk satu variabel, sedangkan persamaan (3.28) diturunkan dari deret Taylor untuk dua variabel. Deret Taylor dua variabel ditunjukkan pada persamaan (3.29) di bawah ini.

f x

x y

y

f x y

x

x

y

y

i i i i

(



,



)



( , )









_

































1

2

2

2 2 2 2 2

!

( , )

( , )

( , )



x

f x y

 



x

x y

f x y

x y

y

f x y

y

i i i i i i







 

























...

!

( ,

) ...

1

2

n



x

x



y

y

f x y

i i









(3.29)

Perambatan Ralat Aktual Tak Diketahui. Untuk suatu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:

x



f u v

( , ,...)

(3.30)

maka nilai x dengan kebolehjadian terbesar dinyatakan dengan persamaan:

x



f u v

( , ,...)

(3.40)

Nilai x dari pengukuran individual dinyatakan dengan persamaan:

x

_i



f u v

( , ,...)

_{i i} (3.41)

dan nilai simpangan hasil ukur besaran x dinyatakan oleh persamaan:

x

x

u

u

x

u

v

v

x

v

i

 

i

 

i







_

 

 

_





_



(

)



(

)

...







(3.42)

Variansi nilai ukur besaran x dihitung dengan menggunakan persmaan (3.43), yaitu:



x

N

_N

x

i

x

2



1



2





lim

(

)

(3.43)

Kemudian, dengan mensubstitusikan persamaan (3.42) ke persamaan (3.43), maka nilai variansi nilai ukur besaran x adalah sebagai berikut:











x N

_N

u

i

u

i

x

u

v

v

x

v

2 2

1



 







_

 

 

_





_











_







lim

(

)

(

)

...

(3.44)



x



_



_

N

N

u

i

u

i

x

u

v

v

x

v

2 2 2 2 2

1







_







 





_



















lim

(

)

(

)



































2(

u

u

)(

v

v

)

x

..

u

x

v

i i









(3.45)

Persamaan (3.45) dapat disederhanakan dengan menggunakan definisi nilai variasi dari besaran u (persamaan 3.46) dan v (persamaan 3.47), serta nilai kovariansi antara u dengan v (persamaan 3.48) berikut ini:



_u N

_N

u

i

u

2



1



2 



lim

(

)

(3.46)



_v N

_N

v

i

v

2



1



2 



lim

(

)

(3.47)



_uv N

_N

u

i

u v

i

v

2

_

1

_

_





lim

[(

)(

)]

_(3.48)

Akhirnya didapatkan persamaan perambatan ralat yang ditunjukkan pada persamaan (3.49):

























x u v uv

x

u

x

v

x

u

x

v

2 2 2 2 2 2

2











_

 



_





_

 



_





_





_





_



...

(3.49) Persamaan (3.49) berlaku apabila ralat antara besaran terukur u dan v saling tergantung (berhubungan). Apabila antara besaran terukur saling tidak tergantung (tidak berhubungan) maka tidak ada sumbungnn dari nilai kovariansi, sehingga persamaan ramabatan ralatnya sebagaimana dirunjukkan pada persamaan (3.50) di bawah ini:















x u v

x

u

x

v

2 2 2 2 2





_







 



_







 

...

(3.50)

3.3. Nilai Rata-rata dan Ralat Berbobot

Misalkan kita mempunyai n buah nilai ukur (xi; i=1,2, ...n)yang berasal dari distribusi-distribusi induk Gaussian dengan rata-rata  sama dan simpanga baku i, maka kebolehjadian mendapatkan nilia ukur xi adalah:

P x

_i

e

i x_i i

( )



       

1

2

1 2 2





  (3.51)

Oleh karena nilai  tidak diketahui, maka nilai rata-rata populasi induk didekati oleh nilai rata-rata eksperimental ’. Kebolehjadian medapatkan nilai xi adalah:

P x

_i

e

i xi i

( )

'



       

1

2

1 2 2





  (3.52)

P x

P x

_i i n

( )



( )





1 (3.53)

P x

e

i n xi i i

( )

'



















      

1

2

1 2 2





  (3.54)

Nilai rata-rata dari suatu pengukuran adalah nilai yang mempunyai kebolehjadian terbesar. Pada fungsi distribusi Gaussian, kebolehjadi terbesar terjadi jika faktor dalam eksponensial minimum, yang secara matematis dipenuhi apabilai:

d

dx

x

_i i i





























 

1

2

0

2





'

(3.55)

x

_i i i























'

0

(3.56)

x

_i i i i i





































'



0

(3.57)

Akhirnya diperoleh persamaan untuk nilai rata-rata berbobot sebagai berikut:







'







x

_i i i i i 2 2

1

(3.58)

Ketidakpastiannya dihitung melalui persamaan perambatan ralat, yaitu:



_'2



2



_

'

2





























i i

x

(3.59)

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.60) di bawah ini:

















'

x

x

x

i i i i i i i











2 2 2 2

1

1

1

(3.60)

ke persmaan (3.59) maka diperoleh perumusan untuk nilai ralat sebagai berikut (yang hasil akhirnya ditunjukkan pada persamaan (3.63):













' 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

1

1

1

















































i i i i i (3.61)







' 2 2 2 2

1

1

1



















i i (3.62)





' 2 2

1

1





i (3.63) Soal:

1. Tentukan hubungan antara ralat



x dengan ralat



u dan atau



v dari masing-masing persamaan

di bawah ini: a.

x



au



bv

d.

x



au

b b.

x

 

auv

e.

x



ae

bu c.

x

au

v

 

f.

x



a

ln(



bu

)

2. Dengan menggunakan rumus taksiran perambatan ralat, tentukan hubungan antara ralat x dengan ketidakpastian



u

dan



v

dari masing-masing persamaan di bawah ini:

a.

x



1

u v



2

(

)

d.

x



uv

2 b.

x



1

u v



2

(

)

e.

x



u



v

2 2 c.

x

u



1

₂