METODE ELEMEN BATAS (MEB)
UNTUK SOLUSI NUMERIK
MASALAH STATIK DARI MATERIAL
ELASTIS ISOTROPIK
TAK-HOMOGEN
Mohammad Ivan Azis∗)
ABSTRACT
A boundary element method is derived for the solution of static boundary value problems for inhomogeneous isotropic elastic mate-rials. Some particular problems are considered to illustrate the appli-cation of the method.
Keywords: Boundary Element Method, Static, Boundary Value Prob-lem, Inhomogeneous, Isotropic, Elastic
∗) Dosen tetap pada Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas
Hasanuddin Makassar
PENDAHULUAN
Pendekatan persamaan integral untuk masalah nilai batas elastostatik
sudah lama telah diperkenalkan oleh Rizzo (1967). Sejak saat itu
sudah banyak penulis yang ikut menggunakan metode elemen batas untuk menentukan solusi numerik dari berbagai masalah statik untuk material elastis, isotropik dan homogen (lihat misalnya Brebbia dan Dominguez (1989)).
Dalam pertentangan, applikasi dari metode elemen batas ke masalah untuk material elastis isotropik tak-homogen sangat terbatas jumlah-nya dan hal ini disebabkan oleh karena kesulitan dalam memperoleh
fungsi Green sebagai kernel dari persamaan integral batas yang bers-esuaian. Baru-baru ini Manolis and Shaw (1996) menurunkan suatu fungsi Green dari persamaan gelombang vektor untuk media isotropik heterogen lemah (mildly heterogeneous). Fungsi Green ini diturunkan untuk material dengan parameter yang bervariasi secara tertentu dan
secara khusus terbatas untuk kasus dimana parameter Lam´e λ dan µ
sama. Hal ini berarti nilai ratio Poisson’s adalah 0, 25 yang membatasi applikasi. Tetapi seperti yang Manolis dan Shaw (1996) katakan nilai ratio Poisson’s ini adalah biasa untuk material batuan (lihat Turcotte dan Schubert (1982)).
Tulisan ini mengembangkan kerja Manolis dan Shaw (1996) un-tuk membangun suatu prosedur perturbasi unun-tuk menenun-tukan solusi masalah statik dua dimensi untuk media isotropik tak-homogen den-gan parameter Lam´e
λ(x) = λ(0)g(x) + λ(1)(x), µ(x) = µ(0)g(x) + µ(1)(x),
dimana x = (x1, x2, x3) adalah suatu vektor di R3, g(x) suatu fungsi
yang memenuhi batasan tertentu, λ(0) = µ(0) adalah konstanta dan suatu parameter kecil. Dalam batasan ini, bentuk parameter Lam´e di atas menawarkan pilihan keberagaman parameter λ(x) dan µ(x) yang cukup luas.
PERSAMAAN DASAR
Dengan merujuk pada kerangka Cartesian Ox1x2x3 persamaan
kese-timbangan (the equilibrium equations) dalam suatu material elastis tanpa gaya badan (body force) dapat ditulis dalam bentuk
σij,j = 0, (1)
dimana σij untuk i, j = 1, 2, 3 melambangkan tensor stress, tanda
spasial xj dan konvensi penjumlahan indeks berulang (jumlahan dari 1
sampai 3) diterapkan. Hubungan displacement-stress dapat dituliskan sebagai
σij = λ(x) δij uk,k + µ(x) (ui,j+ uj,i) , (2)
dimana uk untuk k = 1, 2, 3 menyatakan displacement dan δij adalah
operator delta Kronecker. Juga dalam Pers. (2) λ(x) dan µ(x) dengan x = (x1, x2, x3) adalah parameter Lam´e yang diasumsikan fungsi yang
punya turunan kedua (twice differentiable). Substitusi Pers. (2) ke Pers. (1) menghasilkan
[λ(x) δij uk,k + µ(x) (ui,j+ uj,i)],j = 0. (3)
MASALAH NILAI BATAS
Suatu material isotropik tak-homogen berada pada daerah Ω dalam
ruang tiga dimensi R3 dengan batas ∂Ω yang terdiri atas
sejum-lah berhingga permukaan tertutup dan mulus (smooth) bagian demi
bagian. Pada ∂Ω1 displacement ui ditentukan dan pada ∂Ω2
vek-tor stress Pi = σijnj diketahui dimana ∂Ω = ∂Ω1 ∪ ∂Ω2 dan
n = (n1, n2, n3) melambangkan vektor normal satuan mengarah keluar
pada permukaan ∂Ω. Dikehendaki untuk menentukan displacement dan stress dalam material. Dengan demikian solusi untuk Pers. (3) yang berlaku dalam domain Ω dan memenuhi syarat batas pada ∂Ω akan dicari.
PENURUNAN PERSAMAAN DENGAN
KOFI-SIEN KONSTAN
Dalam pasal ini prosedur yang dikembangkan dalam Manolis dan Shaw (1996) dipakai untuk menurunkan suatu metode persamaan integral
batas untuk kelas kofisien λ(x) and µ(x) tertentu. Penurunan ini
tak-bebas ui(x) untuk mentransformasikan Pers. (3) ke suatu
per-samaan dengan kofisien konstan. Kofisien λ(x) dan µ(x) disyaratkan mengikuti bentuk
λ(x) = λ(0)g(x) , µ(x) = µ(0)g(x), (4)
dimana λ(0) dan µ(0) konstan. Misalkan
ψi(x) = g1/2(x) ui(x) (5)
Substitusi Pers. (4) dan Pers. (5) ke dalam Pers. (3) menghasilkan g1/2hλ(0) δij ψk,k+ µ(0)(ψi,j + ψj,i) i ,j −hλ(0) ψk g 1/2 ,ki + µ (0) ψ i g 1/2 ,jj + µ(0) ψj g 1/2 ,ij i −λ(0)− µ(0)1 2g −1/2[g ,k ψk,i− g,iψk,k] = 0. (6)
Jika g(x) diasumsikan memiliki bentuk
g(x) = (αx1+ βx2 + γx3+ δ) 2
, (7)
dimana α, β, γ dan δ adalah konstanta dan
λ(0) = µ(0), (8)
sehingga λ(x) = µ(0)(αx
1 + βx2+ γx3+ δ)2 = µ(x) maka Pers. (6)
dapat ditulis sebagai
h λ(0) δij ψk,k+ µ(0)(ψi,j + ψj,i) i ,j = 0 (dengan λ (0) = µ(0)). (9) Dengan kata lain, jika ψi adalah solusi displacement dari persamaan
Lam´e λ(0) dan µ(0) maka solusi bersesuaian dari persamaan
kesetim-bangan untuk material elastis isotropik tak-homogen dengan parame-ter Lam´e λ(x) dan µ(x) yang diberikan dalam bentuk multiparameter Pers. (4) dapat ditulis, dari Pers. (5), dalam bentuk
ui(x) = g−1/2(x) ψi(x)
= (αx1 + βx2+ γx3+ δ) −1
ψi(x).
Tensor stress diperoleh dari Pers. (2) diberikan oleh σij = −ψk σ [g] ijk+ g1/2σ [ψ] ij dimana σ[g]ijk = λ(0) δij (g1/2),k+ µ(0) h δki (g1/2),j+ δkj (g1/2),i i , σij[ψ] = λ(0) δij ψk,k + µ(0)(ψi,j+ ψj,i)
dan vektor stress
Pi = −ψk P [g] ik + g 1/2 P[ψ] i , (10) dimana Pik[g]= σijk[g] nj, P [ψ] i = σ [ψ] ij nj. (11)
Persamaan integral batas untuk solusi Pers. (9) dengan ψi diberikan
pada ∂Ω1 dan P
[ψ]
i diberikan pada ∂Ω2 diberikan dalam Brebbia dan
Dominguez (1989) dalam bentuk η ψj(x0) = Z ∂Ω h Φij P [ψ] i − Γij ψi i ds. (12)
dimana x0 adalah titik sumber, η = 0 jika x0 ∈ Ω ∪ ∂Ω, η = 1 jika/
secara kontinyu pada x0. Juga untuk kasus tiga dimensi Φij = 1 16πµ(0)(1 − ν)d[(3 − 4ν)δij + d,id,j] , (13) Γij = − 1 8π(1 − ν)d2 " ∂d ∂n{(1 − 2ν)δij + 3d,id,j} + (1 − 2ν) (nid,j− njd,i) # (14) dan untuk kasus dua dimensi
Φij = 1 8πµ(0)(1 − ν) (3 − 4ν) log 1 dδij + d,id,j , (15) Γij = − 1 4π(1 − ν)d " ∂d ∂n{(1 − 2ν)δij + 2d,id,j} + (1 − 2ν) (nid,j− njd,i) # , (16) dimana d = kx − x0k, ν = λ(0)/(2(µ(0)+ λ(0))) dan ∂d/∂n = d,knk.
Substitusi Pers. (5) dan Pers. (10) dalam Pers. (12) menghasilkan ηg1/2(x0)uj(x0) = Z ∂Ω h g−1/2Φij Pi− g1/2Γkj − P [g] ki Φij uk i ds. (17) Persamaan integral batas ini dapat dipakai untuk penentuan solusi ui
dan σij pada semua titik dalam domain Ω.
METODE PERTURBASI
Prosedur elemen batas yang disebutkan dalam pasal sebelumnya
menawarkan metode numerik efektif untuk penentuan solusi ui(x)
pada saat g(x) memiliki bentuk Pers. (7) dan parameter λ(0) dan
µ(0) memenuhi Pers. (8). Pada pasal ini suatu prosedur baru
(perturbed) di sekitar λ(0)g(x) dan µ(0)g(x) sementara Pers. (7) dan
Pers. (8) tetap dipertahankan.
Kofisien λ(x) dan µ(x) disyaratkan mengambil bentuk
λ(x) = λ(0)g(x) + λ(1)(x), (18)
µ(x) = µ(0)g(x) + µ(1)(x), (19)
dengan
λ(0) = µ(0) and g1/2,ij = 0
dimana λ(1) dan µ(1) fungsi yang memiliki turunan kedua. Sehingga dari Pers. (3) h gnλ(0)δijuk,k+ µ(0)(ui,j+ uj,i) oi ,j = −hλ(1)δijuk,k+ µ(1)(ui,j+ uj,i) i ,j. (20)
Penggunaan transformasi (5) dan mengikuti analisis yang digunakan untuk menurunkan Pers. (6) dari Pers. (3) menghasilkan
h λ(0)δijψk,k + µ(0)(ψi,j+ ψj,i) i ,j = −g−1/2hλ(1)δijuk,k+ µ(1)(ui,j + uj,i) i ,j. (21)
Solusi dari Pers. (21) dicari dalam bentuk ψi(x) =
∞
X
r=0
rψi(r)(x). (22)
Dari Pers. (5) dan Pers. (22) displacement uk dapat dituliskan dalam
bentuk deret uk(x) = ∞ X r=0 ru(r)k (x), (23)
dimana u(r)k berkorespondensi dengan ψ(r)k menurut relasi
ψk(r)(x) = g1/2u(r)k (x), untuk r = 0, 1, . . . . (24) Substitusi Pers. (22) ke dalam Pers. (21) dan menyamakan kofisien dari suku-suku dalam berpangkat menghasilkan
h λ(0)δijψk,k(r)+ µ (0) ψi,j(r)+ ψj,i(r)i ,j = h (r) untuk r = 0, 1, . . . , (25) dimana h(0)(x) = 0, (26) h(r)(x) = −g−1/2hλ(1)δiju(r−1)k,k + µ (1) (u(r−1)i,j + u(r−1)j,i )i ,j (27) untuk r = 1, 2, . . ..
Persamaan integral untuk Pers. (25) adalah η(x0) ψ (r) j (x0) = Z ∂Ω Γij(x, x0) ψ (r) i (x) − Φij(x, x0) P [ψ(r)] i (x) ds(x) + Z Ω h(r)i (x) Φij(x, x0) dS(x) (28) untuk r = 0, 1, . . ., dimana Pi[ψ(r)]=hλ(0)δijψ (r) k,k+ µ (0) ψ(r)i,j + ψj,i(r)inj. Juga Pi[ψ(r)]= g1/2Pi(r)+ u(r)k Pik[g] untuk r = 0, 1, . . . , (29) dimana Pi(r)(x) =hλ(0)δiju(r)k,k+ µ (0) u(r)i,j + u(r)j,iinj, (30)
dan Pik[g] diberikan dalam Pers. (11). Sehingga persamaan integral (28) dapat ditulis dalam bentuk
η(x0) g1/2(x0) u(r)j (x0) = Z ∂Ω n u(r)i (x)hg1/2(x) Γij(x, x0)− Pki[g](x) Φkj(x, x0) i − Pi(r)(x) hg1/2(x) Φij(x, x0) io ds(x) + Z Ω h(r)i (x) Φij(x, x0) dS(x). (31)
Nilai Pi dapat ditulis sebagai
Pi = gPi(0)+ ∞ X r=1 r(gPi(r)+ G(r)i ), (32) dimana G(r)i (x) =hλ(1)δiju (r−1) k,k + µ (1)(u(r−1) i,j + u (r−1) j,i ) i nj.
Untuk memenuhi syarat batas seperti yang disebutkan dalam pasal sebelumnya disyaratkan bahwa
u(0)i = ui pada ∂Ω1,
Pi(0) = g−1Pi pada ∂Ω2,
dimana ui mengambil nilai tetapannya pada ∂Ω1 dan Pi mengambil
nilai tetapannya pada ∂Ω2. Akibatnya, bahwa untuk r = 1, 2, . . . dari
Pers. (23) dan Pers. (32) diperoleh
u(r)i = 0 pada ∂Ω1,
Pi(r)= −g−1G(r)i pada ∂Ω2
Sekarang, persamaan integral (31) dapat digunakan untuk menen-tukan nilai numerik dari anu (unknowns) pada batas ∂Ω dan nilai
numerik dari u(r)i dan turunannya dalam domain Ω untuk r = 0, 1, . . ..
Pers. (23) dan Pers. (32) kemudian memberikan nilai ui dan Pi di
seluruh domain Ω.
HASIL NUMERIK
Dalam pasal ini beberapa masalah renggangan bidang (plane strain) akan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan persamaan integral yang diperoleh pada pasal sebelumnya. Dalam pemakaian metode ini untuk memperoleh hasil numerik prosedur elemen batas baku digunakan (lihat misalnya Clements (1981)). Untuk variasi pa-rameter elastisitas terpilih ruas kanan dari Pers. (27) dianggap sangat kecil sehingga hanya perlu untuk mempertahankan dua suku pertama dari ekspresi deret Pers. (23).
Untuk semua masalah yang diperhatikan domain Ω berupa suatu bu-jur sangkar bersisi l dan masing-masing sisi dari bubu-jur sangkar itu dibagi menjadi sejumlah M (kelipatan dari 5) segmen dengan pan-jang sama. Integral numerik Gaussian dipakai untuk penghitungan integral garis pada setiap segmen. Sedangkan untuk integral domain
dalam Pers. (31) domain dibagi atas sejumlah M2 sel bujur sangkar
yang sama dan fungsi yang diintegralkan (integrand) diasumsikan kon-stan dan mengambil nilainya pada titik pusat dari setiap sel. Tetapi, nilai dari solusi iterasi sebelumnya u(r−1)i beserta turunannya dalam Pers. (27) dihitung hanya pada sejumlah 5 × 5 titik pusat dari bujur sangkar bagian bersisi l/5 dan diasumsikan konstan di dalam setiap bujur sangkar bagian itu. Dengan kata lain nilai u(r−1)i beserta tu-runannya dalam suatu bujur sangkar bagian tertentu adalah sama
untuk sejumlah (M/5)2 sel yang termuat dalam bujur sangkar bagian
itu.
Problem 1 Perhatikan masalah nilai batas yang memenuhi solusi analitik u01 = x01/[4.4(1 + 0.1x01)], u20 = x02/[4.4(1 + 0.1x01)] dan σ011 =
1 + 0.12x01, σ012 = −0.1x02/4.4, σ220 = 1 + 0.32x01 untuk suatu material dengan kofisien elastisitas
λ0(x) = 1.2(1 + 0.1x01)2, (33)
µ0(x) = (1 + 0.1x01)2, (34)
dimana x0i = xi/l, u0i = ui/u, σ0ij = σij/P (untuk i, j = 1, 2), λ0 =
λ/λ, µ0 = µ/λ, l, λ dan u masing-masing adalah panjang, modulus
elastis dan displacement rujukan, serta P = λu/l. Kofisien elastisitas Pers. (33) dan Pers. (34) memiliki bentuk Pers. (18) dan Pers. (19) dengan g(x) = (1 + 0.1x01)2, λ(0) = µ(0) = λ, λ(1) = λ(1 + 0.1x01)2, µ(1) = 0 dan = 0.2.
Syarat batasnya (lihat Gambar 1) adalah
P10 dan u02 diketahui pada AB, P10 dan P20 diketahui pada BC, P10 dan u02 diketahui pada CD, u01 dan u02 diketahui pada AD, dimana Pi0 = Pi/P .
Tabel 1 – 2 memperlihatkan solusi eksak dan MEB untuk beberapa titik dalam domain dan untuk kasus dimana batas domain dibagi atas 80, 160 dan 320 segments. Hasil dalam tabel konvergen ke solusi eksak sejalan dengan bertambahnya jumlah segmen. Hal ini sesuai dengan apa yang diharapkan, karena semakin kecil ukuran segmen semakin akurat nilai integral numerik. Khusus untuk kasus 320 segmen so-lusi displacement memperlihatkan keakuratan sampai pada desimal keempat, dan solusi stress pada desimal ketiga.
Problem 2 Perhatikan masalah nilai batas untuk suatu material bu-jur sangkar tak homogen yang diberi beban dari atas dan terklem pada bagian bawah serta dibiarkan bebas pada sisi kiri dan kanan, seperti
-6 x01 x02 A B C D (0, 1) (1, 0) P10, u02 diketahui P10, P20 diketahui P10, u02 diketahui u01, u02 diketahui
Gambar 1: Geometri untuk Problem 1
Tabel 1: Solusi MEB dan eksak untuk σij0 dari Problem 1
Posisi 80 segmen 160 segmen
(x01, x02) σ110 σ120 σ022 σ110 σ012 σ220 (.1,.5) .9967 -.0124 1.0063 .9997 -.0127 1.0055 (.3,.5) 1.0027 -.0122 1.0223 1.0043 -.0122 1.0214 (.5,.5) 1.0093 -.0124 1.0377 1.0106 -.0124 1.0365 (.7,.5) 1.0165 -.0124 1.0528 1.0173 -.0123 1.0516 (.9,.5) 1.0241 -.0125 1.0698 1.0209 -.0109 1.0696
Posisi 320 segmen Eksak
(x01, x02) σ110 σ120 σ022 σ110 σ012 σ220 (.1,.5) .9997 -.0130 1.0060 1.0027 -.0114 1.0073 (.3,.5) 1.0052 -.0121 1.0208 1.0082 -.0114 1.0218 (.5,.5) 1.0112 -.0122 1.0359 1.0136 -.0114 1.0364 (.7,.5) 1.0174 -.0122 1.0511 1.0191 -.0114 1.0509 (.9,.5) 1.0213 -.0134 1.0673 1.0245 -.0114 1.0655
Tabel 2: Solusi MEB dan eksak untuk u0i dari Problem 1
Posisi 80 segmen 160 segmen 320 segmen Eksak
(x01, x02) u01 u02 u10 u02 u01 u02 u01 u02 (.1,.5) .0217 .1124 .0220 .1124 .0222 .1124 .0225 .1125 (.3,.5) .0650 .1102 .0655 .1102 .0657 .1102 .0662 .1103 (.5,.5) .1067 .1081 .1073 .1081 .1076 .1081 .1082 .1082 (.7,.5) .1469 .1062 .1476 .1062 .1479 .1062 .1487 .1062 (.9,.5) .1857 .1044 .1864 .1044 .1867 .1044 .1877 .1043
terlihat pada Gambar 2. Material ini memiliki kofisien elastisitas
λ0(x) = 1.5(1 + αx01+ βx02)2, (35)
µ0(x) = (1 + αx01+ βx02)2. (36)
Kofisien elastisitas pada Pers. (35) dan Pers. (36) memiliki bentuk Pers. (18) dan Pers. (19) dengan g(x) = (1+αx01+βx02)2, λ(0) = µ(0) = λ, λ(1) = λ(1 + αx0
1+ βx 0
2)2, µ(1) = 0 dan = 0.5. Bila λ = 2.49 × 103
ksi maka material yang diperhatikan adalah magnesium alloy.
Kordinat titik sudut material ini adalah A(-0.5,-0.5), B(0.5,-0.5), C(0.5,0.5) dan D(-0.5,0.5), dan syarat pada batas adalah
u01 = 0, u02 = 0, pada AB,
P10 = 0, P20 = 0, pada BC,
P10 = 0, P20 = −1, pada CD,
P10 = 0, P20 = 0, pada AD.
Empat kasus yang diperhatikan menyangkut kofisien keelastikan ma-terial λ dan µ yaitu kasus mama-terial homogen (α = β = 0) dan tiga kasus material tak-homogen (α = 0, β = 0.1; α = 0.1, β = 0; α = 0.1, β = 0.1).
? ? ? ? ? ? ? ? ? @ @@@@@@@@@@@@@@@@@ D(-.5,.5) A(-.5,-.5) B(.5,-.5) C(.5,.5) 6 x02 -x01
Gambar 2: Geometri untuk Problem 2
Gambar 3 dan 4 memperlihatkan hasil deformasi sisi material dan sisi daerah −0.25 ≤ x01 ≤ 0.25, −0.25 ≤ x0
2 ≤ 0.25 dalam material. Dari
kedua gambar ini dapat disimpulkan bahwa fungsi ketakhomogenan g sangat mempengaruhi hasil deformasi. Dalam hal ini peningkatan nilai fungsi ketakhomogenan g akan meningkatkan nilai kofisien kee-lastikan khususnya rigiditas µ. Sistem kordinat baru Xi0 dalam Gam-bar 3 dan 4 adalah sistem untuk material hasil deformasi. Dalam hal ini variabel kordinatnya didefinisikan sebagai Xi0 = x0i + u0i untuk i = 1, 2.
SUMMARY
Metode elemen batas untuk solusi suatu kelas masalah nilai batas untuk material isotropik tak-homogen telah berhasil ditemukan. Metode ini cukup mudah digunakan untuk memperoleh solusi
nu--0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 X20 X10 α = 0.0, β = 0.0 α = 0.0, β = 0.1 α = 0.1, β = 0.0 α = 0.1, β = 0.1
Gambar 3: Hasil deformasi sisi material
-0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 X20 X10 α = 0.0, β = 0.0 α = 0.0, β = 0.1 α = 0.1, β = 0.0 α = 0.1, β = 0.1
Gambar 4: Hasil deformasi sisi daerah −0.25 ≤ x01 ≤ 0.25, −0.25 ≤ x02 ≤ 0.25 dalam material
merik dari suatu masalah tertentu. Hasil numerik yang telah diperoleh mengindikasikan bahwa metode ini mampu memberikan solusi yang akurat.
DAFTAR RUJUKAN
Brebbia, C. A. dan Dominguez, J., (1989), Boundary Elements An Introductory Course, Computational Mechanics Publications, Boston. Clements, D. L., (1981), Boundary Value Problems Governed by Sec-ond Order Elliptic Systems, Pitman.
Manolis, R. P. dan Shaw, R. P., (1996), Green’s function for the vector wave equation in a mildly heterogeneous continuum, Wave Motion, Volume 24, Halaman 59–83.
Rizzo, F. J., (1967), An Integral Equation Approach to Boundary Value Problems of Classical Elastostatics. Quarterly of Applied Math-ematics, Volume 25, Halaman 83–95.
Turcotte, D. L. dan Schubert, P., (1982), Geodynamic Applications of Continuum Physics to Geological Problems, Wiley, New York.
