PENGEMBANGAN MODEL PERSEDIAAN CONTINUOUS REVIEW DENGAN ALL-UNIT DISCOUNT DAN FAKTOR KADALUWARSA

PENGEMBANGAN MODEL PERSEDIAAN

CONTINUOUS REVIEW DENGAN ALL-UNIT

DISCOUNT DAN FAKTOR KADALUWARSA

CHERISH

RIKARDO

1

_,

_DHARMA

_LESMONO

2

_,

_TAUFIK

LIMANSYAH

3

1_{Program Magister Teknik Industri Universitas Katolik Parahyangan Bandung,}

rikardo_cherish@yahoo.com

2_{Jurusan Matematika Universitas Katolik Parahyangan Bandung,}

jdharma@unpar.ac.id

3_{Jurusan Matematika Universitas Katolik Parahyangan Bandung,}

taufik.limansyah@unpar.ac.id

Extended abstract

Paper ini membahas suatu model matematika untuk suatu sistem persediaan dengan mempertimbangkan adanya all-unit discount dan faktor kadaluwarsa. Permintaan barang bersifat deterministik yang merupakan fungsi dari waktu dan bergantung pada jumlah persediaan yang ada (inventory dependent demand), laju kadaluwarsa barang juga bergantung pada waktu dan tidak ada lead time. Model yang dibahas merupakan pengembangan dari Nagare dan Dutta (2012) dengan menambah faktor all-unit discount dan laju kadaluwarsa yang bergantung pada waktu. Dari model yang dikembangkan akan ditentukan kuantitas pemesanan (economic order quantity) dan waktu antar pemesanan yang optimum yang meminimumkan total biaya persediaan tahunan. Algoritma penentuan solusi optimum dari model yang dikembangkan dan contoh numerik sebagai ilustrasi dari permasalahan persediaan ini diberikan. Analisis sensitivitas model dengan melihat pengaruh laju kadaluwarsa dan laju permintaan terhadap kuantitas dan waktu antar pemesanan yang optimal juga diberikan. Dari hasil analisis sensitivitas diperoleh bahwa semakin besar laju kadaluwarsa, maka waktu antar pemesanan menjadi semakin singkat dan kuantitas pemesanan menjadi semakin sedikit. Hal yang sama terjadi jika laju permintaan barang semakin besar.

1. Pendahuluan

Persediaan adalah barang-barang yang disimpan untuk digunakan atau dijual pada suatu periode tertentu. Persediaan diperlukan untuk keberlangsungan proses di dalam industri manufaktur maupun industri niaga. Ketersediaan persediaan dalam jumlah besar dapat mengurangi terjadinya kekurangan barang, tetapi diperlukan biaya penyimpanan yang cukup besar. Komponen biaya yang tersimpan di dalam persediaan perlu dipertim-bangkan oleh perusahaan, di dalam mengatur keseimbangan antara ketersediaan persediaan dan biaya yang tersimpan di dalam persediaan tersebut. Pengaturan ini menunjukkan pentingnya manajemen persediaan yang menyebabkan persediaan menjadi topik yang banyak dikembangkan dalam berbagai penelitian.

faktor, seperti diskon, kenaikan harga, laju inflasi dan masa kadaluwarsa. Laju kadaluwarsa menjadi salah satu faktor yang banyak diteliti, karena dengan adanya faktor kadaluwarsa, barang akan mempunyai masa pakai tertentu, dan setelah melewati masa kadaluwarsa barang, biasanya barang tersebut tidak memiliki nilai ekonomis lagi. Hal ini tentunya akan menjadi pertimbangan dari suatu perusahaan terhadap manajemen persediaannya.

Prasetyo et.al. (2006) telah mengembangkan suatu model persediaan bahan baku dengan mempertimbangkan faktor diskon dan faktor kadaluwarsa. Limansyah (2012) mengembangkan model yang telah dibuat oleh Prasetyo et.al (2006) dengan mempertimbangan faktor all-unit discount dan melakukan perbaikan atas algoritma yang digunakan. Selain itu, banyak penelitian tentang model persediaan yang dibuat dengan mempertimbangkan faktor kadalursa dengan menambah pertimbangan mengenai faktor lainnya, seperti strategi harga jual dimana kekurangan barang (shortages) diperbolehkan dan backorder yang bergantung terhadap waktu. Dye (2012) mengembangkan suatu model persediaan untuk barang yang mengalami kadaluwarsa dengan harga pembelian sebagai fungsi dari kebijakan kredit perusahaan. Kumar et.al (2012) membuat suatu model dengan mengasumsikan bahwa permintaan dapat dinyatakan dalam fungsi kuadratik dan biaya penyimpanan yang tidak menentu. Mishra (2012) membuat model persediaan dengan mengasumsikan bahwa laju kerusakan barang (deteriorating rate) mengikuti distribusi Weibul dan biaya penyimpanan merupakan fungsi linear terhadap waktu. Mishra, et.al (2013) membuat model persediaan untuk barang yang mengalami kadaluwarsa dengan mempertimbangkan permintaan dan biaya simpan yang bergantung terhadap waktu. Penelitian lain juga mengembangkan model persediaan barang dengan mempertimbangkan faktor kadaluwarsa dan laju inflasi, misalnya Jaggi and Khanna (2009), Dipak et.al (2013), dan Muniappan et.al. (2015). Nagare dan Dutta (2012) mengembangkan suatu model persediaan continuous review dengan mempertimbangkan masa kadaluwarsa dan permintaan yang bergantung pada tingkat persediaan.

Banyaknya penelitian mengenai model persediaan dengan memperhatikan faktor kadaluwarsa menunjukan bahwa masa kadaluwarsa merupakan salah satu komponen yang penting untuk diperhatikan oleh perusahaan, terutama barang-barang dengan masa kadaluwarsa tertentu, seperti bahan makanan, obat-obatan dan bahan kimia. Suatu perusahaan yang bergerak pada produksi atau penjualan barang perlu memperhatikan masa kadaluwarsa mengingat setelah masa kadaluwarsa barang tidak dapat digunakan atau dikonsumsi, sehingga persediaan yang ada tidak dapat dijual setelah masa kadaluwarsa. Barang yang tidak dapat terjual ini tentunya akan menyebabkan kerugian. Di sisi lain, apabila barang yang tersedia terlalu sedikit dapat menyebabkan tidak terpenuhinya permintaan dan hal ini akan menyebabkan adanya potensi keuntungan yang hilang. Hal inilah yang menyebabkan perlunya strategi pengelolaan persediaan bagi perusahaan untuk barang yang memiliki waktu kadaluwarsa. Strategi yang dilakukan oleh perusahaan biasanya dengan menurunkan harga atau memberikan diskon. Hal ini dilakukan untuk menarik minat pembeli sehingga barang yang mendekati masa kadaluwarsa dapat terjual. Nilai jual barang akan semakin berkurang seiiring dengan mendekatnya masa kadaluwarsa barang tersebut, bahkan saat melewati masa kadaluwarsanya barang tersebut biasanya tidak memiliki nilai jual sama sekali.

Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk mengembangkan suatu model persediaan dengan mempertimbangkan faktor kadaluwarsa. Pada makalah ini penulis akan mengembangkan suatu model matematika mengenai persediaan dengan mempertimbang-kan faktor kadaluwarsa dan faktor penurunan harga jual. Model akan dikembangkan berdasarkan model yang telah dibuat oleh Nagare dan Dutta (2012). Model ini akan dikembangkan dengan mempertimbangkan bahwa laju kadaluwarsa dan biaya penyimpanan merupakan suatu fungsi yang bergantung waktu dan adanya all-unit

2. Model

Pada model persediaan klasik, biasanya permintaan diasumsikan konstan atau bergantung kepada waktu. Sedangkan pada kenyataannya, permintaan ada yang bergantung terhadap faktor lain, seperti harga, merek, dan jumlah persediaan. Untuk beberapa barang tertentu, jika persediaan barang sedikit akan menimbulkan persepsi bahwa barang yang dijual tidak baru ataupun tidak segar. Berdasarkan pertimbangan ini, beberapa penelitian telah dilakukan untuk menguji apakah tingkat persediaan dapat mempengaruhi permintaan atau dengan kata lain, apakah permintaan akan barang bergantung terhadap jumlah persediaan.

Levin et al (1972) menyatakan bahwa banyaknya barang yang ditampilkan pada rak barang dapat menarik minat pembeli untuk membeli barang tersebut. Silver dan Peterson (1985) menyatakan bahwa penjualan barang pada industri retail sebanding dengan banyaknya barang yang dipajang. Penelitian ini memberikan contoh bahwa pada bidang retail seperti supermarket, toko fashion seperti toko baju, toko sepatu, dan lainnya mempunyai permintaan yang dipengaruhi oleh jumlah barang yang dipajang. Barang yang dipajang ini dapat dipandang sebagai persediaan yang dimiliki oleh toko tersebut. Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk jenis usaha retail, permintaan akan dipengaruhi oleh tingkat persediaan. Berdasarkan penelitian ini pula, model persediaan dengan tingkat permintaan yang bergantung pada tingkat persediaan (inventory dependent

demand) banyak dikembangkan dengan mempertimbangkan faktor lainnya seperti faktor

kadaluwarsa. Salah satu model persediaan dengan permintaan yang bergantung terhadap tingkat persediaan adalah model persediaan yang dibuat oleh Nagare dan Dutta (2012). Model ini mengasumsikan bahwa permintaan barang dengan masa kadaluwarsa akan bergantung kepada tingkat persediaan dari barang tersebut.

Pada makalah ini akan dikembangkan suatu model persediaan dengan mempertimbangkan faktor kadaluwarsa dan all-unit discount yang didasarkan pada model yang dibuat oleh Nagare dan Dutta (2012). Ide awal model ini didasari dengan asumsi bahwa perubahan tingkat persediaan dipengaruhi oleh laju kadaluwarsa dan permintaan.

Gambar 2.1 merupakan grafik yang dapat memberikan ilustrasi mengenai perubahan tingkat persediaan terhadap waktu. Berdasarkan Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa jumlah persediaan akan terus berkurang. Hal ini dikarenakan adanya barang yang mengalami kadaluwarsa dan karena adanya barang yang terjual untuk memenuhi permintaan. Tingkat permintaan pada model ini merupakan suatu fungsi yang bergantung terhadap tingkat persediaan, dimana tingkat permintaan akan berkurang seiring dengan berkurangnya jumlah persediaan. Untuk menyederhanakan permasalahan, model ini dibuat dengan satu periode perencanaan adalah satu tahun.

Notasi yang digunakan dalam pengembangan model persediaan ini adalah:

𝑇𝐴𝐶 = total biaya persediaan tahunan

𝑇 = lamanya siklus persediaan

𝑄 = 𝐼(0) = jumlah barang yang dibeli diawal siklus persediaaan

𝐷(𝑡) = 𝛼 + 𝛽𝐼(𝑡) = tingkat permintaan saat 𝑡

𝐼(𝑡) = tingkat persediaan saat 𝑡

𝜃(𝑡) = 𝜃𝑡 = laju kadaluwarsa barang yang disimpan

𝐼𝑟 = reserve inventory di akhir siklus

𝑃𝑖 = {

𝑃1 ; 0 < 𝐼(0) < 𝑈1

𝑃2 ; 𝑈1≤ 𝐼(0) < 𝑈2

⋮

𝑃𝑗 ; 𝑈𝑗−1≤ 𝐼(0) < 𝑈𝑗

= harga beli barang per unit

ℎ(𝑡) = 𝑎 + 𝑏𝑡2_{= biaya penyimpanan sebagai fungsi dari waktu}

Gambar 2.1 Grafik Tingkat Persediaan

Berdasarkan notasi di atas, model persediaan ini dapat dinyatakan sebagai: 𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡

= −𝜃𝑡𝐼(𝑡) − (𝛼 + 𝛽𝐼(𝑡)) = −(𝜃𝑡 + 𝛽)𝐼(𝑡) − 𝛼 (2.1)

Solusi bagi persamaan (2.1) adalah:

𝐼(𝑡) = −

𝛼 ∫ 𝑒

𝜃𝑡2 2 +𝛽𝑡

_𝑑𝑡

𝑒

𝜃𝑡 2 2 +𝛽𝑡

(2.2)

Pada persamaan (2.2) terdapat bentuk ∫ 𝑒𝜃𝑡22 +𝛽𝑡𝑑𝑡_{, yang tidak dapat diintegralkan. Agar} bentuk ini dapat dihitung integralnya, digunakan hampiran dengan menggunakan deret Maclaurin orde kedua, yaitu:

𝑒

𝜃𝑡 2 2 +𝛽𝑡

≈ 1 + 𝛽𝑡 + (

1

2

𝛽

2

+

1

2

𝜃) 𝑡

2

𝑒

−(𝜃𝑡 2 2 +𝛽𝑡)

_{≈ 1 − 𝛽𝑡 + (}

1

2

𝛽

2

+

1

2

𝜃) 𝑡

2

Sehingga solusi bagi persamaan (2.2) adalah:

𝐼(𝑡) = −𝛼 (1 − 𝛽𝑡 + (

1

2

𝛽

2

+

1

2

𝜃) 𝑡

2

) ∫ 1 + 𝛽𝑡 + (

1

2

𝛽

2

+

1

2

𝜃) 𝑡

2

𝑑𝑡

= −𝛼 (1 − 𝛽𝑡 + (

𝛽

2

_{+ 𝜃}

2

) 𝑡

2

) (𝑡 +

𝛽𝑡

2

2

+ (

𝛽

2

_{+ 𝜃}

6

) 𝑡

3

+ K)

(2.3) Dengan syarat batas 𝐼(𝑇) = 𝐼𝑟 maka persamaan (2.3) dapat ditulis sebagai:

I(0)=Q Unit Waktu (t) T Ir 2T

𝐼(𝑡) = −𝛼 (1 − 𝛽𝑡 + (

𝛽

2

+ 𝜃

2

) 𝑡

2

)

(

𝑡 +

𝛽𝑡

2

2

+ (

𝛽

2

_{+ 𝜃}

6

) 𝑡

3

+

𝐼

𝑟

−𝛼 (1 − 𝛽𝑇 + (

𝛽

2

_{2 ) 𝑇}

+ 𝜃

2

₎

− (𝑇 +

𝛽𝑇

2

2

+ (

𝛽

2

_{+ 𝜃}

6

) 𝑇

3

)

)

(2.4)

Biaya-biaya yang terlibat di dalam model ini meliputi biaya pembelian, biaya pemesanan dan biaya penyimpanan.

1. Biaya pembelian adalah banyaknya barang yang dibeli dikalikan dengan harga barang per unit, yaitu:

𝑀(𝑇) = 𝑃

_𝑖

× 𝐼(0)

= 𝑃

_𝑖

(

𝐼

𝑟

(1 − 𝛽𝑇 + (

𝛽

2

_{2 ) 𝑇}

+ 𝜃

2

₎

+ 𝛼 (𝑇 +

𝛽𝑇

2

2

+ (

𝛽

2

_{+ 𝜃}

6

) 𝑇

3

) − 𝐼

𝑟

)

2. Biaya pemesanan adala konstan sebesar

𝐶

₁

per sekali pemesanan.

3. Biaya penyimpanan adalah banyaknya barang yang disimpan dikalikan dengan jumlah barang yang disimpan, yaitu:

𝐻(𝑇) = ∫ ℎ(𝑡)𝐼(𝑡)𝑑𝑡

𝑇

0

= ∫ (𝑎𝑡

𝑇 2

_{+ 𝑏)𝐼(𝑡)𝑑𝑡}

0

Sehingga diperoleh biaya total persediaan per satuan waktu adalah: 𝑇𝐴𝐶(𝑇) =𝑀(𝑇) 𝑇 + 𝐶1 𝑇 + 𝐻(𝑇) 𝑇 = 𝑃_𝑖( 𝐼𝑟 (𝑇 − 𝛽𝑇2_{+ (}𝛽2+ 𝜃 2 ) 𝑇3) + 𝛼 (1 +𝛽𝑇₂ + (𝛽2₆+ 𝜃) 𝑇2_{) −}𝐼𝑟 𝑇) +𝐶1 𝑇 + 1 𝑇∫ (𝑎𝑡2+ 𝑏)𝐼(𝑡)𝑑𝑡 𝑇 0

Nilai 𝑇 yang meminimumkan biaya total persediaan adalah nilai T yang memenuhi syarat perlu sebagai berikut:

𝑑𝑇𝐴𝐶

𝑑𝑇

= 0

𝑑𝑇𝐴𝐶

𝑑𝑇

= 𝑃

𝑖

(

−𝐼

_𝑟

(1 − 2𝛽𝑇 + 3 (

𝛽

2

_{2 ) 𝑇}

+ 𝜃

2

₎

(𝑇 − 𝛽𝑇

2

_{+ (}

𝛽

2

+ 𝜃

2 ) 𝑇

3

)

2

+ 𝛼 (1 +

𝛽

2

+ (

𝛽

2

_{+ 𝜃}

3

) 𝑇) +

𝐼

_𝑟

𝑇

2

)

−

𝐶

1

𝑇

2

−

1

𝑇

2

∫ (𝑎𝑡

2

+ 𝑏)𝐼(𝑡)𝑑𝑡

𝑇 0

+

1

𝑇

(𝑎𝑇

2

+ 𝑏)𝐼

𝑟

= 0 (2.5)

Misal 𝑇∗_{adalah nilai 𝑇 yang dapat memenuhi persamaan (2.5), selanjutnya akan dihitung}

turunan kedua dari 𝑇𝐴𝐶 terhadap 𝑇 untuk menjamin bahwa nilai 𝑇∗adalah nilai 𝑇 yang meminimumkan 𝑇𝐴𝐶.

Turunan kedua 𝑇𝐴𝐶 terhadap 𝑇 adalah :

𝑑

2

_𝑇𝐴𝐶

𝑑𝑇

2

= 𝑃

𝑖

𝑆

1

+

2𝐶

1

𝑇

3

+

2

𝑇

3

∫ (𝑎𝑡

2

+ 𝑏)𝐼(𝑡)𝑑𝑡

𝑇 0

−

1

𝑇

2

(𝑎𝑇

2

+ 𝑏)𝐼

𝑟

+ (𝑎𝑇 −

𝑏

𝑇

2

) 𝐼

𝑟 Dengan

𝑆

1

=

𝐼𝑟(2𝛽−3(𝛽2+𝜃)𝑇)+𝐼𝑟(1−2𝛽𝑇+3(𝛽2+𝜃₂ )𝑇2) 2 (𝑇−𝛽𝑇2₊₍𝛽2+𝜃 2 )𝑇3) 4

+ (

𝛽2_+𝜃 3

) −

2𝐼𝑟 𝑇3 . Perhatikan bahwa:

𝑃

_𝑖

𝑆

₁

+

2𝐶1 𝑇3

+

2 𝑇3

∫ (𝑎𝑡

2

+ 𝑏)𝐼(𝑡)𝑑𝑡

𝑇 0

+ (𝑎𝑇 −

𝑏 𝑇2

) 𝐼

𝑟

>

1 𝑇2

(𝑎𝑇

2

+ 𝑏)𝐼

𝑟

,

sehingga 𝑑_𝑑𝑇2𝑇𝐶₂ > 0. Maka berdasarkan uji turunan kedua, diperoleh bahwa nilai 𝑇∗ yang memenuhi persamaan (2.5) akan meminimumkan total biaya persediaan 𝑇𝐴𝐶.

Nilai 𝑇∗ yang memenuhi persamaan (2.5) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit, sehingga untuk mencari nilai 𝑇∗ akan digunakan bantuan dari program MAPLE. Selain itu, nilai 𝑇∗ yang ingin dicari memuat 𝑃𝑖, dimana 𝑃𝑖 akan bergantung terhadap

banyaknya barang yang dibeli di awal siklus yaitu 𝐼(0) = 𝑄. Karena itu diperlukan suatu algoritma untuk mencari nilai 𝑇∗ yang meminimumkan biaya total persediaan. Algoritma yang digunakan meliputi beberapa langkah sebagai berikut:

1. Hitung nilai

𝑇

∗ untuk setiap nilai

𝑃

_𝑖

2. Berdasarkan nilai

𝑇

∗ yang diperoleh pada langkah pertama, hitung banyaknya barang yang dibeli, yaitu

𝑄 = 𝐼(0)

3. Periksa apakah nilai

𝑄

yang diperoleh sudah valid. Jika valid, maka dapat langkah 4 dapat dilakukan. Pengertian valid disini adalah nilai Q yang diperoleh berada pada harga beli barang yang tepat.

Tetapi jika

𝑄

tidak valid, maka: a. Untuk

𝑄 < 𝑈

_𝑗

pilih

𝑄 = 𝑈

_𝑗 b. Untuk

𝑄 > 𝑈

_𝑗+1 pilih

𝑄 = 𝑈

_𝑗+1.

4. Hitung kembali nilai

𝑇

untuk

𝑄

yang tidak valid.

6. Bandingkan nilai

𝑇𝐴𝐶

yang diperoleh, dan pilihlah nilai

𝑇𝐴𝐶

yang minimum. Algoritma ini diringkas dalam diagram alir yang terdapat pada Gambar 2.2.

Gambar 2.2 Diagram Alir Pencarian Solusi Optimum

3. Contoh Numerik

Pada bagian ini akan diberikan contoh numerik untuk model yang telah dikembangkan pada bagian sebelumnya. Suatu perusahaan yang bergerak di bidang penjualan bahan makanan dapat membeli barang dengan promosi all-unit discount dari supplier, dengan harga diberikan pada tabel 3.1. Biaya pemesanan adalah sebesar Rp. 100.000. Biaya simpan terdiri atas biaya penyewaan tempat dan biaya perawatan barang. Besarnya biaya penyewaan tempat adalah sebesar Rp. 500 per unit, sedangkan biaya perawatan barang akan bergantung kepada durasi barang tersebut disimpan (kuadrat waktu), yaitu sebesar Rp. 10 per unit barang. Biaya penyimpanan per unit dapat dituliskan sebagai fungsi yang bergantung kepada waktu, yaitu ℎ(𝑡) = Rp. (500 + 10𝑡2) per unit.

Tabel 3.1 Harga Pembelian Barang

Harga Jumlah Pembelian (unit)

Rp. 12.000 ≤ 100 Rp. 11.000 101 - 200 Rp. 10.000 > 200

Jika laju kadaluwarsa barang dapat dinyatakan dalam fungsi 𝜃(𝑡) = 0.2𝑡 dan tingkat permintaan saat 𝑡 dapat dinyatakan sebagai 𝐷(𝑡) = 800 + 0.3𝐼(𝑡) dengan 𝐼(𝑡) adalah jumlah persediaan saat 𝑡. Pada akhir siklus, perusahaan tidak menginginkan adanya barang sisa di gudang. Perusahaan ingin menentukan jumlah pesanan yang sebaiknya dilakukan oleh perusahaan dan waktu pemesanan yang dapat meminimumkan total biaya persediaan.

Berdasarkan informasi yang diberikan dan dengan menggunakan model yang telah dikembangkan pada bagian sebelumnya dan dengan menggunakan persamaan (2.4) diperoleh jumlah persediaan saat 𝑡 adalah:

𝐼(𝑡) = −800(1 − 0.3𝑡 + 0.145𝑡2_{) (𝑡 +}0.3𝑡2

2 + 0.04833𝑡3

− (𝑇 +0.3𝑇 2

2 + (0.04833)𝑇3))

Biaya-biaya yang terjadi dalam satu siklus kecil persediaan barang meliputi biaya-biaya sebagai berikut:

1. Biaya pemesanan sebesar Rp 100.000 per sekali pemesanan 2. Biaya pembelian sebesar

𝑀(𝑇) = 𝑃

_𝑖

(800 × (𝑇 +

0.3𝑇

2

2

+ (0.04833)𝑇

3

))

𝑃

_𝑖

= {

11000 ; 101 ≤ 𝑄 < 200

12000 ; 𝑄 ≤ 100

10000 ; 𝑄 ≥ 201

3. Biaya penyimpanan sebesar:

𝐻(𝑇) = ∫ (50𝑡

𝑇 2

_{+ 500)𝐼(𝑡)𝑑𝑡}

0

Biaya total dalam satu siklus per satuan waktu dan turunan pertama dari biaya total masing-masing diberikan oleh:

𝑇𝐴𝐶 = 𝑃

𝑖

(800 × (1 +

0.3𝑇

2

+ 0.04833𝑇

2

)) +

100000

𝑇

+

1

𝑇

∫ (50𝑡

2

+ 500)𝐼(𝑡)𝑑𝑡

𝑇 0

𝑑𝑇𝐴𝐶

𝑑𝑇

= 800𝑃

𝑖

(0.15 + 0.9666𝑇) −

100000

𝑇

2

−

1

𝑇

2

∫ (50𝑡

2

+ 500)𝐼(𝑡)𝑑𝑡

𝑇 0

+

1

𝑇

(50𝑇

2

+ 500) = 0

Gambar 3.3 Grafik Total Cost

Nilai 𝑇 yang minimum adalah nilai 𝑇 yang memenuhi persamaan (2.5). Gambar 3.3 merupakan grafik dari total biaya persediaan, dapat dilihat pada gambar, bahwa total biaya persediaan akan minimum di antara nilai T = 0.2. Dengan menggunakan program MAPLE dan algoritma yang telah dijelaskan pada bagian terdahulu, diperoleh nilai 𝑇 dan

𝑄 sebagai berikut:

Tabel 3.2 Hasil Perhitungan T dan Q

Harga T Q Valid / Tidak Valid

Rp. 12.000 0.2314378267 192.0572132 Tidak valid Rp. 11.000 0.2399492585 199.4026734 Valid Rp. 10.000 0.2495078337 207.6773716 Valid

Berdasarkan hasil perhitungan yang dimuat pada Tabel 3.2 dapat dilihat bahwa untuk harga Rp. 12.000 diperoleh jumlah pesanan (𝑄) adalah 199 unit, hal ini tidak valid karena

supplier membatasi pembelian maksimal 100 unit, sehingga untuk harga Rp. 12.000

dipilih 𝑄 = 100 dan akan dihitung kembali nilai 𝑇 yang memenuhi.. Sedangkan untuk harga Rp.11.000 dan Rp. 10.000 diperoleh nilai 𝑄 yang sudah valid, maka nilai 𝑇𝐴𝐶 dapat langsung dihitung.

Tabel 3.3 Hasil Perhitungan 𝑇𝐴𝐶

Harga 𝑻 𝑸 𝑻𝑨𝑪

Rp 12.000 0.1226542064 100 Rp.9.808.467,68 Rp 11.000 0.2399492585 200 Rp.9.217.996,86 Rp 10.000 0.2495078337 208 Rp. 8.387.839,77

Berdasarkan hasil perhitungan yang diperoleh pada Tabel 3.3, dapat dilihat bahwa nilai TAC yang minimum diberikan oleh pembelian sebanyak 208 unit. Untuk pemesanan 208 unit, waktu pemesanan kembali adalah setelah 0.249 tahun atau setelah 3 bulan dari pemesanan pertama. Berdasarkan hasil perhitungan ini, maka sebaiknya perusahaan, dalam satu tahun perencanaan, melakukan 4 kali pemesanan barang sebanyak 208 unit untuk setiap kali pemesanan. Biaya total persediaan dalam satu tahun adalah sebesar Rp. 8.387.839,77.

4. Analisis Sensitivitas

4.1. Pengaruh Laju Kadaluwarsa Terhadap Model

Pada subbab ini ingin dianalisis pengaruh yang diberikan oleh laju kadaluwarsa. Untuk mengetahui pengaruh laju kadaluwarsa terhadap model, maka akan dihitung kembali jumlah pemesanan dan waktu pemesanan optimum yang meminimumkan total biaya persediaan (𝑇𝐴𝐶) untuk beberapa nilai 𝜃.

Pada Tabel 4.1, dapat dilihat bahwa semakin besar laju kadaluwarsa akan menyebabkan periode pemesanan semakin pendek dan jumlah barang yang dipesan semakin sedikit. Gambar 4.1 dapat memberikan gambaran mengenai hubungan antara laju kadaluwarsa (𝜃), jumlah pembelian (𝑄) dan waktu antar pemesanan (𝑇).

Gambar 4.1 Grafik Pengaruh Laju Kadaluwarsa Terhadap Waktu dan Jumlah Pembelian Berdasarkan Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa laju kadaluwarsa yang semakin besar menghasilkan waktu antar pemesanan yang lebih cepat dan jumlah barang yang dipesanpun akan semakin sedikit. Hal ini disebabkan karena jika laju kadaluwarsa semakin besar, maka jumlah barang yang mengalami kadaluwarsa akan semakin banyak. Mengingat bahwa barang kadaluwarsa tidak dapat dijual, maka sebaiknya perusahaan mengurangi jumlah pembelian untuk mengurangi barang yang mengalami kadaluwarsa. Dengan jumlah barang yang lebih sedikit, tentunya barang persediaan akan lebih cepat habis sehingga waktu antar pemesanan akan menjadi lebih singkat.

4.2. Pengaruh Laju Permintaan Terhadap Model

Selain diperngaruhi oleh laju kadaluwarsa, model ini juga diperngaruhi oleh permintaan. Untuk melihat hubungan model yang telah dibuat terhadap permintaan, pada subbab ini ingin diselidiki mengenai pengaruh yang diberikan oleh laju permintaan (𝛽) terhadap

0 0.1 0.2 0.3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Laju Kadaluarsa

Grafik Pengaruh Laju Kadaluwarsa Terhadap

Waktu dan Jumlah Pembelian

T

model. Sehingga untuk melihat pengaruh laju permintaan akan dihitung nilai 𝑇 yaitu waktu antar pemesanan dan 𝑄 yaitu jumlah pemesanan untuk beberapa nilai 𝛽.

Pada Tabel 4.2 dapat dilihat bahwa nilai permintaan yang semakin tinggi menyebabkan semakin cepat waktu antar pemesanan dan berkurangnya jumlah barang yang dipesan. Gambar 4.2 memberikan gambaran mengenai hubungan antara laju pemesanan (𝛽), jumlah pembelian (𝑄) dan waktu antar pemesanan (𝑇).

Pada Gambar 4.2, dapat dilihat bahwa semakin besar laju permintaan, akan menyebabkan waktu antar pemesanan menjadi semakin singkat dan jumlah barang yang dipesanpun semakin sedikit. Hal ini disebabkan karena waktu antar pemesanan yang singkat menyebabkan perusahaan akan lebih sering membeli barang. Karena frekuensi pemesanan atau pembelian barang yang semakin besar, maka dalam satu kali pemesanan, jumlah barang yang dipesanan akan semakin sedikit.

Gambar 5.2 Grafik Pengaruh Laju Permintaan Terhadap Waktu dan Jumlah Pembelian

5. Kesimpulan dan Saran

Berdasarkan hasil yang telah diperoleh dari pengembangan model yang telah dibuat oleh penulis, diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Nilai T yang dapat memenuhi persamaan (2.5) adalah waktu pemesanan kembali yang dapat meminimumkan total biaya persediaan.

2. Nilai Q atau jumlah pesanan yang dilakukan dapat dicari dengan melakukan subtitusi nilai T yang optimum dan nilai t = 0 ke persamaan (2.4).

3. Besarnya laju kadaluwarsa (θ) akan mempengaruhi nilai T dan Q. Semakin besar laju kadaluwarsa, maka nilai T dan Q akan mengecil. Artinya saat laju kadaluwarsa membesar, banyaknya barang akan semakin cepat rusak. Barang yang rusak tidak dapat dijual, sehingga perusahaan sebaiknya memesan barang dalam jumlah yang lebih sedikit namun lebih sering.

4. Besarnya tingkat permintaan (β) akan mempengaruhi nilai T dan Q. Semakin besar tingkat permintaan, maka nilai T dan Q akan mengecil. Besarnya tingkat permintaan akan menyebabkan persediaan lebih cepat habis, sehingga perusahaan akan lebih sering memesan barang. Karena frekuensi pemesanan yang lebih sering maka perusahaan akan memesan dengan jumlah yang lebih sedikit.

Pada makalah ini telah dikembangkan suatu model persediaan deterministik dengan mempertimbangkan faktor kadaluwarsa, permintaan yang bergantung pada tingkat persediaan dan biaya penyimpanan yang berupa fungsi kuadrat yang bergantung pada waktu dan adanya all-unit discount. Dalam kondisi nyata, permintaan yang ada seringkali

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Laju Permintaan

Pengaruh Laju Permintaan Terhadap

Waktu dan Jumlah Pembelian

T

tidak menentu atau dengan kata lain bersifat probabilistik. Demikian pula dengan laju kadaluwarsa, setiap barang tentunya mempunyai suatu karakteristik mengenai laju kadaluwarsa yang berbeda, sehingga saran penulis bagi penelitian selanjutnya adalah:

1. Mengembangkan model persediaan dengan mempertimbangkan waktu kadaluwarsa dengan pendekatan model probabilistik, baik untuk tingkat permintaan ataupun masa tunggu (lead time).

2. Mencari fungsi laju kadaluwarsa yang sesuai untuk barang tertentu, seperti makanan, bahan mentah, ataupun bahan kimia.

Daftar Pustaka

[1] Dipak, K. J., Barun, D. , Tapan. K. R. (2013). A Partial Backlogging Inventory Model for Deteriorating Item under Fuzzy Inflation and Discounting over Random Planning Horizon: A Fuzzy Genetic Algorithm Approach. Advances in

Operations Research, vol. 2013, Article ID 973125. DOI:10.1155/2013/973125

[2] Dye, C. Y. (2012). A Finite Horizon Deteriorating Inventory Model with Two-Phase Pricing and Time-Varying Demand and Cost Under Trade Credit Financing using Particle Swarm Optimization. Swarm and Evolutionary

Computation 5: 37-53.

[3] Jaggi, C.K., and Khanna, A. (2009). An Integrated Production-Inventory-Marketing Model under Inflationary Conditions for Deteriorating Items. Int. J.

Applied Decision Sciences, Vol. 1, No. 4, pp.435–454.

[4] Kumar, S., Kumar, P., Saini, M. (2012). An Order Level Inventory Model for Deteriorating Items with Quadratic Demand Rate and Variable Holding Cost.

International Journal of Scientific Research Engineering and Technology

(IJSRET). I(5), 253-263

[5] Levin, R.I., McLaughlin, C.P., Lamone, R.P., and Kottas, J.F., (1972).

Productions / Operations Management: Contemporary Policy for Managing Operating Systems, McGraw-Hill, New York

[6] Limansyah, T. (2012). Pengembangan Model Persediaan Barang dengan

Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa dan All Unit Discount. Tesis tidak

diterbitkan. Bandung: PPS UNPAR

[7] Mishra, V. K. (2012). Inventory Model for Time Dependent Holding Cost and Deterioration with Salvage Value and Shortages. Journal of Mathematics and

Computer Science, IV(1), 37 – 47.

[8] Mishra, V. K., Singh, L.S., and Kumar, R. (2013) An Inventory Model for Deteriorating Items with Time-Dependent Demand and Time-Varying Holding Cost Under Partial Backlogging. Journal of Industrial Engineering

International. 9:4.

[9] Nagare, M., and Dutta, P., (2012). Continuous Review Model for Perishable Products with Inventory Dependent Demand. Proceeding of the International

MultiConference of Engineers and Computer Scientist. Hong Kong

[10] Muniappan, P., Uthayakumar, R., Ganesh, S. (2015). An EOQ Model for Deteriorating Items with Inflation and Time Value of Money Considering Time-Dependent Deteriorating Rate and Delay Payments. Systems Science & Control

Engineering, 3:1, 427-434, DOI:10.1080/21642583.2015.1073638

[11] Prasetyo, H., Nugroho, M. T., dan Pujiarti, A. (2006). Pengembangan Model Persediaan Bahan Baku dengan Mempertimbangkan Waktu Kadaluarsa dan Faktor Unit Diskon. Jurnal Ilmiah Teknik Industri, 4(3), 115-122

[12] Silver, E.A., and Peterson, R., (1985) Decision Systems for Inventory

La ju Ka d alu ar sa H ar ga T H itu n g Q H itu n g Q Valid T Va lid Biay a Pem b elian Biay a Peny im p an an Biay a Pem e san an To ta l Cos t 0 12000 0.2411 2 6 200.04 6 0504 100 0.1226 5 4 1200 00 0 3046 .80 982 100000 10,695,73 1.71 11000 0.2502 3 6 207.89 1 0942 200 0.2406 4 2200 00 0 1187 6.4 853 100000 9,607,186.97 10000 0.2604 7 3 216.73 2 2597 217 0.2604 7 3 2170 00 0 1394 4.9 9966 100000 8,768,442.18 0.1 12000 0.2360 3 9 195.84 9 8571 100 0.1226 8 4 1200 00 0 3049 .79 694 100000 1 0,693,507.1 2 11000 0.2 44 82 8 20 3.4 27 41 73 200 0.2 40 85 6 22 00 00 0 11 92 0.3 83 68 100000 9,59 8,77 3.4 9 10000 0.2547 0 2 211.96 4 9158 212 0.2547 0 2 2120 00 0 1335 3.3 9273 100000 8,768,497.61 0.2 12000 0.2314 3 8 192.05 7 2132 100 0.1226 5 4 1200 00 0 3049 .81 9032 100000 10,695,528.1 1 11000 0.2399 4 9 199.40 2 6734 200 0.2399 4 9 2200 00 0 1185 1.5 1204 100000 9,634,751.64 10000 0.2495 0 8 208 208 0.2495 0 8 2080 00 0 1283 1.7 2924 100000 8,788,628.78 0.3 12000 0.2272 4 2 188.60 0 3515 100 0.1226 2 5 1200 00 0 3049 .84 109 100000 10,694,672.9 9 11000 0.2446 6 1 195.74 1 6393 196 0.2404 2 6 2156 00 0 1143 0.2 9485 100000 9,430,888.31 10000 0.2 44 79 20 3.7 85 63 91 204 0.2 44 79 20 40 00 0 38 90 0.4 70 56 100000 8,90 1,09 1.2 7 0.4 12000 0.2233 8 8 185.42 7 2031 100 0.1225 9 5 1200 00 0 3049 .86 3123 100000 10,694,153.2 1 11000 0.2314 3 7 192.38 6 8456 193 0.2314 3 7 2123 00 0 1105 0.6 9222 100000 9,652,964.88 10000 0.2404 7 3 200.22 5 943 201 0.2404 7 3 2010 00 0 1194 8.6 4742 100000 8,824,072.38 0.5 12000 0.2198 2 8 182.49 6 8853 100 0.1225 6 6 1200 00 0 3049 .88 5134 100000 10,693,914.9 7 11000 0.2276 8 189.29 3 3854 190 0.2276 8 2090 00 0 1070 6.0 8056 100000 9,665,769.07 10000 0.2364 9 6 196.94 8 7019 201 0.2411 4 8 2010 00 0 1203 9.7 8129 100000 8,799,734.10 0.6 12000 0.2165 2 1 179.77 6 7071 100 0.1225 3 6 1200 00 0 3049 .90 7114 100000 10,693,915.9 9 11000 0.2241 9 6 186.42 5 4971 187 0.2241 9 6 2057 00 0 1039 1.2 5372 100000 9,667,380.34 10000 0.2328 1 2 193.91 4 6022 201 0.2409 3 4 2010 00 0 1204 0.4 2557 100000 8,807,551.38 Ta bel 4 .1 P en g ar u h L aj u Ked alu w ar sa (𝜃 ) T er h ad ap 𝑇 d an 𝑄

La ju P erm in ta an H ar ga T H itu n g Q H itu n g Q Valid T Va lid Biay a Pem b elian Biay a Peny im p an an Biay a Pem e san an To ta l Cos t 0 12000 0.4484 7 2719 361.18 3 5169 100 0.125 1200 00 0 3125 .81 3802 100000 10,500,521.9 6 11000 0.4570 5 097 368.18 6 8006 200 0.25 2200 00 0 1256 5.2 4537 100000 9,250,260.98 10000 0.4663 7 9774 368.34 5 904 369 0.4663 7 9774 3690 00 0 4659 8.9 4491 100000 8,226,340.76 0.1 12000 0.3310 5 2926 270.24 2 0811 100 0.1241 6 2193 1200 00 0 3100 .01 1487 100000 10,569,307.6 9 11000 0.3409 0 9245 278.48 5 5254 200 0.2464 3 9537 2200 00 0 1230 8.4 2494 100000 9,382,863.04 10000 0.3518 0 2363 287.61 1 6284 288 0.3518 0 2363 2880 00 0 2530 1.8 4725 100000 8,542,585.74 0.2 12000 0.2693 9 9879 221.95 1 6724 100 0.1234 0 2027 1200 00 0 3074 .68 4251 100000 10,632,817.4 7 11000 0.2786 7 5706 229.84 5 9208 200 0.2434 9 3624 2200 00 0 1211 1.2 2803 100000 9,495,571.95 10000 0.2890 3 2094 238.68 1 4986 239 0.2890 3 2094 2390 00 0 1715 0.8 3803 100000 8,674,299.13 0.3 12000 0.2 31 43 78 27 19 2.0 57 21 32 100 0.1 22 65 42 06 12 00 00 0 30 49 .81 90 29 100000 10 ,695 ,528 .1 1 11000 0.2399 4 9259 199.40 2 6734 200 0.2399 4 9259 2200 00 0 1185 1.5 1203 100000 9,634,751.64 10000 0.2495 0 7834 207.67 7 3716 208 0.2495 0 7834 2080 00 0 1554 4.0 4592 100000 8,799,499.45 0.4 12000 0.2054 1 1067 171.49 5 865 100 0.1249 3 4997 1200 00 0 3178 .44 612 100000 10,480,591.3 7 11000 0.2132 4 0622 178.33 3 3744 179 0.2132 4 0622 1969 00 0 9392 .65 4495 100000 9,746,701.32 10000 0.2220 6 4975 186.06 7 6683 201 0.2507 2 4625 2010 00 0 1306 8.8 5189 100000 8,467,731.70 0.5 12000 0.1862 4 9674 156.32 5 1754 100 0.1249 3 4997 1200 00 0 3191 .79 9266 100000 10,467,517.9 3 11000 0.1 93 50 49 22 16 2.7 27 50 59 163 0.1 93 50 49 22 17 93 00 0 77 59 .32 39 91 100000 9,82 2,79 5.7 6 10000 0.2017 0 1259 169.99 0 0402 201 0.2507 2 4625 2010 00 0 1317 9.4 8825 100000 8,468,172.97 0.6 12000 0.1714 2 5999 144.56 9 7951 100 0.1204 8 1995 1200 00 0 2977 .87 4424 100000 10,844,773.5 0 11000 0.1781 9 9432 150.60 3 2729 151 0.1781 9 9432 1661 00 0 6599 .95 0979 100000 9,919,223.27 10000 0.1858 6 3958 157.46 1 4806 201 0.2336 7 7513 2010 00 0 1149 8.0 8675 100000 9,078,743.03 T a bel 4 .2 P en g ar u h L aj u P er m in taan ( 𝛽 ) T er h ad ap 𝑇 d an 𝑄