KENDALI OPTIMAL PADA PENGADAAN BAHAN MENTAH DENGAN KEBIJAKAN PENGADAAN TEPAT WAKTU, PERGUDANGAN, DAN PENUNDAAN. Oleh: Darsih Idayani

KENDALI OPTIMAL PADA PENGADAAN BAHAN MENTAH DENGAN KEBIJAKAN PENGADAAN TEPAT WAKTU,

PERGUDANGAN, DAN PENUNDAAN Oleh: Darsih Idayani 1206 100 040 Dosen Pembimbing: Subchan, Ph.D Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya 2010 ABSTRAK

Meningkatnya persaingan global saat ini menuntut perusahaan-perusahaan untuk menemukan potensi penghematan biaya produksi. Salah satu hal yang berpotensi untuk menghemat biaya produksi adalah dengan meminimumkan biaya pengadaan bahan mentah. Pada Tugas Akhir ini digunakan teori kendali optimal untuk mencari solusi optimal pada permasalahan pengadaan bahan mentah dengan kebijakan pengadaan tepat waktu, pergudangan, dan penundaan. Dengan menerapkan Pontryagin’s Maximum Principle (PMP) dicari biaya pengadaan bahan mentah yang optimal dengan mendapatkan nilai Net Present Value (NPV) minimum. Kemudian disimulasikan dengan menggunakan software Matlab berdasarkan data parameter pada paper “Raw Material Procurement with Fluctuating Prices”. Dari hasil penyelesaian model pengadaan bahan mentah dengan kebijakan pengadaan tepat waktu, pergudangan, dan penundaan diperoleh biaya pengadaan yang lebih optimal daripada biaya pengadaan bahan mentah yang hanya menerapkan kebijakan pengadaan tepat waktu.

Kata kunci: Kendali optimal, Pengadaan bahan mentah, NPV, PMP. 1. Pendahuluan

Persaingan dunia industri saat ini tidak lagi terbatas secara lokal, tetapi mencakup kawasan regional dan global. Setiap perusahaan berlomba-lomba mencari cara agar mampu bersaing dan memiliki keunggulan kompetitif sehingga dapat tetap hidup dan terus berkembang. Perusahaan tidak hanya dituntut untuk menerapkan strategi jitu agar dapat meningkatkan keunggulan bersaing, tetapi juga melakukan perbaikan dan evaluasi manajemen untuk meningkatkan performa dan kualitas secara keseluruhan, salah satunya adalah manajemen inventori (persediaan).

Inventori adalah suatu persediaan (stok) bahan yang dipakai untuk memudahkan produksi atau untuk memuaskan permintaan pelanggan. Inventori secara khusus meliputi bahan

baku/bahan mentah (raw materials), barang setengah jadi (work in process), dan barang jadi (finished goods) [3]. Tersedianya bahan mentah utama yang cukup merupakan faktor penting untuk menjamin kelancaran proses produksi perusahaan. Kekurangan persediaan bahan mentah dapat berakibat terhentinya proses produksi karena habisnya bahan untuk diproses. Oleh karena itu mereka dituntut untuk dapat menyediakan bahan mentah tepat pada waktunya agar tidak mengalami backlogging (tidak dapat memenuhi permintaan pelanggan karena tidak mempunyai persediaan bahan mentah). Akan tetapi terlalu besarnya persediaan bahan mentah atau banyaknya persediaan (over stock) dapat berakibat meningkatnya biaya penyimpanan (holding cost) dan munculnya pemborosan-pemborosan yang semestinya tidak perlu terjadi selama penyimpanan

di gudang seperti stok bahan mentah yang menganggur atau menunggu diproduksi. Padahal beberapa bahan mentah memiliki tanggal kedaluwarsa, jika prediksi peramalan salah akan mengakibatkan banyaknya bahan mentah yang kedaluwarsa dan akhirnya bahan mentah tersebut hanya dapat dibuang.

Untuk mengatasi permasalahan di atas, diperlukan perencanaan dan pengelolaan yang tepat dalam pengadaan bahan mentah. Pengadaan bahan mentah dilakukan pada periode waktu tertentu, apalagi dengan harga bahan mentah yang fluktuatif, perusahaan harus memperhitungkan tingkat suku bunga yang berlaku pada waktu itu, dan nilai ekonomis pada waktu yang akan datang (Net Present Value).

Pada Tugas Akhir ini, digunakan teori kendali optimal untuk menyelesaikan masalah pengadaan bahan mentah dengan kebijakan pengadaan tepat waktu, pergudangan, dan penundaan. Dengan mengaplikasikan Pontryagin’s Maximum Principle (PMP) dicari biaya pengadaan bahan mentah yang optimal dengan mendapatkan nilai Net Present Value (NPV) minimum. Kemudian disimulasikan dengan menggunakan software Matlab berdasarkan data parameter pada paper “Raw Material Procurement with Fluctuating Prices”.

2. Metode Penelitian

Metode yang digunakan pada Tugas Akhir dalam menyelesaikan permasalahan adalah: 1. Studi Literatur

2. Penyelesaian kontrol optimal

3. Mencari lintasan optimal pada setiap periode kebijakan

4. Simulasi

5. Kesimpulan dan saran 3. Tinjauan Pustaka

3.1 Model Pengadaan Bahan Mentah.

Net Present Value (NPV) adalah nilai sekarang dari sejumlah uang yang akan diterima dimasa yang akan datang dan dikonversikan kemasa sekarang dengan mengunakan tingkat suku bunga (discount rate) [5]. NPV digunakan untuk menganalisis Discounted Cash Flow (DCF) dan merupakan metode standar untuk menaksir kondisi finansial dari proyek jangka panjang.

NPV dari arus kas tunggal untuk sistem waktu yang diskrit merupakan pembagian oleh nilai 1 tambah rata-rata bunga untuk tiap periode waktu yang akan berlalu. Jadi untuk mendapatkan NPV untuk sistem waktu yang diskrit dilakukan discounting dengan faktor pemotongan sebesar . Sedangkan untuk sistem waktu yang kontinu digunakan faktor pemotongan sebesar [12]. Dengan kata lain untuk sistem waktu yang diskrit NPV dapat diformulasikan sebagai berikut

atau

untuk sistem waktu yang kontinu. dengan:

Rt : arus kas bersih (net cash flow) pada waktu ke-t r : tingkat suku bunga

t : waktu investasi

3.2 Net Present Value (NPV)

Model pengadaan bahan mentah yang dibahas adalah pengadaan bahan mentah dengan kebijakan pengadaan tepat waktu, pergudangan, dan penundaan. Kapasitas gudang yang terbatas akan mengakibatkan jumlah persediaan bahan mentah x(t) tidak boleh melebihi kapasitas gudang w. Sedangkan kebijakan penundaan yang diterapkan akan menimbulkan biaya penundaan , sehingga biaya penyimpanannya adalah

NPV minimum dari biaya pengadaan bahan mentah adalah sebagai berikut [2]

dan kendala

dengan:

p(t) : harga bahan mentah pada waktu ke-t u(t) : tingkat pengadaan bahan mentah pada

waktu ke-t

h(t) : biaya penyimpanan pada waktu ke-t x(t) : tingkat stok (persediaan) bahan mentah

pada waktu ke-t

d(t) : tingkat permintaan pada waktu ke-t w : kapasitas gudang

b : batas bawah penundaan r : tingkat suku bunga t : waktu

3.3 Masalah Kendali Optimal

Gambar 3.1 Skema Kendali

Pada Gambar di atas didiskripsikan bagaimana mendapatkan kendali optimal (tanda * menyatakan kondisi optimal) yang akan mendorong dan mengatur sistem P dari keadaan awal sampai keadaan akhir dengan beberapa kendala. Kendali dengan keadaan dan waktu yang sama dapat ditentukan nilai optimum berdasarkan fungsi tujuan yang diberikan.

Formulasi pada permasalahan kendali optimal [7] adalah sebagai berikut

1. Mendiskripsikan proses secara matematika artinya mendapatkan metode matematika dari proses terjadinya pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel keadaan).

2. Spesifikasi dari fungsi tujuan.

3. Menentukan kondisi batas dan kendala fisik pada keadaan (state) dan atau kendali.

Pada umumnya, masalah kendali optimal dalam bentuk ungkapan matematik dapat diformulasikan sebagai berikut. Dengan tujuan mencari kendali yang mengoptimalkan (memaksimumkan atau meminimumkan) fungsi tujuan

dengan kendala

3.4 Prinsip Maksimum Pontryagin dengan Kendali Terbatas

Prinsip maksimum merupakan suatu kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian kendali optimal yang sesuai dengan tujuan, yaitu meminimalkan fungsi tujuan dimana kendali terbatas pada . Prinsip ini menyatakan secara informal bahwa persamaan Hamiltonian akan dimaksimalkan sepanjang yang merupakan himpunan kendali yang mungkin [4].

Berikut ini merupakan persamaan Hamiltonian

Karena kendali terbatas ( ), maka dibentuk Persamaan Hamiltonian-Lagrangian sebagai berikut

Maka kondisi perlu (necessary condition) untuk mencapai kondisi optimal adalah

1. Kondisi stasioner

2. Persamaan state dan co-state

dengan dan .

3.5 Formulasi Current Value

Dalam manajemen sains dan masalah ekonomi, fungsi tujuan biasanya diformulasikan dalam bentuk nilai waktu dari uang atau peralatan. Aliran uang atau peralatan yang akan datang biasanya discounted.

Misalkan kita asumsikan adalah tingkat potongan (discount rate) kontinu yang konstan. Fungsi tujuan yang discounted merupakan kasus yang khusus dari fungsi tujuan dengan asumsi bahwa ketergantungan fungsi terhadap waktu hanya terjadi karena adanya faktor pemotongan atau discount factor [8].

Dengan fungsi tujuan yang discounted, kondisi perlu (necessary condition) untuk mencapai kondisi optimal adalah

1. Kondisi stasioner

2. Persamaan state dan co-state

dengan dan .

3.6 Kendali Bang-bang dan Singular

Kesulitan dalam menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin dapat diatasi dengan menggunakan kendali bang-bang dan singular. Hal ini terjadi ketika persamaan Hamiltonian bergantung secara linier dengan kendali . Jika kendali muncul secara linier dalam Hamiltonian, yang optimal tidak dapat ditentukan dari kondisi . Karena terbatas maka dapat ditetapkan Hamiltonian yang maksimum seperti dibawah ini [10]

disebut fungsi switching yang dapat bernilai positif, negatif, atau nol. Sehingga penyelesaian ini disebut dengan kendali bang-bang. Perubahan kendali dari ke terjadi ketika berubah nilai dari negatif ke positif. Dalam kasus ini, bernilai nol pada interval waktu terbatas yang disebut sebagai kendali singular. Pada interval tersebut, kendali

dapat dicari dari hasil derivatif berulang yang bergantung terhadap waktu sampai kendali

tampak secara eksplisit. Sehingga kendali pada interval ini disebut syarat kondisi kesingularan kontinu.

Kendali ini akan menghasilkan busur singular yang optimal jika memenuhi [8]:

1. Persamaan Hamiltonian .

2. Kondisi Kelley yang dinyatakan oleh persamaan sebagai berikut:

, k = 0, 1, … Kondisi ini disebut juga kondisi umum Legendre Clebs yang menjamin persamaan Hamiltonian akan optimal di sepanjang busur singular.

3.7 Pendekatan Pemrograman Nonlinier

Pemrograman nonlinier (Nonlinear Programming) digunakan untuk diskritisasi masalah kendali optimal dan menginterpretasikan hasilnya sebagai masalah optimasi berdimensi tak hingga

[10]. Misalkan terdapat masalah optimasi seperti berikut ini:

dengan kendala , i = 1, … m

dimana fungsi tujuan dan fungsi kendala di atas diasumsikan kontinu diferensiabel. Permasalahannya adalah untuk mencari solusi yang meminimalkan fungsi tujuan dengan memenuhi kendala di atas. Berikut ini merupakan fungsi Lagrange

dimana , i = 1, … m, merupakan pengali Lagrange.

Agar optimal secara lokal, harus memenuhi kondisi perlu orde pertama Karush-Kuhn-Tucker (KKT). Kondisi KKT merupakan generalisasi dari metode pengali Lagrange untuk kendala pertidaksamaan. Berikut ini merupakan kondisi KKT yang harus dipenuhi [9]

, j = 1, … n , i = 1, … m

, i = 1, … m , i = 1, … m 4. Hasil dan Pembahasan

4.1 Penerapan Teori Kendali Optimal pada Model Pengadaan Bahan Mentah

Untuk menyelesaikan model pengadaan bahan mentah dengan menggunakan teori kendali optimal, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan fungsi Hamiltonian dan Hamiltonian-Lagrangian.

Karena kendali dibatasi, maka Fungsi Hamiltonian-Lagrange

diperoleh dari current value Hamiltonian ditambah pengali Lagrange dan yang dikalikan dengan batas bawah yang ada pada model yaitu batas bawah dan . Sedangkan dikalikan dengan kendala kapasitas gudang dimana , ,

dan .

Kondisi perlu yang dibentuk oleh PMP adalah a. Kondisi stasioner b. Persamaan state c. Persamaan co-state

Kondisi perlu yang dibentuk dengan KKT yang harus dipenuhi untuk mencapai kondisi optimal adalah sebagai berikut

, , , ,

, , Kendali muncul secara linier dalam Hamiltonian sehingga yang optimal tidak dapat ditentukan dari kondisi

(fungsi switching). Karena terbatas maka dapat ditetapkan Hamiltonian yang maksimum seperti dibawah ini

Pada kendali optimal diatas dapat ditetapkan

bahwa ketika untuk

memenuhi permintaan. Oleh karena itu dapat ditulis kembali menjadi

4.2 Solusi Optimal Model Pengadaan Bahan Mentah

4.2.1 Sifat-sifat pada Penyelesaian Model Pengadaan Bahan Mentah

Sifat 1:

Jika margin harga bahan mentah meningkat melebihi dari tingkat suku bunga (discount rate) dikali harga bahan mentah sekarang ditambah biaya penyimpanan

, maka penerapan kebijakan pergudangan lebih baik daripada pengadaan JIT dan kedua kebijakan tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Dari sifat 1 diperoleh kesimpulan:

1. Kebijakan pergudangan dan JIT tidak dapat terjadi pada waktu yang sama.

2. Kondisi

,

mengidentifikasikan calon titik untuk memasuki interval persediaan positif (pergudangan).

Sifat 2:

Jika margin harga bahan mentah menurun melampaui keuntungan penundaan pengadaan , maka penerapan penundaan lebih baik daripada penerapan pengadaan JIT. Pada saat ada permintaan yang harus dipenuhi tetapi persediaan bahan mentah tidak ada sehingga harus diakumulasikan untuk dipenuhi di lain waktu, berarti sama seperti persediaan bernilai negatif dan angka pengadaan bahan mentah sama dengan nol . Dengan kata lain penerapan penundaan dan JIT tidak terjadi secara bersamaan.

Dari sifat 2 diperoleh kesimpulan:

1. Kebijakan penundaan dan JIT tidak dapat terjadi pada waktu yang sama.

2. Kondisi

,

mengidentifikasikan calon titik untuk mengakhiri penundaan atau keluar dari interval persediaan negatif (penundaan).

Sifat 3:

Penerapan kebijakan pergudangan dan pengadaan JIT dapat terjadi secara bersamaan jika .

Dari sifat 3 diperoleh kesimpulan:

1. Kebijakan pergudangan dan JIT dapat terjadi pada waktu yang sama jika .

2. Kendala kapasitas gudang berlaku sejak waktu pemesanan dimulai atau sejak interval persediaan positif.

Sifat-sifat tersebut mengidentifikasi waktu transisi antara interval kebijakan yang satu dengan yang lain. Lebih jelasnya akan dibahas pada sub bab selanjutnya.

4.2.2 Periode Kebijakan Optimal

Dengan menggunakan hasil analisis teori kendali optimal pada sub bab 4.1, maka dapat diperoleh lintasan optimal pada masing-masing kondisi yaitu , , , , , dan

.

1. Pengadaan JIT

Berikut ini merupakan lintasan optimal pada periode pengadaan JIT:

Tabel 4.1 Lintasan Optimal Periode Pengadaan JIT.

Variabel Pengadaan JIT 0 p(t) 0 0 2. Pergudangan (destocking)

Berikut ini merupakan lintasan optimal pada periode pergudangan:

Tabel 4.2 Lintasan Optimal Periode Pergudangan. Variabel Pergudangan 0 0 0 jika jika 3. Penundaan (backlogging)

Berikut ini merupakan lintasan optimal pada periode penundaan:

Table 4.3 Lintasan Optimal pada Periode Penundaan. Variabel Penundaan 0 0 0

Periode kebijakan optimal tersebut dapat dicari dengan cara memperoleh titik-titik kritis dari persamaan yang diperoleh dari sifat 1, 2, dan 3 yaitu

Titik – titik kritis yang menandai perubahan kebijakan pengadaan JIT, pergudangan, dan penundaan adalah:

a. Titik yaitu waktu ketika kebijakan JIT berubah menjadi pergudangan.

b. Titik yaitu waktu ketika kebijakan pergudangan berubah menjadi JIT.

c. Titik yaitu waktu ketika kebijakan JIT berubah menjadi penundaan.

d. Titik yaitu waktu ketika kebijakan penundaan berubah menjadi JIT.

e. Titik yaitu waktu ketika kebijakan pergudangan berubah menjadi penundaan. f. Titik yaitu waktu ketika dilakukan

penambahan atau pengisian ulang bahan mentah.

4.2.3 Langkah-Langkah untuk Memperoleh Solusi Optimal Model Pengadaan Bahan Mentah Berikut ini merupakan langkah-langkah untuk memperoleh solusi optimal dari model pengadaan bahan mentah:

1. Menentukan titik dengan menyelesaikan

persamaan dengan syarat

.

2. Menentukan titik dengan menyelesaikan

persamaan , .

3. Menentukan titik dengan menyelesaikan

persamaan dengan syarat

4. Menentukan titik dengan menyelesaikan

persamaan , .

5. Memeriksa keberadaan titik .

Dikatakan tumpang tindih jika sehingga mengakibatkan titik dieliminasi. Sedangkan titik menjadi titik . Titik dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan

, .

6. Menghitung jumlah pembelian .

7. Menentukan titik .

Titik dapat diperoleh dengan memeriksa jumlah pembelian pada langkah 6 terhadap kapasitas gudang. Dalam hal ini terdapat dua kondisi, yaitu

a. Jika , maka titik = titik . Sedangkan titik , , , , dan nilainya tetap.

b. Jika , maka titik = titik . Titik dan nilainya tetap karena tidak ada pengaruhnya terhadap kapasitas gudang, tetapi titik dan atau berubah. Titik yang baru dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan jumlah

kapasitas .

Titik yang baru diperoleh dari penyelesaian persamaan

, . Jika terjadi tumpang tindih maka tidak perlu mencari titik tetapi mencari titik . Titik yang baru dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan

seperti pada langkah 5.

8. Menghitung NPV biaya pengadaan bahan mentah.

Untuk mendapatkan nilai yang optimal, maka dalam menghitung NPV dapat dibagi menjadi beberapa bagian seperti berikut ini

a. Periode JIT

Jika terdapat periode yang saling tumpang tindih maka NPV-nya adalah

b. Periode pergudangan

dengan

c. Periode penundaan

dengan

e. Pemenuhan permintaan akibat penundaan BJ DB t t rt V

e

p

t

d

t

dt

NPV

(

)

(

)

Jadi nilai NPV biaya pengadaan bahan mentah keseluruhan adalah V IV III II I total NPV NPV NPV NPV NPV NPV 4.3 Simulasi

Dalam simulasi ini menggunakan data parameter sebagai berikut [2]:

p(t) : 5 + sin

t

0

.

7

+ 0.1t Rentang waktu :

0 t

7

d(t) : 1 + 0.1t r : 0.05 hw(t) : 0.1 hb(t) : 0.5 w : 2

NPV biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT adalah sebagai berikut

T rt JIT

e

p

t

d

t

dt

NPV

0

4246

.

41

)

(

)

(

Sedangkan NPV biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT, pergudangan, dan penundaan diselesaikan dengan menggunakan langkah-langkah pada sub bab 4.2.3. Hasilnya adalah 5565 . 6 5565 . 3 8629 . 1 8306 . 0 BJ DB JD lot t t t t

Dari titik kritis di atas diperoleh NPV dari setiap kondisi kemudian dijumlahkan sehingga menghasilkan NPV total

V IV III II I total NPV NPV NPV NPV NPV NPV

Jadi, NPV biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT, pergudangan, dan penundaan adalah 36.1917 yang hasilnya lebih kecil jika dibandingkan dengan NPV biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT saja yaitu 41.4246.

Dibawah ini merupakan grafik solusi optimal pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT, pergudangan, dan penundaan.

Gambar 4.9 Solusi Optimal Model Pengadaan Bahan Mentah.

Keterangan:

Biru : grafik u(t) Merah : grafik x(t) Hijau : grafik p(t) Merah muda : grafik

Dari gambar 4.9 terlihat bahwa nilai awal dan akhir x(t) adalah nol. Hal ini, sesuai dengan kondisi model pengadaan bahan mentah yang diasumsikan di awal penelitian. Kebijakan optimal yang dilakukan adalah JIT-pergudangan-penundaan-JIT sesuai dengan waktu yang telah ditentukan yaitu

t

lot

,

t

JD

,

t

DB

,

dan

t

BJ

.

Pada saat

t

lot

t

t

JD diterapkan JIT dan pergudangan secara bersamaan seperti kondisi yang dibahas pada sifat 3. Hal itu dapat terjadi ketika jumlah pembelian sama dengan kapasitas gudang. Ketika

(

t

)

p

(

t

),

tidak ada pengadaan bahan mentah

u

(t

)

0

yaitu pada saat

t

JD

t

t

DB

0 1 2 3 4 5 6 7 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 t 9464 . 23 8019 . 4 480 . 2 1534 . 0 0770 . 10 1917 . 36 ) (t lot

t

JD

t

DB

t

t

BJ

dengan kata lain pengadaan bahan mentah terjadi ketika

(

t

)

p

(

t

).

Sedangkan ketika

(

t

)

p

(

t

)

terjadi titik switching, yaitu perubahan nilai pada kendali

u

(t

).

Pada solusi optimal ini terdapat dua titik switching, yaitu pada saat

t

JD dan

t

BJ

.

5. Penutup

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil dari penyelesaian model pengadaan bahan mentah adalah

1. Permasalahan pengadaan bahan mentah dapat diselesaikan dengan menggunakan teori kontrol optimal.

2. Biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan pengadaan tepat waktu (JIT), pergudangan, dan penundaan lebih optimal daripada biaya pengadaan bahan mentah yang hanya menerapkan kebijakan JIT. 5.2 Saran

Adapun saran-saran yang dapat diberikan berkenaan dengan penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut:

1. Permasalahan pengadaan bahan mentah dapat dikembangkan dengan menambahkan biaya pemesanan dan waktu tunggu (lead time) pemesanan.

2. Pengadaan bahan mentah lebih dikhususkan pada jenis bahan mentah tertentu, misalkan logam, tepung, atau kayu.

6. Daftar Pustaka

[1] Agung,

Hari.

2007.

”Analisis

Pengadaan

Bahan

Mentah

Mengunakan Teori Kontrol Optimal”.

Tugas Akhir. Jurusan Sistem Informasi

ITS Surabaya.

[2] Arnold, J., Minner, S., dan Eidam, B. 2007. ”Raw Material Procurement with Fluctuating Price”. International Journal of Production Economics 121 (2009) 353-364.

[3] Bunawan. 1994. “Pengantar Manajemen Operasi: Seri Diktat Kuliah”. Jakarta: Gunadarma.

[4] Bryson, A. E. dan Ho, Y. C. 1975. “Applied Optimal Control”. New York: Taylor & Francis Group.

[5] Fabozzi, F. J. dan Drake, P. P. 2009. “Finance: Capital Markets, Financial Management, and Investment Management”. New Jersey: John Wiley Son, Inc.

[6] Kamien, M. I. dan Schwartz, N. L. 1981. ”Dynamic Optimization: The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management”. 1st

edition. North Holland, Amsterdam: Elsevier Science Publishing Co, Inc.

[7] Naidu, D. S. 2002. “Optimal Control Systems”. USA: CRC Presses LLC.

[8] Sethi, S. P. dan Thompson, G. L. 2000. “Optimal Control Theory: Application to Management Science and Economics”. 2nd

edition. New York: Springer Science+Business Media, Inc.

[9] Sharma, S. 2006. “Applied Nonlinear Programming”. New Delhi: New Age International (P) Ltd, Publisher.

[10] Subchan, S. dan Zbikowski, R. 2009. “Computational Optimal Control: Tools and Practice”. UK: John Wiley & Sons Ltd. [11] Wikipedia. 2010. “Net Present Value”.

<http://en.wikipedia.org/wiki/Net_present_val ue>. Diakses pada tanggal 25 Februari 2010. [12] Wikipedia. 2010. “Discounting”.

<http://en.wikipedia.org/wiki/Discounting>. Diakses pada tanggal 25 Februari 2010.