PROSES BERNOULLI & BINOMIAL

PROSES BERNOULLI

&

BINOMIAL

▪ Pertimbangkan proses yang terdiri dari beberapa percobaan berulang.

▪ Setiap percobaan hanya memiliki satu dari dua kemungkinan hasil (outcomes), baik peristiwa 𝐴 atau peristiwa nol ҧ𝐴.

▪ Pada setiap percobaan, probabilitas terjadinya peristiwa akan sama, dan peristiwa diasumsikan independen.

▪ Jika ketertarikan kita berfokus pada jumlah total berapa kali peristiwa 𝐴 terjadi pada sejumlah percobaan berulang yang ditentukan, maka hasilnya adalah proses Bernoulli

PROSES BERNOULLI

Proses Bernoulli adalah proses yang berkaitan dengan penghitungan jumlah total peristiwa independen, masing-masing dengan probabilitas yang sama, terjadi di sejumlah uji coba tertentu.

Contoh fenomena dunia nyata

1. Sebuah koin dibalik 10 kali. Berapa probabilitas bahwa 4 "kepala" akan muncul?

2. Empat orang menempati kantor pada waktu yang sama; probabilitas seseorang “merokok” adalah sama untuk setiap orang, dan aktivitas merokok dianggap independen (tidak bergantung). Pada waktu tertentu, temukan probabilitas

yang terkait dengan masing-masing hal berikut: (a) satu orang merokok, (b) dua orang merokok, dan (c) tiga orang merokok.

3. Jika suatu wilayah metropolitan memenuhi standar kualitas udara, jumlah pelampauan yang diharapkan per tahun adalah 1,0 atau kurang. Jika kualitas udara suatu area sedemikian rupa sehingga jumlah pelampauan yang

diharapkan persis 1,0, berapa probabilitas bahwa (a) lebih dari satu pelampauan akan terjadi dalam satu tahun, (b) lebih dari 3 pelampauan akan terjadi dalam 3 tahun, (c) 6 atau lebih pelampauan akan terjadi dalam 3 tahun?

4. Survei lapangan harus dirancang untuk menyelidiki apakah ada kontaminasi pestisida pada tanah di suatu area. Jika terdapat kontaminasi, pengalaman masa lalu menunjukkan bahwa sampel yang dikumpulkan di area tersebut akan memberikan pembacaan positif (konsentrasi di atas batas ambang) dengan probabilitas yang diketahui. Berapa banyak sampel tanah yang harus dikumpulkan di area tersebut untuk memberikan jaminan 95% bahwa pembacaan positif tidak terlewatkan secara tidak sengaja?

5. Probabilitas sebuah partikel tiba di lokasi tertentu di ruang angkasa diketahui dan sama untuk semua partikel, dan kedatangan dianggap tidak bergantung. Misalkan 10 partikel dilepaskan; berapa probabilitas bahwa (a) 2 partikel akan datang, (b) 3 partikel akan datang, dan (c) 5 partikel akan datang?

Contoh: Jumlah Orang yang Merokok

Misalkan 𝐴₁ menunjukkan peristiwa Orang 1 merokok dan 𝐴₂ menunjukkan peristiwa Orang 2 merokok. Maka, 𝑃 𝐴₁ = 𝑃 𝐴₂ = 1/9. Pada saat tertentu, salah satu dari tiga

kemungkinan hasil dapat terjadi: (a) tidak ada orang yang merokok, (b) satu orang merokok, atau (c) dua orang merokok. Artinya, ruang sampelnya adalah 𝐾 = 0, 1, 2 , di mana 𝐾

adalah jumlah total orang yang merokok. Dalam kasus pertama, tidak ada orang yang merokok, dan probabilitas bahwa 𝐾 = 0 akan dihitung sebagai perpotongan dua peristiwa null independen: 𝑃 𝐾 = 0 = 𝑃 𝐴ҧ₁𝐴ҧ₂ = 𝑞𝑞 = ⁸

9 8

9 = 0,790 Orang 1 mungkin merokok sedangkan Orang 2 tidak merokok:

𝑃 𝐴₁𝐴ҧ₂ = 𝑝𝑞 = 1 9

8

9 = 0,099 Kedua, Orang 1 tidak boleh merokok sementara Orang 2 merokok:

𝑃 𝐴ҧ₁𝐴₂ = 𝑞𝑝 = 8 9

1

9 = 0,099

probabilitas bahwa dua orang merokok pada saat yang sama dihitung sebagai perpotongan dari dua peristiwa merokok independen:

𝑃 𝐴₁𝐴₂ = 𝑝𝑝 = 1 9

1

9 = 0,012

Dengan alasan di atas, kami telah menghitung probabilitas yang terkait dengan semua elemen yang menyusun ruang sampel:

𝑃 𝐾 = 0 = 𝑞² = 0,790 𝑃 𝐾 = 1 = 2𝑝𝑞 = 0,198 𝑃 𝐾 = 2 = 𝑝² = 0,012 Total = 1,000

Peristiwa bahwa "satu orang merokok" adalah kombinasi dari dua kemungkinan ini, da n kemungkinan bahwa satu orang merokok adalah, berdasarkan aturan yang mengatur penyatuan (union) dua peristiwa independen, jumlah dari dua kemungkinan ini:

𝑃 𝐾 = 1 = 𝑝𝑞 + 𝑞𝑝 = 2𝑝𝑞 = 0,099 + 0,099 = 0,198

Gambar 4.1. Distribusi probabilitas untuk jumlah orang yan g merokok di kantor dua orang.

DISTRIBUSI BINOMIAL B(n;p)

Gambar 4.5. Contoh distribusi simetris “berbentuk lonceng”

yang dihasilkan dari model probabilitas binomial saat 𝑝 = 1 /2

Gambar 4.6. Contoh distribusi kemiringan kiri yang dihasilkan oleh model probabilitas binomial saat 𝑝 = 8/9.

Distribusi Probabilitas untuk Jumlah Pelampauan

▪ Di bidang pengendalian polusi udara, Standar Kualitas Keadaan Udara Nasio nal (National Ambient Air Quality Standards disingkat NAAQS) yang diumumk an secara resmi di AS pada tahun 1971 menetapkan batas atas konsentrasi k eadaan polutan yang "tidak boleh dilampaui lebih dari sekali per tahun" di lok asi pemantauan tertentu

▪ Misalkan 𝐾 adalah variabel acak yang menggambarkan jumlah total pelampa uan yang ditemukan dalam periode 1 tahun, dan misalkan 𝑀 adalah variabel acak yang mewakili jumlah total pelampauan yang dihitung dalam periode 3 t ahun. Pertimbangkan situasi yang dijelaskan di atas di mana kualitas udara b erada pada titik kritis di mana ia benar-benar memenuhi (tetapi tidak melebihi ) bentuk statistik dari standar kualitas udara

Misalkan 𝐾 adalah variabel acak yang menggambarkan jumlah total pelampauan yang ditemukan dalam periode 1 tahun, dan misalkan 𝑀 adalah variabel acak yang mewakili jumlah total pelampauan yang dihitung dalam periode 3 tahun

perkiraan jumlah pelampauan untuk periode waktu 1 tahun dan 3 tahun adalah sbb:

𝐸 𝐾 = 1,0 dan 𝐸 𝑀 = 3𝐸 𝐾 = 3,0

Asumsikan bahwa jumlah pelampauan yang terjadi selama periode waktu ini dapat

direpresentasikan sebagai variabel acak yang terdistribusi secara binomial. Pertama-tama, menentukan parameter 𝑛 dan 𝑝 dari distribusi ini untuk dua periode waktu. Dalam kasus pertama, 𝑛 = 365 hari (tidak termasuk tahun kabisat), dan, dalam kasus kedua,

𝑛 = 3 365 = 1095 hari. Menggunakan persamaan untuk nilai ekspektasi dari model probabilitas binomial (Tabel 4.2), 𝐸 𝐾 = 𝑛𝑝. Dalam kasus pertama, kami mengasumsikan bahwa 𝐸 𝐾 = 1,0, jadi kita bisa menyelesaikan persamaan 𝑛𝑝 = 1,0 untuk 𝑝, yang

menghasilkan 365𝑝 = 1,0, atau 𝑝 = 1/365. Pada kasus kedua, 𝐸 𝑀 = 3,0,

sehingga persamaan 1095𝑝 = 3,0 dapat diselesaikan sehingga diperoleh probabilitas 𝑝 = 3/1095 = 1/365

Dengan mengasumsikan bahwa jumlah pelampauan yang diharapkan per tahun adalah 1,0, tingkat pelampauan akan menjadi 1 pelampauan per 365 hari, atau 𝑟 = 1/365, terlepas dar i jangka waktu yang dipilih.

Jadi, dengan menggunakan nilai 𝑛 dan 𝑝 di atas, distribusi probabilitas untuk jumlah pelampauan dalam 365 hari dalam setahun akan diberikan oleh model probabilitas binomial dengan parameter

𝑛 = 365 dan 𝑝 = 1/365, atau 𝑩 365, 1/365 , di mana 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 1/365 = 364/365:

𝑃 𝐾 = 𝑘 = 365 𝑘

1 365

𝑘 364 365

365−𝑘

untuk 𝑘 = 0, 1, 2, … , 365

Istilah awal distribusi ini dapat dihitung dengan mudah dengan kalkulator tangan yang mampu menaikkan angka menjadi pangkat setinggi 365. Misalnya, probabilitas pada 𝐾 = 0 dapat

dihitung sebagai berikut:

𝑃 𝐾 = 0 = 365 0

1 365

0 364 365

365−0

= 1 1 364

365

365

= 0,3674

𝑃 𝐾 = 1 = 365 1

1 365

1 364 365

365−1

= 365 1

365

364 365

364

= 0,3684

𝑃 𝐾 = 2 = 365 ∙ 364 1 ∙ 2

1 365

2 364 365

363

= 0,18419

𝑃 𝐾 = 3 = 365 ∙ 364 ∙ 363 1 ∙ 2 ∙ 3

1 365

3 364 365

362

= 0,06123

Probabilitas kumulatif, 𝐹_𝐾 𝑘 juga merupakan fungsi distribusi kumulatif (CDF) model. Seca ra umum, CDF menyediakan cara mudah untuk menghitung probabilitas yang terkait dengan rentang variabel acak 𝐾, karena 𝐹_𝐾 𝑘 = 𝑃 𝐾 ≤ 𝑘 .

Jadi, untuk menghitung probabilitas bahwa "satu atau lebih sedikit pelampauan" terjadi, ka mi menulis 𝑃 𝐾 ≤ 1 = 𝐹_𝐾 1 = 0,73576

Distribusi Peluang Kumulatif

Tabel 4.3. Distribusi Probabilitas untuk Jumlah Pelampauan, Menggunakan Model Binomial dengan Jumlah Pelampauan yang Diharapkan 1.0

Gambar 4.7. Distribusi probabilitas untuk jumlah hari per tahun melebihi standar kualitas udara ketika jumlah pelampauan yang diharapkan per tahun adalah satu.

N=1.095 hari dan p = 1/365

Menggunakan model proses Bernoulli, distribusi jumlah pelampauan selama 3 tahun, a tau 3 365 = 1095 hari, akan menjadi binomial 𝐁(1095, 1/365) dan variabel acak 𝑀 akan memiliki PMF berikut: 𝑃 𝑀 = 𝑘 = 1095

𝑘

1 365

𝑘 364 365

1095−𝑘

Penggunaan model ini untuk menghitung probabilitas untuk nilai 𝑀 yang besar bisa menj adi membosankan, tetapi empat suku pertama dapat dihitung dengan relatif mudah:

𝑃 𝑀 = 0 = 364 365

1095

= 0,04958

𝑃 𝑀 = 1 = 1095 1

1 365

1 364 365

1094

= 0,14916

𝑃 𝑀 = 2 = 1095 ∙ 1094 1 ∙ 2

1 365

2 364 365

1093

= 0,22414

𝑃 𝑀 = 3 = 1095 ∙ 1094 ∙ 1093 1 ∙ 2 ∙ 3

1 365

3 364 365

1093

= 0,22435 Dengan demikian, probabilitas peristiwa “4 atau lebih pelampauan” :

𝑃 𝑀 ≤ 3 = 𝑃 𝑀 = 0 + 𝑃 𝑀 = 1 + 𝑃 𝑀 = 2 + 𝑃 𝑀 = 3

= 0,04958 + 0,14916 + 0,22414 + 0,22435

= 0,64723

𝑃 𝑀 ≥ 4 = 𝑃 𝑀 > 3 = 1 − 𝑃{𝑀 ≤ 3} = 1 − 0,64723 = 0,35277

Gambar 4.8. Distribusi probabilitas untuk jumlah pelampauan dalam periode 3 tahun ketika jumlah pelampauan yang diharapkan per tahun adalah satu.

TUGAS MANDIRI:

BUAT SATU KASUS/

FENOMENA LINGKUNGAN YANG BERDISTRIBUSI

BINOMIAL, KEMUDIAN GAMBARKAN PLOT

PELUANG DAN FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF (cdf)

Thank you