BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan tujuan penelitian , maka pada bab ini akan dilakukan estimasi model regresi nonparametrik berdasarkan estimator polinomial lokal kernel dengan meminimumkan Weigted Least Square (WLS). Hasil estimasi yang diperoleh akan di terapkan pada model pertumbuhan balita dengan menggunakan estimator polinomial lokal kernel.
4.1 Estimasi Model Regresi Nonparametrik Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal Kernel.
Diberikan data observasi (yi, xi) yang memenuhi regresi nonparametrik, dengan yi sebagai variabel respon dan xi sebagai variabel prediktor. Hubungan yi dengan xi tidak diketahui bentuk fungsinya. Maka kita dapat memodelkan hubungan antara yi dan xi
dapat dimodelkan dengan menggunakan model regresi nonparametrik sebagai berikut :
ݕൌ ݉ (ݔ) ߝ, i= 1,2,3,...,n (4.1)
Model (4.1) dapat ditulis dalam bentuk matriks :
࢟ ൌ ࢿ (4.2)
Dengan
ݔ ൌ ݔଵ
ݔ⋮
൩݉ ൌ ݉ ሺݔଵ)
݉ ሺݔ⋮)൩, ݕ ൌ ݕଵ
ݕ⋮
൩dan ߝൌ ߝଵ
ߝ⋮
൩
ݕଵ
⋮ ൩ൌ ݉ ሺݔଵ)
⋮ ൩ ߝଵ
⋮ ൩
Fungsi m(xi) tidak diketahui bentuk fungsinya dan diestimasi menggunakan estimator polinomial lokal. Untuk mengestimasi m(xi) didekati dengan polinomial derajat p sebagai berikut :
݉ෝ(ݔ) ൌ ݉ෝ(ݔ) + (ݔെ ݔ)݉ෝ(ଵ)(ݔ) ሺݔെ ݔሻଶ݉ෝ(ଶ)ሺݔሻ
2! ڮ ሺݔെ ݔሻ݉ෝ()ሺݔሻ
Ǩ
Jikaߚ(ݔ) =ೝǨሺ௫ሻmaka
݉ෝ(ݔ) ൌ ߚ(ݔ) + (ݔെ ݔ)ߚଵ(ݔଵ) ڮ ሺݔെ ݔሻߚሺݔሻ (4.3) Persamaan (4.3) dapat ditulis menjadi sebagai berikut :
݉ෝ(ݔ) ൌ ்ܺߚ݅ൌ ͳǡʹǡ͵ǡǥ ǡ݊ (4.4) Denganݔො= [1, (ݔെ ݔ)ǡሺݔെ ݔሻଶ, … , (ݔെ ݔሻ]]்dan
ߚመൌ ሾߚǡߚଵǡǥ ǡߚ]்ǡߚ(ݔ) =݉(ݔ)
ݎǨ ǡݎൌ Ͳǡǥ ǡǤ
Fungsi ݉ෝ(ݔ) diperoleh dengan optimasi atau meminimumkan kriteria Weighted Least Square (WLS). Jikaࡿሺࢼሻmerupakan fungsi WLS maka :
ࡿ(ࢼ) ൌ ሺݕ െ ࢄࢼሻ்ܭሺݕ െ ࢄࢼሻ (4.5)
Dengan࢟ൌ ሾݕଵǡݕଶǡǥ ǡݕ] ࢄ ൌ [ݔଵ்ǡǥ ǡݔ்]ǡܭ(∙) =ଵܭ ቀ∙ቁǡ
࢟ ൌ ࢟ෝ
࢟ෝ⋮
൩ ݕ ൌ ݕොଵ
ݕො⋮
൩
K adalah fungsi kernel, h adalah bandwidth,ࡷࢎൌ ݀݅ܽ݃(ࡷࢎǡࡷࢎǡǥ ǡࡷࢎ), ܭൌ ݀݅ܽ݃ሺܭ(ݔଵെ ݔ)ǡܭ(ݔଶെ ݔ)ǡǥ ǡܭሺݔെ ݔሻ
Misalkan ൌ ࢄࢼ, (4.6)
ࢄ ൌ ൦
ݔሺ݄ଵ) 0 ⋯ 0
Ͳ ݔሺ݄ଶ) ⋯ 0
00 0
0 ⋱ 0
ڮ ݔሺ݄)
൪, ࢄሺ݄) = ൦
ͳ ሺݔଵെ ݔሻ ڮ ሺݔଵെ ݔሻ ͳ ሺݔଶെ ݔሻ ڮ ሺݔଶെ ݔሻ 1⋮ ⋮
ሺݔെ ݔሻ ⋱ ⋮ ڮ ሺݔെ ݔሻ
൪
ࢼ ൌ ൮ ࢼ ࢼ
ࢼ⋮
൲ , ࢼൌ ሾߚǡߚଵǡǥ ǡߚ]்
Persamaan (4.6) dapat dinyatakan menjadi :
ࡿ(ࢼ) ൌ ሺ࢟ െ ࢄࢼሻࢀࡷࢎሺ࢟ െ ࢄࢼሻ (4.7)
Bentuk (4.7) dapat diuraikan sebagai berikut :
ࡿ(ࢼ) ൌ ሺ࢟ െ ࢄࢼሻࢀࡷࢎ(࢟ െ ࢄࢼ)
ൌ ሺ࢟ െ ࢄࢼሻࢀ(ࡷࢎ࢟ െ ࡷࢎࢄࢼ)
= (࢟ࢀെ ࢼࢀࢄࢀ)(ࡷࢎ࢟ െ ࡷࢎࢄࢼ)
ൌ ࢟ࢀࡷࢎ࢟ െ ࢟ࢀࡷࢎࢄࢼ െ ࢼࢀࢄࢀࡷࢎ࢟ ࢼࢀࢄࢀࡷࢎࢄࢼ Karena࢟ࢀࡷࢎࢄࢼ adalah skalar, maka
࢟ࢀࡷࢎࢄࢼ ൌ ࢼࢀࢄࢀࡷࢎ࢟ sehingga
ࡿ(ࢼ) ൌ ࢟ࢀࡷࢎ࢟ െ ࢼࢀࢄࢀࡷࢎ࢟ െ ࢼࢀࢄࢀࡷࢎ࢟ ࢼࢀࢄࢀࡷࢎࢄࢼ
ൌ ࢟ࢀࡷࢎ࢟ െ ࢼࢀࢄࢀࡷࢎ࢟ ࢼࢀࢄࢀࡷࢎࢄࢼ (4.8)
Nilai estimasi β yaitu ࢼ dapat diperoleh dengan cara meminimumkan WLS atau meminimumkan S(β). Nilai minimum S(β) didapat dengan pendiferensialan persamaan (4.8) terhadap β atauࣔࡿሺࢼሻ
ࣔࢼ = 0, sehingga diperoleh :
െࢄࢀࡷࢎ࢟ ࢄࢀࡷࢎࢄࢼ ൌ
ࢄࢀࡷࢎࢄࢼ ൌ ࢄࢀࡷࢎ࢟
ࢄࢀࡷࢎࢄࢼ ൌ ࢄࢀࡷࢎ࢟
ሺࢄࢀࡷࢎࢄሻିࢄࢀࡷࢎࢄࢼ ൌ ሺࢄࢀࡷࢎࢄሻିࢄࢀࡷࢎ࢟
ࢼ ൌ ሺࢄࢀࡷࢎࢄሻିࢄࢀࡷࢎ࢟ (4.9) Estimator Polinomial Lokal untukࢼ adalah :
ෝ ൌ ࢄࢼ
ൌ ࢄሺࢄࢀࡷࢎࢄሻିࢄࢀࡷࢎ࢟
4.2 Pemodelan Pertumbuhan Balita Dengan Menggunakan Estimator Polinomial Lokal Kernel.
Estimasi model regresi nonparametrik dengan menggunakan estimator polinomial lokal kernel untuk data pertumbuhan balita di Posyandu Desa Truwolu, Grobogan, Jawa Tengah. Pada penelitian ini, difokuskan untuk mengetahui hubungan antara berat badan terhadap umur. Sampel yang digunakan dalm penelitian ini yaitu untuk balita laki- laki usia 1 sampai 54 bulan sebanyak 110, sedangkan untuk balita perempuan usia 1 sampai 58 bulan sebanyak 110.
Plot data hubungan berat badan terhadap umur untuk balita laki- laki usia 1 sampai 54 bulan ditunjukkan pada gambar 4.1.
Gambar 4.1 Scatterplot berat badan (BB) terhadap umur pada balita laki-laki Berdasrkan gambar 4.1 memperlihatkan hubungan antara variabel respon (berat badan) dengan variabel prediktor (umur) tampak bahwa pada selang usia 1 sampai 54 bulan mengindikasikan kurva mempunyai bentuk pola tertentu dan plot data menunjukkan adanya perubahan perilaku kurva pada selang waktu tertentu. Oleh karena itu, variabel respon yaitu berat badan dan variabel prediktor yaitu umur diasumsikan sebagai regresi nonparametrik.
Plot data hubungan berat badan terhadap umur untuk balita perempuan usia 1 sampai 58 bulan ditunjukkan pada gambar 4.2.
Gambar 4.2 Scatterplot berat badan (BB) terhadap umur pada balita perempuan Berdasarkan gambar 4.2 memperlihatkan hubungan antara variabel respon (berat badan) dengan variabel prediktor (umur) tampak bahwa pada selang usia 1 sampai 58 bulan mengindikasikan kurva mempunyai bentuk pola tertentu dan plot data menunjukkan adanya perubahan perilaku kurva pada selang waktu tertentu. Oleh karena itu, variabel respon yaitu berat badan dan variabel prediktor yaitu umur diasumsikan sebagai regresi nonparametrik.
Untuk mendapatkan model yang sesuai dengan pola data pertumbuhan balita, digunakan langkah- langkah yang sesuai dengan metode analisis seperti yang telah dijelaskan pada bab 3 sebelumnya, yaitu melakukan eksplorasi data, memodelkan data menggunakan estimator polinomial lokal kernel dengan pendekatan regresi nonparametrik dengan cara memilih nilai bandwidth optimal menggunakan generalized cross-validation (GCV), kemudian menghitung mean square error (MSE) dan nilai
determinasi ( R-square) sebagai kriteria pemilihan model terbaik. Sedangkan fungsi kernel yang akan digunakan pada penelitian ini adalah fungsi kernel Gaussian.
Estimasi model regresi nonparametrik polinomial lokal kernel sangat bergantung pada pemilihan bandwidth optimal dan derajat polinomial, dimana penentuan bandwidth optimal dan derajat polinomial dapat dilihat pada nilai GCV minimum. Pada proses estimasi ini, bandwidth optimal dan nilai GCV minimum dihitung pada orde polinomial satu sampai empat ( p= 1, p= 2, p= 3, p= 4 ). Pemilihan bandwidth optimal dan orde polinomial yang digunakan dalam proses estimasi dilakukan dengan memilih nilai GCV minimum pada msing-masing orde polinomial dan bandwidth.
4.2.1 Pemilihan Nilai Bandwidth Optimal dan Orde Polinomial pada Model Regresi Nonparametrik
Langkah pertama sebelum mengestimasi model regresi secara simultan adalah menentukan bandwidth optimal dan orde polinomial. Metode GCV merupakan metode yang digunakan dalam menentukan pemilihan bandwidth optimal dan orde polinomial.
Langkah awal dalam pemilihan bandwidth optimal dan orde polinomial adalah menentukan nilai awal bandwidth dan orde polinomial. Nilai awal dari penentuan bandwidth optimal dan orde polinomial digunakan sebagai acuan dalam estimasi model regresi nonparametrik.
Berikut ini diberikan pemilihan nilai awal bandwidth dan orde polinomial untuk balita laki-laki dengan pendekatan polinomial lokal. Model regresi nonparametrik antara berat badan (BB) terhadap umur dinyatakan dengan :
ݕൌ ݉ (ݔ) ߝǡ݅ൌ ͳǡʹǡ͵ǡǥ ǡ݊
Dimana m adalah kurva regresi yang bentuknya tidak diketahui. Nilai GCV untuk masing- masing orde polinomial dan bandwidth ditunjukkan pada tabel 4.1 sebagai berikut :
Tabel 4.1 Nilai GCV pada Balita Laki-laki
Orde Polinomial (p) Bandwidth (h) GCV Minimum 1
1
53.8 53.9
1.802122 1.802120 2
2
53.8 53.9
1.653859 1.653859 3
3
53.8 53.9
1.674549 1.674549 4
4
53.3 53.4
1.632917 1.632917
Berdasarkan Tabel 4.1 terlihat bahwa pada balita laki-laki untuk tiap-tiap orde polinomial pada nilai GCV minimum adalah 1.632917, dengan nilai bandwidth (h) sebesar 53.3. Dengan demikian, model regresi nonparametrik untuk balita laki-laki didekati dengan Polinomial Lokal dengan nilai awal bandwidth sebesar 53.3 dan orde polinomial p=4. Kemudian bandwidth optimal dan orde polinomial tersebut digunakan untuk estimasi fungsi penghalus m(xi). Hasil estimasi dari pertumbuhan balita laki-laki dapat dilihat pada ( lampiran 6 ). Berdasarkan hasil estimasi fungsi tersebut diperoleh MSE sebesar 1.487844 dan nilai koefisien determinasi (R-square) sebesar 0.8186386.
Plot hasil estimasi berat badan terhadap umur pada balita laki-laki di Posyandu Desa Truwolu, Grobogan, Jawa Tengah menggunakan bandwidth optimal dan orde polinomial dapat dilihat pada gambar 4.3 sebagai berikut :
Gambar 4.3 Scatterplot estimasi berat badan (BB) terhadap umur pada balita laki-laki Berdasarkan gambar 4.3 menunjukkan bahwa mulai umur satu bulan sampai delapan belas bulan mengalami kenaikan berat badan yang signifikan, umur sembilan belas sampai duapuluh tujuh mengalami penurunan, umur dua puluh delapan sampai umur empat puluh tiga penambahan berat badan yang konstan, sedangkan umur empat puluh empat bulan sampai lima puluh empat mengalami penurunan berat badan.
Pemilihan nilai awal bandwidth dan orde polinomial untuk balita perempuan dengan
pendekatan polinomial lokal. Model regresi nonparametrik antara berat badan (BB) terhadap umur dinyatakan dengan :
ݕൌ ݉ (ݔ) ߝǡ݅ൌ ͳǡʹǡ͵ǡǥ ǡ݊
Dimana m adalah kurva regresi yang bentuknya tidak diketahui. Nilai GCV untuk masing- masing orde polinomial dan bandwidth ditunjukkan pada tabel 4.2 sebagai berikut :
Tabel 4.2 Nilai GCV pada Balita Perempuan
Orde Polinomial (p) Bandwidth (h) GCV Minimum 1
1
57.8 57.9
1.550026 1.550025 2
2
57.8 57.9
1.534025 1.534025 3
3
57.8 57.9
1.537860 1.537860 4
4
57.8 57.9
1.524212 1.524211
Berdasarkan Tabel 4.2 terlihat bahwa pada balita perempuan untuk tiap-tiap orde polinomial pada nilai GCV minimum adalah 1.524211, dengan nilai bandwidth (h) sebesar 57.9. Dengan demikian, model regresi nonparametrik untuk balita perempuan didekati dengan Polinomial Lokal dengan nilai awal bandwidth sebesar 57.9 dan orde polinomial p=4. Kemudian bandwidth optimal dan orde polinomial tersebut digunakan
untuk estimasi fungsi penghalus m(xi). Hasil estimasi dari pertumbuhan balita perempuan dapat dilihat pada ( lampiran 8 ). Berdasarkan hasil estimasi fungsi tersebut diperoleh MSE sebesar 1.388796 dan nilai koefisien determinasi (R-square) sebesar 0.7955247. . Plot hasil estimasi berat badan terhadap umur pada balita perempuan di Posyandu Desa Truwolu, Grobogan, Jawa Tengah menggunakan bandwidth optimal dan orde polinomial dapat dilihat pada gambar 4.4 sebagai berikut :
Gambar 4.4 Scatterplot estimasi berat badan (BB) terhadap umur pada balita perempuan
Berdasarkan gambar 4.3 menunjukkan bahwa mulai umur satu bulan sampai dua puluh dua bulan mengalami kenaikan berat berat badan, umur dua tiga bulan sampai dua puluh enam bulan mengalami penurunan berat badan, umur dua puluh tujuh bulan sampai umur lima puluh tiga mengalami penambahan berat badan yang konstan, sedangkan umur lima puluh empat bulan sampai umur lima puluh delapan bulan mengalami penurunan berat badan.
Dari hasil analisa dapat diketahui estimasi model pertumbuhan balita laki-laki maupun perempuan. Untuk memperoleh estimasi model pertumbuhan balita yang optimal maka digunakan parameter penghalusan / bandwidth yang optimal. Parameter bandwidth yang optimal ini dapat diperoleh dengan menggunakan metode generalized cross- validation (GCV). Bandwidth yang optimal adalah bandwidth yang menghasilkan nilai GCV yang minimum. Dengan metode GCV diketahui bahwa masing-masing dari pertumbuhan balita laki-laki maupun perempuan memiliki bandwidth optimal masing- masing. Nilai GCV minimum dan bandwidth optimal dari masing-masing pertumbuhan balita laki-laki maupun perempuan dapat dilihat pada tabel berikut ini :
Tabel 4.3 Nilai Bandwidth Optimal Model Regresi Nonparametrik Polinomial Lokal Kernel Pada Balita Laki-laki dan Perempuan
Orde Polinomial
(p)
Bandwidth (h)
GCV Minimum
MSE R2
Balita laki-laki
4 53.3 1.632917 1.487844 81.86%
Balita perempuan
4 57.9 1.524211 1.388796 79.55%
Berdasrkan tabel 4.3 diperoleh nilai bandwidth optimal sebesar 53.3 dengan orde polinomial p=4, nilai GCV minimum pada balita laki-laki sebesar 1.632917, MSE sebesar 1.487844, dan R-square sebesar 81.86%. Diperoleh nilai bandwidth optimal sebesar 57.9 dengan orde polinomial p=4, nilai GCV pada balita perempuan sebesar 1.524211, MSE sebesar 1.388796 dan R-square sebesar 79.552%.
