BAB I PENDAHULUAN. Y dikatakan linear jika untuk setiap x, Diberikan ruang Hilbert X atas lapangan F dan T B( X ), operator T

(1)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Permasalahan

Bidang ilmu analisis merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang di dalamnya banyak membicarakan konsep, aksioma, teorema, lemma disertai pembuktian dan contoh- contoh baik yang bersifat ilustrasi maupun penyangkal.

Di dalam analisis khususnya analisis fungsional, beberapa ruang yang sering dibicarakan adalah ruang linear, ruang bernorma, ruang Banach, ruang re-Hilbert, dan ruang Hilbert. Ruang pre-Hilbert merupakan ruang linear X yang dilengkapi dengan fungsi yang memetakan setiap anggota XX ke suatu bilangan kompleks dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Fungsi inilah yang kemudian dikenal dengan produk skalar (inner product) pada X. Ruang pre-Hilbert yang lengkap disebut ruang Hilbert. Pemetaan dari suatu ruang linear ke ruang linear yang lain atau dari suatu ruang linear ke ruang linear yang sama disebut operator.

Diberikan ruang Hilbert X dan Y atas lapangan yang sama, yaitu F. Lapangan F yang dimaksud pada tulisan ini adalah  atau . Operator T X: Y dikatakan linear jika untuk setiap ,x yX dan F berlaku (T xy)T x( )T y( ) dan

( ) ( )

T x T x . Operator linear T X: Y dikatakan terbatas jika terdapat konstanta M 0 sehingga T x( ) M x untuk setiap xX . Himpunan semua operator linear terbatas dari X ke Y ditulis ^{B X Y}



^,



. Lebih lanjut, dalam hal X = Y, ^{B X X}



^,



dituliskan ^{B X}

 

^atau^{B Y}

 

^.

Diberikan ruang Hilbert X atas lapangan F dan TB X( ), operator T dapat didekomposisikan menjadi T U T dengan U X: X operator isometri parsial dan T akar kuadrat positif dari T T^* . Selanjutnya, untuk bilangan p>0, operator linear kontinu T yang memiliki sifat

   

^{T T}^* ^p ^ ^TT^* ^p disebut sebagai operator hiponormal-p yang ekuivalen mengatakan T ²^p  T^*²^p, dengan

1

(2)

2 *

T T T . Untuk p=1, operator T disebut operator hiponormal dan untuk ¹ p2 , operator T disebut operator semi-hiponormal. Untuk 0<p<1, operator hiponormal- p telah diteliti oleh matematikawan, diantaranya Aluthge (1999), Duggal (1995), dan Xia (1980). Dalam Aluthge (1999) disebutkan bahwa apabila T operator hiponormal-p dan T U T dekomposisi dari T dengan U operator isometri parsial, maka operator

1 1

2 2

T T U T disebut transformasi Aluthge. Selain itu, dalam Furuta (1996) disebutkan bahwa untuk 1 p>0, apabila T operator hiponormal-p, maka untuk setiap q dengan q p,

hiponormal-1 1 2

q q p

T T U T

q

 

   

 

 . Untuk bilangan q>0, operator

q q

T T U T merupakan perluasan dari transformasi Aluthge. Dalam Berberian (1961) disebutkan bahwa apabila TB H( ) operator kompak dan

 

( ) \ 0

ap T

  , maka   p^{( ) \ 0}T

 

. Dalam Akkouchi (2008), disebutkan sifat- sifat spektrum operator linear terbatas diantaranya jika ST

 

   dan T_ tidak surjektif, maka   _r( )T . Selanjutnya, dalam Patel (1995) disebutkan juga sifat- sifat spektrum hiponormal-p diantaranya jika untuk 0< <¹

p 2 , T hiponormal-p , maka _jp( )T _p( )T .

Hal tersebut kemudian membawa pemikiran untuk menyelidiki karakteristik operator T yang memiliki sifat

   

^{T T}^* ^p ^ ^TT^* ^p. Pembahasan mengenai karakteristik operator hiponormal-p pada tulisan ini, lebih ditekankan pada sifat- sifat operator hiponormal-p pada ruang Hilbert, hubungan operator hiponormal-p dengan operator hiponormal-w, Class (A), paranormal, dan sifat- sifat spektrum titik operator hiponormal-p. Oleh karena itu, perlu dikaji lebih lanjut tentang karakteristik dan sifat- sifat operator hiponormal-p pada ruang Hilbert.

(3)

1.2 Tujuan dan Manfaat Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk memberikan pemahaman dan pengetahuan mengenai sifat- sifat dan karakteristik operator hiponormal-p (p > 0) pada ruang Hilbert. Pembahasan mengenai operator hiponormal-p pada ruang Hilbert bermanfaat membantu mengembangkan ilmu matematika dan aplikasinya, khususnya analisis fungsional.

1.3 Tinjauan Pustaka

Untuk p>0, pembahasan tentang operator hiponormal-p pada ruang Hilbert diawali dengan pendefinisian ruang Hilbert terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan pembahasan mengenai operator pada ruang Hilbert dan terakhir dibahas tentang operator hiponormal-p. Kreyszig (1978) dan Berberian (1961), menjelaskan bahwa ruang bernorma X adalah ruang linear yang dilengkapi dengan norma yang didefinisikan padanya dan dituliskan dengan pasangan



^X^{, .}



, sedangkan ruang linear X yang dilengkapi dengan fungsi produk skalar disebut ruang pre-Hilbert dan ruang bernorma



^X^{, .}



dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalam X konvergen di X. Berberian (1961), memberikan penjelasan mengenai definisi dan konsep dasar tentang ruang Hilbert diantaranya setiap ruang pre-Hilbert X merupakan ruang bernorma terhadap norma . :

,

x  x x untuk setiap xX

dan ruang pre-Hilbert yang lengkap disebut ruang Hilbert. Kreyszig (1978), memberikan penjelasan, untuk X dan Y ruang bernorma atas lapangan yang sama, yaitu F, operator T X: Y dikatakan linear jika T x( y)T x( )T y( ) untuk setiap ,x yX dan (T x)T x( ) untuk setiap xX dan F. Selanjutnya, operator linear T X: Y dikatakan terbatas jika terdapat konstanta M 0 sehingga T x( ) M x untuk setiap xX . Lebih lanjut, himpunan semua operator linear terbatas dari X ke Y ditulis ^{B X Y}



^,



dengan X dan Y ruang bernorma.

(4)

Selanjutnya, Kreyszig (1978) memberikan penjelasan mengenai definisi operator linear tertutup pada ruang bernorma, diketahui X dan Y ruang bernorma dan operator linear T X: Ydikatakan tertutup jika grafik dari T, yaitu

 

 

( ) , : ( ), ( )

G T  x y xD T yT x

tertutup pada ruang bernorma X Y . Berberian (1961) juga memberikan penjelasan mengenai definisi dan konsep operator adjoint pada ruang Hilbert yang diawali dengan membahas Teorema Representasi Riesz. Selain itu, Kreyszig (1978) juga memberikan penjelasan mengenai konsep dasar spektrum pada ruang Hilbert yang nantinya akan digunakan untuk menyelidiki sifat-sifat spektrum titik operator hiponormal-p pada ruang Hilbert.

Konsep mengenai operator hiponormal-p merupakan salah satu konsep yang dipelajari dalam teori analisis fungsional khususnya operator. Furuta (1996) dan Huruya (1997) menjelaskan bahwa untuk p>0, Operator T dikatakan hiponormal-p jika

   

^{T T}^* ^p ^ ^TT^* ^p, ekuivalen mengatakan T ²^p  T^*²^p, dengan

2 *

T T T . Aluthge (1999) mendefinisikan, T operator linear terbatas pada H dengan H ruang Hilbert, T operator hiponormal-p, dan T U T dekomposisi dari T dengan UB H( )isometri parsial, operator

1 1

2 2

T T U T disebut transformasi Aluthge. Furuta (1996) memberikan sifat-sifat berkaitan dengan operator hiponormal-p pada ruang Hilbert, diantaranya untuk 1 p>0, jika T operator hiponormal-p maka untuk setiap q sehingga q p,

hiponormal-1 1 2

q q p

T T U T

q

 

   

 

 .

Aluthge dan Wang (1999) memberikan penjelasan mengenai hubungan operator hiponormal-p dengan operator hiponormal-w, Class (A), paranormal pada ruang Hilbert. Selain itu, Cho dan Jin (1995) memberikan penjelasan bahwa T merupakan operator Class (A) tetapi untuk setiap p>0, T bukan operator hiponormal-p . Berberian (1961) dan Akkouchi (2008), memberikan penjelasan mengenai sifat-sifat spektrum operator linear terbatas pada ruang Hilbert. Selain

(5)

itu, Patel (1995), menjelaskan mengenai sifat-sifat spektrum operator hiponormal- p pada ruang Hilbert.

1.4 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penyusunan tesis ini adalah studi literatur mengkaji semua konsep yang berkaitan dengan operator hiponormal-p pada ruang Hilbert serta sifat- sifatnya dari buku, paper, dan sumber- sumber lain yang bersesuaian. Namun, pada buku, paper maupun sumber yang lain bukti tidak lengkap sehingga peneliti akan melengkapi bukti-buktinya. Selain itu, penulis juga senantiasa berkonsultasi mengenai materi pembahasan dengan dosen pembimbing. Adapun langkah-langkah penelitian di dalam tesis sebagai berikut:

1. Memahami definisi operator hiponormal-p pada ruang Hilbert.

2. Menyelidiki sifat-sifat hiponormal-p.

3. Menyelidiki hubungan operator hiponormal-p dengan operator hiponormal-w, Class (A), dan paranormal.

4. Menyelidiki sifat-sifat spektrum operator hiponormal-p.

Pada langkah ini, dibahas mengenai sifat-sifat spektrum titik operator hiponormal-p, spektrum pendekatan (approximate spectrum), dan spektrum titik hubungan (joint point spectrum). Selain itu, dibahas mengenai hubungan antara spektrum titik operator hiponormal-p, spektrum pendekatan (approximate spectrum), dan spektrum titik hubungan (joint point spectrum).

1.5 Sistematika Penulisan

Tesis ini terdiri dari empat bab. Di dalam BAB I, yaitu pendahuluan, dibahas mengenai latar belakang dan permasalahan, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan tesis.

Dilanjutkan ke BAB II, yang berisi dasar teori. Dalam bab ini, dibahas mengenai konsep yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya, diantaranya konsep ruang bernorma, ruang Hilbert, basis ortonormal, operator linear, operator linear tertutup, operator adjoint, operator pada ruang Hilbert, dan spektrum titik operator

(6)

linear pada ruang Hilbert. Kemudian dilanjutkan ke dalam BAB III yang berisi pembahasan dari hasil penelitian. Dalam BAB III difokuskan untuk membahas definisi dan sifat- sifat operator hiponormal-p pada ruang Hilbert, hubungan operator hiponormal-p dengan operator hiponormal-w, Class (A), paranormal, dan sifat- sifat spektrum operator hiponormal-p. Terakhir, BAB IV memuat tentang kesimpulan dari hasil penelitian.