i
BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT
PADA GRAF
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh: Natalya Dewi Hutami
NIM: 133114002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA
ii
STRONG RAINBOW CONNECTION NUMBER IN GRAPH
A THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program
Written by: Natalya Dewi Hutami Student ID: 133114002
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
vii ABSTRAK
Pada skripsi ini akan dibahas bilangan keterhubungan pelangi kuat untuk graf terhubung tak trivial dan graf lainnya seperti pohon, graf siklus, graf roda dan graf bipartit. Pendistribusian soal ujian nasional dan kertas suara PILKADA merupakan beberapa penerapan dari bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf. Pada pendistribusian soal ujian nasional dan kertas suara PILKADA, bilangan keterhubungan pelangi kuat digunakan untuk menentukan jumlah kelompok pengawalan pendistribusian.
viii ABSTRACT
In this thesis strong rainbow connection number of a nontrivial connected graph and other graphs such as tree, cycle graph, wheel graph and bipartite graph will be discussed. The distribution of the national examination papers and PILKADA ballot papers are some applications of strong rainbow connection numbers of a graph. In the distribution of the national examination papers and PILKADA ballot papers strong rainbow connection numbers are used to determine the number of distributing escort groups.
ix DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INDONESIA……….i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS……….ii
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING……….iii
LEMBAR PENGESAHAN………...iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………..v
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH………...vi
ABSTRAK………vii
BAB II GRAF DAN PEWARNAAN SISI………10
B. Fungsi………...14
C. Teori Graf………...18
D. Jarak dan Keterhubungan………...26
E. Macam-macam Graf……….32
F. Pewarnaan Sisi Pada Graf………..…..38
BAB III BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT PADA GRAF..45
A. Bilangan Keterhubungan Pelangi Pada Graf………46
B. Bilangan Terhubung Pelangi Kuat Pada Graf………..52
C. Aplikasi………83
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan………..98
B. Saran………...100
1 BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan dan batasan
masalah, tujuan dan manfaat penulisan, serta akan disertakan sistematika
penulisan skripsi.
A. Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang penting untuk
dipelajari karena dapat memberikan banyak manfaat dalam menyelesaikan
per-masalahan dalam kehidupan. Konsep teori graf diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Swiss yang bernama Leonhard Euler pada tahun 1736 ketika
mencoba menyelesaikan masalah Jembatan Königsberg. Kota Königsberg di
Prussia (sekarang menjadi Kaliningrad di Rusia) dibangun pada pertemuan dua
buah cabang sungai Pregel. Kota Königsberg terdiri dari sebuah pulau dandaratan
sepanjang tepi sungai yang dihubungkan oleh tujuh jembatan yang ditunjukkan
pada Gambar 1.1.
Gambar 1.1. Ilustrasi Jembatan Kota Königsberg
Pertanyaan yang muncul yaitu apakah mungkin seseorang dapat berjalan –
melewati setiap jembatan satu kali. Dalam menyelesaikan masalah tersebut,
Euler merepresentasikan peta Kota Königsberg ke dalam graf pada Gambar 1.2, di
mana titik menggambarkan daratan dan dan
menggambarkan tujuh jembatan.
Gambar 1.2. Graf Kota Königsberg
Euler memberikan jawaban bahwa tidak mungkin seseorang dapat berjalan – jalan
mengelilingi kotadiawalidan diakhiri di tempat yang sama dengan melewati setiap
jembatan tepat satu kali.
Graf adalah pasangan himpunan (V(G), E(G)),dengan adalah
himpunan tak kosong dari obyek – obyek yang disebut titik dan adalah
himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik – titik yang berbeda
dari V yang disebut sisi, di mana setiap sisi dipasangkan dengan himpunan yang
elemennya disebut titik ujung dari sisi tersebut. Dua buah titik dan dikatakan
bertetangga jika dan hanya jika terhubung oleh sebuah sisi. Sebuah jalan dari
titik uke titik v adalah barisan selang seling berhingga yang terdiri dari titik dan
sisi yang bertetangga pada G dari titik – titik di G (Epp, 2010). Graf tak trivial
jika banyaknya titik minimal dua (Chartrand dan Zhang, 2009).Dua titik u dan v
Gdikatakan terhubung jika dan hanya jika setiap dua titik u, v terhubung(Epp,
2010).
Sebuah pewarnaan sisi pada graf Gadalah sebuah pemberian warna pada sisi
– sisi dalam graf G, di mana satu warna untuk setiap sisi. Jika sisi- sisi yang
bertetangga diwarnai dengan warna yang berbeda maka pewarnaan sisi dikatakan
pewarnaan sisi sejati. Pewarnaan sisi - k adalah suatu pewarnaan sisi sejati yang
menggunakan kwarna. Suatu graf G disebut graf yang sisi – sisinya dapat
diwarnai –k jika terdapat pewarnaan sisi –k pada G. Indeks kromatik G
dinotasikan dengan adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian
sehingga G merupakan graf yang sisinya dapat diwarnai–k (Chartrand dan Zhang,
2009).
Dalam teori graf,konsep pewarnaan sisi mengalami perkembangan. Salah
satu konsep baru dari pewarnaan sisi yaitu keterhubungan pelangi pada graf.
Konsep keterhubungan pelangi pada graf diperkenalkan pada tahun 2006 oleh G.
Chartrand, G.L. Johns, K.A. McKeon dan P. Zhang.Konsep ini termotivasi oleh
ditemukannya kelemahan dalam pegiriman informasi pada agen pemerintahan
Departemen Keamanan Dalam Negeri Amerika Serikat yang dibentuk tahun 2003,
sebagai respon atas ditemukannya kelemahan dalam pengiriman informasi setelah
terjadinya serangan teroris pada 11 September 2001. Keamanan informasi harus
terjaga karena berhubungan langsung dengan keamanan nasional dan juga
terdapat prosedur yang memungkinkan para agen pemerintah untuk mengakses
informasi, sehingga setiap jalur pengiriman informasi membutuhkan suatu kata
dibutuhkan sedemikian sehingga tidak terjadi pengulangan kata sandi angka pada
setiap agen pemerintahan.
Lintasan dari u ke v adalah jalan dari u ke vdi mana tidak terjadi pe-ngulangan
titik maupun sisi (Epp, 2010). Misalkan graf G adalah graf terhubung tak trivial
dank adalah sebuah bilangan bulat positif, didefinisikan pewarnaan sisi
, sehingga setiap dua sisi yang bertetangga boleh memiliki
warna yang sama. Suatu lintasan u – v di G disebut lintasan pelangi jika tidak ada
dua sisi pada lintasan tersebut yang memiliki warna yang sama. Graf dengan
pewarnaanc disebut graf terhubung pelangi jika terdapat lintasan pelangi - ,
untuk setiap pasang titik . Dalam hal ini pewarnaan c disebut pewarnaan
pelangi. Jika terdapat k warna di G maka pewarnaan c disebut pewarnaan-k
pelangi. Selanjutnya bilangan bulat positif terkecilk sedemikian sehingga terdapat
pewarnaan pelangi-k pada G disebut bilangan keterhubungan pelangi. Bilangan
keterhubungan pelangi dari G dinotasikan dengan (Chatrand dan Zhang,
2009).
Jumlah sisi dalam sebuah jalan pada graf G disebut panjang jalan
tersebut.Suatu lintasan geodesik antara dua titik u dan v pada graf G adalah
lintasan u-v dengan panjang minimum. Jumlah sisi dalam suatu lintasan geodesik
antara u dan v disebut jarak, yang dinotasikan dengan (Buckley dan
Lewinter, 2003).Geodesik pelangi antara titik u dan v di G adalah suatu lintasan
pelangi dengan panjang .Graf G disebut terhubung pelangi kuat dengan
pewarnaan jika terdapat geodesik pelangi u – v untuk setiap dua titik u dan v
Selanjutnya bilangan keterhubungan pelangi kuat pada suatu graf terhubung
Gadalah bilangan bulat positif terkecilk sedemikian sehingga terdapat pewarnaan
pelangi kuat- pada G. Bilangan keterhubungan pelangi kuat dinotasikan dengan
(Chartrand dan Zhang, 2009). Dapat ditunjukkan bahwa )
untuk setiap graf terhubung. Yang dimaksud dengan ukuran adalah jumlah sisi
pada graf G. Eksetrisitas pada adalah jarak dari titik ke suatu titik terjauh diG.
Diameter dari Gadalah maksimum dari eksentrisitas titik-titik di G(Buckley dan
Lewinter, 2003). Jika terdapat graf terhubung tak trivial Gdengan ukuran
dan memiliki diameter yang dinotasikan dengan yaitu jarak
maksimum antara dua titik di G maka
Salah satu penerapan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf adalah
pendistribusian soal-soal ujian nasional. Pendidikan Nasional (Diknas) akan
mendistribusikan soal-soal ujian nasional (UN) ke seluruh sekolah di kabupaten
Jember (pelaksanaan UN SMA 2014). Soal ini bersifat rahasia sehingga
membutuhkan tim pengawas pendistribusian soal UN yang terdiri dari unsur
Universitas Negeri Jember (UNEJ), Lembaga Penjaminan Mutu Pendidikan
(LPMP), Polisi resort (Polres), Diknas, dan pihak sekolah. Misal jalur untuk
menjangkau sekolah-sekolah direpresentasikan pada Gambar 1.3di manaj
merupakan pusat penyimpanan soal dan titik awal pendistribusian soal.
Permasalahan yang muncul adalahbagaimana cara menentukan jumlah kelompok
Gambar 1.3.ContohJalur Pendistribusian Soal UN Ke Sekolah- Sekolah Di Kabupaten Jember
Peta jalur distribusi dapat digambar secara ulang menjadi graf dengan bentuk
berbeda seperti pada Gambar 1.4.
Gambar 1.4. Graf Jalur Pendistribusian Soal UN
Misalkan titik adalah SMA yang akan
dituju dan setiap sisi pada graf tersebut menggambarkan jalur pendis-tribusian
soal UN. Setiap sisi pada graf di atas dapat diberi warna sedemikian sehingga
memenuhi pewarnaan pelangi.Dengan menggunakan bilangan keterhu-bungan
pelangi kuat pada graf permasalahan ini dapat diselesaikan dengan lebih mudah.
Didapatkan bahwa minimal warna yang digunakan untuk mewarnai seluruh sisi
pada graf sehingga memenuhi sifat pewarnaan pelangi yaitu lima warna atau
. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa dibutuhkan lima
kelompok pengawal untuk mendistribusikan soal – soal UN dengan aman ke
Berdasarkan penjelasan di atas dalam tugas ahkir ini akan dibahas lebih
lanjut mengenai bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf .
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:
1. Apa yang dimaksud dengan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada
graf?
2. Bagaimana cara menentukan bilangan keterhubungan pelangi kuatpada
graf?
3. Bagaimana penerapan bilangan keterhubunganpelangi kuat pada graf
dalam kehidupan?
C. Batasan Masalah
Pada tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:
1. Graf yang digunakan yaitu grafpohon, graf siklus, graf roda, graf bipartit.
2. Pewarnaan yang digunakan adalah pewarnaan sisi pada graf.
3. Penulis tidak membahas mengenai algoritma perhitungan.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan tugas ahkir ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui apa yang dimaksud bilangan keterhubungan pelangi pada
graf.
3. Mengetahui penerapan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada dalam
kehidupan.
E. Manfaat penulisan
Manfaat yang diharapkan dari penulisan tugas ahkir ini adalah memberikan
motivasi kepada pembaca untuk mempelajari salah satu konsep baru dari teori
graf yaitu bilangan keterhubungan pelangi kuat dan dapat mengetahui penerapan
bilangan keterhubungan pelangi kuat dalam kehidupan.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah metode studi
pustaka yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal
yang berkaitan dengan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf.
BAB II GRAF DAN PEWARNAAN SISI
A. Himpunan
B. Fungsi
C. Teori Graf
D. Jarak dan Keterhubungan
E. Macam-macam Graf
F. Pewarnaan sisi pada graf
BAB III BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI PADA GRAF
A. Bilangan keterhubungan Pelangi Pada Graf
B. Bilangan keterhubungan Pelangi Kuat Pada Graf
C. Aplikasi
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
10 BAB II
GRAF DAN PEWARNAAN SISI
Pada bab ini akan dijelaskan dasar-dasar teori graf yang digunakan dalam
penulisantugas akhir ini. Dasar-dasar teori meliputi: himpunan,fungsi, teori graf,
jarak dan keterhubungan, macam-macam graf dan pewarnaan sisi pada graf.
A. Himpunan
Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai penggunaan konsep
himpunan, misalnya himpunan hewan berkaki empat, himpunan warna
pelangi, himpunan fakultas di Universitas Sanata Dharma, Himpunan
Mahasiswa Matematika (HMM), dan lain-lain. Konsep himpunan tidak hanya
diterapkan secara intuitif dalam kehidupan, namun konsep himpunantelah
dikembangkan menjadi konsep dasar dalam matematika. Pada subbab ini akan
dijelaskan mengenai himpunan.
Definisi 2.1
Himpunan adalah suatukumpulan atau koleksi objek-objek yang mempunyai
kesamaan sifat tertentu dan dilambangkan dengan huruf besar.
Contoh 2.2
adalah himpunan semua bilangan asli.
adalah himpunan semua bilangan bulat.
Definisi 2.3
Suatu himpunanA dalam semesta X dikatakan himpunan bagian dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota dari himpunanA juga
merupakan anggota dari himpunanB. Secara matematis ditulis dengan
Definisi 2.4
Suatu himpunan Adikatakanberhinggajika banyaknya elemen yang termuat di
Adapat dihitung.
Definisi 2.5
Kardinalitas dari himpunan berhinggaX adalah jumlah elemen yang termuat
di dalamX. Kardinalitas dari himpunan berhingga X dinotasikan dengan |X|.
Definisi 2.6
Gabungan dua buah himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen dari
semesta yang merupakan anggota himpunanA atau anggota himpunan Bdan
Definisi 2.7
Irisan dua himpunan dan adalah himpunan semua elemen dari semesta
yang merupakan anggota dan anggota , dinotasikan dengan . Secara
matematis ditulis dengan
Bila maka dan disebut dua buah himpunan saling asing atau
saling lepas.
Definisi 2.8
Selisih dua buah himpunan dan adalah himpunan semua elemen dalam
semesta yang merupakan anggota himpunan dan bukan anggota himpunan
dan dinotasikan dengan . Secara matematis ditulis dengan
Definisi 2.9
Hasil kali kartesius buah himpunan adalah himpunan A
yang memuat semua rangkap terurut ( dengan untuk
Definisi 2.10
Hasil kali kartesius dua buah himpunan dan adalah himpunan semua
pasangan terurut dengan dan dan dinotasikan dengan .
Secara matematis ditulis dengan
Berikut merupakan contoh dari himpunan berhingga, himpunan bagian,
kardinalitas dua buah himpunan, gabungan dua buah himpunan, irisan dua
buah himpunan, selisih dua buah himpunan, hasil kali kartesius dua buah
himpunan.
Contoh 2.11
Misalkan dan . Maka diperoleh bahwa:
1. dan merupakan himpunan berhingga.
2.
a. untuk setiap , yaitu setiap himpunan bagian tidak
kosong.
b. untuk setiap i dan j dengan , yaitu setiap dua himpunan
bagian yang tidak sama adalah saling lepas (atau secara ekivalen, jika dua
himpunan bagian beririsan, maka kedua himpunan bagian itu adalah
sama).
c. yaitu gabungan semua himpunan bagian adalah himpunan
.
Contoh 2.13
Misalkan . Maka keluarga himpunan- himpunan
bagian dari yaitu merupakan suatu partisi dari .
B. Fungsi
Pada subbab ini akan dibahas konsep relasi dan fungsi secara formal dam
matematis meliputi definisi dan contoh tentang relasi, fungsi dan jenis fungsi.
Definisi 2.14
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunan bagian dari .
Ada beberapa cara untuk menyatakan relasi dua himpunanX dan Y, salah
satunya menggunakan diagram panah. Pada diagram panah setiap elemen di X
Berikut merupakan contoh dari relasi dua himpunan dan cara penyajian relasi
menggunakan diagram panah.
Contoh 2.15
Diberikan dua buah himpunan dan maka
. Jadi merupakan
relasi dari himpunan Cdan himpunanD seperti pada Gambar 2.1
Gambar 2.1. Relasi Dari Himpunan C Ke HimpunanD
Selanjutnya adalahrelasi khusus antara elemen-elemen dalam himpunan X
dan elemen-elemen dalam himpunan Y.
Definisi 2.16
Fungsi (pemetaan) adalah relasi khusus f antara elemen-elemen dalam suatu
himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y. Kekhususannya
terletak dalam dua hal, yaitu
a. Setiap elemen dalam himpunan Xberelasi dengan suatu elemen dalam
himpunanY.
b. Elemen dalam himpunan Yyang berelasi dengan elemen dari himpunan
Fungsi dari himpunan X ke himpunan Y dinotasikan dengan . Jika
, maka elemen yang berelasi dengan elemen itu oleh fungsi f
disebut bayangan dari dan dilambangkan dengan .
Contoh 2.17
Misalkan dan . Maka relasi
merupakan suatu fungsidari himpunan F ke
himpunan G, sedangkanrelasi bukan merupakan fungsitetapi
merupakan relasi dari himpunan Fke himpunan G, sebab berelasi
dengan lebih dari satuelemen di G yaitu a dan b,seperti yang terlihat pada
Gambar 2.2.(b).
Gambar 2.2. (a) Fungsi Dari Himpunan FKe Himpunan G, (b) Relasi Himpunan FKe Himpunan G
Berikut ini dijelaskan pengertian fungsi injektif, surjektif dan bijektif
beserta contohnya.
Definisi 2.18
Suatu fungsi disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap
berlaku maka .Sedangkan suatu fungsi
sedemikian sehingga . Lalu suatu fungsi disebut fungsi
bijektif (korespondensi satu-satu) jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif
dan sekaligus surjektif.
Contoh 2.19
Misalkan , dan adalah suatu fungsi maka
merupakan fungsi injektif tetapi tidak surjektif sebab
untuk tidak terdapat sedemikian sehingga seperti terlihat
pada Gambar 2.3. Selanjutnya misalkan , dan
adalah suatu fungsi maka merupakan
fungsi surjektif tetapi tidak injektif sebab tetapi seperti terlihat
pada Gambar 2.3. Sedangkan misalkan adalah suatu fungsi maka
merupakan fungsi injektif dan surjektif
sehingga dapat disebut fungsi bijektif seperti terlihat pada Gambar 2.3.
Definisi 2.20
Atap dari suatu bilangan real x adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar
atau sama dengan x dan dinotasikan dengan .
Contoh 2.22
Misalkanx = 8.3 dan x = 9 maka berdasarkan Definisi 2.21 berturut-turut
diperoleh dan .
C. Teori Graf
Pada subbab ini akan dibahas mengenai teori graf meliputi definisi dan
contoh graf, keterhubungan dan jenis graf
Definisi 2.23
Graf G adalah pasangan himpunan dengan adalah himpunan
tak kosong dari obyek – obyek yang disebuttitik dan adalah himpunan
(mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik–titik yang berbeda dari
yang disebut sisi,di mana setiap sisi dipasangkan dengan himpunan yang
elemennya disebut titik ujung dari sisi tersebut.
Contoh 2.24
Gambar 2.4 menyatakan graf A dengan
Gambar 2.4Graf A Sedangkantitik dan adalah titik ujung dari sisi
Definisi 2.25
Graf trivialadalah graf dengan satu titik. Sedangkangraf tak trivialadalah graf
yang memiliki dua titik atau lebih.
Contoh 2.26
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.5. (a)Graf Taktrivial B, (b) Graf Trivial C
Gambar 2.5 menunjukkan bahwa dan sehingga
jumlah titik pada graf B dan C berturut-turut 3 dan 1. Jadi graf B merupakan
Definisi 2.27
Dua buah titik dikatakan bertetangga jika dan hanya jika terhubung oleh suatu
sisi. Sisi tersebut dikatakan bersisiandengan setiap titik ujungnya.
Contoh 2.28
Perhatikan pada Gambar 2.5(b). Pada gambar tersebut titik dan
dihubungkan oleh sisi sehingga titik dan dikatakan bertetangga, tetapi
titik tidak bertetangga dengan titik sebab tidak dihubungkan oleh suatu
sisi, sehingga sisi dikatakan bersisian dengan titik .
Definisi 2.29
Dua buah sisi yang bersisian pada titik ujung yang sama disebut bertetangga.
Contoh 2.30
Perhatikan Gambar 2.5(a). Gambar tersebut menunjukkan sisi dan sisi
bersisihan pada titik ujung , sehingga dan dikatakan bertetangga.
Definisi 2.31
Misalkan G adalah suatu graf. Gelung dari G adalah suatu sisi dengan satu
Contoh 2.32
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.6. Graf D
Sisi memiliki satu titik ujung yaitu titik , sehingga merupakan gelung
dariD.
Definisi 2.33
Misalkan Gadalah suatu graf. Sisi – sisi di G yang mempunyai himpunan ttik
ujung yang sama disebut sisi pararel dari G.
Contoh 2.34
Pada Gambar 2.6, sisi dan menghubungkan dua titik yang sama yaitu
dan sehingga dan merupakan sisi pararel. Sedangkan dan tidak
menghubungkan dua titik yang sama, maka dan bukan merupakan sisi
pararel.
Definisi 2.35
Misalkan Gadalah graf dan v adalah titik pada G. Derajat v atau deg(v)
maksimal dari G adalah derajat terbesar dari titik-titik pada G dan dinotasikan
dengan .
Contoh 2.36
Perhatikan Gambar2.6.Gambar tersebut menunjukkan bahwa
1. Terdapat tiga sisi yang bersisihan dengan titik yaitu sisi , dan
sehinggadeg .
2. Terdapat dua sisi yang bersisihan dengan titik yaitu sisi dan
sehinggadeg .
3. Terdapat satu sisi dan satu gelung yang bersisihan dengan titik yaitu
sisi dan sehinggadeg .
Jadi .
Definisi 2.37
Suatu graf sederhana adalah graf yang tidak mempunyai gelung atau sisi
pararel.
Contoh 2.38
PerhatikanGambar 2.5(a). Pada grafB tidak terdapat gelung atau sisi pararel,
Definisi 2.39
Misalkan G adalah graf. Orde dari adalah jumlah titik - titik dalam graf
G, dinotasikan dengan .
Contoh 2.40
Graf A pada Gambar 2.4 menunjukkan bahwa ,
sehingga .
Definisi 2.41
Misalkan G adalah graf, ukuran dari G adalah jumlah sisi dalam graf G.
Ukuran graf G dinotasikan dengan .
Contoh 2.42
Graf A pada Gambar 2.4 menunjukkan bahwa ,
sehingga .
Definisi 2.43
Misalkan G adalah graf. Sebuah jalan W dari titik u ke titik v adalah
barisan selang seling berhingga yang terdiri dari titik dan sisi yang bertetangga
pada G dari titik – titik di G. Sehingga jalan disajikan dalam bentuk
di mana menyatakan titik-titik dan menyatakan sisi-sisi, , ,
dan untuk setiap , - dan adalah titik ujung dari . Jalan dari
titik u ke titik v singkatnya disebut jalan u-v.
Jalan pada suatu graf bisa dinyatakan hanya dengan barisan titik asalkan
tidak memuat sisi pararel. Jika tidak memuat sisi pararel maka setiap jalan
di tidak menimbulkan dwimakna dan dapat dijelaskan dengan barisan titik
saja. Pada skripsi ini jalan dinyatakan dengan barisan titik apabila graf tidak
memuat sisi pararel.
Contoh 2.44
Perhatikan Gambar 2.6. Untuk titik dan , merupakan jalan .
Oleh karena merupakan sisi pararel maka jalan dinyatakan menggunakan
barisan titik dan sisi. Untuk titik dan , merupakan jalan dan
bisa nyatakan menggunakan barisan titik saja karena bukan merupakan sisi
pararel.
Definisi 2.45
Misalkan adalah graf. Lintasan dari u ke v pada Gadalah jalan dari uke v di
mana tidak terjadi pengulangan sisi maupun titik. Lintasan dari uke v
Contoh 2.46
Perhatikan Gambar 2.5(a). Pada gambar tersebut, merupakan
lintasan .
Definisi 2.47
Jalan tertutup adalah jalan yang diawali dan diakhiri di titik yang sama.
Contoh 2.48
Perhatikan Gambar 2.6. Untuk titik di graf D, jalan merupakan
jalan tertutup pada graf D.
Definisi 2.49
Sirkuit pada G adalah jalan tertutup yang terdiri dari minimal satu sisi dan
tidak terjadi pengulangan sisi.
Contoh 2.50
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.7. Graf E
Jalan merupakan sirkuit pada graf E sebab tidak terjadi
Definisi 2.51
Siklus adalah lintasan yang diawali dan diakhiri di titik yang sama.
Contoh 2.52
Perhatikan Gambar 2.7. Pada gambar tersebut jalan
bukan merupakan siklus karena terdapat pengulangan titik yaitu dan .
Sedangkan jalan merupakan siklus pada graf E.
Definisi 2.53
Panjang dari suatu jalan adalah jumlah dari sisi – sisi di dalam sebuah jalan
Contoh 2.54
Perhatikan pada Gambar 2.7. Pada graf E, jalan merupakan
jalan dari titik ke , di mana , , adalah sisi-sisi pada jalan, maka panjang jalan dari titik ke adalah jumlah sisi-sisi pada jalan tersebut yaitu
tiga.
Definisi 2.55
Misalkan adalah graf. Sebuah lintasan gedoesik antara titik dan titik
pada adalah lintasan - dengan panjang minimum. Lintasan gedoesik
Contoh 2.56
Perhatikan Gambar 2.7. Untuk dua titik dan , lintasan merupakan
lintasan dengan panjang dua, selanjutnya lintasan merupakan
lintasan dari titik dengan panjang dua, lalu lintasan
merupakan lintasan dari titik ke dengan panjang dua, sedangkan lintasan
merupakan lintasan dari titik dengan panjang satu. Oleh karena
itu lintasan merupakan lintasan geodesik antara titik dan , sebab
lintasan tersebut memiliki panjang yang minimal dibanding lintasan lainnya.
D. Jarak dan Keterhubungan Definisi 2.57
Misalkan adalah graf. Dua titik dan di dikatakan terhubung jika dan
hanya jika terdapat sebuah jalan dari ke .
Contoh 2.58
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.8. Graf F
Untuk dua titik dan terdapat jalan dari ke , sehingga
titik dan dapat dikatakan terhubung.
Suatu graf dikatakan graf terhubung jika dan hanya jika untuk setiap dua
titik dan pada terhubung.
Contoh 2.60
Perhatikan Gambar 2.8. Untuk setiap dua titik u dan v pada F terdapat jalan
dari titik u kev maka Fmerupakan graf terhubung seperti yang terlihat pada
Tabel 2.1.
Tabel 2.1. Jalan dari titik u ke v untuk setiap , di F
Titik u
Jalan titik u ke v Titik v
Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.9. Graf G
Untuk dua titik dan pada graf G, tidak terdapat jalan dari titik ke ,
sehingga graf G tidak terhubung.
Misalkan diberikan dua buah titik pada graf G Jarak antara titik dan
didefinisikan sebagai banyaknya sisi dari suatu geodesik - diG dan
dinotasikan dengan d(u,v).
Contoh 2.62
Perhatikan gambar berikut
Gambar 2.10. Graf H
Untuk dua titik ke pada graf H, merupakan geodesik antara titik
dan , dengan jumlah sisi adalah satu. Jadi d(u,v) = 1.
Definisi 2.63
Misal diberikan suatu titik padaG,eksentrisitas pada v adalah jarak dari
titikv ke suatu titik terjauh di G.Eksentrisitas pada vdinotasikan dengane(v).
Contoh 2.64
Perhatikan gambar berikut , akan dicari e( ).
Gambar 2.11. Graf I Untuk suatu titik pada grafI diperoleh bahwa:
1. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 1.
2. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 2.
3. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 3.
4. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 2.
5. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 2.
6. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 3.
7. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 3.
Sehingga diperoleh jarak ke setiap titik di Iseperti pada tabel dibawah ini.
Definisi 2.65
Misalkan G adalah graf. Diameter dari Gadalah maksimum dari eksentrisitas
titik-titik diG dan dinyatakan dengan diam(G).
Contoh 2.66
PerhatikanGambar 2.11, akan cari diam (I). Untuk dua titik setiap u, v di I
diperoleh jarak dari titik u ke v dan eksentrisitas titik u, seperti pada Tabel 2.3.
Tabel 2.3. Jarak setiap dua titik dan eksentrisitas setiap titik pada graf I
Titik
Jadi menurut Tabel 2.3, diam .
Definisi 2.67
Graf G dan H dikatakan isomorfis jika terdapat sebuah fungsi
bijektif sedemikian sehingga setiap pasang titik u dan
vbertetangga di G jika dan hanya jika dan bertetangga di H. Fungsi
fyang mememenuhi syarat di atas disebut isomorfisma dari GkeH, dan
Contoh 2.68
Gambar 2.12menyatakan graf Jdan K. Fungsi didefinisikan
dengan , , , . Dapat ditunjukkanbahwa
f adalah fungsi bijektifdari ke dan untuk setiap dua titik u dan v di
E, u dan v bertetangga jika dan hanya jika f (u)dan f (v) bertetangga pada
Gambar 2.12.
(a) (b)
Gambar 2.12.(a)Fungsi bijektif dari ke , (b) Graf
E. Macam-Macam Graf
Pada bagian ini akan dibahas definisi dan contoh dari macam-macam graf
dan gabungan graf.
Definisi 2.69
Graf lengkap dengan n titik adalah suatu graf sederhana dengan n titik dan
tepat satu sisi yang menghubungkan setiap pasang dari titik yang berbeda.
Contoh 2.70
Gambar 2.13 merupakan salah satu contoh dari graf lengkap.
Gambar 2.13. Graf
Definisi 2.71
Misalkan adalah graf sederhana. Graf disebut pohon jika dan hanya jika
tidak memuat sirkuit dan terhubung.
Contoh 2.72
Gambar 2.14. Graf PohonL
Gambar 2.14merupakan sebuah pohon, sedangkan Gambar 2.15 bukan
merupakan sebuah pohon sebab memuat sirkut .
Definisi 2.73
Graf bipartit lengkap dengan titik adalah sebuah graf sederhana di mana
titik-titiknya dapat dipartisi menjadiU danW, dengan
dan yang memenuhi sifat-sifat berikut: untuk semua
i, dan untuk semuaj,
1. Terdapat sisi dari setiap titik ke setiap titik .
2. Tidak terdapat sisi dari suatu ke suatu titik .
3. Tidak terdapat sisi dari suatu ke suatu titik
Graf bipartit lengkap dengan titik dinotasikan dengan .
Contoh 2.74
Perhatikan gambar di bawah ini.
Definisi 2.75
Untuk , graf siklusdengan n titik adalah suatu siklus dengan titik. Graf
siklus dengan titik dinotasikan dengan .
Contoh 2.76
Gambar 2.17merupakan salah satu contoh dari graf siklus.
Gambar 2.17. Graf
Definisi 2.77
Jika dan adalah graf yang saling asing, gabungan adalah graf
dengan dan .
Contoh 2.78
Misalkan diberikan dua buah graf K2 dan K3 seperti gambar di bawah ini.
(a) (b)
HimpunanV(K2) = {v1, v2} dan V(K3) = {v3, v4, v5} maka diperoleh himpunan
V(K2 K3) = { v1, v2, v3, v4, v5} dan E(K2 K3) = { v1, v2, v3, v4, v5} sehingga
dapat dibentuk gaf K2 K3, seperti pada gambar berikut.
Gambar 2.19. Graf K2 K3
Definisi 2.79
Jika G danHadalah dua graf yang saling asing, penggabungan
terbentuk dengan menambahkan sisi pada setiap titik sedemikian
sehingga setiap titik terhubung dengan setiap titik . Jika
dan berturut-turut memiliki m(G) dan n(H) titik, maka untuk membentuk
graf haruslah menambahkan sisi pada graf .
Contoh 2.80
Perhatikan Gambar 2.18, akan dibentuk grafK2 K3.Graf K2 dan K3
berturut-turut memiliki m(K2) = 2 dan m(K3) = 3 sehingga m(K2).m(K3) = 6. Untuk
membentuk graf K2 K3 menambahkan sisi pada setiap titik di K2 sedemikian
sehingga setiap titik di K2 terhubung dengan setiap titik K3, dengan
sedemikiansehingga v1beturut-turut terhubung dengan v3,v4 dan v5seperti pada
Gambar 2.20.
Gambar 2.20. Ilustrasi penambahan sisi pada v1
Selanjutnya tambahkan berturut-turut sisi e5, e6 dan e7 pada v2 sedemikian
sehingga v1 berturut-turut terhubung dengan v3, v4 dan v5 seperti pada gambar
berikut seperti pada Gambar 2.21.
Gambar 2.21. Ilustrasi penambahan sisi pada v2
Jadi terbentuklah penggabungan K2 K3 seperti pada gambar berikut.
Definisi 2.81
Untuk graf roda adalah graf hasil penggabungan dari dengan .
Graf roda dinotasikan dengan .
Contoh 2.82
Perhatikan gambar-gambar di bawah ini.
Gambar 2.23. (a) Graf , (b) Graf , (c) Graf
Gambar 2.23(a) merupakan penggabunganK1 C4 yang disebut
.Selanjutnya Gambar 2.23(b) merupakan penggabungan K1 C5 yang
disebut . Sedangkan Gambar 2.23(c) merupakan penggabungan K1 C6
yang disebut .
F. Pewarnaan Sisi Pada Graf
Pada subbab ini akan dibahas mengenai pewarnaan sisi pada graf, yang
diberikan dalam definisi dan contoh-contoh.
Definisi 2.83
Misalkan G adalah graf dengan himpunan sisi – sisi . Himpunan bagian
tersebut yang bertetangga. Sedangkan bilangan kebebasan sisi adalah jumlah
maksimal sisi dari G dalam himpunan bebas.Bilangan kebebasan sisi
dinotasikan dengan .
Contoh 2.84
Diberikan sebuah graf N. Akan dicari bilangan kebebasan sisi dari N.
Gambar 2.24. Graf N
Berdasarkan gambar diatas diperoleh bahwaH= , I= ,
J= ,K= merupakan himpunan kebebasan sisi. Jadi
= 3.
Definisi 2.85
Sebuah pewarnaan sisi pada graf Gadalah pemberian warna pada sisi – sisi
dalam graf , di mana satu warna untuk setiap sisi .
Contoh 2.86
Gambar2.25 menunjukkan pewarnaan sisi pada grafO, dengan himpunan
warna {1, 2, 3, 4, 5}di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau,
Gambar 2.25. Graf Dengan Pewarnaan Sisi-5
Definisi 2.87
Jika sisi- sisi yang bertetangga diwarnai dengan warna yang berbeda maka
pewarnaan sisi dikatakan pewarnaan sisi sejati.
Contoh 2.88
Gambar 2.25 menunjukkan bahwa setiap dua sisi yang bertetangga memiliki
warna yang berbeda, sehingga graf O menggunakan pewarnaan sisi sejati.
Definisi 2.89
Pewarnaan sisi - k adalah suatu pewarnaan sisi sejati yang menggunakan k
warna.
Contoh 2.90
Definisi 2.91
Misalkan diberikan pewarnaan sisi – k pada graf tak kosong G, dengan
menggunakan 1,2,….,k warna dan misalkan adalah himpunan
sisi – sisi di G yang diberi warna i. Maka himpunan – himpunan tak kosong
Misalkan G adalah graf. Suatu graf G disebut graf yang sisi – sisinya dapat
Contoh 2.94
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.26. Graf O Dengan Pewarnaan Sisi -
Karena terdapat pewarnaan sisi denganpadaO maka O adalah graf yang sisi-
sisinya dapat diwarnai .
Definisi 2.95
Misalkan G adalah graf dengan pewarnaan sisi sejati. Indeks kromatik dari G
adalah jumlah minimum warna yang diperlukan sedemikian sehingga sisi –
sisi yang bertetangga di G diwarnai dengan pewarnaan sisi sejati. Indeks
kromatik pada graf G dinotasikan dengan .
Contoh 2.96
Perhatikan Gambar 2.26. Gambar tersebut menunjukkan bahwa graf O dapat
diwarnai menggunakan minimal tiga warna, sehingga indeks kromatiknya
atau .
Teorema 2.97
Bukti:
Misalkan G adalah graf dan . Himpunan adalah kelas
warna sisi pada pewarnaan sisi – k dari graf G. Berarti ada sisi di G yang tidak
termuat di Karena maka merupakan partisi
dariE(G). Sehingga untuk setiap i . Oleh karena itu
Jadi yang ekivalen dengan , sehingga
.
Karena grafG diwarnai dengan pewarnaan sisi-k berarti sisi – sisi yang
bertetangga di G diberi kwarna berbeda. Suatu sisi dikatakan bertetangga jika
bersisian dengan suatu titik yang sama. Pewarnaan sisi pada sebuah grafG
harus memberikan warna yang berbeda pada sisi-sisi yang bertetangga
sehingga untuk setiap titik v di G jumlah warna yang digunakan untuk
mewarnai sisi yang bersisian dengan titik v harus sesuai dengan derajat titik v
pada G atau deg . Jadi
Contoh 2.98
Diberikan graf P dan pewarnaan sisi-4, dengan himpunan warna {1,2,3,4} di
mana1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, 4=warna jingga. Akan
dicari .
Gambar 2.27.GrafP
Gambar 2.27 menunjukkan graf P dengan orde dan ukuran .
Himpunan kebebasan sisi yang dapat dibentuk antara lain:A={ , , },
B={ , , }, C={ , , }. Sehingga berdasarkan Definisi 2.83didapatkan
, maka menurut Teorema 2.97 diperoleh bahwa .
Karena merupakan bilangan bulat maka . Pewarnaan sisi-4
45 BAB III
BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT PADA GRAF
Konsep bilangan keterhubungan pelangi merupakan salah satu variasi dari
pewarnaan sisi. Bilangan keterhubungan pelangi diperkenalkan oleh
Chartrand, Johns, McKeon and Zhang pada tahun 2006. Konsep baru ini
dilatarbelakangi oleh ditemukannya kelemahan dalam pegiriman informasi
pada agen pemerintahan. Departemen Keamanan Dalam Negeri Amerika
Serikat dibentuk tahun 2003 sebagai respon atas ditemukannya kelemahan
dalam pengiriman informasi setelah terjadinya serangan teroris pada 11
September 2001. Keamanan informasi harus terjaga karena berhubungan
langsung dengan keamanan nasional dan juga terdapat prosedur yang
memungkinkan para agen pemerintah untuk mengakses informasi, sehingga
setiap jalur pengiriman informasi membutuhkan kata sandi angka yang
banyak.
Muncul pertanyaan, berapa jumlah minimal angka yang dibutuhkan
sedemikian sehingga tidak terjadi pengulangan kata sandi angka pada setiap
satu lintasan komunikasi atau lebih antara dua agen pemerintahan.
Pertanyaan tersebut dapat dimodelkan dengan bilangan keterhubungan
pelangi. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai bilangan keterhubungan
A. Bilangan Keterhubungan Pelangi Pada Graf
Pada subbab ini akan dibahas mengenai lintasan pelangi, graf terhubung
pelangi, pewarnaan pelangi dan bilangan terhubung pelangi meliputi definisi,
contoh dan teorema.
Definisi 3.1
Misalkan graf G adalah graf terhubung tak trivial dan adalah sebuah
bilangan bulat positif. Didefinisikan pewarnaan sisi ,
sehingga dua sisi yang bertetangga dapat memiliki warna yang sama. Suatu
lintasan dari titik u ke v di G disebut lintasan pelangi jika tidak ada dua sisi
pada lintasan tersebut yang memiliki warna yang sama.
Contoh 3.2
Perhatikan graf dengan pewarnaan sisi – 3, dengan himpunan
warna {1, 2, 3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau. Akan
ditunjukkan bahwa terdapat lintasan pelangi di P.
Gambar3.1. Graf Petersen Dengan Pewarnaan Sisi Untuk setiap dua titik u dan v terdapat lintasan pelangi dari titik u ke
Tabel 3.1. Lintasan pelangi untuk setiap dua titik pada graf
Titik
Jalan - v
Tabel 3.2. Lanjutan Tabel 3.1
Titik
Jalan -v
Definisi 3.3
Misalkan graf G adalahgraf terhubung tak trivial dan sebuah bilangan bulat
positif . Didefinisikan pewarnaan sisi , sehingga dua
pewarnaan sisi disebut terhubung pelangi jikauntuk setiap pasang titik
terdapat lintasan pelangi.
Contoh 3.4
Graf Petersen pada Gambar3.1dapat dikatakan terhubung pelangi sebab
menurut Tabel3.1 dan Tabel 3.2 setiap dua titik dan di terdapat lintasan
pelangi . Sedangkan graf Q dengan pewarnaan sisi 3 yang himpunan
warnanya {1, 2, 3} seperti pada Gambar 3.2 bukan terhubung pelangi, sebab
tidak terdapat lintasan pelangi - .Warna merah menyatakan warna 1, warna
biru menyatakan warna 2 dan warna hijau menyatakan warna 3.
Gambar3.2. Graf Q Dengan Pewarnaan Sisi
Definisi 3.5
Misalkan adalah graf. Pewarnaan sisi pada dikatakan pewarnaan pelangi
jika pewarnaan itumenyebabkan graf terhubung pelangi. Sedangkan
pewarnaan pelangi yang menggunakan warna disebut pewarnaan pelangi
Contoh 3.6
Pewarnaan sisi graf pada Gambar3.1 merupakan pewarnaan pelangi
karena menyebabkan terhubung pelangi. Sedangkan pewarnaan sisi graf
Q dengan pada Gambar3.2 bukan pewarnaan pelangi karena tidak
menyebabkan Qterhubung pelangi.
Definisi 3.7
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial.Bilangan bulat positif terkecil
sedemikian sehingga terdapat pewarnaan pelangi pada disebut bilangan
keterhubungan pelangi pada G. Bilangan keterhubungan pelangi pada
dinotasikan dengan .
Selain dalam pengamanan informasi rahasia antar agen pemerintahan,
bilangan keterhubungan pelangi juga diterapkan pada bidang jaringan.
Misalkan menyatakan suatu jaringan seluler. Misalkan akan dikirim sebuah
pesan antara dua titik, pengiriman informasi tersebut dengan syarat bahwa rute
antara dua titik (direpresentasikan sebagai sisi pada lintasan di ) diberikan
suatu saluran atau (saluran direpresentasikan sebagai warna).Akan
diminimalkan jumlah saluran berbeda yang digunakan. Jumlah saluran
minimal yang digunakan dimodelkan dengan bilangan keterhubungan pelangi
pada graf . Permasalahannya adalah bagaimana cara untuk menentukan
bilangan keterhubungan pelangi tersebut.Selanjutnya diberikan Teorema 3.8
Teorema 3.8
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial maka .
Bukti:
Misalkan G adalah graf dengan pewarnaan sisi c dan . Sehingga
berdasarkan Definisi 2.61 danDefinisi 2.63maka
Ini berarti terdapat dua titik di , misal dan yang dihubungkan geodesik
dengan panjang . Oleh karena geoesik adalah geodesik
terpanjang sehingga minimal warna yang diperlukan untuk mewarnai graf
sedemikian sehingga setiap dua titik dan di terdapat lintasan pelangi
adalah warna .Oleh karena itu
Contoh 3.9
Berdasarkan Gambar3.1 terdapat pewarnaan pelangi pada graf Petersen
berarti Oleh karena maka akan dicari .
Sebelum mencari terlebih dahulu dicari jarak setiap dua titik dan
Tabel 3.3. Jarak setiap dua titikdi graf
pewarnaan pelangi di , sebab jika diberikan suatu pewarnaan sisi pada
dan didefinisikan sebagai pemberian dua warna pada sisi-sisi di terdapat
dua sisi yang berwarna sama yaitu dan seperti pada Gambar3.3.
Gambar3.3. Graf Petersen Dengan Pewarnaan Sisi
Sehingga lintasan bukan lintasan pelangi, maka tidak terhubung
B. Bilangan Keterhubungan Pelangi Kuat Pada Graf
Pada subbab ini akan dibahas mengenai pelangi geodesik, pewarnaan
pelangi kuat, terhubung pelangi kuat,bilangan keterhubungan pelangi dan
bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf terhubung tak trivial, graf
pohon, graf siklus, graf roda dan graf bipartit meliputi definisi, contoh dan
teorema.
Definisi 3.10
Misalkan adalah pewarnaan sisi pada graf terhubung tak trivialG. Untuk dua
titik u dan v di G, suatu pelangi geodesik adalah lintasan pelangi -
dengan panjang .
Contoh 3.11
Gambar3.4 menunjukkan graf Petersen dengan pewarnaan sisi . Untuk
suatu titik dan , lintasan adalah lintasan pelangi dengan panjang
. Sehingga lintasan pelangi adalah pelangi geodesik - .
Sedangkan lintasan bukan pelangi geodesik - sebab tidak
memiliki panjang minimum.
Definisi 3.12
Suatu graf terhubung tak trivial G dikatakan terhubung pelangi kuat jikaG
memuat pelangi geodesiku-v untuk setiap titik u dan v diG.
Contoh 3.13
Graf Petersen P dengan pewarnaan sisi pada Gambar3.4 terhubung pelangi
kuat sebab graf P memuat lintasan pelangi geodesik u-v untuk setiap titik u
danv di .
Tabel 3.5. Pelangi geodesik untuk setiap dua titik pada graf P
Titik
Pelangi geodesik
Tabel 3.6. Lanjutan Tabel 3.5
Titik
Sedangkan graf P dengan pewarnaan sisi pada Gambar3.1 terhubung
pelangi tapi tidak terhubung pelangi kuat sebab tidak terdapat pelangi
geodesik .
Definisi 3.14
Misalkan G adalah graf. Pewarnaan sisi pada G dikatakan pewarnaan sisi
pelangi kuat jika pewarnaan itu menyebabkan graf terhubung pelangi kuat.
Pewarnaan sisi pelangi kuat singkatnya disebut pewarnaan pelangi kuat.
Sedangkan pewarnaan pelangi kuat yang menggunakan warna disebut
pewarnaan pelangi kuat – .
Contoh 3.15
Pewarnaan sisi graf Petersen pada Gambar3.4 merupakan pewarnaan
pelangi kuat sebab menyebabkan graf Pterhubung pelangi kuat. Sedangkan
pewarnaan sisi graf Petersen pada Gambar3.1 bukan merupakan pewarnaan
pelangi kuat sebab tidak menyebabkan graf P terhubung pelangi kuat.
Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial.Bilangan bulat positif terkecil
sedemikian sehingga terdapat pewarnaan pelangi kuat pada Gdisebut
bilangan keterhubungan pelangi kuat pada G. Bilangan keterhubungan
pelangi kuat pada dinotasikan dengan .
Teorema3.17
Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial, maka
Bukti:
Misalkan G adalah suatu graf terhubung tak trivial dengan . Karena
sehingga terdapat pewarnaan pelangi pada G Oleh karena
terdapat pewarnaan pelangi di G, ini berarti terhubung pelangi. Sehingga
terdapat lintasan pelangiu-v, untuk setiap pasang titik u,v .
Kasus 1: Misalkan untuk setiap pasang titik , terdapat lintasan
pelangi yang merupakan pelangi geodesik , berarti
terhubung pelangi kuat sehingga pewarnaan sisi merupakan
pewarnaan pelangi kuat . Jadi
Kasus 2: Misalkan untuk suatu titik dan , setiap lintasan pelangi
bukan merupakan pelangi geodesik, ini berarti tidak terhubung
pelangi kuat. Oleh karena itu pewarnaan sisi bukan pewarnaan
pelangi kuat. Sehingga
Jadi berdasarkan kasus 1 dan 2
Teorema3.18
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial, dengan ukuran m(G) maka
.
Bukti:
Sudah cukup jelas bahwa pasti tidak pernah melampaui ukuran graf .
Contoh 3.19
Misalkan adalah graf Petersen dengan . Menurut Contoh 3.9
maka menurut Teorema 3.17 dan Teorema3.18 diperoleh bahwa
. Namun pewarnaan pelangi pada Gambar3.1 bukan
merupakan pewarnaan pelangi kuat karena tidak menyebabkan terhubung
Contoh 3.20
Akan dicari dan untuk graf . Perhatikan gambar berikut
T
Gambar 3.5. Graf Penyelesaian:
Akan dicari
Tabel 3.7. Jarak tiap dua titik dan eksentrisitas tiap titik pada T
Titik
2, 3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau.
Misalkan
, .
Gambar 3.6. Graf T Dengan Pewarnaan Sisi
Menurut Gambar 3.6 , tidak terdapat lintasan pelangi , berarti
tidak terhubung pelangi, sehingga tidak terdapat pewarnaan pelangi di
, muncul kontradiksi. Jadi maka dengan kata lain
terdapat pewarnaan pelangi-4 dengan himpunan warna {1, 2, 3, 4}, seperti
pada Gambar 3.7di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau
dan 4=warna ungu.
Akan dicari
Karena maka menurut pertidaksamaan (2)
Diasumsikan .Bilangan berarti terdapat pewarnaan
pelangi seperti pada Gambar 3.7. Untuk setiap dua titik dan di
akan dicari lintasan pelangi dengan panjang .
Tabel 3.8.Pelangi geodesik tiap dua titik diT
Titik
Pelangi geodesik
Tabel 3.9. Lanjutan Tabel 3.8
Titik
Karena untuk setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi kuat, maka
T terhubung pelangi kuat, sehingga pewarnaan pelangi juga merupakan
pewarnaan pelangi kuat . Jadi .
Teorema 3.21
Misalkan dan adalah graf terhubung tak trivial. Maka
jika dan hanya jika
Bukti :
Untuk , akan dibuktikan jika dan hanya jika
Jika , akan ditunjukkan . Menurut pertidaksamaan
(2) dan karena terhubung maka , sehingga adalah graf
lengkap. Karena berarti terdapat pewarnaan pelangi pada
. Graf adalah graf lengkap maka setiap dua titik dan dihubungkan
oleh sebuah sisi. Sehingga pewarnaan pelangi juga merupakan
dengan kata lain jumlah maksimum sisi-sisi dari suatu geodesik di
adalah 2. Selanjunya karena maka terdapat pewarnaan
pelangi di . Karena diam dan terdapat pewarnaan
pelangi di , maka lintasan pelangi adalah pelangi geodesik
maka pewarnaan pelangi adalah pewarnaan pelangi kuat . Jadi
.
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial dengan . Menurut
Teorema 3.17diperoleh bahwa . Karena bukan merupakan
Gambar3.8. (a) Graf , (b) Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Karena graf lengkap maka diam dan menurut Teorema 3.8
diperoleh bahwa . Karena setiap dua titik dan di
dihubungkan oleh sebuah sisi sehingga minimal warna yang digunakan
adalah 1 warna, misalkan warna warna merah. Jadi . Maka
menurut Teorema3.21
Teorema 3.23
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial dengan ukuran . Maka
jika dan hanya jika adalah sebuah pohon.
Bukti
Misalkan akan dibuktikan adalah sebuah
pohon. Diasumsikan adalah bukan sebuah pohon. Maka memuat suatu
sirkuit
di mana . Maka pewarnaan sisi yang memberikan
warna 1 untuk sisi dan dan warna berbeda dari
himpinan warna untuk sisi lainnya pada
adalah pewarnaan pelangi, dengan 1=warna merah, 2=warna biru,
=warna kuning, =warna cokelat dan =
Gambar3.9. Graf Dengan Pewarnaan
Jadi . Kontradiksi dengan . Sehingga
haruslah sebuah pohon.
Misalkan adalah sebuah pohon dengan ukuran . Akan dibuktikan
.
Diasumsikan bahwa . Oleh karena
sehingga terdapat pewarnaan pelangi
dari . Maka terdapat sisi dan yang diwarnai dengan
warna yang sama. Misalkan diambil salah satu titik atau dan salah satu
titik atau yaitu titik dan sehingga terdapat lintasan yang
memuat sisi dan diilustrasikan Gambar3.10.
Gambar3.10. Graf pohon
Karena terdapat dua sisi pada lintasan yang berwarna sama maka
lain yang tidak memuat sisi dan yang merupakan lintasan
pelangii , hal tersebut menunjukkan bahwa terdapat sirkuit di ,
kontradiksi dengan adalah pohon dengan ukuran . Jadi
Contoh 3.24
Gambar3.11 menyatakan suatu graf
Gambar3.11. Graf pohon
Karena graf merupakan pohon dengan , jadi menurut
Teorema3.42 diperoleh bahwa .
Teorema 3.25
Misalkan adalah graf siklus dengan banyak titik di mana . Maka
.
Bukti:
Misalkan terdapat graf siklus : dan untuk setiap dengan
dan . Untuk membuktikan pernyataan di atas, akan
Kasus 1:
Untuk genap. Misalkan , untuk setiap bilangan bulat sehingga
. Maka menurut pertidaksamaan (1),
. Pewarnaan sisi dari didefinisikan sebagai berikut,
Diilustrasikan dalam Gambar3.12 dengan 1=warna merah, 2=warna biru,
k=hijau, (k-1)=ungu.
Gambar3.12. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Untuk setiap dua titik dan terdapat pelangi geodesik seperti yang
terlihat dalam Gambar3.11 maka terhubung pelangi kuat, maka pewarnaan
sisi adalah suatu pewarnaan pelangi kuat– . Karena merupakan
pewarnaan pelangi kuat – maka dan menurut pertidaksamaan
Kasus 2:
Untuk ganjil. Misalkan , untuk bilangan bulat .
Didefinisikan pewarnaan sisi dari sebagai berikut,
Dengan kata lain , ,…,
, sehingga untuk setiap dua titik dan terdapat
pelangi geodesik , maka pewarnaan pelangi adalah suatu pewarnaan
pelangi kuat . Karena pewarnaan pelangi adalah pewarnaan pelangi
kuat sehingga , maka menurut pertidaksamaan
(2) . Karena diam sehingga , jadi
atau Akan dibuktikan bahwa .
Asumsikan sehingga terdapat suatu pewarnaan pelangi ,
misalkan dan tanpa mengurangi perumuman misalkan .
Dipandang titik-titik dan . Misalkan lintasan
adalah pelangi geodesik dan lintasan : adalah
Gambar 3.13. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Ini berarti tidak terdapat lintasan pelangi . Jadi bukan pewarnaan
pelangi . Kontradiksi dengan pewarnaan pelangi . Jadi
. Oleh karena berdasarkan persamaan (2)
di-peroleh bahwa , sehingga .
Jadi
Contoh 3.26
Diketahui graf siklus , akan dicari nilai dan .
Penyelesaian:
Menurut Teorema3.46 diperoleh bahwa .
Karena berarti terdapat pewarnaan pelangi di dengan himpunan
warna {1,2,3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, seperti
Gambar3.14. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Teorema 3.27
Bilangan keterhubungan pelangi dari graf roda untuk adalah
Bukti:
Berdasarkan definisi , itu berarti terdapat dengan
dan satu titik yang terhubung dengan setiap titik di .
Akan dibagi menjadi 3 kasus:
Kasus1:
Untuk , karena , menurut pembuktian Teorema3.22 diperoleh
bahwa .
Kasus 2:
Untuk , karena graf bukan graf lengkap sehingga .
Didefinisikan pewarnaan sisi , dengan 1=warna merah,
dan
Seperti yang terlihat dalam Gambar3.15
(a) (b) (c)
Gambar 3.15.(a) Graf Dengan Pewarnaan Sisi , (b) Graf Dengan
Pewarnaan Sisi , (c) Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Oleh karena pewarnaan sisi merupakan pewarnaan pelangi , maka
diperoleh bahwa .
Kasus 3:
Untuk ,karena bukan graf lengkap sehingga diperoleh
wa . Diasumsikan . Ini berarti terdapat pewarnaan
pelangi di dengan himpunan warna {1, 2} di mana 1=warna merah dan
2=warna biru. Karena terdapat pewarnaan pelangi di berarti untuk
setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi
Misalkan adalah pewarnaan pelangi dari . Diasumsikan
dan adalah satu-satunya lintasan pelangi dengan panjang ,
sehingga untuk setiap dengan yang ditunjukkan
Gambar3.16. Graf
Karena satu- satunya lintasan yang memiliki panjang 2 adalah
sehingga jika maka supaya terdapat lintasan pelangi
. Dengan cara yang sama didapatkan jika maka
. Karena maka Selanjutnya jika
maka . Sehingga karena dan
maka tidak terdapat lintasan pelangi . Ini kontradiksi
dengan terdapat pewarnaan pelangi pada Jadi .
Didefinisikan pewarnaan sisi dengan pada sebagai
berikut
dan untuk setiap yang ditunjukan oleh Gambar3.17
Gambar3.17. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Karena setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi sehingga
pewarnaan sisi adalah pewarnaan pelangi sehingga diperoleh
Oleh karena , jadi untuk .
Contoh 3.28
Diberikan sebuah graf , akan dicari nilai dari . Menurut
Teorema3.46 diperoleh bahwa , sehingga terdapat pewarnaan
pelangi di dengan himpunan warna {1,2},di mana 1=warna merah,
Gambar3.18. Graf Dengan Pewarnaan Pelangi
Teorema3.29
Bilangan keterhubungan pelangi pada graf roda untuk adalah
Bukti:
Misalkan terdiri dari graf dan satu titik yang
terhubung dengan setiap titik di . Akan dibagi menjadi 3 kasus
Kasus 1: Untuk , graf dan menurut Teorema 3.27diperoleh
bahwa maka berdasarkan Teorema 3.21diperoleh bahwa
.
Kasus 2: Untuk ,menurut Teorema 3.27 diperoleh bahwa
maka berdasarkan Teorema 3.21. diperoleh bahwa
Kasus 3: Untuk , akan dibuktikan . Misalkan maka
terdapat suatu bilangan bulat sehingga . Selanjutnya
akan ditunjukkan
Pertama-tama akan ditunjukkan . Diasumsikan
maka terdapat pewarnaan pelangi kuat pada . Karena
maka dapat dibentuk himpunan sedemikian sehingga
dan semua sisi dengan memiliki warna yang sama. Maka
terdapat dua titik sehingga jumlah sisi pada geodesik di
lebih dari sam dengan 3 atau dan jumlah sisi pada geodesik
di sama dengan 2 atau . Karena
merupakan satu-satunya geodesik di , akibatnya tidak terdapat
pelangi geodesik di . Ini berarti tidak terdapat pewarnaan pelangi
kuat ,kontradiksi dengan . Jadi .
Selanjutnya, akan ditunjukkan Didefinisikan suatu pewarnaan
sisi pada sebagai berikut
Karena setiap dua titik terdapat pelangi geodesik di sehingga
pewarnaan sisi adalah pewarnaan pelangi kuat . Maka diperoleh
bahwa . Jadi untuk .
Contoh 3.30
Diberikan graf sebuah graf , akan dicari nilai dari . Menurut
Teorema3.29 terdapat pewarnaan pelangi kuat pada , dengan kata lain
3 dengan himpunan warna {1, 2, 3} di mana 1= warna merah, 2=
warna biru, 3= warna hijau, seperti pada gambar dibawah ini.
Gambar3.19. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Teorema 3.31
Bilangan keterhubungan pelangi kuat dari graf bipartit untuk suatu
bilangan bulat dan dengan adalah
Bukti:
Untuk himpunan titik-titik pada dapat dipartisi menjadi dua
himpunan, misalkan dan , karena di
dihubungkan ke setiap titik di sehingga merupakan satu-satunya
lintasan dan juga merupakan geodesik dengan dan
terdapat pewarnaan pelangi kuat di adalah seperti yang ditunjukkan pada
Gambar3.20. Jadi benar bahwa .
Gambar3.20. Graf Dengan Pewaranaan Pelangi Kuat
Selanjutnya diasumsikan untuk , , maka
Sehingga maka .
Akan ditunjukkan bahwa . Asumsikan . Maka
terdapat pewarnaan yaitu pewarnaan pelangi kuat . Himpunan
titik-titik dapat dipartisi menjadi dua himpunan, misalkan dan
, dengan dan , sehingga
kardinalitas dan berturut- turut dan . Untuk setiap titik
didefinisikan suatu kode yang disebut kode
warna dari , di mana untuk seperti pada Gambar3.21.
Karena terdapat pewarnaan pelangi kuat sehingga untuk
setiap , maka banyaknya warna berbeda pada kode warna dari titik-
titik di paling banyak . Tetapi karena karena maka
terdapat dua titik berbeda yaitu dan di sehingga kode
kode . Lintasan dan berturut- turut merupakan satu- satunya
geodesik dan geodesik dan karena untuk
terurut di . Selanjutnya
s kali
dan adalah himpunan hasil kali seluruh elemen dalam setiap pasangan
terurut di .Jadi .
Misalkan titik- titik di dilabeli dengan
anggota dari sedemikian sehingga dilabeli dengan
anggota dari . Untuk setiap dengan didefinisikan label
dari dengan
untuk setiap yang diilustrasikan dengan Gambar3.22.
Gambar3.22. Graf
sehingga untuk . Didefinisikan pewarnaan
dengan untuk dan
. Sehingga kode warna dari adalah kode
, maka titik-titik berbeda di memiliki kode warna berbeda.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa adalah pewarnaan pelangi kuat
geodesik dan karena kode warna berbeda untuk setiap titik- titik
berbeda di maka geodesik adalah pelangi geodesik .
Diambil sebarang dua titik dan di . Karena titik-titik tersebut
memiliki kode warna berbeda sehingga adalah pelangi geodesik
di untuk suatu dengan . Selanjutnya diambil sebarang dua
titik dan di sedemikian sehingga . Lintasan
merupakan satu-satunya geodesik dan karena terdapat suatu
dengan sehingga , maka geodesik
adalah pelangi geodesik . Oleh karena itu terbukti bahwa
adalah pewarnaan pelangi kuat dari . Jadi .
Contoh 3.32
Diberikan graf bipartit , akan dicari nilai dari Menurut Teorema
3.31 bahwa , dengan kata lain terdapat
pewarnaan pelangi kuat di , dengan himpunan warna {1, 2} di mana
Gambar3.23. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Toerema 3.33
Bilangan keterhubungan pelangi dari graf untuk suatu bilangan bulat dan
dengan adalah
Bukti:
Diketahui bahwa sehingga maka .
Misalkan himpunan titik- titik di dipartisi menjadi himpunan dan
, di mana dan ,
sehingga kardinalitas dan berturut- turut dan . Akan dibagi menjadi 3
Kasus 1: Jika maka . Menurut Teorema 3.31 diperoleh bahwa
dan karena diam maka menurut
pertidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Jadi
.
Kasus 2: Jika maka . Menurut Teorema 3.31 diperoleh
bahwa dan karena diam maka menurut
pertidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Jadi
atau . Akan dibuktikan .
Asumsikan maka terdapat pewarnaan pelangi di
. Sehingga terdapat kode untuk setiap di
dengan untuk . Karena
Asumsikan ini berarti terdapat pewarnaan
pelangi di . Sehingga terdapat kode
untuk setiap di dengan untuk
. Karena maka terdapat dua titik berbeda dan
