Modul ke: Konsep Diferensiasi. Pusat Bahan Ajar dan E-learning

Modul ke:

Matematika

Matematika Bisnis Bisnis

Konsep Diferensiasi

Pusat Bahan Ajar dan E-learning

ALJABAR KALKULUS

Konsep matematika yg mempelajari tingkat perubahan dari suatu fungsi tingkat perubahan dari suatu fungsi

DIFERENSIAL INTEGRAL

DIFERENSIAL

•Mempelajari tingkat perubahan

rata-rata/seketika dari suatu fungsi

•Mencari turunan dari suatu fungsi

INTEGRAL

•Mencari fungsi asal jika diketahui nilai perubahannya

•Menentukan luas bidang

APLIKASI APLIKASI

•Menghitung nilai optimal

•Analisis marginal

•Elastisitas

S

•Fungsi biaya, penerimaan, utilitas, produksi, konsumsi, tabungan

•Surplus konsumen dan

2

surplus produsen

• n

4

• X

6

• s

X

• X

8

10

Tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi berikut :

x y

y 5 2.

.

1 = = ²

x y

x

y 4.

. 3

3

10 =

= ⁻

x y

x y

8 7

2 6

25 8 . 7 0

5 .

6 .

5

2 3

2 = 3

= ⁻

x x

x y

x y

2 3

5

8 7

2 6

. 8 .

7

2 4

2 3

5 2 = − + −

=

x y x

x

y x 3 2

. 5 10

. 4

9 = − _1/3 = −

` Tentukan turunan pertama, kedua dan ketiga d i f i b ik i i

dari fungsi berikut ini:

x y

y 5 2

1 = = ²

x y

x y

x y

y

. 4 .

3

. 2 5

. 1

3

10 =

=

=

=

−

x y

x y

8 7

2 6

25 8 . 7 0

5 .

6 .

5

2 3

2 3 3

=

= ⁻

x x

x x

x y

x y

2 3

5

8 7

2 6

. 8 .

7

2 4

2 3

5 2

−

− +

−

=

=

x y x

x

y x 3 2

. 5 10

. 4

9 = − _1/3 =

12

Para Bola

• d

• d

14

l

Para Bola

16

18

` Fungsi kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim t

syarat:

Necessary condition:

y’ = 0; jika y’ = 0 pada x = x1 dan x = y = 0; jika y = 0 pada x = x1 dan x = x2, Sufficient condition:

y” < 0 untuk x = x1 Æ titik maksimum y” > 0 untuk x = x2 Æ titik minimium

` Titik belok fungsi kubik y = f(x) : pada y” = 0

Contoh:

Andaikan y = 1/3 x³ — 3 x² + 8 x — 5 maka y’ = x² — 6x + 8

maka y x 6x + 8, dan y” = 2x — 6

Mencari titik ekstrim Mencari titik ekstrim

syarat y mencapai ekstrim ialah y’ = 0 x — 6x + 8 = 0

(x 2)(x 4) = 0 (x — 2)(x — 4) = 0,

diperoleh x = 2 dan x = 4

untuk x = 2, maka y” = 2(2)— 6 = -2<0 untuk x = 4 maka y” = 2(4) 6 = 2> 0 untuk x = 4, maka y = 2(4) — 6 = 2> 0 karena y” < 0 untuk x = 2

dan y’’ > 0 untuk x = 4, maka fungsi kubik y f(x) maka fungsi kubik y = f(x)

mencapai titik maksimum pada x = 2 dan titik minimum pada x = 4.

20

x = 2 Æ y = 1/3 (2)³ – 3 (2)² + 8 (2) — 5 = 1,67 titik maksimum (2; 1, 67) x = 4 Æ y = 1/3 (4)^{2 –} 3 (4)² + 8 (4) — 5 = 0,33 titik minimum (4; 0,33)

Mencari titik belok

syaratnya y” = 0

2x 6 = 0 diperoleh x = 3 2x — 6 = 0, diperoleh x = 3

x = 3 Æ y = 1/3 (3)³ – 3 (3)² + 8(3) — 5

= 9 — 27 + 24 — 5 = 1 Æ titik belok (3; 1).

(2 1 67) (2; 1, 67)

(3; 1). 

(4; 0,33)

( )

(4; 0,33)

Latihan

1.

2 2.

22

PENERAPAN EKONOMI

1. Elastisitas Permintaan

` Elastisitas harga permintaan (price elasticity of demand)

E % Q

Ep = % ΔQ

% ΔP

= (% ΔQ / Q)

= (% ΔQ / Q)

(% ΔP / P) Ep = δQx / Qx δPx / Px = δQx . Px

` Elastisitas silang permintaan (g p (cross elasticity)

E ΔQ /ΔP P /Q

` Elastisitas pendapatan permintaan Exy = ΔQx/ΔPy . Py/Qx

EI = ΔQ/ΔI . I/Q

2. ELASTISITAS PENAWARAN

24

Es = ΔQs/ΔP . P/Qs

Latihan:

1. Permintaan akan suatu komoditi   dicerminkan oleh  D =  4 — P², Hitunglah elastisitas permintaannya 

d i k h P 3

pada tingkat harga P = 3 

` Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya memiliki satu macam turunan.

` Jika y f(x) maka turunanya hanyalah

` Jika y = f(x) maka turunanya hanyalah turunan y terhadap x, yaitu :

y’ = dy / dx y = dy / dx

` Jika sebuah fungsi mengandung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dan satu macam pula sesuai dengan lebih dan satu macam pula, sesuai dengan jumlah macam variabel bebasnya.

` Jika sebuah fungsi mempunyai n macam J g p y variabel bebas maka ia akan memiliki n macam turunan.

` Jika y f(x z) maka akan terdapat dua macam

` Jika y = f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu turunan :

turunan y terhadap x 

Hasilnya: y

derivatif parsial

Hasilnya : 

derivatif parsial

dy dan dp dinamakan diferensial total dy dan dp dinamakan diferensial total

` Dalam menurunkan y terhadap x yang

dil b k d

dilambangkan dengan :

◦ hanya suku-suku yang mengandung variabel x yang diperhitungkan;

yang diperhitungkan;

◦ sedangkan suku-suku yang tidak mengandung variabel x dianggap sebagai konstanta dan

d l h l turunannya adalah nol.

` Di lain pihak, dalam menurunkan y

terhadap z yang dilambangkan dengan

terhadap z yang dilambangkan dengan

◦ hanya suku-suku yang mengandung variabel z yang diperhitungkan;

◦ sedangkan suku-suku yang tidak mengandung variabel z dianggap konstanta dan turunannya adalah nol

adalah nol.

3 3

` Fungsi dengan Iebih dan satu variabel bebas pun dapat

` Masing masing turunan parsialnya masih

` Masing-masing turunan parsialnya masih

mungkin diturunkan lagi. Turunan berikut dan turunan parsial tadi sudah barang tentu bisa sangat bervariasi tergantung dari bentuk

sangat bervariasi, tergantung dari bentuk turunan parsial tersebut.

` Apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang tinggal mengandung satu macam fungsi yang tinggal mengandung satu macam vaniabel bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam.

` Akan tetapi bila suatu turunan parsial

` Akan tetapi bila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang masih

mengandung beberapa macam variabel bebas, maka turunan benikurnya masih dapat dipecah-

h l i j di b by p pi l

pecah lagi menjadi beberapa turunan pasial pula.

Dalam contoh ini baik dy/dx maupun dy/dz masih dapat  diturunkan secara parsial lagi baik terhadap x maupun p g p p terhadap z.

T t t i l k d (I ) (Ib) (2 ) d (2b) Ternyata turunan parsial kedua (Ia), (Ib), (2a) dan (2b)  masih dapat diturunkan secara parsial lagi baik 

terhadap x maupun terhadap x maupun terhadap z

` Nilai-nilai ekstrim dan sebuah fungsi yang g y g mengandung lebih dari dua variabel bebas dapat dicari dengan penguiian sampai

derivatif keduanya derivatif keduanya.

` Untuk y = f(x,z), maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika:y j

Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan (necessary  condition) agar fungsinya mencapai titik ektrim

condition) agar fungsinya mencapai titik ektrim.

` Guna mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa titik maksimum ataukah titik

berupa titik maksimum ataukah titik minimum, dibutuhkan syarat yang

mencukupkan (sufficient condition), yakni :

a. Selidiki apakah titik ekstrim dan fungsi berikut ini merupakan titik maksimum ataukah titik minimum y = -x² + 12x — z² + 10z — 45

titik ekstrimnya adalah titik maksimum dengan Y maks = 16.

b. Selidiki apakah titik ekstrim dan fungsi p = 3q² 18q + r² 8r + 50 merupakan titik 3q² — 18q + r² — 8r + 50 merupakan. titik maksimum ataukah titik minimum.

titik ekstrimnya adalah titik minimum dengan Pmin = 7

` Dalam kenyataan seringkali kita harus

mengekstrimkan atau mengoptimumkan suatu mengekstrimkan atau mengoptimumkan suatu fungsi, yakni mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya, tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi Dengan kata lain fungsi lain yang harus dipenuhi. Dengan kata lain fungsi yang hendak dioptimumkan tadi menghadapi suatu kendala (constraint). Kasus optimasi bersyarat

semacam ini banyak dijumpai dalam bidang semacam ini banyak dijumpai dalam bidang ekonomi. Misalnya seseorang hendak

memaksimumkan utilitas, atau tingkat kepuasannya tetapi terikat pada fungsi kepuasannya, tetapi terikat pada fungsi

pendapatan; atau sebuah perusahaan ingin

memaksimumkan labanya, namun terikat pada

f i d k i

fungsi produksi.

` Penghitungan nilai ekstrim sebuah fungsi

h d i k d l b b h

yang menghadapi kendala berupa sebuah fungsi lain, dapat diselesaikan dengan

Metoda Lagrange. Caranya ialah dengan g g y g membentuk sebuah fungsi baru, disebut fungsi Lagrange, yang merupakan

penjumlahan dan fungsi yang hendak penjumlahan dan fungsi yang hendak

dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda Lagrange A dengan fungsi kendalanya.

` Misalkan hendak dioptimumkan z = f(x,y)p ( ,y)

` dengan syarat harus terpenuhi u = g(x,y)

` maka fungsi Lagrangenya:

Nilai ekstrim F(x,y) dapat dicari dengan memformulasikan masing‐masing derivatif‐parsial pertamanya sama dengang g p p y g nol.

` Pengganda Lagrange adalah suatu variabel tak- rentu yang hanya bersifat sebagai pembantu, dan tak perlu dihitung nilainya. Syarat di atas

merupakan syarat yang diperlukan untuk

menghitung nilai ekstrim dan fungsi baru yang dibentuk, dan karenanya disebut sebagai syarat yang diperlukan atau necessary condition. Akan g tetapi untuk mengetahui jenis nilai ekstrim

tersebut, maksimum ataukah minimum, masih harus disidik melalui derivatif-parsial keduanya, p y yang merupakan syarat yang mencukupkan atau

sufficient condition. Dalam hal mi nilai ekstrim tadi adalah

1. Ubah bentuk fungsi tujuan menjadi fungsi llagrange

2. Ubah fungsi kendalanya menjadi nol.

3 Kalikan fungsi kendala tersebut dengan

3. Kalikan fungsi kendala tersebut dengan Lagrangian Multiplier

4. Substitusikan fungsi 3 ke fungsi Lagrange.g g g g

5. Cari turunan parsialnya untuk masing- masing fungsi dan buat persamaannya menjadi nol

menjadi nol.

6. Cari nilai masing-masing fungsi dengan persamaan simultan

persamaan simultan

` Tentukan nilai ekstrim z dan fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x² + y² = 8 . Jelaskan jenis nilai ekstrimnya.

` Fungsi Lagrange :

Karena y = ± 2, x = ±2.

z = 2x + 2y = ± 8y

Jadi nilai ekstrim z = ± 8.

Penyidikan nilai ekstrimnya:

Karena Fxx dan Fyy < 0, nilai ekstrimnya adalah nilai maksimum dengan Zmaks = 8

Karena Fxx dan Fyy > 0, nilai ekstrimnya adalah nilai minimum dengan Z min = - 8.

Optimumkan z = xy dengan syarat x + 2y = 10.

Syarat yang diperlukan agar F maksimum, F’ = 0

X + 2y = 10

2y + 2y = 10 diperoleh y = 2 5 Selanjutnya x = 2y + 2y = 10, diperoleh y = 2,5. Selanjutnya x = Jadi, z maksimum pada x = 5 dan y = 2,5; 5.

dengan Zmaks = (5) (2,5) = 12,5.

1 Untuk fungsi y = 4 x² 6 x²z + 3xz² + 3 z² + 5 tentukan:

1. Untuk fungsi y = 4 x — 6 x z + 3xz + 3 z + 5, tentukan:

a). derivatif parsial,

b). diferensial parsial, dan c). diferensial totalnya.

2. Tentukan sampai dengan derivatif-parsial kedua, dan p g p , fungsi-fungsi di bawah mi:

a) y = 3x² 5z² + 2x²z 4xz² 9z a). y = 3x —5z + 2x z—4xz —9z

3. Hitunglah y ekstrim dan fungsi y = 2 x2 — 20 x + z2 — 8 z + 78,

d lidiki k h il i k t i t b t k il i

dan selidiki apakah nilai y ekstrim tersebut merupakan nilai maksimum ataukah nilai minimum.

4. Hitunglah p ekstrim dan fungsi p = -q² — 3 r² + 6 q + 24 r — 50, dan selidiki apakah nilai p ekstrim tersebut merupakan nilai

k i t k h il i i i

maksimum ataukah nilai minimum.

5 Optimumkan z = 4x — 2y dengan syarat x² + y² = 20 5. Optimumkan z 4x 2y dengan syarat x y 20.

Jelaskan apakah z optimumnya merupakan z maksimum ataukah z minimum.

6. Optimumkan z = 4x² + 5y² + 20xy dengan syarat x + y = 400.

Jelaskan apakah z optimumnya merupakan z maksimum ataukah Jelaskan apakah z optimumnya merupakan z maksimum ataukah z minimum.

Terima Kasih Terima Kasih

Mafizatun Nurhayati, SE. MM.