UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA
Integrity, Professionalism and Entrepreneurship
Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan
Pertemuan – 5
Mata Kuliah : Kalkulus
Kode : CVL-101
SKS : 3 SKS
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA
Integrity, Professionalism and Entrepreneurship
• Kemampuan Akhir yang Diharapkan
Mahasiswa mampu menjelaskan arti turunan fungsi
Mahasiswa mampu mencari turunan fungsi
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA
Integrity, Professionalism and Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Definisi
Garis singgung kurva y = f(x) pada titik P(c, f(c)) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan
Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞
Garis Singgung
Garis singgung
y = f(x)
f(c+h) – f(c) (c+h, f(c+h))
(c, f(c))
c c + h
f(c+h)
f(c)
tali busur
h
h
c f h c m f
m h h
) ( ) lim (
lim0 sec 0 tan
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA
Integrity, Professionalism and Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Garis Singgung Contoh :
1. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = x2 di titik (2,4) 2. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = -x2 + 2x+2 pada
titik-titik dengan koordinat x = -1, ½ , 2 dan 3.
3. Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = 1/x di titik (2, ½)
y = x2
y = -x2 +2x + 2
y = 1/x
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA
Integrity, Professionalism and Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat
Apabila benda P bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya pada saat t diberikan oleh s = f(t). Pada saat c,
benda berada di f(c); pada saat c+h benda berada di f(c+h), maka kecepatan rata-rata pada interval ini adalah :
Sedangkan kecepatan sesaatnya adalah :
Asalkan limitnya ada dan bukan ∞ atau −∞
perubahan waktu
perubahan posisi c c + h
f(c)
f(c+h)
h
c f h c
vavg f ( ) ( )
h
c f h c v f
v h avg h
) ( ) lim (
lim0 0
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA
Integrity, Professionalism and Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat
Contoh :
1. Hitunglah kecepatan sesaat suatu benda jatuh dari posisi diam pada t = 3,8 detik dan pada t = 5,4 detik, jika f(t) = 16t2
2. Berapakah waktu yang diperlukan oleh benda jatuh dalam contoh di atas untuk mencapai kecepatan sesaat sebesar 112 m/dt
3. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s (jarak berarah dalam cm yang diukur dari titik asal ke titik yang dicapai setelah t detik) ditentukan oleh fungsi s = f(t) = (5t + 1)½ . Hitunglah kecepatan sesaat partikel setelah 3 detik
4. Problem Set 2.1 No. 18 - 25
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA
Integrity, Professionalism and Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Konsep Turunan (Derivative)
Kemiringan garis singgung, kecepatan sesaat, laju pertumbuhan organisme, keuntungan marjinal, kepadatan kawat adalah merupakan konsep matematika yang dikenal dengan istilah turunan atau derivative.
Definisi
Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f/ yang nilainya pada sembarang bilangan x adalah
Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞
Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi, dan bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial
h
x f h x x f
f h
) ( ) lim (
)
( 0
/
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA
Integrity, Professionalism and Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Konsep Turunan (Derivative)
Contoh :
1. Andaikan f(x) = 13x – 6. Carilah f/(4) 2. Jika f(x) = x3 + 7x, carilah f/(x)
3. Jika f(x) = 1/x, carilah f/(x)
4. Carilah F/(x) jika F(x) = √x, x > 0Problem Set 2.2 No. 1 - 22
Teorema (Keterdiferensiasi-an Mengimplikasikan Kekontinuan Fungsi) Jika f/(c) ada, maka f dikatakan kontinu di c
Teorema di atas tidak berlaku kebalikannya. Sebagai contoh fungsi f(x) = │x│
Penulisan bentuk lain untuk turunan diberikan oleh Gottfried Leibniz, yang sering dikenal dengan sebutan notasi Leibniz.
f
x D f
x xx f x x
f x
y dx
dy
x x
x
/ 0
0 lim
lim
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA
Integrity, Professionalism and Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Aturan Mencari Turunan
Bagi Hasil
Aturan )
(
) ( ' ) ( )
( ' ) )] (
( / ) ( [ . 8
Kali Hasil
Aturan )
( ' ) ( )
( ' ) ( )]
( ) ( [ 7.
Selisih Aturan
)
( ' )
( ' )]
( )
( [ 6.
Jumlah Aturan
)
( ' )
( ' )]
( )
( [ 5.
Konstanta Kelipatan
Aturan
)
( ' )
( )]
( [
. 4
Pangkat Aturan
) ( ' )
( . 3
Identitas F.
Aturan
1 ) ( ' )
( . 2
Konstanta F.
Aturan
0
) ( ' constant
) ( . 1
2 1
x g
x g x f x
f x x g
g x f D
x f x g x
g x f x
g x f D
x g x
f x
g x
f D
x g x
f x
g x
f D
x f k x
f D k x
f k D
x n x
f x
x f
x f x
x f
x f x
f
x x x x
x x
n n
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA
Integrity, Professionalism and Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Aturan Mencari Turunan Contoh :
1. Tentukan derivatif dari 5x2 + 7x – 6 dan 4x6 – 3x5 – 10x2 + 5x + 16
2. Misalkan g(x) = x; h(x) = 1 + 2x; f(x) = g(x)∙h(x) = x(1 + 2x). Temukan f/(x), g/(x), dan h/(x). Tunjukkan bahwa f/(x)≠ g/(x)∙h/(x)
3. Temukan derivatif dari (3x2 – 5)(2x4 – x) 4. Temukan
5. Tentukan Dxy jika
6. Tunjukkan bahwa Dx(x –n) = − nx –n–1 7. Problem Set 2.3 No. 1 – 44
3x2x75
dx d
x
y x 3
1 2
4
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA
Integrity, Professionalism and Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Fungsi Trigonometri
x x
x f
x x
f
x x
x f
x x
f
x x
f x
x f
x x
f x
x f
x x
f x
x f
x x
f x
x f
cot csc
) ( ' csc
) ( 6.
tan sec
) ( ' sec
) ( 5.
csc )
( ' cot
) ( .
4
sec )
( ' tan
) ( .
3
sin )
( ' cos
) ( .
2
cos )
( '
sin )
( .
1
2 2
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA
Integrity, Professionalism and Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Fungsi Trigonometri Contoh :
1. Tentukan Dx(3sin x – 2cos x)
2. Tentukan persamaan garis singgung dari fungsi y = 3 sin x di titik (p,0) 3. Tentukan Dx(x2 sin x)
4. Tentukan
5. Tentukan Dx(xn tan x) untuk n > 1 6. Problem Set 2.4 No. 1 – 22
x
x dx
d
cos sin 1
