29. Persamaan lingkaran(irisan kerucut)

(1)

(2)

Setelah menyaksikan

tayangan ini anda dapat

Menentukan

persamaan lingkaran

(3)

3

Lingkaran

tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama

terhadap suatu titik tetap.

Jarak yang sama itu disebut jari-jari dan titik tetap itu disebut

(4)

Persamaan Lingkaran

Pusat O(0,0) dan jari-jari r

r = jari-jari

x y

O

r P(x,y)

x

(5)

5

Soal 1

Persamaan lingkaran

pusatnya di O(0,0) dan jari-jari: a. r = 5 adalah x2 + y2 = 25

b. r = 2½ adalah x2 + y2 = 6¼

(6)

Soal 2

Persamaan lingkaran

(7)

7

Penyelesaian

Misal persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2

melalui (3,-1) → 32 + (-1)2 = r2 r2 = 9 + 1

= 10

(8)

Soal 3

Pusat dan jari-jari lingkaran: a. x2 + y2 = 16 adalah…

jawab: pusat O(0,0) dan r = 4 b. x2 + y2 = 2¼ adalah…

jawab: pusat O(0,0) dan r = 1½

c. x2 + y2 = 5 adalah…

(9)

9

Soal 4

Persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 = 144

tetapi panjang jari-jarinya setengah dari panjang jari-jari lingkaran

(10)

Penyelesaian

Lingkaran x2 + y2 = 144

pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya r = √144 = 12 → ½r = 6

Persamaan lingkaran yang

pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya

(11)

11

Soal 5

Jika titik (2a, -5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 41 maka

(12)

Penyelesaian

Titik (2a, -5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 41,

berarti (2a)2 + (-5)2 = 41 4a2 + 25 = 41

(13)

13

Soal 6

Persamaan lingkaran yang koordinat ujung-ujung diameternya A(2,-1)

(14)

Penyelesaian

Diameter = panjang AB

=

A(2,-1) B(-2,1) diam eter 2 2 ₍₁ ₍ ₁₎₎

) 2 2 (     5 2 20 4

(15)

15

Diameter = panjang AB

= 2√5

Jari-jari =

½

x diameter

=

½

x 2√5

(16)

(17)

17

Jadi,

persamaan lingkarang yang

jari-jari = √5 dan pusat (0,0)

adalah x

2

+ y

2

= (√5)

2

(18)

(x – a)

(x – a)22 + (y - b)_{+ (y - b)}22 = r_{= r}22

Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari

Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari a

(a, b)

b

(0,0)

Persamaan Lingkaran

Pusat (a,b) dan jari-jari r

(19)

19

Soal 1

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran a. (x – 3)2 + (y – 7)2 = 9

jawab: pusat di (3,7) dan jari-jari r = √9 = 3

b. (x – 8)2 + (y + 5)2 = 6

(20)

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran c. (x + 3)2 + (y – 5)2 = 24

jawab: pusat di (-3,5) dan jari-jari r = √24 = 2√6 d. x2 + (y + 6)2 = ¼

(21)

21

Soal 2

Persamaan lingkaran, pusat di (1,5) dan jari-jarinya 3 adalah ….

Penyelesaian:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

▪ Pusat (1,5) → a = 1 dan b = 5 ▪ Jari-jari r = 3 → r2 = 9

(22)

Soal 3

Persamaan lingkaran, pusat di (-1,0) dan jari-jarinya 3√2 adalah ….

Penyelesaian:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

▪ Pusat (-1,0) → a = -1 dan b = 0

(23)

23

Soal 4

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-2,-7)

(24)

P(-2,-7)

A(10,2)

r

Penyelesaian

:

Pusat (-2,-7)

→ a = -2, b = -7 Jari-jari = r = AP AP =

r =

Jadi, persamaan lingkarannya (x + 2) + (y + 7) = 225

2 2 ₍ ₇ ₂₎

10) 2 (     15 225 81

(25)

25

Soal 5

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,-3)

(26)

P(4,-3) O(0,0)

r

Penyelesaian

:

Pusat (4,-3)

→ a = 4, b = -3 Jari-jari = r = OP OP =

r =

Jadi, persamaan lingkarannya (x - 4)2 + (y + 3)2 = 25

2 2 ₍ ₃ ₀₎

) 0 4 (     5 25 9

(27)

27

Soal 6

Persamaan lingkaran yang berpusat di garis x – y = 1, jari-jari √5 dan

(28)

Penyelesaian

Misal persamaan lingkarannya (x – a)2 + (y – b)2 = r2

▪ melalui O(0,0) → x = 0, y = 0 dan jari-jari r = √5 → r2 = 5

disubstitusi ke (x – a)2 + (y – b)2 = r2

(29)

29

▪ Pusat (a,b) pada garis x – y = 1 a – b = 1 → a = b + 1

disubstitusi ke a2 + b2 = 5 (b + 1)2 + b2 = 5 b2 + 2b + 1 + b2 = 5

2b2 + 2b – 4 = 0 → b2 + b – 2 = 0 (b + 2)(b – 1) = 0

(30)

▪ b = -2 → a = b + 1 = -2 + 1 = -1 diperoleh pusatnya (-1,-2), r = √5 Jadi, persamaan lingkarannya

(x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 ▪ atau b = 1 → a = 1 + 1 = 2

diperoleh pusatnya (2,1), r = √5 Jadi, persamaan lingkarannya

(31)

31

Soal 7

Persamaan lingkaran yang

berpusat pada perpotongan garis y = x dengan garis x + 2y = 6

(32)

Penyelesaian

(33)

33

▪ jari-jari = jarak pusat (2,2) ke O(0,0)

r = =

Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8

x2 – 4x + 4 + y2 – 4x + 4 = 8

x2 + y2 – 4x – 4y = 0 → persamaan lingkaran dalam bentuk umum

2 2 ₍₂ ₀₎

) 0 2 (    8 4

(34)

x

22

+ y

22

+ Ax + By + C = 0

Persamaan Lingkaran

dalam bentuk umum

Pusat

(-Pusat (-

½

A, -

½

B)

(35)

35

Soal 1

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0

jawab:

A = -2, B = - 6, C = -15 pusat di (-½A,-½B) → (1, 3) jari-jari r =

=

) 15 (

3

12  2  

5

(36)

Soal 2

Tentukan pusat lingkaran 3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0

jawab:

3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0 x2 + y2 – x + 2y – 4 = 0

3 4

Pusat (-½( – ), -½.2) 3

4

(37)

37

Soal 3

Jika titik (-5,k) terletak pada

(38)

Penyelesaian

(-5,k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0

 (-5)2 + k2 +2(-5) – 5k – 21 = 0 25 + k2 – 10 – 5k – 21 = 0

k2 – 5k – 6 = 0 (k – 6)(k + 1) = 0

(39)

39

Soal 4

Jarak terdekat antara titik (-7,2) ke lingkaran

(40)

Penyelesaian

Titik T(-7,2) disubstitusi ke

x2 + y2 – 10x – 14y – 151 (-7)2 + 22 – 10.(-7) – 14.2 – 151

49 + 4 + 70 – 28 – 151 = - 56 < 0

berarti titik T(-7,2) berada

(41)

41

Pusat x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0 adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5,

7)

QT = PQ - PT

= 15 – 13 = 2

Jadi, jarak terdekat adalah 2

P(5,7)

Q

rT(-7,2)

) 151 ( 7 5 r

PQ   2  2  

25 225

r  

 PT 13 168   2 2 ₍ ₂ ₇ ₎

) 5 7

(42)