Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
persamaan lingkaran
3
Lingkaran
Lingkaran
tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap suatu titik tetap.
Jarak yang sama itu disebut jari-jari dan titik tetap itu disebut
Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran
Pusat O(0,0) dan jari-jari r
r = jari-jari
x y
O
r P(x,y)
x
x
5
Soal 1
Persamaan lingkaran
pusatnya di O(0,0) dan jari-jari: a. r = 5 adalah x2 + y2 = 25
b. r = 2½ adalah x2 + y2 = 6¼
Soal 2
Persamaan lingkaran
7
Penyelesaian
Penyelesaian
Misal persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2
melalui (3,-1) → 32 + (-1)2 = r2 r2 = 9 + 1
= 10
Soal 3
Soal 3
Pusat dan jari-jari lingkaran: a. x2 + y2 = 16 adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = 4 b. x2 + y2 = 2¼ adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = 1½
c. x2 + y2 = 5 adalah…
9
Soal 4
Soal 4
Persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 = 144
tetapi panjang jari-jarinya setengah dari panjang jari-jari lingkaran
Penyelesaian
Penyelesaian
Lingkaran x2 + y2 = 144
pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya r = √144 = 12 → ½r = 6
Persamaan lingkaran yang
pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya
11
Soal 5
Soal 5
Jika titik (2a, -5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 41 maka
Penyelesaian
Penyelesaian
Titik (2a, -5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 41,
berarti (2a)2 + (-5)2 = 41 4a2 + 25 = 41
13
Soal 6
Soal 6
Persamaan lingkaran yang koordinat ujung-ujung diameternya A(2,-1)
Penyelesaian
Penyelesaian
Diameter = panjang AB
=
A(2,-1) B(-2,1) diam eter 2 2 (1 ( 1))) 2 2 ( 5 2 20 4
15
Diameter = panjang AB
= 2√5
Jari-jari =
½
x diameter
=
½
x 2√5
17
Jadi,
persamaan lingkarang yang
jari-jari = √5 dan pusat (0,0)
adalah x
2+ y
2= (√5)
2(x – a)
(x – a)22 + (y - b) + (y - b)22 = r = r22
Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari
Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari a
(a, b)
b
(0,0)
Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran
Pusat (a,b) dan jari-jari r
Pusat (a,b) dan jari-jari r
19
Soal 1
Soal 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran a. (x – 3)2 + (y – 7)2 = 9
jawab: pusat di (3,7) dan jari-jari r = √9 = 3
b. (x – 8)2 + (y + 5)2 = 6
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran c. (x + 3)2 + (y – 5)2 = 24
jawab: pusat di (-3,5) dan jari-jari r = √24 = 2√6 d. x2 + (y + 6)2 = ¼
21
Soal 2
Persamaan lingkaran, pusat di (1,5) dan jari-jarinya 3 adalah ….
Penyelesaian:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
▪ Pusat (1,5) → a = 1 dan b = 5 ▪ Jari-jari r = 3 → r2 = 9
Soal 3
Persamaan lingkaran, pusat di (-1,0) dan jari-jarinya 3√2 adalah ….
Penyelesaian:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
▪ Pusat (-1,0) → a = -1 dan b = 0
23
Soal 4
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-2,-7)
P(-2,-7)
A(10,2)
r
Penyelesaian
:
Pusat (-2,-7)
→ a = -2, b = -7 Jari-jari = r = AP AP =
r =
Jadi, persamaan lingkarannya (x + 2) + (y + 7) = 225
2 2 ( 7 2)
10) 2 ( 15 225 81
25
Soal 5
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,-3)
P(4,-3) O(0,0)
r
Penyelesaian
:
Pusat (4,-3)
→ a = 4, b = -3 Jari-jari = r = OP OP =
r =
Jadi, persamaan lingkarannya (x - 4)2 + (y + 3)2 = 25
2 2 ( 3 0)
) 0 4 ( 5 25 9
27
Soal 6
Persamaan lingkaran yang berpusat di garis x – y = 1, jari-jari √5 dan
Penyelesaian
Misal persamaan lingkarannya (x – a)2 + (y – b)2 = r2
▪ melalui O(0,0) → x = 0, y = 0 dan jari-jari r = √5 → r2 = 5
disubstitusi ke (x – a)2 + (y – b)2 = r2
29
▪ Pusat (a,b) pada garis x – y = 1 a – b = 1 → a = b + 1
disubstitusi ke a2 + b2 = 5 (b + 1)2 + b2 = 5 b2 + 2b + 1 + b2 = 5
2b2 + 2b – 4 = 0 → b2 + b – 2 = 0 (b + 2)(b – 1) = 0
▪ b = -2 → a = b + 1 = -2 + 1 = -1 diperoleh pusatnya (-1,-2), r = √5 Jadi, persamaan lingkarannya
(x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 ▪ atau b = 1 → a = 1 + 1 = 2
diperoleh pusatnya (2,1), r = √5 Jadi, persamaan lingkarannya
31
Soal 7
Persamaan lingkaran yang
berpusat pada perpotongan garis y = x dengan garis x + 2y = 6
Penyelesaian
33
▪ jari-jari = jarak pusat (2,2) ke O(0,0)
r = =
Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8
x2 – 4x + 4 + y2 – 4x + 4 = 8
x2 + y2 – 4x – 4y = 0 → persamaan lingkaran dalam bentuk umum
2 2 (2 0)
) 0 2 ( 8 4
x
x
22+ y
+ y
22+ Ax + By + C = 0
+ Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran
dalam bentuk umum
dalam bentuk umum
Pusat
(-Pusat (-
½
½
A, -
A, -
½
½
B)
B)
35
Soal 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0
jawab:
A = -2, B = - 6, C = -15 pusat di (-½A,-½B) → (1, 3) jari-jari r =
=
) 15 (
3
12 2
5
Soal 2
Tentukan pusat lingkaran 3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0
jawab:
3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0 x2 + y2 – x + 2y – 4 = 0
3 4
Pusat (-½( – ), -½.2) 3
4
37
Soal 3
Jika titik (-5,k) terletak pada
Penyelesaian
(-5,k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0
(-5)2 + k2 +2(-5) – 5k – 21 = 0 25 + k2 – 10 – 5k – 21 = 0
k2 – 5k – 6 = 0 (k – 6)(k + 1) = 0
39
Soal 4
Jarak terdekat antara titik (-7,2) ke lingkaran
Penyelesaian
Penyelesaian
Titik T(-7,2) disubstitusi ke
x2 + y2 – 10x – 14y – 151 (-7)2 + 22 – 10.(-7) – 14.2 – 151
49 + 4 + 70 – 28 – 151 = - 56 < 0
berarti titik T(-7,2) berada
41
Pusat x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0 adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5,
7)
QT = PQ - PT
= 15 – 13 = 2
Jadi, jarak terdekat adalah 2
P(5,7)
Q
rT(-7,2)
) 151 ( 7 5 r
PQ 2 2
25 225
r
PT 13 168 2 2 ( 2 7 )
) 5 7