2. Titik Berat Statis Momen Momen Inersia Penampang Homogen

(1)

BAB II

TITIK BERAT, STATIS MOMEN

DAN MOMEN INERSIA PADA

PENAMPANG HOMOGEN

(2)

PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL D-III Luasan (A) x y G y Massa F (gaya berat) Titik Berat

II. TITIK BERAT, STATIS MOMEN DAN MOMEN INERSIA

PADA PENAMPANG HOMOGEN

TUJUAN : Mahisiswa mampu menjelaskan letak titik berat penampang homogen serta menghitung momen kelembamannya atau momen inersia dari penampang homogen

Dalam menghitung tegangan khususnya tegangan lentur yang diakibatkan oleh gaya dalam momen dan tegangan geser yang diakibatkan oleh gaya dalam geser atau lintang dibutuhkan Momen Inersia suatu penampang homogen.

Sedangkan Momen Inersia suatu penampang juga ditentukan oleh faktor titik berat masa. Untuk dapat menghitung tegangan lentur dan tegangan geser perlu diketahui dulu letak titik berat penampang.

II.1 Titik Berat

Setiap benda akan mendapat gaya tarik dari bumi (gaya gravitasi) yang mengakibatkan benda dapat jatuh ke bumi. Gaya tarik bumi disebut “Gaya Berat” yang dalam konstruksi bangunan biasa disebut “Berat”.

Titik tangkap gaya berat disebut Titik Tengah Masa atau Titik Berat.

(3)

PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL D-III

titik berat

1/2.l

l

x

b

1/2.b

y

II.2 Titik Berat dan Momen Inersia Penampang Homogen

Pada umumnya bentuk penampang suatu konstruksi adalah gabungan dari bentuk empat persegi panjang. Misalkan bentuk I adalah gabungan dari bentuk :

Gambar II.2 Penampang Konstruksi

Dapat dikatakan gabungan bentuk tersebut mempunyai bentuk dasar empat persegi panjang. Titik berat bentuk empat persegi panjang dapat diketahui dari perpotongan diagonalnya. Titik berat penampang empat persegi panjang ada di koordinat setengah panjang dan setengah lebarnya.

(4)

PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL D-III x' y' titik berat penampang L titik berat penampang 1 titik berat penampang 2 digabungkan menjadi y2 x2 x1 titik berat penampang 2 titik berat penampang 1

Berarti pada bentuk empat persegi panjang tersebut bila sudah diketahui letak titik beratnya, dapat dikatakan sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat tersebut adalah sumbunya sendiri (Lihat gambar II.3). bila penampang yang terdiri dari gabungan beberapa bentuk segi empat untuk mencari titik berat penampangnya diperlukan perhitungan Statis Momen.

Statis Momen adalah perkalian luas penampang dasar ke sumbu baru.

Gambar II.4 Titik Berat Penampang L

Sumbu x’dan y’ dilalui oleh titik berat penampang L, sumbu tersebut merupakan sumbu baru bagi penampang 1 dan 2, karena titik berat penampang 1 dan 2 belum tentu melalui sumbu x’ dan y’.

Titik berat penampang 1 melalui sumbunya sendiri yaitu x1 dan y1. Demikian juga

titik berat penampang 2 melalui sumbu x2 dan y2 yang merupakan sumbunya

sendiri.

Statis Momen (S) = luas x jarak ke sumbu yang dipilh  S = A . d  dimana : S = statis momen (m)

A = luas penampang (m2)

(5)

x'

y'

?

5 cm

20 cm

5 cm

b

B

A

2

1

Agar konstruksi setimbang, maka jumlah statis momen dari setiap bentuk dasar haruslah sama dengan statis momen penampangnya.

Dengan memperhatikan gambar II.4, maka dapat dikatakan :  S1 + S2 = SL

Dimana : S1 = statis momen penampang 1 ke garis a atau b

S2 = statis momen penampang 2 ke garis a atau b

II.3 Contoh Soal Titik Berat

1. Tentukan titik berat penampang seperti tergambar.

Penyelesaian :

a. Titik A adalah titik berat bidang 1 dan titik B adalah titik berat bidang 2.

1

2 5 cm

20 cm

5 cm

(6)

1

2 A

B

5 cm

20 cm

5 cm

b

a

5 cm

20 cm

5 cm

B

A

2

1

Menentukan titik berat bidang 1 dan bidang 2 dengan menarik garis diagonal masing-masing penampang. Perpotongan diagonal adalah titik berat penampang.

b. Penentuan garis bantu a dan b sebagai titik acuan perhitungan. Garis a dan b dipilih garis paling kiri dan bawah dari penampang L

Note : Menentukan garis a dan b biasanya diambil garis paling kiri ataupun kanan dan garis paling atas ataupun bawah penampang dimaksud.

c. Luas bidang : A1 = 20 cm x 5 cm = 100 cm2

(7)

d. Jarak titik A ke garis a adalah 10 cm Jarak titik B ke garis a adalah 2,5 cm

e. Jarak titik A ke garis b adalah 2,5 cm

Jarak titik B ke garis b adalah (7,5 + 5 ) cm = 12,5 cm

f. Penentuan garis bantu x dan y untuk perhitungan titik berat penampang L. penentuan garis bantu x dan y sembarang garis dengan catatan berada di tengah-tengah penampang L.

• Jarak titik θ ke garis a adalah x • Jarak titik θ ke garis b adalah y • Titik θ adalah titik berat penampang • L  x=Sa

A ; y= Sb

S

Dimana : Sa = statis momen terhadap a

Sb = statis momen terhadap b

g. Statis Momen = S1 + S2 = SL  Terhadap garis a A1.10 cm + A2.2,5 cm = (A1 + A2).x 100 cm2_{.10 cm + 75 cm}2_{.2,5 cm = (100 cm}2_{+ 75 cm}2_).x 1000 cm + 187,5 cm = 175 cm2_.x x = 1187,5₁₇₅ =6,78 cm dari garis a  Terhadap garis b A1.2,5 cm + A2.12,5 cm = (A1 + A2).y 100 cm2.2,5 cm + 75 cm2.12,5 cm = (100 cm2 + 75 cm2).y 250 cm + 937,5 cm = 175 cm2.y y = 1187,5₁₇₅ =6,78 cm dari garis b

(8)

1 5 cm

25 cm

5 cm

2

3 x

?

b

A

C

B

3

2 5 cm

20 cm

25 cm

5 cm

20 cm

5 cm

1 x'

? (6,78; 6,78)

5 cm

20 cm

_{5 cm}

1

2

Jadi titik berat penampang L di atas adalah θ (x; y) = (6,78; 6,78)

(9)

1 5 cm

20 cm

5 cm

25 cm

20 cm

5 cm

2

3 ? (10,0; 12,5)

Luas penampang : A1 = 20.5 = 100 cm2 A2 = 5.15 = 75 cm2 A3 = 20.5 = 100 cm2 Statis Momen = S1 + S2 + S3 = SL  Terhadap garis a A1.10 cm + A2.10 cm + A3.10 cm = (A1 + A2 + A3).x 100 cm2.10 cm + 75 cm2.10 cm + 100 cm2.10 cm = (100 cm2 + 75 cm2 + 100 cm2).x 1000 cm + 750 cm + 1000 cm = 275 cm2.x x = 2750₂₇₅ =10 cm dari garis a  Terhadap garis b A1.22,5 cm + A2.12,5 cm + A3.2,5 cm = (A1 + A2 + A3).y 100 cm2.22,5 cm + 75 cm2.12,5 cm + 100 cm2.2,5 cm = (100 cm2 + 75 cm2 + 100 cm2).y 2250 cm + 937,5 cm + 250 cm = 275 cm2.y y = 3437,5₂₇₅ =12,5 cm dari garis b

(10)

z

h

b

x

y

c

a

y'

x'

z

h

b

x

y

II.4 Momen Inersia

Momen Inersia disebut juga momen kelembaman suatu penampang.

Momen Inersia adalah perkalian luas penampang dengan jarak pangkat dua. Jarak yang diambil adalah jarak titik berat penampang terhadap sumbu yang dipilih.

Gambar II.5 Penampang Empat Persegi sebagai Penampang Dasar

Dalam menghitung momen inersia dikenal bentuk dasar yaitu bentuk empat persegi panjang sama dengan bentuk dasar perhitungan titik berat.

Ix=₁₂1 .b.h3 ; Iy=₁₂1 .b3.h

(11)

2

1 5 cm

20 cm

5 cm

Sumbu x’ dan y’ adalah sumbu baru yang berjarak a dari sumbu y dan c dari sumbu x.

Ix’ = Ix + c2.A ; Iy’ = Iy + a2.A

Dimana : Ix = momen inersia terhadap sumbu x

Iy = momen inersia terhadap sumbu y

A = luas penampang c = jarak sumbu x ke x’ a = jarak sumbu y ke y’

atau

Ix’ = Ix + c2.( b.h ) ; Iy’ = Iy + a2.( b.h )

Bila Ix=₁₂1 .b.h3 dan Iy=₁₂1 .b3.h ; maka

Ix'=₁₂1 .b.h3+ c2.(b.h) dan Iy'=₁₂1 .b3.h+a2.(b.h)

II.5 Contoh Soal Momen Inersia

(12)

x'

y'

?

5 cm

20 cm

5 cm

b

B

A

2

1

Penyelesaian :

Mencari titik berat

a. Luas bidang : A1 = 20 cm x 5 cm = 100 cm2 A2 = 15 cm x 5 cm = 75 cm2 b. Statis Momen = S1 + S2 = SL  Terhadap garis a A1.10 cm + A2.2,5 cm = (A1 + A2).x 100 cm2_{.10 cm + 75 cm}2_{.2,5 cm = (100 cm}2_{+ 75 cm}2_).x 1000 cm + 187,5 cm = 175 cm2_.x x = 1187,5₁₇₅ =6,78 cm dari garis a  Terhadap garis b A1.2,5 cm + A2.12,5 cm = (A1 + A2).y 100 cm2_{.2,5 cm + 75 cm}2_{.12,5 cm = (100 cm}2_{+ 75 cm}2_).y 250 cm + 937,5 cm = 175 cm2_.y y = 1187,5₁₇₅ =6,78 cm dari garis b

(13)

x'

? (6,78; 6,78)

5 cm

20 cm

_{5 cm}

1

2

1 B

A

y'

x'

? (6,78; 6,78)

5 cm

20 cm

_{5 cm}

Jadi titik berat penampang L di atas adalah θ (x; y) = (6,78; 6,78)

Mencari momen inersia

Penampang 1

Ix=₁₂1 .b.h3=₁₂1 .20 cm.53cm3=208,333 cm4

Iy=₁₂1 .b3.h=₁₂1 .203 cm3.5 cm=3333,333 cm4

Jarak titik A ke titik x’ = 6,78 – 2,50 = 4,28 cm Jarak titik A ke titik y’ = (20 – 6,78) – 10 = 3,22 cm

(14)

2

1 B

A

y'

x'

? (6,78; 6,78)

5 cm

20 cm

_{5 cm}

Penampang 2 Ix=₁₂1 .b.h3=₁₂1 .5 cm.153cm3=1406,25 cm4 Iy=₁₂1 .b3.h=₁₂1 .53 cm3.15 cm=156,25 cm4

Jarak titik B ke titik x’ = (20 – 6,78) – 7,50 = 5,72 cm Jarak titik B ke titik y’ = 6,78 – 2,50 = 4,28 cm

Jadi Momen Inersia penampang L di atas :

Ix'=�Ix-penampang 1+(A-x'2.A1)� + �Ix-penampang 2+(B-x'2.A2)�

Ix'={208,333 cm4+ (4,282 cm2.100 cm2)}

+{1406,25 cm4_{+ (5,72}2_cm2_{.75 cm}2_)}

Ix’ = 5900,303 cm4 (Momen Inersia arah x)

Iy'=�Iy-penampang 1+(A-y'2.A1)� + �Iy-penampang 2+(B-y'2.A2)�

Ix'={3333,333 cm4+ (3,222 cm2.100 cm2)}

+{156,25 cm4_{+ (4,28}2_cm2_{.75 cm}2_)}

(15)

1 5 cm

25 cm

5 cm

2

3 x

?

b

A

C

B

3

2 5 cm

20 cm

25 cm

5 cm

20 cm

5 cm

1

Penyelesaian : Luas penampang : A1 = 20.5 = 100 cm2 A2 = 5.15 = 75 cm2 A3 = 20.5 = 100 cm2 Statis Momen = S1 + S2 + S3 = SL  Terhadap garis a A1.10 cm + A2.10 cm + A3.10 cm = (A1 + A2 + A3).x 100 cm2.10 cm + 75 cm2.10 cm + 100 cm2.10 cm = (100 cm2 + 75 cm2 + 100 cm2).x

(16)

1 5 cm

20 cm

5 cm

25 cm

20 cm

5 cm

2

3 ? (10,0; 12,5)

1 5 cm

20 cm

5 cm

25 cm

20 cm

5 cm

2

3 B

C

A

? (10,0; 12,5)

x'

1000 cm + 750 cm + 1000 cm = 275 cm2.x x = 2750₂₇₅ =10 cm dari garis a  Terhadap garis b A1.22,5 cm + A2.12,5 cm + A3.2,5 cm = (A1 + A2 + A3).y 100 cm2.22,5 cm + 75 cm2.12,5 cm + 100 cm2.2,5 cm = (100 cm2 + 75 cm2 + 100 cm2).y 2250 cm + 937,5 cm + 250 cm = 275 cm2.y x = 3437,5₂₇₅ =12,5 cm dari garis b

Jadi titik berat penampang I di atas adalah θ (x; y) = (10,0; 12,5)

(17)

Penampang 1

Ix=₁₂1 .b.h3=₁₂1 .20 cm.53cm3=208,333 cm4

Iy=₁₂1 .b3.h=₁₂1 .203 cm3.5 cm=3333,333 cm4

Jarak titik A ke titik x’ = 12,50 – 2,50 = 10,0 cm Jarak titik A ke titik y’ = 0 cm

Penampang 2

Ix=₁₂1 .b.h3=₁₂1 .5 cm.153cm3=1406,25 cm4

Iy=₁₂1 .b3.h=₁₂1 .53 cm3.15 cm=156,25 cm4

Jarak titik B ke titik x’ = 0 cm Jarak titik B ke titik y’ = 0 cm

Penampang 3

Ix=₁₂1 .b.h3=₁₂1 .20 cm.53cm3=208,333 cm4

Iy=₁₂1 .b3.h=₁₂1 .203 cm3.5 cm=3333,333 cm4

Jarak titik A ke titik x’ = 12,50 – 2,50 = 10,0 cm Jarak titik A ke titik y’ = 0 cm

Jadi Momen Inersia penampang L di atas :

Ix'=�Ix-penampang 1+(A-x'2.A1)� + �Ix-penampang 2+(B-x'2.A2)�

+ �Ix-penampang 3+�C-x'2.A3��

Ix'={208,333 cm4+ (10,02 cm2.100 cm2)}

+ {1406,25 cm4_{+ (0}2_cm2_{.75 cm}2_)}

+ {208,333 cm4_{+ (10,0}2_cm2_{.100 cm}2_)}

(18)

Iy'=�Iy-penampang 1+(A-y'2.A1)� + �Iy-penampang 2+(B-y'2.A2)�

+ �I_{y-penampang 3}+�C-y'2_.A 3��

Ix'={3333,333 cm4+ (02 cm2.100 cm2)}

+{156,25 cm4_{+ (0}2_cm2_{.75 cm}2_)}

+{3333,333 cm4_{+ (0}2_cm2_{.100 cm}2_)}