A.
A. TITIK BERAT PENAMPANGTITIK BERAT PENAMPANG
1
1.. TTUUJJUUAANN
Setelah selesai mengikuti kegiatan belajar ini mahasiswa: Setelah selesai mengikuti kegiatan belajar ini mahasiswa: a
a.. DDaappaat t mmeennjjeellaasskkaan n ppeennggeerrttiiaan n ttiittiik k bbeerraatt penampang.
penampang. b
b.. MMaammppu u mmeenngghhiittuunng g ddaan n mmeenneennttuukkaan n ttiittiik k bbeerraatt penampang dengan benar.
penampang dengan benar. 2.
2. MATERI MATERI KULIAHKULIAH Titik berat ada
Titik berat adalah tempat (titik pusalah tempat (titik pusat) dari gaya berat t) dari gaya berat suatu garissuatu garis, bidang datar , bidang datar atau benda akibat grafitasi bumi.
atau benda akibat grafitasi bumi. Ti
Titik tik beberarat t sesebuabuah h gagaris ris lurlurus us seserbrba a sasama ma (h(homoomogegen) n) teterlerletak tak ditditenengah gah--ten
tengahngahnya. ya. SebSebagai pengagai penggantganti i gaygaya a beraberat t sebsebuah garis mateuah garis materi serba samari serba sama ialah panjang garis itu.
ialah panjang garis itu.
1/2 L
1/2 L
1/2 L
1/2 L
G = L
G = L
Titik berat bangun-bangun bidang datar beraturan letaknya ditentukan menurut Titik berat bangun-bangun bidang datar beraturan letaknya ditentukan menurut bentuk penampang dari bangun bidang datar seperti gambar berikut :
bentuk penampang dari bangun bidang datar seperti gambar berikut :
MOMEN
z z z z z z = = = = 2/3 t 2/3 t 1/3 t 1/3 t C C A A BB tt z z z z Gambar Gambar Bentuk
Bentuk Letak Titik Berat ( z )Letak Titik Berat ( z ) 1. Bujur sangkar 1. Bujur sangkar 2. Empat persegi 2. Empat persegi panjang panjang 3. Segitiga 3. Segitiga 4. Lingkaran 4. Lingkaran 5. Setengah 5. Setengah Lingkaran Lingkaran
terletak pada titik potong terletak pada titik potong
kedua diagonalnya kedua diagonalnya
Terletak di pusat lingkaran Terletak di pusat lingkaran
Mz
Mz = = = = 0,4244 0,4244 RR terletak pada titik potong terletak pada titik potong
kedua diagonalnya kedua diagonalnya
terletak pada titik potong terletak pada titik potong garis beratnya garis beratnya 4 R 4 R 3 3ππ Un
Untuk tuk memenenentuntukakan n letletak ak tittitik ik beberarat t susuatatu u pepenanampampang ng kitkita a menmenggggunaunakakann pertolongan sumbu koordinat X dan Y.
pertolongan sumbu koordinat X dan Y. Contoh 1:
Contoh 1:
Diketahui sebuah bangun datar seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik Diketahui sebuah bangun datar seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik berat penampang dengan cara grafis dan analitis.
berat penampang dengan cara grafis dan analitis.
6 m 6 m 4 m 4 m 2 m 2 m 4 m4 m Penyelesaian : Penyelesaian : a.
a. AnalitisAnalitis : Untuk memudahkan dalam perhitungan maka penampang tersebut: Untuk memudahkan dalam perhitungan maka penampang tersebut dibagi menjadi dua bagian, sehingga luas penampang dan letak titik berat dibagi menjadi dua bagian, sehingga luas penampang dan letak titik berat dari tiap penampang dapat ditentukan. Letakkan sumbu koordinat pada sisi dari tiap penampang dapat ditentukan. Letakkan sumbu koordinat pada sisi paling kiri dan paling bawah dari gambar.
2 m 4 m 6 m 4 m I II z1 F1 z2 F2 F1 F2 zo x y x y y1 y2 x1 x2 Perhitungan : Bagian I : luas F1 = 2 m x 6 m = 12 m2 Bagian II : luas F2 = 4m x 6m = 24 m2 Jumlah
∑
F = 36 m2Ordinat masing-masing titik berat penampang : x1 = 1 m y1 = 7 m
x2 = 3 m y2 = 2 m
Untuk menentukan titik berat Zo; dengan menggunakan statis momen luas (Dalil Momen) terhadap sumbu X dan terhadap sumbu Y.
x = F1.x1 + F2.x2
∑
F x = 12m2.1m + 24m2.3m 36 m2 x = 12m3+ 72m3 36m2 x = 84 m3 36 m2 x = 2,333 m y = F1.y1+ F2.y2∑
F y = 12 m2.7m + 24m2.2m36 m2 y = 84 m3+ 48m3 36 m2 y = 132 m3 36 m2 y = 3,667 m
Jadi letak titik berat Zo (2,333 ; 3,667) m.
b. Grafis : skala gambar 1 cm = 2m skala luas (F) 1 cm = 6 m2 F2 z2 F1 F1 II zo z1 I F2 F2 F1 O F1 F2 I II III IV V RF RF RF n 3 4 S2 1 2 3 S1 RF Y X
Letak titik berat penampang Zo : X = 1,15 m x 2 m = 2,3 m 1 cm
Y = 1,85 cm x 2 m = 3,7 m 1 cm
Langkah-langkah penyelesaian grafis :
1. Gambar bidang datar dengan skala
gambar yang ditetapkan.
2. Gambar resultan gaya-gaya F1 dan
F2 (RF).
3. Tentukan titik kutub O dan gambar
4. Perpanjang garis kerja gaya F1 dan F2 kemudian pindahkan jari-jari kutub pada gambar sehingga memotong jaris kerja F1 dan F2.
5. Perpanjang jari-jari kutub yang
pertama dengan yang terakhir, sehingga saling memeotong di titik S. Titik S inilah titik yang dilalui resultan RF.
6. Garis kerja R yang pertama
(vertikal) dengan R yang kedua (horizontal) berpotongan, maka titik potong itulah letak titik berat bidang datar Zo.
Contoh 2 :
Diketahui sebuah bangun berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik berat Zo dengan cara analitis.
4m 4m 4 m 6 m 3 m Penyelesaian : Y I z1 F1 II z2 F2 III z3 F3 F1 F2 F3 x1 y1 x2 x3 y2 y3 4 m 4 m 3m 4 m 6 m
Perhitungan :
Bagian I : Luas F1 = 4 m x 4 m = 16 m2
Luas F2 = 8 m x 6 m = 48 m2
Luas F3 = ½. 3m.6m = 9 m2
∑
F = 73 m2Ordinat masing-masing titik berat penampang :
x1 = 2m y1 = 8 m
x2 = 4 m y2 = 3 m
x3 = 9 m y3 = 2 m
Letak titik berat penampang Zo :
Statis momen luas terhadap sumbu X dan sumbu Y adalah sebagai berikut : x =F1.x1 + F2.x2 + F3.x3
∑
F x = 16 m2.2m + 48m2.4m + 9 m2.9m 73 m2 x = 32 m3 + 192 m3 + 82 m3 73 m2 x = 305 m3 73 m2 x = 4,178 my = F1.y1 + F2.y2 + F3.y3
∑
F y = 16 m2.8 m + 48 m2.3m + 9 m2. 2m 73 m2 y = 128 m3 + 144 m3 + 28 m3 73 m2 y = 300 m3 73 m2 y = 4,109 mJadi titik berat penampang Zo (4,178 ; 4,109) m.
3. LATIHAN
•
Soal-soal dan Tugas1. Diketahui sebuah penampang batang berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah.Tentukan letak titik berat Zo dengan cara :
b. Analitis 2 Cm 5 Cm 2 Cm 6 Cm 4 Cm 5 Cm
2. Diketahui sebuah bangun berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik berat Zo dengan cara
a. Grafis b. Analitis 3 Cm 4 Cm 4 Cm 4 Cm 6 Cm
B. MOMEN INERSIA / MOMEN KELEMBAMAN
1. TUJUAN
Setelah selesai mengikuti kegiatan belajar ini mahasiswa:
a. Dapat menjelaskan
pengertian momen inersia
b. Mampu menghitung momen
insersia terhadap garis sumbu dengan benar. 2. MATERI KULIAH
Momen inersia adalah suatu sifat kekakuan yang ditimbulkan dari hasil perkalian luas penampang dengan kwadrat jarak ke suatu garis lurus atau sumbu.
Momen inersia atau momen kelembaman ini dibutuhkan dalam perhitungan-perhitungan lenturan, puntiran dan tekukan.
Momen inersia di dalam perhitungan diberi simbul dengan haruf I, jika terhadap sumbu X maka diberi simbul Ix dan jika terhadap sumbu Y diberi simbul Iy.
Y
Y
X
F
X
O
F
Jadi momen inersia
∆
F terhadap sumbu X :∆
Ix =∆
F.y2Begitu juga terhadap sumbu Y :
∆
Iy =∆
F. X2Di mana : F = luas seluruh bidang .
∆
F = bagian kecil luas suatu bidang.Apabila luas bidang (F) dibagi-bagi menjadi
∆
F1,∆
F2,∆
F3 dan seterusnya dan jarak masing-masing bagian ke sumbu X adalah Y1,Y2, Y3 dan seterusnyabegitu pula jarak masing-masing bagian ke sumbu Y adalah X1, X2, X3 dan seterusnya maka besar momen insersia adalah sebagai berikut :
Terhadap sumbu X : Ix =
∆
F1.Y12+∆
F2.Y22+…..+∆
Fn.Yn2Di mana Ix dan Iy dalam cm4
x dan y dalam cm
∆
F dalam cm2Karena jarak x maupun y berpangkat positif maka hasil momen kelembaman selalu posistif, pada perhitungan tekukan kita memasukkan arti jari-jari kelembaman/radius of giration (i).
I = F.i2 atau i =
√
IF
Di mana i = jari-jari kelembaman, dalam satuan cm. Ada dua momen inersia :
a. Momen kelembaman linier
yaitu momen kelambaman terhadap suatu garis lurus atau sumbu.
O Y X Y X F F Ix = Σ
∆
F.y2 = F.y2 Iy = Σ∆
F.x2 = F.x2b. Momen kelembaman Poler yaitu momen kelembaman terhadap suatu titik perpotongan dua garis lurus/sumbu (titik kutub O).
Dengan kata lain bahwa momen kelembaman Poler adalah jumlah momen kelembaman linier terhadap sumbu X dan terhadap sumbu Y.
O Y X Y X F F P Ip = F x p2 Ip = Ix + Iy.
Dalil pergeseran sumbu X/Y :
O
Y
X
z
X
Y
F
Y
a
b
Sumbu X digeser ke X sejauh b dan sumbu Y digeser ke Y sejauh a, sehingga besar momen inersia/kelembaman terhadap sumbu X/Y menjadi : Ix = Izx + Fb2
Iy = Izy + Fa2
Izx dan Izy disebut bilangan asal (momen inersia terhadap sumbu yang melalui titik berat), sedang Fa2 dan Fb2 disebut bilangan koreksi (momen
koreksi).
Momen inersia / kelembaman untuk beberapa penampang : a. Momen kelembaman bentuk empat persegi panjang
z Y X X X A Y B b b1=1/2 h 1/2 h h
Momen inersia terhadap sumbu X/Y yang melalui titik berat penampang Z adalah Izx atau Ix = 1/12.b.h3 dan Izy atau Iy = 1/12.h.b3
Momen inersia terhadap sumbu X adalah : Ix = Izx + Fb12
= 1/12 b.h3+b.h.b12
= 1/12 bh3+b.h(1/2b)2
= 1/12hb3 + ¼ hb3
Ix = 1/3 bh3
Momen inersia terhadap sumbu Y adalah : Iy = Izy + Fa12
=1/12.hb3+Fa12
= 1/12 hb3+b.h(1/2b)2
=1/12hb3+1/4hb3
Iy = 1/3hb3
Jadi secara umum bila sumbu X atau Y tidak melalui titik berat Z maka momen inersia terhadap sumbu X atau Y harus diperhitungkan pula terhadap momen kelembaman koreksi.
b. Momen kelembaman bentuk segi tiga
z X X X X b h
Momen inersia terhadap sumbu X yang melalui titik berat penampang Z. Ix atau Izx = 1/36 b.h3
Momen inersia terhadap sumbu X yang melalui puncak segitiga adalah Ix = ¼ b.h3
c. Momen Kelembaman bentuk lingkaran
z
X Y
d
Momen inersia/kelembaman terhadap sumbu X yang melalui titik berat/titik pusat lingkaran adalah Ix = Iz = 1/64 π d 4
Untuk perhitungan konstruksi 1/64 π ~ 1/20 sehingga Ix = Iz = 1/20 d4
Untuk penampang lingkaran ini sering digunakan untuk poros berputar ataupun konstruksi yang mengalami torsi. Untuk hal ini momen inersia yang digunakan dalam perhitungan adalah momen inersia/kelembaman polar.
Ip = Ix + Iy sehingga Ip = 1/20 d4 + 1/20 d4
Ip = 1/10 d4 atau
Ip = 0,1 d4
d. Momen kelembaman bentuk cincin
d D
Dianggap tidak berlubang : Ip1 = 0,1 D4
Lubangnya saja : Ip2 = 0,1 d4
Sehingga Ip = 0,1 D4-0,1d4
Ip = 0,1 (D4-d4)
Contoh 1:
Diketahui suatu penampang berbentuk empat persegi panjang dengan b = 6 cm dan h = 12 cm (lihat gambar)
b= 6 Cm
h= 12 Cm
Pertanyaan :
a). Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu X/Y yang melalui titik berat penampang.
b). Hitung momen kelembaman Ix terhadap sumbu X yang melalui sisi alas penampang. Penyelesaian : Y z X X X X Y b= 6 Cm h= 12 Cm 6 Cm 6 Cm
Momen inersia terhadap sumbu X adalah : Ix = 1/12.b.h3
= 1/12. 6 cm. (12 cm)3
= 864 cm4
Momen inersia terhadap sumbu Y adalah : Iy = 1/12.h.b 3
= 1/12.12 cm (6 cm)3
= 216 cm4
Momen inersia terhadap sisi alas X adalah : Ix = 1/3.b.h 3
atau dapat dihitung dengan rumus /dalil pergeseran : Ix = Izx + F.b12 = 1/12. 6 cm. (12 cm)3 + 6 cm.12 cm (6 cm)2 = 8 64 cm4 + 2592 cm4 = 3456 cm4 Contoh 2 :
Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah.
4Cm 8Cm
4 Cm 12 Cm
Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap suambu X/Y yang melalui titik berat penampang.
Penyelesaian :
a. Menentukan letak titik berat
F1 F1 z1 F2 z2 F2 I II 4Cm 8Cm 4 Cm 12 Cm x2 x1 y2 y1 Y X Bagian I : luas F1 = 4 cm + 12 cm = 48 cm2 Bagian II : luas F2 = 4 cm + 12 cm= 48 cm2
∑
F = 96 cm2Ordinat masing-masing titik berat penampang z1/z2 terhadap sumbu x dan y :
X1 = 2 cm y1 = 10 cm X2 = 6 cm y2 = 2 cm
Letak titik berat penampang profil z0 adalah statis momen luas terhadap sumbu x dan sumbu y sebagai berikut :
X = F1.X1+F2.X2
∑
F = 48 cm2. 2 cm + 48 cm2. 6 cm 96 cm2 = 96 cm3 + 288 cm3 96 cm2 x = 4 cm Y = F1.Y1+F2.X2∑
F = 48 cm2.10 cm+ 48 cm2. 2cm 96 cm2 = 480 cm3 + 96 cm3 96 cm2 = 576 cm3 96 cm2 = 6 cmJadi letak titik berat penampang profil Zo (4:6) cm. b. Perhitungan momen inersia
z2 z1 zo (4;6) X X Y 12 Cm 4 Cm 4Cm 8Cm x= 4 Cm a1 a2 b1 b2 y=6 Cm
Jarak titik berat penampang Z1 dan Z2 terhadap sumbu x dan y : b1 = 10 cm – 6 cm = 4 cm
b2 = 6 cm – 2 cm = 4 cm a 1 = 2 cm
a2 = 6 cm – 4 cm = 2 cm
Momen inersia terhadap sumbu X adalah : rumus : Ix = Izx + Fb2
Ix1 = 1/12.4 cm.(12 cm)3+48 cm2. 42= 576 cm4+768 cm4 = 1344 cm4
Ix2 = 1/12.12 cm (4 cm)3 + 48 cm2(4cm)2=64 cm4+768 cm4 = 832 cm4
Jadi Ix=2176 cm4
Momen inersia terhadap sumbu Y adalah : rumus : Iy = Izy + F.a2
Iy1 = 1/12.12 cm(4 cm)3+48 cm2.(2 cm)2 = 64 cm4+192 cm4=256 cm4
Iy2 = 1/12.4 cm(12cm)3+48 cm2 (2 cm)2=576 cm4+192 cm4=248 cm4
Jadi Iy = 504 cm4
Contoh 3 :
Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah.
R= 6 Cm
a) Hitung momen kelembaman Ix terhadap sumbu X yang melalui titik berat penampang.
b) Hitung momen kelembaman polarnya.
z x x d = 12 Cm a) Ix = 1/20 d4 = 1/20.(12 cm)4 = 1036,8 cm4 b) Ip = 0,1 d4 = 0,1.(12 cm)4 = 2073,6 cm4
3. LATIHAN
•
Soal-Soal Dan Tugas1. Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah.
5 Cm 2 Cm 5 Cm
4 Cm 6 Cm 2 Cm
Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu X/Y yang melalui titik berat penampang profil.
2. Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah. 5 Cm 12 Cm 4 Cm 4 Cm 2 Cm 4 Cm
Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu X/Y yang melalui titik berat penampang profil.
•
EVALUASI1. Tentukanlah momen gaya-gaya sejajar P1, P2, P3 dan P4 terhadap titik Q sebagai pusat momen yang terletak pada jarak 2 m dari P2 (lihat gambar)
Q
2
m
2
m 1
m 2
m
P1= 1 t
P2 = 4 t
P3 = 2 t
P4 = 3 t
Kerjakan dengan cara : a.Grafis
b.Analitis
2. Diketahui sebuah bangun berbentuk bidang datar seperti gambar di bawah.
4 Cm
12 Cm
4 Cm
12 Cm 6 Cm
Tentukan letak titik berat Zo dengan cara : a. Grafis
3. Diketahui suatu penampang profil dengan bentuk dan ukuran seperti gambar di bawah ini. 12 Cm 4 Cm 4 Cm 6 Cm
Hitunglah momen kelembaman Ix dan Iy terhadap sumbu X/Y yang melalui titik berat penampang profil.
KUNCI JAWABAN
1. Titik Berat Bidang Datar
Y zo X X O X Y Y
Letak titik berat zo terhadap sumbu x/y : X = 6 cm
2. O Y X X X zo Y Y
Letak titik berat Zo terhadap sumbu X/Y : X = 3,973 cm Y = 4,178 cm Momen Inersia: 1. Ix = 1295,6182 cm4 Iy = 868 cm4 2. Ix = 3424 cm4 Iy = 352 cm4