Keterkaitan Rg-aljabar Dan Struktur Grup

KETERKAITAN RG-ALJABAR DAN STRUKTUR GRUP

Irwan Yudi1, Suryoto2, Widowati3 1,2,3

Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang

irwanyudimotor@gmail.com suryotomath@gmail.com

ABSTRACT.In this paper is discussed an algebraic structure which is called RG -algebra. The RG-algebra is a subclass of BCI-algebra and a sub subclass of K-algebra. Therefore, everyRG-algebra is a BCI-algebra, but conversly is not true. The RG-algebra andGroup Structure have a relation. Its relation is RG-algebra can be constructed by acommutativegroup and conversly commutativegroup can be

constructed by a RG-algebra. The RG-algebra is a K-algebra with commutativegroupas generator group.

Keywords : BCI-algebra, Group Structure, K-algebra, Commutative Grup, RG-algebra.

I. PENDAHULUAN

Suatu struktur aljabar merupakan himpunan tidak kosong dengan satu atau lebih operasi biner dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Selama ini mungkin hanya diketahui grup dan ring saja yang merupakan contoh dari struktur aljabar, ternyata masih banyak sekali struktur aljabar lain salah satunya yaitu RG-aljabar. Struktur RG±aljabar diperkenalkan pertama kali pada tahun 2014 oleh R. A. K. Omar [8]. Struktur RG-aljabar mempunyai keterkaitan dengan struktur aljabar lai, sepertiK-aljabar, BCI-aljabar, BCI-aljabar Medial dan grup.Pembahasan tentang K-aljabar sudah dikerjakan dalam tugas akhir yang disusun oleh Iswati [6]. BCI -aljabar dibahas oleh Nony Aprilia [3] dan BCI-aljabar Medial dibahas oleh Winarsih [10].

Padaartikel ini akan dibahas mengenai konsep RG-aljabar dan sifat±sifat yang berlaku didalamnya, serta menjelaskan keterkaitan RG-aljabar dan grup.

II. HASIL DAN PEMBAHASAN

2.1 Struktur Grup, K-aljabar, dan BCI-aljabar

Pada bagian ini diberikan definisi grup,K-aljabar, BCI-aljabar dan BCI-aljabar Medial sebagai berikut.

Definisi 2.1[4]Misalkan )himpunan tidak kosong dengan operasi biner Ü, maka (),Ü) disebut grup jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini :

(G1) Operasi biner _Ü bersifat asosiatif.

(G2) ) mempunyai elemen netral atau identitas A. (G3) Setiap elemen di ) mempunyai invers di ) juga.

Definisi2.2 [6]Misalkan (),Ü) suatu grup dan pada ) didefinisikan operasi _Û sedemikian sehingga _ÊT,U_Ð), T_ÛU= T_ÜUF1 maka akan membentuk struktur aljabar (),Ü,Û,A). Suatu (),Ü,Û,A) dinamakan K-aljabar, jika ) bukan grup dengan order-2 dan untuk setiap T,U,VÐ ) memenuhi aksioma-aksioma berikut. (K1) :TÛU;Û:TÛV;= @TÛk:AÛV;Û:AÛU;oAÛT

(K2) TÛ:TÛU;= kTÛ:AÛU;oÛT (K3) TÛT =A

(K4) TÛA =T (K5) AÛT =TF1

Jika grup (),Ü) merupakan grup komutatif, maka aksioma (K1) dan (K2) menjadi . ¶ :TÛU;Û:TÛV;= VÛU

Definisi2.3 [3]Misalkan: merupakan himpunan tidak kosong dengan sebuah operasi biner Ûdan0 sebagai elemen khusus. Triple ( :,Û, 0) disebut BCI-aljabar jika untuk setiap T,U,V Ð : memenuhi aksioma-aksioma berikut ini :

(BCI1)k:T Û U;Û :T Û V;o Û (V Û U) = 0 (BCI2)kT Û :T Û U;o Û U = 0

(BCI3)T Û T = 0

(BCI4) T Û U = 0 dan U Û T = 0,maka T =U.

Definisi 2.4 [10]Suatu BCI-aljabar(:,Û,0) merupakan BCI-aljabar medial jika untuksetiapT,U,V,Q _Ð:memenuhi :T_ÛU;_Û:V_ÛQ;= :T_ÛV;_Û(UÛQ).

Teorema 2.5 [8]Suatu BCI-aljabar (:,Û,0) merupakan BCI-aljabar medial jika dan hanya jika untuk setiap T,U,VÐ : memenuhi TÛU= :TÛV;Û(UÛV).

Bukti.

(:)Diambil sebarang T,U,V,QÐ :, maka :TÛU;Û:VÛQ;= :TÛV;Û(UÛQ) Misalkan V= Q, maka

:TÛU;Û:VÛV; =:TÛV;Û(UÛV)

:TÛU;Û0 =:TÛV;Û:UÛV; TÛU=:TÛV;Û(UÛV)

(9)Diambil sebarang T,U,V,QÐ :.Misalkan TÛU= :TÛQ;Û(UÛQ), maka

:TÛU;Û:VÛQ;= k:TÛQ;Û:UÛQ;oÛ(VÛQ) =k:TÛQ;Û:VÛQ;oÛ(UÛ

Q) =:TÛV;Û(UÛQ) Ö

2.2 RG-aljabar dan Sifat-sifatnya

Pada bagian ini dibahas mengenai RG-aljabar dan sifat-sifat yang berlaku didalammnya. Berikut diberikan definisi dari RG-aljabar.

Definisi2.6 [8]Misalkan : himpunan tidak kosong dengan operasi biner _Û dan 0 sebagai elemen khusus. Triple (:,Û,0) disebut RG-aljabar jika untuk setiap T,U,VÐ: memenuhi aksioma-aksioma berikut ini.

(RG1) T_Û0 =T.

(RG2) TÛU= :TÛV;Û(UÛV).

(RG3) TÛU= 0 dan UÛT= 0 , maka T=U.

Teorema 2.7 [8]Jika (:,Û,0) adalah RG-aljabar, maka untuk setiap T,U,VÐ: berlaku

(i). TÛT= 0

(ii). :TÛU;ÛV= :TÛV;ÛU. Bukti.

Diketahui (:,Û,0) adalah RG-aljabar.

(i). Diambil sebarang T,U,V_Ð:. Menurut aksioma (RG2), maka TÛU=:TÛV;Û(UÛV)

misalkan T= 0 dan U= 0, maka 0Û0 =:0ÛV;_Û(0ÛV)

0 = :0ÛV;Û(0ÛV) misalkan 0ÛV=T, maka 0 = TÛT

(ii). Diambil sebarang T,U,VÐ:. Berdasarkan aksioma (RG1), berlaku

TÛU=:TÛU;Û0 = :TÛU;Û(VÛV) (2.1)

dan berdasarkan (RG2), berlaku

TÛU=:TÛV;Û(UÛV) (2.2)

dari persamaan (2.1) dan 2.2) diperoleh

:TÛU;Û:VÛV; =:TÛV;Û(UÛV) (2.3) dan dengan menggunakan persamaan (2.3), diperoleh

:TÛU;ÛV=:TÛU;Û:VÛ0; =:TÛV;Û:UÛ0; =:TÛV;ÛU. Ö Teorema 2.8 [8] Jika ::,Û,0; adalah RG±aljabar, maka ::,Û,0; adalah BCI± aljabar.

Bukti.

Diambil sebarang T,U,VÐ:, sehingga berlaku :

(i). k:T Û U;Û :T Û V;o Û :V Û U; =k:TÛU;Û:VÛU;oÛ:TÛV; =

:T_ÛV;_Û:T_ÛV;. Aksioma (BCI1) terpenuhi.

(ii). kT Û :T Û U;o Û U =:TÛU;Û:TÛU;= 0. Aksioma (BCI2) terpenuhi. (iii). Berdasarkan Teorema 2.7 (i) yaitu T Û T = 0, maka aksioma (BCI3)

terpenuhi.

(iv). Aksioma (BCI4) terpenuhi berdasarkan aksioma (RG3) yaitu jika T Û U = 0dan U Û T = 0,maka T= U.

Keempat aksioma BCI-aljabar telah terpenuhi, maka dapat dikatakan bahwa setiap RG-aljabar adalah BCI-aljabar._Ö

Teorema 2.9Suatu aljabar (:,Û,0) merupakan RG-aljabar jika dan hanya jika (:,Û,0) adalah BCI-aljabar Medial.

Bukti.

(:) Diambil sebarang T,U,V,Q Ð:.

:T_ÛU;_Û:V_ÛQ;= k:T_ÛQ;_Û:U_ÛQ;o_Û(VÛQ) =k:T_ÛQ;_Û:V_ÛQ;o_Û(UÛQ) =:TÛV;Û(UÛQ).

(9)Diambil sebarang T,U,VÐ:.

(i). T Û 0 = T, maka aksioma (RG1) terpenuhi.

(ii). TÛU= :TÛU;Û0 =:TÛU;Û(VÛV) =:TÛV;Û(UÛV)

(iii).Aksioma (RG3) terpenuhi berdasarkan aksioma (BCI4) yaitu jika T Û U = 0dan U Û T = 0,maka T=U.Ö

Teorema 2.10 [8]Jika (:,Û,0) adalah RG±aljabar, maka untuk setiap T,U,VÐ: berlaku

(i) 0Û:U_ÛT;= T_ÛU (ii) 0Û:0ÛT;= T (iii) T_Û:T_ÛU;= U

Bukti.

Misalkan (:,Û,0) adalah RG-aljabar. (i). Diambil sebarang T,UÐ :.

0Û:UÛT;=:TÛT;Û:UÛT;=:TÛU;Û:TÛT;= :TÛU;Û0 =TÛU (ii). Diambil sebarang T,UÐ :, dari Teorema 2.10 (i), jika U= 0, maka

0Û:0ÛT;=TÛ0 =T (iii). Diambil sebarang T,UÐ :.

TÛ:TÛU;= :TÛ0;Û:TÛU;= :TÛT;Û:0ÛU;= 0Û:0ÛU;= U. (iv). Diambil sebarang T,U,VÐ:.

TÛU= 0Û(UÛT) =:VÛV;Û(UÛT) =:VÛU;Û(VÛT) Ö

2.2. Pembentukan RG-aljabar dari Struktur Grup dan Sebaliknya

Pada bagian ini dibahas mengenai pembentukan RG-aljabar dari grup komutatifdan sebaliknya sebagai berikut.

Teorema 2.11 [8]Misalkan :),Ü; adalah suatu grup komutatif. Jika pada ) dilengkapi operasi _Û yang didefinisikan oleh T_ÛU= T_ÜUF1untuk setiap T,U_Ð ), maka (),Û,A) adalah RG-aljabar dengan A sebagai elemen identitas grup terhadap operasi_Ü.

Bukti.

Misalkan :),Ü; adalah suatu grup komutatif, dan ) dilengkapi operasi Û yang didefinisikan oleh TÛU =TÜUF1 untuk setiap T,U Ð) . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa (),Û,A)adalah RG-aljabar .Diambil sebarang T,U,VÐ).

(i) (RG1) TÛ0 = TÜAF1 =TÜA=T (ii) (RG2):TÛV;Û:UÛV; = (TÜVF1)Ü(UÜVF1)F1 = (TÜVF1)Ü(VÜUF1) = (TÜ(VÜUF1))ÜVF1 = (TÜ(UF1ÜV))ÜVF1 = ((TÜUF1)ÜV)ÜVF1 = (TÜUF1)Ü(VÜVF1) = (TÜUF1)ÜA =TÜUF1 =TÛU (iii) (RG3) T_ÛU = 0 =UÛT maka T=U ` TÜUF1 =A= UÜTF1 Sehingga diperoleh, T=AÜT= :UÜTF1;ÜT=UÜ( TF1ÜT) =UÜA = U Ö

Akibat 2.12 [8]Misalkan :<J, +J; adalah grup komutatif. Jika pada <J

dilengkapi operasi _Û yang didefinisikan oleh TÛU =T +J(FU) untuk setiap T,U_Ð), maka (<J,Û, 0) adalah RG-aljabar.

Bukti.

Berdasarkan Teorema 2.11, operasi Û merupakan invers dari operasi penjumlahan bilangan bulat modulo npada grup (Zn, +n)untuknR2,Ên ÐN. Oleh karena itu,

setiap (Zn,Û, 0) merupakan RG-aljabar yang dibentuk dari grup komutatif

(Z_n, +_n). Ö

Selanjutnya akan diberikan keterkaitan antara RG-aljabar dengan K-aljabar pada teorema berikut.

Selanjutnya diberikan teorema pembentukan grup komutatif dari RG -aljabar.

Teorema 2.13 [8] Misalkan ::,Û,0; adalah RG-aljabar. Jika pada : dilengkapi dengan operasi _Ü yang didefinisikan oleh TÜU=TÛ(0ÛU) untuk setiap T,UÐ:, maka ::,Ü; adalah grup komutatif.

Bukti.

Misalkan ::,Û,0; adalah RG-aljabar dan pada : dilengkapi dengan operasi Ü yang didefinisikan oleh TÜU=TÛ(0ÛU)untuk setiap T,UÐ:. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa ::,Ü; adalah grup komutatif dengan terpenuhinya aksioma-aksioma grup komutatif berikut ini.

(i). Ditunjukkan bahwa operasi Ü bersifat tertutup. Diambil sebarang T,U Ð:, maka berlaku :

TÜU = TÛ(0ÛU) Ð:untuk setiap T,UÐ:.

Oleh karena T_Û(0ÛU)Ð : maka T_ÜU_Ð : untuk setiap T,U_Ð : . Terbukti bahwa operasi Ü bersifat tertutup.

(ii). Ditunjukkan bahwa operasi Ü bersifat assosiatif. Diambil sebarang T,U,VÐ :, maka berlaku

TÜ:U_ÜV;= T_Ü(UÛ:0ÛV;) =T_Û(0Û(UÛ:0ÛV;=T_Û(:0Û0;Û kU_Û:0ÛV;o) =T_Û(:0ÛU;_Û(0Û:0ÛV; =T_Û(:0ÛU;_ÛV) = (TÛ0)Û (:0ÛU;ÛV) = (TÛ(0ÛU))Û(0ÛV) = (TÛ(0ÛU))ÜV= (TÜU)ÜV. (iii). Ditunjukkan bahwa : mempunyai elemen identitas yaitu 0 .Diambil

sebarang TÐ:, maka 0ÜT= 0Û(0ÛT) =T dan TÜ0 =TÛ(0Û0) = TÛ0 =T.

(iv). Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk setiap elemen di : mempunyai invers di :. Diklaim (0ÛT) sebagai elemen invers di :, maka TÜ:0ÛT;= 0 .

(v). Ditunjukkan bahwa operasi Ü bersifat komutatif. Diambil sebarang T,UÐ:, maka TÜU =TÛ(0ÛU) =k0Û:0ÛT;oÛ(0ÛU) =k0Û:0ÛU;oÛ(0Û

T) =UÛ(0ÛT) =UÜT. _Ö

Teorema 2.14Misalkan (),Ü) adalah grup pembangun RG-aljabar (),Û,A), maka (),Ü,Û,A) merupakan K-aljabar dengan operasi Û didefinisikan sebagai TÛU = TÜUF1 untuk setiap T,UÐ ).

Bukti.

Diambil sebarang T,U,VÐ), maka diperoleh

(i). :TÛU;Û:TÛV; =:TÜUF1;Û(TÜVF1) =:TÜUF1;Ü(TÜVF1)F1 = :T_ÜUF1;_Ü((VF1)F1ÜTF1) =:T_ÜUF1;_Ü(VÜTF1) =:T_ÜUF1;_Ü(TF1 Ü V) = (TÜ:TF1ÜV;)ÜUF1 = ((TÜTF1)ÜV)ÜUF1 = (AÜV)ÜUF1 = VÜ UF1 = VÛU. $NVLRPD . ¶ WHUSHQXKL (ii). TÛ:TÛU; =TÛ(TÜUF1) =TÜ:TÜUF1;F1 =TÜ((UF1₎F1_ÜTF1_{) =TÜ} (UÜTF1) = (UÜTF1)ÜT =U_Ü(TF1Ü) =U_ÜA =U.$NVLRPD . ¶ terpenuhi.

(iii). Aksioma (K3) terpenuhi berdasarkan Teorema 3.2 (i) yaitu T Û T = A, maka aksioma (K3) terpenuhi.

(iv).Aksioma (K4) terpenuhi berdasarkan aksioma (RG1) yaitu T Û A = T . (v). AÛT=AÜTF1 =TF1ÜA =TF1. Aksioma (K5) terpenuhi. Ö

III.KESIMPULAN

Dari pembahasan yang telah diuraikan dapat disimpulkan bahwa RG-aljabar merupakan subkelas dari BCI-aljabar. Setiap RG-aljabar adalah BCI-aljabar, tetapi mungkin tidak berlaku sebaliknya. RG-aljabar juga berkaitan dengan BCI-aljabar Medial karena setiap RG-aljabar merupakan BCI-aljabar Medial, demikian pula untuk sebaliknya.

Keterkaitan antara RG-aljabar dan Struktur Grup diperoleh dari pembentukannya. Suatu RG-aljabar dapat dibentuk dari suatu grup komutatif. Demikian pula untuk sebaliknya, RG-aljabar merupakan suatu K-aljabar dengan grup komutatif sebagai pembangunnya.

IV.UCAPAN TERIMA KASIH

Banyak pihak yang

telahmembantudalampenyelesaianTugasAkhirini.Olehkarenaitu, rasa hormatdanterimakasihpenulisinginsampaikankepada :

1. Bapak Suryoto, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, arahan, dan nasehat-nasehatnya selama ini.

2. Ibu Prof. Dr. Widowati, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing II yang juga telah membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya Tugas Akhir ini.

3. Semua pihak yang telah membantu hingga selesainya tugas akhir ini, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga Allah SWT membalas segala kebaikan yang telah Anda berikan.

V. DAFTAR PUSTAKA

[1] Akram, M., and Kim., On K-algebras and BCI-algebras, International Mathematical Forum, 2 (2007), 583-587.

[2] Allen, P. J., Neggers, J. and Kim, H. S., B-Algebras And Groups. Scientiae Mathematicae Japonicae Online, 9 (2003), 159±165.

[3] Aprilia, Nony., 2009, BCI-aljabar (SKRIPSI), UNDIP, Semarang.

[4] Gilbert, Jimmie and Gilbert, Linda., Element of Modern Algebra, Third Edition, PWS-KENT, Boston.

[5] Hu, Q. P. and Li, X., On BCH±algebras. Sem. Notes Kobi Univ., 11 (1983), 313 ± 320.

[6] Iswati., 2009, K-aljabar (SKRIPSI), UNDIP, Semarang.

[7] Oktaviani, Neni., 2013, TM±aljabar dan aspek ± aspek terkait (SKRIPSI), UNDIP, Semarang.

[8] Omar, R. A. K., On RG±Algebra. Pure Mathematical Sciences, 3 (2014), 59 ± 70.

[9] Shohani, J., Borzooei, R. A. and Jahanshahi, M. A., Basic BCI-Algebras And Abelian Groups Are Equivalent. Scientiae Mathematicae Japonicae Online, 2007, 337±339

[10] Winarsih., 2010, Kelas-kelas BCI±aljabar dan hubungan satu sama lain (SKRIPSI), UNDIP, Semarang.