10
BAB 3
STRUKTUR ALJABAR DAN CONTOH
Pada bab sebelumnya kita telah membicarakan definisi dari struktur aljabar, dan grupoid merupakan salah satu contohnya. Pada permulaan bab ini akan dibahas beberapa struktur aljabar lain seperti semigrup, monoid, grup beserta beberapa contohnya, kemudian pada bagian akhir bab ini akan diperkenalkan inverse semigroup, yaitu suatu kelas dari semigrup yang sifatnya tidak jauh berbeda dengan grup.
3.1
SEMIGRUP
Studi formal mengenai struktur semigrup dimulai pada awal abad ke-20, istilah “semigrup” sendiri pertama kali muncul pada halaman 8, yakni di dalam buku literatur matematika karangan J.-A de Séguier yang berjudul Éléments de la Théorie des Groupes Abstraits (Paris, 1904), dan makalah pertama mengenai semigrup dibuat pada tahun 1905 oleh L. E. Dickson.
Sebelumnya telah dibahas bahwa semigrup adalah suatu grupoid (S, · ) dimana operasi biner · pada grupoid tersebut bersifat asosiatif. Semigrup berbeda dengan grup dalam hal semigrup tidak harus mempunyai elemen identitas dan elemen invers seperti halnya pada grup.
Misalkan S adalah suatu semigrup, elemen a dari S disebut reguler jika terdapat x∈S sehingga a = axa. Semigrup S dikatakan reguler jika setiap elemen dari S adalah reguler. Konsep reguler ini adalah perluasan dari konsep elemen identitas dan elemen invers pada grup.
11
1
LEMMA 3.1 Elemen a dari semigrup S adalah reguler jika dan hanya jika prinsipal ideal kanan [kiri] dari S dibangun oleh a memiliki pembangun idempotent e, yaitu aS1 = eS1 [S1a = S1e
].
BUKTI. Jika a reguler. maka axa = a untuk suatu x di S, dan e = ax adalah elemen idempotent dari S dimana ea = a. Jelas bahwa aS1 = eS1. Misalkan kebalikanya, yaitu aS1 = eS1 dengn e2 = e, maka a = ex dengan x di S1, kemudian ea = e2x = ex = a, dan a = aaa. Sehingga, a∈aSa, dan a adalah reguler.
Contoh umum dari semigrup adalah himpunan seluruh matriks bilangan real berukuran n × n (n∈Z+) dengan operasi multiplikasi. Tidak masalah ketika perkalian matriks AB tidak sama dengan BA, karena semigrup tidak harus bersifat komutatif. berikut akan dibuktikan bahwa operasi perkalian pada matriks persegi bersifat asosiatif. Misalkan A,B, dan C adalah matriks berukuran n × n, dan aij,bij,cij∈R, maka: ! " ! #$ $ ! " ! #% &! &" ! & & # ' ( ( ( ( ( )*+ + + * + + + ! " ! * + + + * + + + , -. &! &" ! & &# ' ( ( ( ( ( )*&/ * + +/ + % / * &/ * + +/ + % / ! " ! * &/ * + +/ + % / * &/ * + +/ + % / , -. 1
A. H Clifford and G. B. Preston, ‘The Algebraic Theory of Semigroups’ vol.1, Amer. Math.
12 ' ( ( ( ( ( )*/ * /+&+ + % / * / * /+&+ + % / ! " ! * / * /+&+ + % / * / * /+&+ + % / , -. ! " ! # ' ( ( ( ( ( )* +&+ + * +&+ + ! " ! * +&+ + * +&+ + , -.
Contoh sederhana lain dari semigrup, yakni semigrup yang tidak memiliki elemen identitas dan elemen invers adalah himpunan bilangan bulat positif dengan operasi penjumlahan (Z+, +).
Setiap grup adalah semigrup, karena itu setiap contoh dari grup juga merupakan contoh dari semigrup.
3.2
MONOID
Semigrup (M, · ) dikatakan monoid apabila terdapat e ∈ M , dimana untuk setiap x ∈ M berlaku :
e · x = x = x · e. Elemen e disebut juga sebagai elemen identitas dari M.
Contoh dari monoid adalah himpunan bilangan asli N = { 0, 1, 2, 3, …} dan penjumlahan, yaitu monoid dengan elemen identitas yaitu 0. Perlu diketahui bahwa monoid (N , +) dapat kita bentuk dengan menambahkan elemen identitas 0 pada semigrup (Z+,+).
Contoh lain dari monoid adalah himpunan bilangan asli N = {0, 1, 2,…} dan multiplikasi (elemen identitas = 1).
13
3.3
G
RUPMonoid (M, · , e) disebut sebagai grup apabila untuk setiap x∈M terdapat x − 1 ∈ M yang memenuhi:
x · x − 1 = e = x− 1 · x
x − 1 disebut juga sebagai elemen invers bagi x. Setiap elemen x∈M mempunyai invers yang unik, karena jika y juga merupakan invers dari x, maka y = ye = y(x x − 1) = (y`x) x − 1 = e x − 1 = x − 1.
H. Weber (Lehrbuch der Algebra, vol. 2 (1896), pp. 3-4) dengan efektif mendefinisikan grup sebagai suatu semigrup G, dimana ∀a,b∈G, terdapat elemen x dan y yang unik sehingga menyebabkan ax = b dan ya = b.
Grup adalah topik dari struktur aljabar yang sudah sangat umum, dalam artian banyak sekali obyek yang dipelajari dalam matematika ternyata berupa grup, yaitu mencakup sistem bilangan seperti : bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks terhadap operasi penjumlahan atau bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks yang tak-nol terhadap operasi perkalian.
3.4
INVERSE SEMIGROUP
Inverse semigroup diperkenalkan secara terpisah yaitu pada tahun 1952 oleh Viktor Vladimirovich Wagner (Uni Soviet) dan Gordon Preston (Inggris Raya) pada tahun 1954, keduanya sampai pada inverse semigroup melalui penelitian transformasi parsial satu-satu pada suatu himpunan.
Dua elemen anggota semigrup S, sebut a dan b, dikatakan saling invers jika aba = a dan bab = b, konsep ini diperkenalkan oleh Vagner [1952] dengan nama generelaized inverse atau inverse yang diperluas. Inverse semigroup adalah semigrup reguler dimana setiap elemennya masing – masing memiliki inverse yang unik. Elemen invers (unik) dari elemen x pada inverse semigroup S dilambangkan dengan x-1, sehingga aa-1a = a dan a-1aa-1=a-1.
14 Dapat dilihat bahwa jika axa = a maka e = ax adalah elemen idempotent dari S dimana ea = a, e2= (ax)(ax) = (axa)x = ax = e dan ea = axa = a. Dengan cara serupa, f = xa adalah idempotent dimana af = a.
2
LEMMA 3.2 Jika e,f,ef, dan fe adalah seluruh elemen idempotent dari semigrup S. maka ef dan fe merupakan invers satu sama lain.
BUKTI. (ef)(fe)(ef) = (ef2e2f) = efef = (ef)2 = ef, dan secara simetris kita peroleh (fe)(ef)(fe) = fe.
3
TEOREMA 3.1 Tiga kondisi berikut pada semigrup S, adalah ekivalen: (i) S reguler, dan dua idempotent sembarang pada S komutatif satu sama lain; (ii) Setiap prinsipal ideal kanan dan setiap prinsipal ideal kiri dari S memiliki pembangun idempotent yang unik;
(iii) S adalah inverse semigroup.
BUKTI. (i) → (ii). Melalui Lemma 3.1 setiap prinsipal ideal kanan dari S memiliki setidaknya satu pembangun idempotent. Misalkan e dan f adalah elemen idempotent yang membangun prinsipal ideal kanan yang sama, yaitu eS = fS. Maka ef = f dan fe = e. Tetapi, (i) menyebabkan ef = fe, sehingga e = f.
(ii) → (iii). Melalui Lemma 3.1, S reguler dan yang perlu kita lakukan sekarang adalah menunjukkan bahwa setiap inversnya unik. Misalkan b dan c adalah invers dari a, sehingga aba = a, bab = b, aca = a, dan cac = c. Maka abS = aS = acS dan Sba = Sa = Sca, sehingga ab = ac dan ba = ca adalah akibat dari (ii). Sehingga b = bab = bac = cac = c.
(iii) → (i). Invers semigroup adalah reguler, jadi kita hanya perlu menunjukkan bahwa dua element idempotent sembarang dari S komutatif satu sama lain. Pertama-tama kita tunjukkan bahwa produk ef dari dua elemen idempotent e, f ∈ S juga adalah idempotent. Jika a adalah invers (unik) dari ef, dimana (ef)a(ef) = ef, a(ef)a = a. Jika b = ae. Maka (ef)b(ef) = efae2f = efaef = ef, b(ef)b = ae2fae = aefae = ae = b. Sehingga didapat bahwa b juga merupakan
2
Clifford, ‘The Algebraic Theory of Semigroups’. p. 28
3
15 invers dari ef. Melalui (iii), maka ae = b = a. Kemudian dengan cara yang sama dapat kita tunjukkan bahwa fa = a. Sehingga a2 = (ae)(fa) = a(ef)a = a. Tetapi suatu idempotent adalah invers terhadap dirinya sendiri, dan sekali lagi, melalui (iii), kita simpulkan bahwa a = ef. Sehingga ef adalah idempotent.
Jika e dan f merupakan dua idempotent dari S. Dari yang telah dibahas sebelumnya, diketahui bahwa ef dan fe juga merupakan suatu idempotent dari S. Kemudian melalui Lemma 3.2, ef dan fe adalah invers satu sama lain. Sehingga ef dan fe keduanya adalah invers dari ef, dan oleh karena itu maka ef = fe.
Berikut ini adalah definisi formal dari inverse semigroup.
4
DEFINISI. Semigrup S dikatakan sebagai inverse semigroup jika operasi x ↦ x-1 terdefinisi pada S, dan memenuhi :
∀x,y ∈ S, (x−1
)−1 = x, xx−1x = x, xx−1yy−1 = yy−1xx−1.
Tidak ada aturan invers pada inverse semigroup S. Semigrup S adalah inverse semigroup jika untuk setiap x terdapat y unik sehingga xyx = x dan yxy = y. Pada grup, operasi dari suatu elemen dengan invers dari elemen tersebut bersifat komutatif dalam artian x · x −1 = x −1 · x = e ,∀x,x−1, e ∈ G. Hal yang sama belum tentu berlaku pada inverse semigroup, suatu elemen x dari inverse semigroup S belum tentu komutatif dengan inversnya x-1. tetapi jelas bahwa dua idempotent sembarang pada inverse semigroup komutatif satu dengan yang lain.
5LEMMA 3.3 Untuk setiap a dan b elemen inverse semigroup S, berlaku
(a-1)-1 = a dan (ab)-1 = b-1a-1.
BUKTI. Untuk bukti yang pertama sudah jelas, untuk bukti bagian kedua, (ab)(b-1a-1)(ab) = a(bb-1)(a-1a)b = a(a-1a)(bb-1)b = ab,
(b-1a-1)(ab)(b-1a-1) = b-1(a-1a)(bb-1)a-1 = b-1(bb-1)(a-1a)a-1 = b-1a-1. sehingga b-1a-1 adalah invers dari ab.
4
Carlos Carvalho, ‘Presentations of Semigroups and Inverse Semigroups’, Ph.D. Thesis, University of St. Andrews, 2003. p. 1
5
16 Berikut adalah contoh dari inverse semigroup, misalkan X suatu himpunan, dan S = {γ ; γ ⊆ X , | γ |≤ ∞} yaitu himpunan yang terdiri atas semua subset hingga dari X. Himpunan S dan operasi penggabungan adalah inverse semigroup, dan elemen invers dari suatu γ pada S adalah elemen γ itu sendiri.
Setiap grup adalah inverse semigroup, oleh karena itu setiap contoh dari grup juga merupakan contoh dari inverse semigruop.
