1.0 TRANSFORMASI 1.0 TRANSFORMASI
1.1 Definisi 1.1 Definisi Tra
Transfnsformormasi asi mermerupaupakan kan satsatu u proproses ses yayang ng melmelibaibatkatkan n pepergergerakrakan an ataatauu perubahan sesuatu objek dari posisi asal ke satu posisi yang baru. Objek pada perubahan sesuatu objek dari posisi asal ke satu posisi yang baru. Objek pada kedudukan posisi yang baru dipanggil
kedudukan posisi yang baru dipanggil imejimej. Setiap titik pada objek akan dipetakan. Setiap titik pada objek akan dipetakan kep
kepada ada titititik k yayang ng lailain n padpada a imeimej j objobjek ek tertersebsebut. ut. TraTransfnsformormasi asi mermerupaupakan kan satsatuu istilah
istilah umum uumum untuk entuk empat cmpat cara khara khusus usus untuk untuk memanipulasi memanipulasi bentuk bentuk titik, garis, titik, garis, atauatau bentuk. Bentuk asal dari sesuatu objek dipanggil pra-imej dan bentuk akhir serta bentuk. Bentuk asal dari sesuatu objek dipanggil pra-imej dan bentuk akhir serta kedudukan akhir objek adalah imej yang telah melalui
kedudukan akhir objek adalah imej yang telah melalui proses transformasi.proses transformasi.
Tra
Translnslasiasi, , panpantultulan an dadan n putputaraaran n memeruprupakaakan n satsatu u tratransfnsformormasi asi isoisometmetrik rik kerkeranaana setiap imej yang telah dipetakan daripada objek adalah sama dari segi saiz dan juga setiap imej yang telah dipetakan daripada objek adalah sama dari segi saiz dan juga bentuknya. Kita juga boleh menyatakan di sini bahawa objek
bentuknya. Kita juga boleh menyatakan di sini bahawa objek asal dan juga imej yangasal dan juga imej yang telah dipetakan adalah bersifat kongruen.
telah dipetakan adalah bersifat kongruen. Tr
Tranansfsforormamasi si pepelualuasasan n titidadak k tetermrmasasuk uk dadalalam m kukumpmpululan an trtranansfsforormamasisi isometrik. Ini adalah kerana saiz imej sesuatu objek yang terhasil apabila melalui isometrik. Ini adalah kerana saiz imej sesuatu objek yang terhasil apabila melalui proses transformasi ini adalah tidak sama dengan saiz objek asal. Objek asal dan proses transformasi ini adalah tidak sama dengan saiz objek asal. Objek asal dan j
juguga a imimej ej yayang ng teterhrhasasil il adadalalah ah sasama ma dadari ri sesegi gi bebentntuk uk sasahahaja ja tetetatapi pi memererekaka mempunyai ukuran yang berbeza.
mempunyai ukuran yang berbeza.
1.2 Jenis-jenis transformasi 1.2 Jenis-jenis transformasi
Terdapat empat jenis transformasi iaitu : Terdapat empat jenis transformasi iaitu :
•
• TranslasiTranslasi •
•
• Rotasi(Putaran)Rotasi(Putaran) •
• PeluasanPeluasan
Sebuah komposisi transformasi atau dalam buku-buku tertentu yang
Sebuah komposisi transformasi atau dalam buku-buku tertentu yang disebutdisebut gabungan dari transformasi bererti bahawa dua atau
gabungan dari transformasi bererti bahawa dua atau lebih transformasi akanlebih transformasi akan dilakukan pada satu objek. Sebagai contoh, kita boleh
dilakukan pada satu objek. Sebagai contoh, kita boleh melakukan pantulan danmelakukan pantulan dan kemudian translasi pada titik. Terdapat beberapa teori
kemudian translasi pada titik. Terdapat beberapa teori yang menarik yangyang menarik yang melibatkan beberapa komposisi pantulan.
melibatkan beberapa komposisi pantulan.
Rotation
Rotation Putar!Putar!
Reflection
Reflection Lipat!Lipat!
Translation
Translation Gelongsor!Gelongsor!
Selepas mana-mana transformasi (translasi, putaran dan pantulan), bentuk akan Selepas mana-mana transformasi (translasi, putaran dan pantulan), bentuk akan kekal iaitu saiz, luas, sudut
kekal iaitu saiz, luas, sudut dan panjang garisannya tidak berubah. Jika sesuatudan panjang garisannya tidak berubah. Jika sesuatu bentuk boleh menjadi bentuk yang lain dengan menggunakan putaran, pantulan dan bentuk boleh menjadi bentuk yang lain dengan menggunakan putaran, pantulan dan translasi kedua-dua jenis bentuk tersebut dipanggil kongruen.
translasi kedua-dua jenis bentuk tersebut dipanggil kongruen.
TRANSLASI TRANSLASI
Dalam translasi, semua titik objek
Dalam translasi, semua titik objek digerakkan dalam garis lurus di mana digerakkan dalam garis lurus di mana arahnyaarahnya adalah sama. Size, bentuk, dan orentasi i
adalah sama. Size, bentuk, dan orentasi i mej adalah sama dengan objek asal.mej adalah sama dengan objek asal. Orentasi yang sama bermakna objek dan imej
Orentasi yang sama bermakna objek dan imej mengadap arah yang sama.mengadap arah yang sama.
Kita menerangkan translasi dalam sebutan unit nombor yang digerakkan ke
Kita menerangkan translasi dalam sebutan unit nombor yang digerakkan ke kanankanan atau ke kiri dan
atau ke kiri dan unit nombor yang digerakkan ke atas atau ke unit nombor yang digerakkan ke atas atau ke bawah.bawah. Contoh:
Contoh:
Gerakkan objek 2 unit ke kanan dan 4 unit ke atas. Gerakkan objek 2 unit ke kanan dan 4 unit ke atas.
Penyelesaian: Penyelesaian:
Translasi
Translasi dapat dapat diwakili diwakili dengan dengan lajur lajur vektor,vektor, Nombor yang berada di atas mewakili
Nombor yang berada di atas mewakili pergerakan ke kiri dan ke pergerakan ke kiri dan ke kanan. Nombor kanan. Nombor positif bermaksud bergerak ke kanan dan nombor negatif bermaksud bergerak ke positif bermaksud bergerak ke kanan dan nombor negatif bermaksud bergerak ke kiri.
kiri.
Nombor yang berada di bawah mewakili pergerakan ke
Nombor yang berada di bawah mewakili pergerakan ke atas dan bawah. Nombor atas dan bawah. Nombor positif bermaksud bergerak ke atas dan nombor negatif
positif bermaksud bergerak ke atas dan nombor negatif bermaksud bergerak kebermaksud bergerak ke bawah.
bawah.
Gambar di bawah adalah segi tiga
Gambar di bawah adalah segi tiga ABC yang ditranslasikan kepada segi tiga A’B’C’.ABC yang ditranslasikan kepada segi tiga A’B’C’.
Translasi
Kebiasannya, translasi boleh diwakili oleh
Kebiasannya, translasi boleh diwakili oleh matriks lajur atau vektor lajur matriks lajur atau vektor lajur didi mana a ialah unit
mana a ialah unit nombor yang bergerak ke kanan atau kiri nombor yang bergerak ke kanan atau kiri di sepanjang paksi-x dandi sepanjang paksi-x dan b adalah unit nombor yang bergerak
b adalah unit nombor yang bergerak ke atas dan ke bawah sepanjang paksi-y.ke atas dan ke bawah sepanjang paksi-y. Persamaan matrik yang mewakili translasi adalah:
Persamaan matrik yang mewakili translasi adalah:
Di
Di mana mana adalah adalah matriks matriks translasi translasi dan dan adalah adalah imej imej kepadakepada
Contoh: Contoh:
Segi tiga
Segi tiga P P dipetakan pada segi tigadipetakan pada segi tiga QQ melalui melalui translasi translasi ..
a)Cari koordinat segi tiga Q a)Cari koordinat segi tiga Q
b)Dalam gambar rajah di atas, lukis dan label segi tiga Q b)Dalam gambar rajah di atas, lukis dan label segi tiga Q
Penyelesaian: Penyelesaian:
a) a)
b) b)
Sebagai sisitem menulis angka Matematik, kita boleh tulis: T(
Sebagai sisitem menulis angka Matematik, kita boleh tulis: T( A A) =) = BB, yang, yang bermaksud objek
bermaksud objek A A dipetakan padadipetakan pada BB di bawah transformasi T.di bawah transformasi T.
PANTULAN PANTULAN
Dalam transformasi pantulan semua titik objek
Dalam transformasi pantulan semua titik objek dipantulkan pada garisan yangdipantulkan pada garisan yang dipanggil paksi pantulan atau garisan pantulan.
dipanggil paksi pantulan atau garisan pantulan.
Contoh: Contoh:
Pantulan ditentukan pada paksi simetri atau garisan pantulan.
Pantulan ditentukan pada paksi simetri atau garisan pantulan. Dalam gambar rajahDalam gambar rajah di atas, garisan pantulannya ialah
di atas, garisan pantulannya ialah x x = 3.= 3. Di bawah pantulan, bentuk dan size i
Di bawah pantulan, bentuk dan size imej adalah sama dengan bentuk asal.mej adalah sama dengan bentuk asal. Transformasi jenis ini dipanggil transformasi
Transformasi jenis ini dipanggil transformasi isometrikisometrik.. Orientasi yang benar-benar terbalik, di mana
Orientasi yang benar-benar terbalik, di mana kedua-dua objek menghadap arahkedua-dua objek menghadap arah yang bertentangan.
yang bertentangan.
Garis pantulan adalah pembahagi dua serenjang pada garisan yang Garis pantulan adalah pembahagi dua serenjang pada garisan yang menghubungkan mana-man
menghubungkan mana-mana titik dengan imejnya. a titik dengan imejnya. Semua titik pada garis pantulanSemua titik pada garis pantulan tidak berubah.
tidak berubah. Melukis Imej Melukis Imej
Jika paksi pantulan berada dalam satu garisan grid,
Jika paksi pantulan berada dalam satu garisan grid, kita hanya mengira bilangankita hanya mengira bilangan segi empat sama daripada satu titik
segi empat sama daripada satu titik pada objek ke paksi dan imej pada objek ke paksi dan imej adalah samaadalah sama jaraknya daripada paksi.
jaraknya daripada paksi. Contoh:
Contoh:
Dalam gambar rajah di bawah, rajah A dipantulkan pada garisan XY. Lukis imej A Dalam gambar rajah di bawah, rajah A dipantulkan pada garisan XY. Lukis imej A pada gambar rajah di bawah.
Penyelesaian: Penyelesaian:
Perlu di ingat bahawa titik O tidak berubah di bawah pantulan kerana ia berada pada Perlu di ingat bahawa titik O tidak berubah di bawah pantulan kerana ia berada pada paksi pantulan. Mana-mana titik pada garisan pantulan tidak
paksi pantulan. Mana-mana titik pada garisan pantulan tidak berubah. Jika paksiberubah. Jika paksi pantulan tidak berada pada garisan grid, kita
pantulan tidak berada pada garisan grid, kita memerlukan jangka lukis untukmemerlukan jangka lukis untuk membina imej.
membina imej. Contoh:
Gambar rajah di bawah menunjukkan segi tiga
Gambar rajah di bawah menunjukkan segi tiga ABC dipantulkan pada garisan XY.ABC dipantulkan pada garisan XY. Lukis imej segi tiga pada gambar rajah.
Lukis imej segi tiga pada gambar rajah. Penyelesaian:
Penyelesaian: Langkah1:
Langkah1: Letak titik tajam jangka lukis pada Letak titik tajam jangka lukis pada A dan A dan lukis dua lengkuk bersillukis dua lengkuk bersilangang pada garisan XY.
pada garisan XY.
Langkah 2:
Langkah 2: Letakkan titik tajam jangka lukis pada titik persilangan yang pertamaLetakkan titik tajam jangka lukis pada titik persilangan yang pertama dan tanda lengkuk yang berada pada bahagian bertentangan dengan garisan XY. dan tanda lengkuk yang berada pada bahagian bertentangan dengan garisan XY. Let
Letakkakkan an titititik k tajtajam am janjangka gka luklukis is papada da titititik k perpersilsilangangan an yanyang g kekedua dua dadan n tantandada lengkuk untuk disilangkan pada lengkuk yang pertama. Persilangan tersebut adalah lengkuk untuk disilangkan pada lengkuk yang pertama. Persilangan tersebut adalah imej A’.
imej A’.
Langkah 3:
Langkah 3: Ulang semula langkah 1 dan 2 untuk mendapatkan titik B’ dan C’.Ulang semula langkah 1 dan 2 untuk mendapatkan titik B’ dan C’. Hubungkan titik A’, B’ dan C’ untuk mendapatkan imej A’B’C’.
PUTARAN PUTARAN
Putaran ialah transformasi di mana objek diputarkan pada koordinat yang tetap. Putaran ialah transformasi di mana objek diputarkan pada koordinat yang tetap. Arah putaran boleh sama ada mengikut arah jam atau lawan arah jam.
Arah putaran boleh sama ada mengikut arah jam atau lawan arah jam. Koo
Koordirdinat nat yanyang g tettetap ap di di manmana a putputaraaran n berberlaklaku u disdisebuebut t sebsebagaagai i puspusat at puputartaran.an. Jumlah putaran yang dibuat disebut sebagai sudut putaran.
Jumlah putaran yang dibuat disebut sebagai sudut putaran. Contoh:
Contoh:
Untuk mana-mana putaran, kita perlu mngenal pasti
Untuk mana-mana putaran, kita perlu mngenal pasti pusat,sudut dan arah putaran.pusat,sudut dan arah putaran.
Melukis imej Melukis imej Contoh: Contoh:
Kenal pasti imej pada garis lurus XY di bawah putaran 90˚ arah lawan jam pada titik Kenal pasti imej pada garis lurus XY di bawah putaran 90˚ arah lawan jam pada titik O.
Penyelesaian: Penyelesaian: Langkah 1:
Langkah 1: Hubungkan titikHubungkan titik X X padapada O.O. Langkah 2:
Langkah 2: Dengan menggunakan protractor, lukis garisan 90˚ lawan arah jam dariDengan menggunakan protractor, lukis garisan 90˚ lawan arah jam dari garisan
garisan OX. Tanda pada garisan itu titik OX. Tanda pada garisan itu titik X X ’ seperti mana garisan’ seperti mana garisan OX OX == OX OX ’’
Step 3:
Step 3: Repeat steps 1 and 2 for pointRepeat steps 1 and 2 for point Y Y . Join the points. Join the points X’ X’ andand Y Y ’ to form the line’ to form the line X’Y’.
X’Y’.
Langkah 3:
Langkah 3: Ulang langkah 1 dan 2 untuk titik Y. Hubungkan titik X’dan Y’ untukUlang langkah 1 dan 2 untuk titik Y. Hubungkan titik X’dan Y’ untuk membentuk garisan X’Y’.
membentuk garisan X’Y’. SUDUT PUTARAN
SUDUT PUTARAN
Jika diberi objek, imej dan pusat putaran, kita boleh mendapatkan sudut putaran Jika diberi objek, imej dan pusat putaran, kita boleh mendapatkan sudut putaran dengan menggunakan langkah-langkah berikut.
dengan menggunakan langkah-langkah berikut. Langkah 1 :
Langkah 1 : Pilih mana-mana titik dalam rajah yang diberi dan hubungkan titik yangPilih mana-mana titik dalam rajah yang diberi dan hubungkan titik yang dipilih ke pusat putaran.
dipilih ke pusat putaran. Langkah 2 :
Lan
Langkagkah h 3 3 :: Ukur sudut di Ukur sudut di antarantara a dua garisan tersebudua garisan tersebut. t. TandTanda a sudusudut t bergabergantungntung pada arah putaran. Putaran arah lawan jam adalah positif dan putaran arah jam pada arah putaran. Putaran arah lawan jam adalah positif dan putaran arah jam adalah negatif.
adalah negatif.
Contoh : Contoh : Rajah
Rajah A A’’BB’’C C ’ adalah imej bagi rajah’ adalah imej bagi rajah ABC. O ABC. O adaadalah lah puspusat at putputaraaran. n. CarCari i sudsudutut putaran. putaran. .. Penyelesaian : Penyelesaian : Langkah 1:
Langkah 1: HubungkanHubungkan A A dandan OO Langkah 2:
Langkah 2: HubungkanHubungkan A’ A’ dandan OO.. Langkah 3:
Langkah 3: Ukur sudutUkur sudut AOA’ AOA’
Sudut
Mensaiz semula Mensaiz semula
Tra
Transfnsformormasi asi lailain n yanyang g penpenting ting ialialah ah menmensaisaiz z semsemulaula..(ju(juga ga dikdikenaenali li sesebagbagai ai dilation, contraction, compression, enlargement or even expansion).
dilation, contraction, compression, enlargement or even expansion). Bentuk menjadiBentuk menjadi besar atau kecil.
besar atau kecil. Dilation
Dilation adalaadalah h transtransformasformasi i yang menghasyang menghasilkan imej ilkan imej yang sama yang sama bentubentuk k dengdenganan bentuk asal, tetapi saiz yang berbeza.
bentuk asal, tetapi saiz yang berbeza. DilationDilation adalah transformasi di mana setiapadalah transformasi di mana setiap titik objek bergerak sepanjang garisan lurus. Garisan lurus dilukis daripada titik yang titik objek bergerak sepanjang garisan lurus. Garisan lurus dilukis daripada titik yang tetap yang dipanggil pusat
tetap yang dipanggil pusat dilation.dilation. Jarak pergerakan titik bergantung pada faktor Jarak pergerakan titik bergantung pada faktor skala
skala..
Faktor skala = panjang imej = jarak imej daripada pusat
Faktor skala = panjang imej = jarak imej daripada pusat dilationdilation Panjang
Panjang asal asal jarak jarak objek objek daripada daripada pusatpusat dilationdilation Jika faktor skala lebih besar dari 1, imej itu ialah
Jika faktor skala lebih besar dari 1, imej itu ialah enlargement enlargement Jika factor skala di antara 0 dan 1, imej itu
Jika factor skala di antara 0 dan 1, imej itu ialahialah reductionreduction
Contoh: Contoh:
Rajah menunjukkan dua segi tiga sama PQR dan
Rajah menunjukkan dua segi tiga sama PQR dan P’Q’R’.P’Q’R’.
Segi tiga P’Q’R’ ialah
Segi tiga P’Q’R’ ialah dilationdilation segi tiga PQR. Kita boleh katakana bahawa segi tigasegi tiga PQR. Kita boleh katakana bahawa segi tiga PQR ditransformasikan kepada segi tiga P’Q’R’ melalui
PQR ditransformasikan kepada segi tiga P’Q’R’ melalui dilationdilation dengan pusat O dandengan pusat O dan
factor skala factor skala
Enlargement Enlargement
Contoh Contoh ::
Memperbesar segi tiga PQR dengan O sebagai pusat
Memperbesar segi tiga PQR dengan O sebagai pusat dilation dan factor skala 2.dilation dan factor skala 2.
Penyelesaian: Penyelesaian: Langkah 1:
Langkah 1: Ukur OP.Ukur OP. Langkah 2:
Langkah 2: Panjangkan garisan OP kepada titik P’ sepertimana OP’ Panjangkan garisan OP kepada titik P’ sepertimana OP’ = 2OP.= 2OP. Langkah 3:
Langkah 3: Ulang langkah untuk semua bucu : titik Q untuk mendapatkan Q’ danUlang langkah untuk semua bucu : titik Q untuk mendapatkan Q’ dan titik R untuk mendapatkan R’.
titik R untuk mendapatkan R’. Langkah 4:
Contoh: Contoh:
Besarkan segi tiga ABC dengan C
Besarkan segi tiga ABC dengan C sebagai pusat dilation dan factor skala 3.sebagai pusat dilation dan factor skala 3. Penyelesaian:
Penyelesaian: Langkah 1:
Langkah 1: Ukur CA.Ukur CA. Langkah 2:
Langkah 2: Panjangkan garisan CA kepada titik A’ sepertimana CA’ Panjangkan garisan CA kepada titik A’ sepertimana CA’ = 3CA.= 3CA. Langkah 3:
Langkah 3: Ulang langkah untuk titik B Ulang langkah untuk titik B untuk mendapatkan B’.untuk mendapatkan B’.
Contoh: Contoh:
Lukis imej gambar rajah PQRS. O adalah pusat dilation dan faktor skala ialah 1.5 Lukis imej gambar rajah PQRS. O adalah pusat dilation dan faktor skala ialah 1.5
Penyelesaian: Penyelesaian: Langkah 1:
Langkah 1: Hubungkan OP.Hubungkan OP. Langkah 2:
Langkah 2: Panjangkan garisan OP kepada OP’, sepertimana OP’ = 1.5 × OPPanjangkan garisan OP kepada OP’, sepertimana OP’ = 1.5 × OP Langkah 3:
Langkah 3: Ulang untuk semua bucu Q, R dan S.Ulang untuk semua bucu Q, R dan S. Langkah 4:
Langkah 4: Hubungkan P’, Q’, R’ dan S’ untuk membentuk imejHubungkan P’, Q’, R’ dan S’ untuk membentuk imej
Reduction Reduction
Jika faktor skala dilation di antara 0 dan 1, imej akan menjadi kecil daripada objek. Jika faktor skala dilation di antara 0 dan 1, imej akan menjadi kecil daripada objek. Ini dipanggil sebagai
Ini dipanggil sebagai reductionreduction..
Contoh : Contoh :
Perbesar
Penyelesaian: Penyelesaian: Langkah 1 :
Langkah 1 : HubungkanHubungkan OO kepadakepada P P ..
Langkah 2 :
Langkah 2 : Tandakan titikTandakan titik P P ’ pada’ pada OP OP sepertimanasepertimana OP OP ’ =’ = OP OP .. Langkah 3 :
Langkah 3 : Ulang langkah untuk setiap bucu: titikUlang langkah untuk setiap bucu: titik QQ untuk mendapatkanuntuk mendapatkan QQ ’ dan’ dan titik
titik R R untuk mendapatkanuntuk mendapatkan R R ’ .’ . Langkah 4 :
Langkah 4 : Hubungkan titik-titikHubungkan titik-titik P P ’’QQ’’R R ’ untuk membentuk imej.’ untuk membentuk imej.
Teselasi-teselasi Teselasi-teselasi
Pengertian Pengertian
Corak yang mencakupi permukaan satah
Corak yang mencakupi permukaan satah dengan memasang bersama-dengan memasang bersama-sama dari bentuk asas yang bersama-sama yang
sama dari bentuk asas yang sama yang telah diciptakan oleh Alam dan
telah diciptakan oleh Alam dan Manusia sama ada secara tidak langsung atau rekaManusia sama ada secara tidak langsung atau reka bentuk.
bentuk.
Contoh-contoh susunan dari corak heksagonal mudah seperti sarang madu
contoh susunan dari corak heksagonal mudah seperti sarang madu lebah'atau lantailebah'atau lantai seramik untuk hiasan kompleks yang digunakan oleh orang Moor
seramik untuk hiasan kompleks yang digunakan oleh orang Moor diSepanyol abad kdiSepanyol abad k etiga belas atau kerumitan dalam Matematik, tapi artistik, mozekdicipta
etiga belas atau kerumitan dalam Matematik, tapi artistik, mozekdicipta oleh Maurits Escher abad ini. Corak-corak ini disebut teselasi.
oleh Maurits Escher abad ini. Corak-corak ini disebut teselasi. Apakah itu teselasi?Dalam terminologi geometri teselasi
Apakah itu teselasi?Dalam terminologi geometri teselasi adalah corak yangadalah corak yang dihasilkan dari susunanpoligon yang sekata untuk menutup sebuah permukaan dihasilkan dari susunanpoligon yang sekata untuk menutup sebuah permukaan satah tanpa ruang (gap)
satah tanpa ruang (gap) ataupertindihan. Corak ini biasanya berulang.ataupertindihan. Corak ini biasanya berulang. Terdapat tiga jenis teselasi.
Terdapat tiga jenis teselasi.
Sebuah teselasi (atau jubin) adalah suatu
Sebuah teselasi (atau jubin) adalah suatu susunan bentuk tertutup yang berpsusunan bentuk tertutup yang berp adananbersama-sama untuk menutup permukaan
adananbersama-sama untuk menutup permukaan
satah tanpa pertindihan dan tanpameninggalkan jurang. Teselasi-teselasi ada satah tanpa pertindihan dan tanpameninggalkan jurang. Teselasi-teselasi ada di mana-mana di alam ini seperti sarang dan objekbuatan manusia seperti selimut. di mana-mana di alam ini seperti sarang dan objekbuatan manusia seperti selimut. M.C. Escher, seorang seniman dan ahli
M.C. Escher, seorang seniman dan ahli
matematik, telah menjadi terkenal keranateselasi yang mengagumkan. matematik, telah menjadi terkenal keranateselasi yang mengagumkan.
Jenis-jenis Teselasi Jenis-jenis Teselasi
Teselasi Sekata Teselasi Sekata Separuh-sekata teselasi Separuh-sekata teselasi Bukan-sekata teselasi Bukan-sekata teselasi Ringkas teselasi Ringkas teselasi Kompleks teselasi Kompleks teselasi Teselasi Sekata Teselasi Sekata
Teselasi sekata merupakan sepenuhnya dari poligon sekata kongruen semua Teselasi sekata merupakan sepenuhnya dari poligon sekata kongruen semua pertemuan _bucu bertemu bucu. Hanya terdapat
pertemuan _bucu bertemu bucu. Hanya terdapat
tiga teselasi sekata yang menggunakan segitiga sama sisi, tiga teselasi sekata yang menggunakan segitiga sama sisi, segisegi empat tepat dan segi enam.
empat tepat dan segi enam. Berikut yang menggunakan segi tiga dan segi Berikut yang menggunakan segi tiga dan segi enam.enam.
Teselasi-separuh sekata Teselasi-separuh sekata
Teselasi Separuh-sekata dicipta dengan dua atau lebih jenis
Teselasi Separuh-sekata dicipta dengan dua atau lebih jenis poligon sekata yangdippoligon sekata yangdip asangkan bersama-sama sedemikian rupa supaya poligon
asangkan bersama-sama sedemikian rupa supaya poligon yangyang sama dalamsusunan kitaran yang sama mengelilingi setiap bucu. sama dalamsusunan kitaran yang sama mengelilingi setiap bucu.
Terdapat lapan teselasi separa-sekata yang merangkumi pelbagai kombinasi segi Terdapat lapan teselasi separa-sekata yang merangkumi pelbagai kombinasi segi tiga sama sisi,
tiga sama sisi, segi empat sama sisi, segi segi empat sama sisi, segi enam, octagons dan dodecagons.enam, octagons dan dodecagons.
Teselasi Tidak Sekata Teselasi Tidak Sekata
Teselasi tidak sekata adalah di mana tidak ada halangan dalam susunan Teselasi tidak sekata adalah di mana tidak ada halangan dalam susunan poligon di sekeliling kenderaan. Terdapat nombor infiniti di dalam teselasi.
poligon di sekeliling kenderaan. Terdapat nombor infiniti di dalam teselasi. De
Dengngan an memengngamambibil l kikira ra dedefifininisi si di di atatas as akakan an memembmbuauatktkan an kikita ta fafahahamm se
seadadananya ya yayang ng kekebabanynyakakan an cocorarak k yayang ng didipeperbrbuauat t dadariripapada da sasatu tu atatau au lelebibihh polyi
polyiamond adalah amond adalah bukabukan n teselteselasi asi kerakerana na kompkomponen polyiamoonen polyiamond nd adalaadalah h bukabukann polig
poligon on sekasekata. ta. CorakCoraknya mungkin lebih nya mungkin lebih tepat dipanggtepat dipanggil il mozemozek k atau corak jubin.atau corak jubin. Tes
Teselaelasi si seksekata ata daldalam am matmatemaematik tik adaadalah lah munmungkigkin, n, tettetapi api dendengan gan monmoniamiamondond,, segitiga tetriamond dan juga sisi enam hexiamond. Teselasi separuh sekata adalah segitiga tetriamond dan juga sisi enam hexiamond. Teselasi separuh sekata adalah mungkin dengan kombinasi moniamond dan sisi enam hexiamond. Namun, saya mungkin dengan kombinasi moniamond dan sisi enam hexiamond. Namun, saya ak
akan an apaplilikakasisikakan n sesebubutatan n teteseselalasi si (s(sepeperertitimamana na pepenunulilis s lalain in adada) a) ununtutukk men
meneraerangkngkan corak yang dipean corak yang diperoleroleh h dardaripaipada da sussusunaunan n salsalah satu atau lebihah satu atau lebih polyiamond untuk
polyiamond untuk menutupi satah menutupi satah tanpa ada persilantanpa ada persilangan atau pertindihan.gan atau pertindihan.
Definisi dan penerangan berikut merujuk kepada teselasi polyiamond. Contoh Definisi dan penerangan berikut merujuk kepada teselasi polyiamond. Contoh adalah terhad, dengan sedikit
adalah terhad, dengan sedikit pengecualian kepada teselasi ppolyiamond individu.pengecualian kepada teselasi ppolyiamond individu. Tese
Teselasi lasi boleboleh h direkdireka a dengadengan n mempmempersemersembahkabahkan n satu atau satu atau lebih operasilebih operasi asas, translasi, putaran dan pantulan pada polyiamond (rujuk
asas, translasi, putaran dan pantulan pada polyiamond (rujuk rajah).rajah).
Translasi – menggerakkan polyiamond di sepanjang satah. Operasi translasi boleh Translasi – menggerakkan polyiamond di sepanjang satah. Operasi translasi boleh diaplikasikan kepada semua polyiamond.
Putaran – putar polyiamond di
Putaran – putar polyiamond di atas satah. Operasi putaran boleh diaplikasikanatas satah. Operasi putaran boleh diaplikasikan kepada semua polyiamond yang mana tidak mempunyai simetri bulat, contohnya kepada semua polyiamond yang mana tidak mempunyai simetri bulat, contohnya hexiamond sisi enam, yang mana tidak berubah.
hexiamond sisi enam, yang mana tidak berubah.
Pantulan – memantulkan polyiamond di atas satah, seperti
Pantulan – memantulkan polyiamond di atas satah, seperti yang terdapat padayang terdapat pada cermin. Operasi pantulan adalah terhad kepada polyiamond yang enantiomorphic. cermin. Operasi pantulan adalah terhad kepada polyiamond yang enantiomorphic. Polyiamond enantiomorphic adalah yang mana tidak boleh ditumpangkan pada Polyiamond enantiomorphic adalah yang mana tidak boleh ditumpangkan pada pantulannya, ianya adalah imej cermin.
pantulannya, ianya adalah imej cermin.
Saya nyatakan klasifikasi teselasi polyiamond
Saya nyatakan klasifikasi teselasi polyiamond berikut berdasarkan operasiberikut berdasarkan operasi yang diguna pada polyiamond yang telah di teselasikan.
yang diguna pada polyiamond yang telah di teselasikan. Teselasi ringkas
Teselasi ringkas yang mana hanya operasi translasi yang mana hanya operasi translasi digunakan.digunakan. Teselasi kompleks
Teselasi kompleks yang mana menggunakan satu atau lebih operasi putaran danyang mana menggunakan satu atau lebih operasi putaran dan pantulan yang digunakan bersama-sama operasi translasi.
pantulan yang digunakan bersama-sama operasi translasi.
Satu atau lebih polyiamond boleh digabungkan untuk membentuk rajah yang Satu atau lebih polyiamond boleh digabungkan untuk membentuk rajah yang boleh menteselasikan satah menggunakan hanya ooperasi translasi. Rajah ini akan boleh menteselasikan satah menggunakan hanya ooperasi translasi. Rajah ini akan dipanggil unit sel.
dipanggil unit sel.
Satu unit sel yang
Satu unit sel yang biasa boleh diisi dengan beberapa polyiamond yangbiasa boleh diisi dengan beberapa polyiamond yang berlainan. Gardner menerangkan bagaimana lima pasang heptiamond boleh berlainan. Gardner menerangkan bagaimana lima pasang heptiamond boleh digunakan untuk mengisi unit sel corak teselasi yang
digunakan untuk mengisi unit sel corak teselasi yang sama. Anda akan berupayasama. Anda akan berupaya untuk mencari contoh lain di
Teselasi boleh diklasifikasikan dengan lebih
Teselasi boleh diklasifikasikan dengan lebih mendalam mengikut bagaimanamendalam mengikut bagaimana unit sel mengandungi satu atau lebih
unit sel mengandungi satu atau lebih polyiamond yang disusun. Jika unit sel disusunpolyiamond yang disusun. Jika unit sel disusun seperti corak sekata yang berulang-ulang atau corak rambang, teselasi disebut
seperti corak sekata yang berulang-ulang atau corak rambang, teselasi disebut periodic.
periodic. Jika susunan menghasilkan corak yang tidak sekata atau rambang,Jika susunan menghasilkan corak yang tidak sekata atau rambang, teselasi disebut
teselasi disebut aperiodic.aperiodic. Susunan lain yang menghasilkan teselasi Susunan lain yang menghasilkan teselasi dengan pusatdengan pusat simetri bulat adalah disebut
simetri bulat adalah disebut radialradial – seperti teselasi, dengan pengeculian kes-kes– seperti teselasi, dengan pengeculian kes-kes istimewa, adalah kompleks dan akan meliputi dua per tiga atau enam unit sel yang istimewa, adalah kompleks dan akan meliputi dua per tiga atau enam unit sel yang salah satunya mengandungi nombor polyiamond yang ti
salah satunya mengandungi nombor polyiamond yang ti dak terbatas.dak terbatas. Kesemua teselasi yang sekata termasuk dalam tujuh belas set
Kesemua teselasi yang sekata termasuk dalam tujuh belas set simetri yangsimetri yang berlainan kumpulan yang mana menguras semua cara yang coraknya boleh diulang berlainan kumpulan yang mana menguras semua cara yang coraknya boleh diulang tanpa had dalam dua dimensi.
Pembaca sepatutnya sedar bahawa susunan ganjil polyiamonds tidak boleh Pembaca sepatutnya sedar bahawa susunan ganjil polyiamonds tidak boleh men
menjadjadi i testeselaelasi si mudmudah. ah. OpeOperasrasi i putputaraaran n dadan n panpantultulan an mesmesti ti digdigunaunakan kan untuntukuk menyediakan keseimbangan unit sel untuk teselasi.
menyediakan keseimbangan unit sel untuk teselasi. Kesem
Kesemua ua susususunan nan polyipolyiamondamonds s lapan atau lapan atau kurankurang, g, dengdengan an pengepengecualcualianian sa
salalah h sasatu tu heheptptiaiamomondnds s akakan an mementnteseselelasasikikan an sasatatah. h. PePengngececuaualilianannynya a iaialahlah he
heptptiaiamomondnds s beberbrbenentutuk k ‘V‘V’. ’. GaGardrdnener r (b(bukuku u keke-6 -6 m/m/s s 24248) 8) memenunulis lis memengngenenaiai m
maassaallaah h mmeennggeennaallppaasstti i hheeppttiiaammoonnd d ddaan n mmeenngghhaassililkkaan n sseemmuulla a bbuukkttii ket
ketidaidakmukmungkngkinainan n GreGregorgory. y. WalWalauaubagbagaimaimanaanapunpun, , daldalam am komkombinbinasi asi dedengangann heptiamond yang lain, teselasi yang menggunakan heptiamonds berbentuk V boleh heptiamond yang lain, teselasi yang menggunakan heptiamonds berbentuk V boleh di bentuk.
di bentuk.
2.3 Contoh Teselasi 2.3 Contoh Teselasi
Terdapat banyak contoh teselasi dalam dunia yang sebenar. Kita telah belajar Terdapat banyak contoh teselasi dalam dunia yang sebenar. Kita telah belajar yang teselasi adalah bentuk polygon yang berulang-ulang tanpa mempunyai ruang yang teselasi adalah bentuk polygon yang berulang-ulang tanpa mempunyai ruang atau seksyen yang bertindih. Siapa yang pertama menemui corak ini, dan siapa atau seksyen yang bertindih. Siapa yang pertama menemui corak ini, dan siapa yang menggunakannya? Maka, untuk yang pertama kalinya fikirkan bentuk yang yang menggunakannya? Maka, untuk yang pertama kalinya fikirkan bentuk yang berbeza yang ada dalam alam semula jadi, dan lihat sama ada anda boleh fikirkan berbeza yang ada dalam alam semula jadi, dan lihat sama ada anda boleh fikirkan sesu
sesuatu atu yang boleh yang boleh dikladiklasifikasifikasikasikan n sebasebagai gai teselteselasi. asi. Sisik pada Sisik pada ikanikan, , cengcengkerankerangg kura-kura, ataupun kulit nenas. Jadi, hanya dengan memerhatikan dunia sekeliling kura-kura, ataupun kulit nenas. Jadi, hanya dengan memerhatikan dunia sekeliling kita kita boleh pelajari macam mana untuk mengenalpasti coraknya dan bagaimana kita kita boleh pelajari macam mana untuk mengenalpasti coraknya dan bagaimana kita boleh aplikasikannya dalam kerja kita. Contoh teselasi yang dapat kita lihat kita boleh aplikasikannya dalam kerja kita. Contoh teselasi yang dapat kita lihat adala
adalah h dalam pembinadalam pembinaan an batu bata batu bata semassemasa a membimembina na bangubangunan. Selama beribunan. Selama beribu tahun manusia telah menggunakan teselasi untuk mereka bangunan yang cantik, tahun manusia telah menggunakan teselasi untuk mereka bangunan yang cantik, mozek, kerja kayu, lantai dan
mozek, kerja kayu, lantai dan taman.taman. Ora
Orang ng GreGreek ek dan dan RomRoman an dahdahulu ulu kalkala a teltelah ah menmencipcipta ta mozmozek ek yanyang g rumrumitit menggunakan bahagian batu-batu kecil yang ditampalkan pada dinding-dinding dan menggunakan bahagian batu-batu kecil yang ditampalkan pada dinding-dinding dan lantai-lantai. Mozek-mozek ini adalah bukan teselasi dalam sistem matematik
lantai-lantai. Mozek-mozek ini adalah bukan teselasi dalam sistem matematik kecualikecuali bentuk batu di dalam mereka yang membentuk corak berulang. Tetapi selalunya, bentuk batu di dalam mereka yang membentuk corak berulang. Tetapi selalunya, mozek
mozek-moze-mozek k ini ini menggmenggunakunakan an rekarekaan an geomegeometric tric yang yang akan akan ditesditeselasikelasikan an padapada satah dalam sempadan dan latar belakangnya. Ubin yang lebih besar diperbuat satah dalam sempadan dan latar belakangnya. Ubin yang lebih besar diperbuat daripada marmar atau granit yang digunakan pada corak lantai.
daripada marmar atau granit yang digunakan pada corak lantai. Kadangkala, seluruhKadangkala, seluruh lantai dihamparkan dalam satah teselasi yang besar.
lantai dihamparkan dalam satah teselasi yang besar.
Seni islam dinotakan mempunyai hiasan mozek yang ekstrem. Lebih banyak Seni islam dinotakan mempunyai hiasan mozek yang ekstrem. Lebih banyak rekaa
rekaan n ubin mempunyubin mempunyai ai segmsegmen en yang bertindiyang bertindih h dan disebabkdan disebabkan an itu itu ia ia bukabukanlahnlah teselasi yang sebenar. Banyak masjid dahulukala dan istana dibina di Istanbul, dan teselasi yang sebenar. Banyak masjid dahulukala dan istana dibina di Istanbul, dan warnanya yang terang tidak hilang. Masjid Biru dan Haiga Sophia adalah dua tempat warnanya yang terang tidak hilang. Masjid Biru dan Haiga Sophia adalah dua tempat ya
yang ng popopupulalar r di di IsIstatanbnbul, ul, TuTurkrki i yayang ng mamana na babanynyak ak cocorak rak teteseselalasi si papadada bang
bangunannunannya. ya. KadaKadangkangkala, la, corak yang corak yang diwardiwarnakan pada nakan pada jubin adalah jubin adalah daripdaripadaada re
rekakaan an gegeomometetririk k memerereka ka sesendndiriri i yayang ng mamana na apapababilila a didililihahat t dadariripapada da jajauhuh menampakkan teselasi.
menampakkan teselasi.
Kawasan lain dalam dunia yang menggunakan teselasi pada dinding dan Kawasan lain dalam dunia yang menggunakan teselasi pada dinding dan lantai adalah Negara Cina, di mana seramik porselin biru dan putih yang popular lantai adalah Negara Cina, di mana seramik porselin biru dan putih yang popular menja
menjadi di aspiraspirasi asi artis-artis-artis daripada Negara lain artis daripada Negara lain untuk membuauntuk membuat t jubin yang jubin yang samasama;; Jepun, yang mana dikenali sebagai pengukir kayu dalam mereka teselasi; Afrika Jepun, yang mana dikenali sebagai pengukir kayu dalam mereka teselasi; Afrika Uta
in
induduststri ri jujubibin n DeDelflft t bebegigitu tu jujuga ga EnEnglglanand d iaiaitu itu WeWeststmiminsnsteter r AbAbbebey y di di LoLondndonon mempu
mempunyai rekaan yang hebat nyai rekaan yang hebat yang ditiru biara yang ditiru biara lain. Budaya lain lain. Budaya lain juga dikatakjuga dikatakanan menggunakan teselasi pada bangunan mereka dan rekaan tekstil termasuk Navajos menggunakan teselasi pada bangunan mereka dan rekaan tekstil termasuk Navajos dan Amish.
dan Amish. Kita boleh Kita boleh mendamendapatkapatkan n buku berkenabuku berkenaan an kesekeseniaan dan niaan dan senisenibina dibina di perpustakaan. Terdapat banyak sebab mengapa kita harus belajar teselasi.
perpustakaan. Terdapat banyak sebab mengapa kita harus belajar teselasi.
Contoh-contoh teselasi dalam kehidupan sebenar : Contoh-contoh teselasi dalam kehidupan sebenar :
1
2 2.. BBeee e wweebb 3 3.. BBuutttteerrfflyly 4 4.. BBuuiillddiinngg 5 5.. BBaallll
6.
6. PePededesstrtriianan
7
7.. RRoooof f
8
2.4 Bagaimana teselasi boleh dihasilkan 2.4 Bagaimana teselasi boleh dihasilkan
2.5 Sumbangan Maurice C Escher 2.5 Sumbangan Maurice C Escher
2.5.1 Waterfall 2.5.1 Waterfall
Waterfall ialah satu lukisan pada logam yang dilakar oleh seorang pelukis Belanda, Waterfall ialah satu lukisan pada logam yang dilakar oleh seorang pelukis Belanda, M. C. Escher
rekaan paradoks terbalik, air dari tapak rekaan bergerak keatas sebelum sampai di rekaan paradoks terbalik, air dari tapak rekaan bergerak keatas sebelum sampai di puncak rekaan.
puncak rekaan.
Kebanyakan orang seni menggunakan perkadaran biasa untuk menghasilkan Kebanyakan orang seni menggunakan perkadaran biasa untuk menghasilkan ilu
ilusi si kedkedalaalamanman, , tettetapi api EstEsther her menmenggggunaunakakan n perperkadkadaraaran n berbertententantangan gan untuntukuk meng
menghasilkhasilkan an gambgambar ar paradparadoks. oks. WaterWaterfall fall mempmempunyai unyai strukstruktur tur segitisegitiga ga samaksamakakiaki Penrose
Penrose , , satu objek yang mustahsatu objek yang mustahil il direkdireka a sendsendiri olehiri oleh Roger PenroseRoger Penrose dandan Oscar Oscar Reutersvärd
Reutersvärd.. Bentangan 3D Bentangan 3D
Penerangan tentang rekaan teselasi yang dihasilkan Penerangan tentang rekaan teselasi yang dihasilkan
Dal
Dalam am proproses ses memmembenbentuk tuk rekrekaan aan testeselaelasi, si, kamkami i teltelah ah menmengguggunaknakan an tigtigaa bentuk iaitu empat segi sama, segi tiga sama kaki dan heksagon sekata serta tiga bentuk iaitu empat segi sama, segi tiga sama kaki dan heksagon sekata serta tiga jenis transform
jenis transformasi asi yaknyakni i pembpembesaraesaran, n, putaputaran ran dan dan transtranslasi. lasi. PertaPertama ma sekasekali, li, lukislukis satu garis lurus. Kemudian, kami memilih satu titik sebagai pusat. Seterusnya kami satu garis lurus. Kemudian, kami memilih satu titik sebagai pusat. Seterusnya kami men
mengguggunaknakan an putputaraaran n 90 90 dardarjah jah untuntuk uk memmembenbentuk tuk satsatu u segsegi i emempat pat samsama a yanyangg s
semempupurrnana. . KeKemumuddiaian, n, ddenenggaan n memennggggununakakan an oopeperarassi i pepemmbbesesaararan, n, kkamamii mengecilkan segi empat tepat tersebut dengan menggunakan faktor pembesaran mengecilkan segi empat tepat tersebut dengan menggunakan faktor pembesaran satu per dua berpandukan titik tengah iaitu pusat bagi segi empat tepat tersebut satu per dua berpandukan titik tengah iaitu pusat bagi segi empat tepat tersebut yang juga
yang juga disebdisebut ut sebasebagai gai objekobjek. . SeterSeterusnyusnya, a, kami membina sebuah heksagokami membina sebuah heksagonn sekata yang sisinya adalah 3 cm. Heksagon tersebut dilukis dengan menggunakan sekata yang sisinya adalah 3 cm. Heksagon tersebut dilukis dengan menggunakan setiap sisi segi empat tepat tadi sebagai asasnya. Kemudian, kami lukis 3 garisan setiap sisi segi empat tepat tadi sebagai asasnya. Kemudian, kami lukis 3 garisan lurus yang menghubungkan setiap bucu yang bertentangan pada heksagon tersebut lurus yang menghubungkan setiap bucu yang bertentangan pada heksagon tersebut untuk membent
untuk membentuk uk 6 6 segitsegitiga iga sama sisi. sama sisi. SeterSeterusnyusnya, a, kami menggunkami menggunakan operasiakan operasi putaran ke atas segi empat tepat tersebut dengan berpandukan pusat heksagon putaran ke atas segi empat tepat tersebut dengan berpandukan pusat heksagon sebagai pusat putaran. Putaran dibuat arah jam sebanyak 120.15
sebagai pusat putaran. Putaran dibuat arah jam sebanyak 120.15oo dan putaran inidan putaran ini dibuat sebanyak dua kali bagi menghasilkan dua imej bagi segi empat tersebut. dibuat sebanyak dua kali bagi menghasilkan dua imej bagi segi empat tersebut. Langkah seterusnya, kami menggunakan operasi translasi ke atas bentuk heksagon Langkah seterusnya, kami menggunakan operasi translasi ke atas bentuk heksagon bag
bagi i memmembenbentuk tuk tigtiga a laglagi i imeimej j hekheksasagongon. . NamNamun un begbegituitu, , kakami mi kekkekalkalkan an objobjekek translasi tersebut. Pergerakannya berdasarkan metrik vektor seperti di
Penerangan tentang bentuk maujud 3D Penerangan tentang bentuk maujud 3D
Kami telah memilih truncated octahedron sebagai bentuk maujud 3D kami Kami telah memilih truncated octahedron sebagai bentuk maujud 3D kami kerana bentuk ini menarik dan mempunyai 2 bentuk poligon yakni heksagon dan kerana bentuk ini menarik dan mempunyai 2 bentuk poligon yakni heksagon dan empat segi sama.
empat segi sama. Ini menunjukIni menunjukkan kerja kan kerja ini betul-betini betul-betul ul sesusesuai ai untuuntuk k kami telitikakami telitikann da
dan n memengngkakajijinynya. a. KaKami mi mememamadadanknkan an obobjejek k tatadi di dedengngan an teteseselalasi si dadan n ininii membuatkan kami teruja dengan kerja ini. Ciri-ciri yang ada pada bentuk ini adalah membuatkan kami teruja dengan kerja ini. Ciri-ciri yang ada pada bentuk ini adalah ia mempunyai 14 permukaan kesemuanya yang merangkumi kedua-dua bentuk iaitu ia mempunyai 14 permukaan kesemuanya yang merangkumi kedua-dua bentuk iaitu heks
heksagon dan agon dan segi empat tepat. segi empat tepat. RekaRekaan ini an ini juga mempunjuga mempunyai 8 yai 8 bentubentuk k heksheksagonagon yang sekata dan mempunyai 6 bentuk segi empat tepat. Seterusnya, bentuk ini yang sekata dan mempunyai 6 bentuk segi empat tepat. Seterusnya, bentuk ini memiliki sebanyak 36 sisi yang sama panjang iaitu 3 cm setiap satu. Ciri lain adalah memiliki sebanyak 36 sisi yang sama panjang iaitu 3 cm setiap satu. Ciri lain adalah ia
ia mempumempunyai 24 nyai 24 bucu kesemubucu kesemuanya. Truncateanya. Truncated d OctaOctahedrohedron n adalaadalah h satu pepejalsatu pepejal Archimedean. Disebabkan setiap permukaannya mempunyai titik simetri, bentuk ini Archimedean. Disebabkan setiap permukaannya mempunyai titik simetri, bentuk ini ada
adalah lah zonzonoheohedrodron. n. ZonZonoheohedrodron n berbererterti i polpolyheyhedrodron n cemcembunbung g di di manmana a sesetiatiapp per
permukmukaan aan adaadalah lah polpoligoigon n dendengan gan tittitik ik simsimetretri i ataatau u simsimetretri i yayang ng disdisamaamakakan n didi bawah putaran
